专题06 二次函数常考几何问题10大题型（专项训练）数学新教材北京版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与几何综合，以10类常考题型为框架，通过典例系统呈现面积、变换、存在性等问题的代数化解决路径，强化数形结合与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |面积问题|3题|坐标法求图形面积|函数表达式→点坐标→割补法/公式法| |平移/旋转/翻折|9题|图形变换后函数关系|几何变换性质→坐标变换→新函数表达式| |角度问题|6题|倍角/45°角构造|角度条件→三角函数/全等模型→方程求解| |交点/最值/存在性|9题|动态探究与参数范围|函数与方程思想→分类讨论→临界值分析| |新定义问题|3题|“巧点”“旋转函数”等创新情境|新定义转化→二次函数性质应用|

专题06 二次函数常考几何问题 常考题型·精准突破 考点一 二次函数常考几何问题 题型1 二次函数的面积问题 题型2 二次函数的平移问题 题型3 二次函数的倍角问题 题型4 二次函数的45°角问题 题型5 二次函数的旋转问题 题型6 二次函数的翻折问题 题型7 二次函数与线段交点问题 题型8 二次函数的最值问题 题型9 二次函数的存在性问题 题型10 二次函数的新定义问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次函数常考几何问题 ◆题型1 二次函数的面积问题 1．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．点是第一象限抛物线上的一点．若点的横坐标为，则的面积为______． 【答案】 【分析】求出点三点的坐标，利用待定系数法求解直线的解析式，过点作轴交于点，求出点的坐标，算出线段的长，利用求解． 【详解】解：对于， 令，则，故， 令，则，故， 令，可得， 解得或，故， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作轴交于点， 则对, 令，则，故， ∴ ∴ 2．已知如图，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点P是抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）将点代入抛物线解析式计算即可； （2）设点，直线与轴交于点，根据解题． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 顶点横坐标为，此时， ∴顶点坐标为； （2）解：当时，，即， 设点，直线与轴交于点，如图， 设直线的解析式为，则， 代入，，有 ， 解得， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 解得或， ∴或． 3．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点． (1)求抛物线的函数表达式与顶点坐标； (2)点P是抛物线上位于第一象限内的一动点，连接，交线段于点Q，若，求点 P 的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出直线与坐标轴的交点坐标，再由待定系数法求解函数表达式，再配方求解顶点坐标即可； （2）由，可得，则，过点作轴于点，由求出，然后求解直线的函数表达式，再与抛物线的表达式联立求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当 当，，解得 ∴，， ∵抛物线经过A，B两点 ∴ 解得 ∴抛物线的函数表达式为 ∴顶点坐标为； （2）解：∵ ∴ ∴， 过点作轴于点， 则轴， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴ ∴ 设直线，则， 解得 ∴直线， 与抛物线表达式联立可得， 解得，（舍去） ∴． ◆题型2 二次函数的平移问题 4．抛物线与x轴交于A、B两点，且．将抛物线沿y轴平移m个单位后，与线段（不含端点）一定有交点，则抛物线平移方式及m的取值范围是（   ） A．向上平移， B．向下平移， C．向上平移， D．向下平移， 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图像与坐标轴交点、二次函数的图像平移问题，由求出值，得到抛物线解析式，再讨论平移后与线段有交点的情况，即可获得答案． 【详解】解：对于抛物线， 当时，可得， 解得，， ∵该抛物线与x轴交于A、B两点，且， ∴方程的两根之差， 即， ∴，解得， ∴该抛物线解析式为，， 即A，B两点的坐标分别为，， 将抛物线沿y轴平移m个单位，若向下平移，则平移后的解析式为， 令，得，整理可得， 由，且交点在线段（不含端点）内， 可知， ∴，解得， 此时交点在线段（不含端点）内； 若向上平移，则平移后的解析式为， 令，得， ∴或，即抛物线与线段无交点． 综上所述，抛物线向下平移，且． 故选：B． 5．在平面直角坐标系中，已知抛物线L：经过，与y轴交于点B，连接，． (1)求a的值及点B的坐标； (2)将抛物线L平移得到抛物线，设平移后点A，B的对应点分别为，若平移后抛物线的顶点落在x轴上，且，求平移后抛物线的表达式． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，将点代入抛物线中，则可得的值，进而可得抛物线的表达式为，然后令，则，进而可得的坐标； （2）依据题意，由（1）抛物线的表达式为，可得抛物线的顶点坐标为，又平移后抛物线的顶点落在轴上，故抛物线向下平移了4个单位，则可设平移后抛物线的表达式为，结合，可得点的纵坐标均为，故点的横坐标为，点的横坐标为，从而，又，则，求出后即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，将点代入抛物线中， ， ， ∴抛物线的表达式为， ∴令，则， ∴； （2）由题意，∵抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵平移后抛物线的顶点落在轴上， ∴抛物线向下平移了4个单位， ∴可设平移后抛物线的表达式为， ， ∴点，的纵坐标均为， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， ， 又∵， ， ∴或， ∴平移后抛物线的表达式为或． 6．如图，抛物线与轴交于两点（点在点右侧），与轴交于点，且经过点，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段．若抛物线关于轴对称得到抛物线，将平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线平移的方式和距离； (3)已知点，线段以每秒1个单位长度的速度向左平移，同时抛物线以每秒1个单位长度的速度向下平移，秒后，若抛物线与线段有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）利用待定系数法运算求解即可； （2）先求出关于轴对称的抛物线，再设平移后的抛物线表达式为，代点运算求解即可； （3）设秒后，点，，分析当恰好在抛物线上时和当恰好在抛物线上时的取值，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， 解得 ，， ∴，， ∵将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段， ∴平移后的 ，， ∴线段的三等分点的坐标为，， ∵，顶点坐标为，开口向下， ∴关于轴对称得到抛物线的顶点坐标为，开口向上， ∴， ∵与的交点为：，， ∴的对称轴为：， ∴则设平移后的抛物线表达式为， 将代入，得， ∴， ∵，， ∴将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度； （3）秒后，点，， 抛物线的表达式为， 令时，得，则与抛物线所截线段长小于6， 如图1，当恰好在抛物线上时， 则，化简得， 解得，（舍去）， 如图2，当恰好在抛物线上时， 则， 化简得，解得 ，（舍去）， ∴的取值范围为． ◆题型3 二次函数的倍角问题 7．已知：如图，抛物线内的的三个顶点都在抛物线上：其中点为抛物线的顶点，点的坐标为，点的坐标为． （1）___________． （2）在轴上有一点，则点的坐标为___________． 【答案】 90 或 【分析】（1）先用待定系数法求出抛物线解析式，得出点D的坐标，用勾股定理逆定理判断为直角三角形即可求解； （2）分①当点在的上方时和②当点在的下方时两种情况求解即可． 【详解】点，点都在抛物线上， 抛物线的解析式为． 令，则， 或， ， ． ， ． 如图1，过点作于点，过点作于点，于点，则， ． ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 为直角三角形， ． （2）如图2，①当点在的上方时，设与交于点， 由（1）知， ． ， ， ． ， ， ． ， ． 设直线的解析式为， 直线的解析式为． 令，则， ； ②如图3，当点在的下方时， ， ． 设直线的解析式为， ， 直线的解析式为． 设直线的解析式为， 则， ， 直线的解析式为． 令，则， ． 综上，当时，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，把化成顶点式，的图象与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，求一次函数解析式，，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 8．如图，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若是直线下方抛物线上任意一点，过点作轴于点，与交于点，求线段长度的最大值． (3)若点在轴上，且，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将，代入求解即可； （2）根据的解析式和抛物线的解析式，设，则，表示的长，根据二次函数的最值可得的最大值即可； （3）如图1，连接，，交于点．然后分点在点的左侧和右侧两种情况解答即可． 【详解】（1）解：把，代入抛物线中 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：， 当时，， 解得：或， ∴； 设的解析式为：， ∵，， ， 解得：， ∴的解析式为：， 设， 则， ， 当时，有最大值为． （3）解：如图1，连接，交于点． ， ∴顶点， 设所在直线的解析式为：， 将代入函数解析式得， 解得， 故所在直线的解析式为：， ∵， ∴， 设所在直线的解析式为：， 将点坐标代入函数解析式，得， 故所在直线的解析式为：， 当时，， 即点的坐标为， 当点在点的右侧时， ∵，，， ，，， ， ∴是直角三角形， 是斜边， ∵， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴经过的中点， ∴直线的解析式为， ∴点的坐标是． ∴综上所述，点的坐标是或． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论和数形结合的思想是解题的关键． 9．已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，如图． ①求的面积； ②点在抛物线上，点在线段上（不与端点，重合），若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，求抛物线与坐标轴的交点，角度问题； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）①分别令求得的坐标，根据三角形的面积公式，即可求解； ②先求出点坐标，当点在线段上时:是△DCE的外角，，而，所以此时，有，可求出所在直线的解析式，设点坐标，再根据两点距离公式，，得到关于的方程，求解的值，即可求出点坐标；当点在线段的延长线上时，根据题中条件，可以证明，得到为直角三角形，延长至，取，此时，，从而证明是要找的点，应为，为等腰直角三角形， 点和关于点对称，可以根据点坐标求出点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和． ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 （2）解：①在中，当时，，则有， 令，则有， 解得：， ∴，则 ∴ ②∵点在抛物线上 ∴ ∴点坐标 设所在直线解析式为，其过点、 有， 解得 ∴所在直线的解析式为： 当点在线段上时，设 而 ∴ ∴ ，， ∴ 解得：， 所以点的坐标为: ◆题型4 二次函数的45°角问题 10．如图，抛物线经过点、，交轴于点，点是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点的坐标为时，求四边形的面积； (3)若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)16 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作于T，根据列式求解即可； （3）取，连接，，证明，则线段与抛物线的交点即为所求；求出直线的解析式为，联立，解得或（舍去），则；如图所示，取，连接，同理可得，则直线与抛物线的交点即为所求；同理可得；则符合题意的点P的坐标为或． 【详解】（1）解：将点代入， 得 解得 ∴抛物线解析式为； （2）解∶如图所示，过点P作于T， ∵，，， ∴ ， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，取，连接，， ∵、，， ∴，，， ∴， ∴线段与抛物线的交点即为所求； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴； 如图所示，取，连接，， 同理可得， ∴直线与抛物线的交点即为所求； 同理可知直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴； 综上所述，符合题意的点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理等知识，解题的关键在于正确作出辅助线并利用数形结合的思想求解． 11．如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，2 (2) (3)存在，点或 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法求表达式，二次函数的性质，二次函数与角度问题等．第（3）问关键是构造三角全等． （1）由题意得：，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点，点，抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的性质解答即可； （3）先求出，分点在左侧时，点在右侧时，两种情况讨论，利用三角形全等的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则，则， 抛物线的解析式为：， 则； （2）解：当时，， 解得，， 点， 当时，， 点． 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 当时，函数的最小值是2，即时，函数取得最小值， 则，则（舍去）， ∴的值为； （3）解：存在点，理由如下： ∵，， ∴， ， ①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点， 在和中， ，，， ， ， ， 设直线的解析式为， 由点、的坐标得，直线的解析式为， 联立上式和抛物线的表达式得：， 则（舍去）或，故点； ②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点， 则，，， ， ， 四边形是正方形， ， 令中，，则， 解得或， ，， ，， ， ， ， 在点抛物线上，即点满足条件， 故存在满足条件的点有两个，分别为：或． 12．如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，为抛物线上的一个动点，且点的横坐标为． (1)直接写出抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)若，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值； (3)在第一象限的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，顶点D坐标为 (2)m＝或 (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出，然后表示出P的坐标为，然后分三种情况：①当点P在x轴上方时；②当点P在x轴下方时；③当点P在x轴上时，然后根据题意分别列方程求解即可； （3）如图所示，在x轴的正半轴上取点，连接，过点B作交抛物线于点P，根据题意得到，然后求出直线的解析式为，直线的解析式为，然后和抛物线联立求解即可． 【详解】（1）将点代入抛物线中 得 解得： ∴抛物线解析式为 ∴顶点D坐标为； （2）令 解得， ∴ ∵P的横坐标为且 ∴ ∴将代入 ∴点P一定在对称轴右侧，且P的坐标为； ①如右图所示，当点P在x轴上方时， 则，即 此时：， 解得：，符合题意； ②如右图所示，当点P在x轴下方时， 则，即 此时： 解得：，（舍去） ③当点P在x轴上时， 则，即 此时：（或），解得：（舍去） 综上所述，或； （3）存在点P，使，点P的坐标为 理由如下： 如图所示，在x轴的正半轴上取点，连接，过点B作交抛物线于点P ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ 设直线的解析式为，过， ∴直线的解析式为 ∵ ∴设直线的解析式为 将代入得 解得： ∴直线的解析式为 由 解得：，（舍去） ∴． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与角度综合等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式是解题的关键． ◆题型5 二次函数的旋转问题 13．小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=x2-3x-2的“旋转函数”． 小明是这样思考的：由函数y=x2-3x-2可知，a1=1，b1=-3，c1=-2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”． 请参考小明的方法解决下面问题： (1)直接写出函数y=x2-3x-2的“旋转函数” ； (2)若函数与y=x2-2nx+n互为“旋转函数”，求(m+n)2020的值； (3)已知函数的图象与x轴交于点A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数互为“旋转函数” 【答案】(1)y＝-x2-3x＋2； (2)1 (3) ∵当y＝0时，，解得x＝−1，x＝4， ∴A（−1，0），B（4，0）． 当x＝0时，y＝×（−4）＝-2，即C（0，-2）． 由点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1， 得A1（1，0），B1（−4，0），C1（0，2）． 设过点A1，B1，C1的二次函数y＝a，将C1（0，2）代入， 解得， ∴过点A1，B1，C1的二次函数 而 ∴a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0， ∴经过点A1、B1、C1的二次函数与函数互为“旋转函数”． 【分析】（1）根据y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2＋b2x＋c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得a2，b2，c2，可得旋转函数； （2）根据y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2＋b2x＋c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得a2，b2，c2，根据负数奇数次幂是负数，可得答案； （3）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B、C的坐标，根据关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得A1，B1，C1，根据待定系数法，可得函数解析式；根据y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2＋b2x＋c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得a2，b2，c2，可得旋转函数． 【详解】（1）解：由y=x2-3x-2函数可知a1＝1，b1＝-3，c1＝−2． 由a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，得 a2＝-1，b2＝-3，c2＝2． 函数y＝x2＋3x−2的“旋转函数”为y＝-x2-3x＋2； （2）由与y＝x2−2nx＋n互为“旋转函数“， 得−2n＝，−2＋n＝0． 解得n＝2，m＝−3． 当m＝2，n＝−3时，(m+n)2020＝（2−3）2020＝（−1）2020＝1； （3）略． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握关于原点对称的两点的坐标特征；会求二次函数图象与坐标轴的交点和待定系数法求二次函数解析式；对新定义的理解能力． 14．定义：函数图象上的点，把满足纵坐标是横坐标的2倍的点叫作这个函数的“巧点”，例如是函数的“巧点”：是函数的“巧点”． (1)函数的图象上是否存在“巧点”？若存在，请求出函数的“巧点”；若不存在说明理由； (2)动点分别在直线上，直线过直线的“巧点”，在直线上分别取点，试求的最小值； (3)将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有一个“巧点”，求点的坐标． 【答案】(1)存在， (2) (3) 【分析】本题考查的是二次函数的性质， （1）根据“巧点”定义设“巧点”的坐标为，将其代入计算即可； （2）先求出直线的“巧点”分别为，计算得出，根据二次函数性质求出最值即可； （3）设点，先求出顶点为，进而得出旋转后的函数图象的解析式为，再联立求出t值即可求出结论． 【详解】（1）解：存在．设“巧点”的坐标为，将其代入， 得，解得， “巧点”为． （2）动点分别在直线上， ， 同（1）可得直线的“巧点”分别为， 设直线表达式为， 则， 解得：， ， ， 当时，取最小值，为． （3）设点． ， 其顶点为． 点关于点的对称点为， 旋转后的函数图象的解析式为． “巧点”的纵坐标为横坐标的2倍， 巧点在直线上． 联立， ，令， 解得． ． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点A(﹣2，0)、B（点A在点B右侧），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2． （1）填空：点B的坐标是__________； （2）连接AC，BC，若△ABC的面积为24，求此抛物线的解析式； （3）在第（2）小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点．连接CQ，将△ACQ绕点Q旋转180°得到△FGQ，点C恰好旋转到点G，连接AG，CF．当△FGQ为直角三角形时，求点Q的坐标． 【答案】（1）(6，0)；（2）抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣6；（3）点Q坐标为(8，0)或(0，0) 【分析】（1）由A、B两点关于对称轴对称，利用中点坐标公式可求解； （2）由△ABC的面积为24，AB可求，可求出点C坐标，由C点在y轴上，设C（0，-n）,用面积来求C点坐标后，利用交点式求抛物线解析式即可； （3）△ACQ绕点Q旋转得到△FGQ，△FGQ，△ACQ都是直角三角形，分两种情况讨论，当∠AQC＝90°时，由勾股定理得AC2＝AQ2+CQ2，当∠ACQ＝90°时，也由勾股定理得AQ2＝AC2+CQ2，用两点距离公式设点Q（m，0），m＞0，求AQ，CQ，解方程求出即可． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（d，0）（点A在点B右侧），对称轴为直线x＝2，，d=6, ∴点B坐标为（6，0）， 故答案为：（6，0）， （2）∵点A（﹣2，0），点B坐标为（6，0）， ∴AB＝8， ∵△ABC的面积为24， ∴×AB×OC＝24，OC=n ∴n＝＝6， ∴点C（0，﹣6）， 设抛物线解析式为：y＝a（x+2）（x﹣6）， ∴﹣6＝﹣12a， ∴a＝， ∴抛物线解析式为：y＝（x+2）（x﹣6）＝x2﹣2x﹣6， （3）∵将△ACQ绕点Q旋转180°得到△FGQ， ∴△ACQ≌△FGQ， ∵△FGQ为直角三角形， ∴△ACQ是直角三角形， 设点Q（m，0），m＞0， 又∵点A（﹣2，0），点C（0，﹣6）， ∴AC2＝40，AQ2＝（m+2）2，CQ2＝m2+36， 当∠AQC＝90°时，则AC2＝AQ2+CQ2， ∴40＝（m+2）2+m2+36， ∴m1＝0，m2＝﹣2（舍去）， ∴点Q（0，0）； 当∠ACQ＝90°时，AQ2＝AC2+CQ2， ∴（m+2）2＝m2+36+40， ∴m＝8， ∴点Q坐标为（8，0）， 综上所述：点Q坐标为（8，0）或（0，0）． 【点睛】本题考查点的坐标，抛物线解析式，掌握抛物线是轴对称图形，用好中点坐标公式，用面积求坐标，交点式求抛物线解析式，利用旋转的不变性，结合勾股定理， 两点距离公式是解题关键． ◆题型6 二次函数的翻折问题 16．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示： 【问题】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，则_____，点的坐标为_____． 【操作】 （2）将图①中的抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，如图②．直接写出翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式：_____ 【探究】 （3）在图②中，翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象，则新图象对应的函数随的增大而增大时，的取值范围是_____． 【应用】结合上面的操作与探究，继续思考： （4）如图③，若抛物线与轴交于，两点（在左），将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，同样，也得到了一个“W”形状的新图象． ①求、两点的坐标；（用含的式子表示） ②当时，若新图象的函数值随的增大而增大，直接写出的取值范围． 【答案】（1）1，（2）（3）或（4）①②或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，运用数形结合思想是解题的关键； （1）把代入可求得a的值；令，即可求得二次函数与x轴的另一个交点的坐标； （2）先写出沿x轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象可得对应取值的解析式； （3）根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大，写出x的取值； （4）①令，即可求得二次函数与x轴的交点A，B的坐标； ②根据图象写出关于h的不等式，进而求得h的取值范围． 【详解】（1）解：把代入抛物线，得 ， 解得， 令， 解得 ， 二次函数与x轴的另一个交点的坐标为： ， 故答案为：1，； （2）解：抛物线的顶点坐标为：， 翻折后抛物线开口向下，顶点坐标为：， 故翻折后这部分抛物线对应的函数解析式为：， 故答案为：； （3）解：根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大时， x的取值范围为：或； （4）解：①令， 解得：， ； ②当时，新图象的函数值y随x增大而增大， 或， 解得：或． 17．定义：将抛物线（，）沿x轴向下翻折得到的图象称为“逆翻折曲线”，如图是一条“逆翻折曲线”，则下列结论：①；②；③当或时y随x的增大而增大；④关于x的方程有三个实数根．其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意判断出，，由对称轴为直线得到，即可判断①；然后根据图象经过点得到，进而可判断②；然后求出函数与x轴的另一个交点为，结合图象即可判断③；首先求出抛物线沿x轴向下翻折后顶点坐标对应的点的坐标为，然后结合图象求解即可． 【详解】解：①根据题意得，， 抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故①错误； 根据题意得，抛物线经过点 ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线，与x轴的一个交点为 ∴函数与x轴的另一个交点为， ∴由图象可得，当或时y随x的增大而增大，故③正确； 根据题意得，抛物线 ∴抛物线的顶点坐标为 ∴抛物线沿x轴向下翻折后顶点坐标对应的点的坐标为， ∴由图象可得，与直线有三个交点， ∴关于x的方程有三个实数根， ∴关于x的方程有三个实数根，故④正确． 综上所述，其中正确结论的个数为3． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象的对称变换，二次函数和x轴的交点问题，二次函数和一元二次方程的关系，解题的关键是掌握以上知识点． 18．如图所示，拋物线与轴交于点和点，将拋物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，顶点落在点处． (1)求点和点的坐标； (2)学校举行班徽设计比赛，九年级（5）班的小明在解答此题时顿生灵感：过点作轴的平行线交抛物线于C，D两点，将翻折后得到的新图象在直线以上的部分去掉，设计成一个“W”形图案．请你计算这个“W”形图案的高与宽的比； (3)现有直线：与（2）中这个“W”形图案有且只有一个交点，请求出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）根据，解方程求解即可； （2）根据题意，得“W”形图案的高为3，解方程，求得的长，求解即可； （3）先确定翻折的抛物线的解析式，根据图案，结合要求，分析求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得， 由点A在原点的左边， ． （2）解：根据题意，得， ， 解得， ， ， “W”形图案的高为3， “W”形图案的高与宽的比为． （3）解：根据题意，得，，，， 翻折的抛物线解析式为，如图： 当直线经过点时，符合题意， 将代入，则，解得； 当直线经过点时，此时与这个“W”形图案有个交点， 则，解得， ∴， 当直线经过点时，则，解得 ∴时，符合题意； 当直线与抛物线相切时，则， 整理，得， ， 解得， ∴； 当直线经过点时，，解得， ∴时符合题意； 综上所述，符合要求的b的取值范围是或或． ◆题型7 二次函数与线段交点问题 19．已知抛物线，为平面直角坐标系原点，点坐标为． (1)如图，若抛物线过点，与轴的一个交点为，顶点为，直线与轴的交点为． ①求该抛物线的关系式； ②求的面积； ③当时，函数的最大值为，最小值为，求的值． (2)若抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1)①，②，③ (2)或 【分析】（1）①利用待定系数法求得解析式为，②分别求解，，，再进一步利用面积公式求解；③当时，由开口方向和对称轴知函数最小值取在当时， 再分别求出当时的函数值，确定最大值即可； （2）根据题意得的解析式为，，顶点为，分两种情况：当时，方程有两个相等的解，当时，原点在上方，顶点在线段下方，进一步即可求解． 【详解】（1）解：①将代入， 得， 解得， 即：抛物线的解析式为：， ②∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； 当时，， 解得：，， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当时，则， 解得：，即， ∴的面积为：. ③∵且对称轴为直线， ∴当时，函数最小值取在当时，为， 当时，随增大而减小，当时，随增大而增大， 当时，，当时，， 则当时函数的最大值为， 即：，， ； （2）解：点坐标为， 的解析式为，如图，当时， ∵抛物线与线段只有一个交点， ∴有两个相等的解， ∴有两个相等的解，且该解在0到4之间， ， ∴， 解得：， 又，则， ， ； 如图，当时， ，则顶点为， 若，则，若，则， 当时，原点在上方，顶点在线段下方， ∵抛物线与线段只有一个交点， ∴在上方， ， 解得； 综上，抛物线与线段只有一个交点时，或． 20．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点 (1)若该二次函数图象的顶点坐标为，求抛物线的解析式； (2)设该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为若，，求面积的最大值，并说明此时b的值； (3)已知，点，，若该二次函数图象与线段只有一个交点，直接写出b的取值范围． 【答案】(1) (2)S取得最大值， (3)或或 【分析】（1）依据题意，由抛物线的顶点坐标，可设二次函数为，再利用待定系数法解答，即可得解； （2）依据题意可得，从而抛物线为，可求出另一交点B的坐标为，与y轴交点C的坐标，进而的面积，结合在内，进而可以判断得解； （3）依据题意可得抛物线为，再求出线段所在直线的解析式，又联立两函数解析式，可得，故，从而当判别式时， 可得，此时二次函数与线段只有一个交点，再由当方程在内仅有一根，可得，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：∵该二次函数图象的顶点坐标为 ∴设二次函数为， 又∵抛物线过点， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为，即； （2）解：由题意，，且抛物线过点， ， ， ∴抛物线为， ∴对称轴是直线，与y轴交点C的坐标为， ∴另一交点B的横坐标，即坐标为， 的面积， 在内，当时，S取得最大值； （3）解：由题意，，且抛物线过点， ， ∴抛物线为， ∵点，， 线段所在直线为， 联立方程， ， ∴当判别式时，， 解得， 此时二次函数与线段只有一个交点， 当时，， 当时，， 又∵当方程在内仅有一根， ， 或， 综上，b的取值范围为或或． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 21．已知二次函数，其图像与轴的交点记为C． (1)当时，记二次函数与轴的交点为，求的面积 (2)已知，线段与二次函数有两个不同的交点，求实数的取值范围． (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合题，根据二次函数的性质以及二次函数与一元二次方程的关系来求解是本题解题的关键， （1）当 时，函数为 ．求出抛物线坐标轴交点坐标，进而求出三角形面积； （2）联立二次函数 与直线 ：，得方程，根据线段与二次函数有两个不同的交点，可得函数，与x轴有两个交点，且和3中间．由此可得得顶点在第一象限，当时，，由此解不等式即可； （3）根据对称轴的位置分类讨论，由当时，的最大值为1，最小值，列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：当 时，函数为 ． 当时，，解得， 所以，点 ， ， ∴ 当时， ，所以 ． （2）∵点 ， ， ∴直线 函数解析式为 ． 联立二次函数 与直线 ：，得 整理得：， ∵线段与二次函数有两个不同的交点， ∴函数，与x轴有两个交点，且和3中间．如图： ∴当时，，即 ， 解得： 当时，， 当时，，即 ∴， 综上所述： 的取值范围为 （3）∵当 时， 恒成立， ∴当 时，， ∵的图象开口向下，对称轴是，如图： 此时最大值为 当  时，即 ． 解得：， 当 时，即 ． ，不等式组无解； 当 时，即 ． ，不等式组无解； 综上， 的取值范围为 ． ◆题型8 二次函数的最值问题 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接，．动点P从A点出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从B点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒． (1)　　，　　； (2)在P，Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)已知点M是该抛物线对称轴上一点，当点P运动1秒时，若要使得线段的值最小，则试求出点M的坐标． 【答案】(1)2，3 (2)当时，四边形的面积最小，最小值为4 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴，垂足为E，利用表示出四边形的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可； （3）直接利用对称点的性质得出M点位置，进而得出答案． 【详解】（1）∵二次函数的图象经过点A，B， 则 ， 解得：； 故答案为：2；3； （2）令，则有，即有； ∵，，， ∴，，即，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由点P、Q的运动可知：，， 结合，可得：， 即：， 过点P作轴，垂足为H，如图， ∴，即， ∴ ， ∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，且， ∴即，， ∴当时，四边形的面积最小，最小值为4； （3）由（2）可知，当时，可得点P的坐标为（2，1）， 根据抛物线的对称性可知，点A，B关于对称轴：对称， 连接，与抛物线对称轴交于点M，点M即为所求， ∵，， ∴利用待定系数法可得直线的解析式为：， 当时，． 即点M的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称最值问题，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 23．已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点在抛物线上，点在轴上，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标； （3）已知点，，在抛物线对称轴上，找一点，使的值最小．此时，在抛物线上是否存在一点，使的值最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）的坐标为，，；（3）当点的坐标为时，最小 【分析】(1)因为抛物线经过A (-1，0)，B (3，0)，利用待定系数法解决问题即可. (2)分点P在x轴的上方或下方，点P的纵坐标为3或-3，利用待定系数法求解即可. (3)如图，连接BH交对称轴于F，连接AF，此时AF+FH的值最小.求出直线HB的解析式，可得点F的坐标，设K (x0，y0)，作直线SK∥y轴，且S得纵坐标为，证明KF=SK，利用垂线段 最短解决问题即可. 【详解】解：（1）∵经过、两点的抛物线解析式为， 将，代入解析式中，则有 ，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）点的坐标为，，． ∵y=−x2+2x+3 ①当四边形CAQP为平行四边形时，P在x轴的上方， 由AQ∥CP，得：点P的纵坐标为3， 令y=3，则−x2+2x+3=3． ∴x=0或x=2， 但x=0时，P与C点重合，即舍去x=0， ∴P的坐标为 (2，3) ②当四边形PACQ为平行四边形时，P在x轴的下方， 得：点P的纵坐标为-3，令y=-3，得： −x2+2x+3=-3， ∴x=1+或x=1- ∴P的坐标为： (1+，−3) ， (1−，−3) ， 综上：P的坐标为(2，3) ，(1+，−3) ， (1−，−3) ． （3）∵点与点关于对称轴对称， ∴连接与直线交点即为点． ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴直线的解析式为：． 令，则． 当点的坐标为时，的值最小． 设抛物线上存在一点，使得的值最小． 则由勾股定理可得：． 又∵点在抛物线上， ∴， ∴代入上式中， ∴， ∴． 如图，过点作直线，使轴，且点的纵坐标为． ∴点的坐标为． 则． ∵， ∴， ∴． ∴． 当且仅当，，三点在一条直线上，且该直线干行于轴，的值最小． 又∵点的坐标为， ∴，将其代入抛物线解析式中可得：． ∴当点的坐标为时，最小． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的性质，平行四边形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，第四个问题的关键是学会用转化的思想思考问题，把最短问题转化为垂线段最短，属于中考压轴题. 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，顶点为D，对称轴交x轴于点E． （1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标． （2）直线AC下方的抛物线上有一动点P，过点P作轴交AC于N，求线段PN的最大值及此时点P的坐标． （3）直线AC下方的抛物线上有一动点P，过点P作于H，求线段PH的最大值及此时点P的坐标． （4）直线AC下方的抛物线上有一动点P，过点P作轴交AC于N，过点P作于H，求周长的最大值及此时点P的坐标． （5）在抛物线对称轴上找一点N，使得的周长最小，求周长的最小值及此时点N的坐标． （6）在线段OA上找一点N，连接NC，作交AC于点M，求CM的最小值． （7）在OC上找一点M，使值最小，求出最小值． （8）在抛物线对称轴上有两动点N、M（点N在点M上方），且，求四边形周长的最小值及此时M的坐标． （9）在对称轴上找一点N，使得最大，求点N的坐标． 【答案】（1），对称轴为：直线x＝－1，顶点坐标为：D（－1，－4）；（2）PN的最大值为，此时P（－，）；（3）当PN最大为时，PH最大值为，此时P（－，）；（4）当周长最大值为，此时P（－，）；（5）,N（－1，－2）；（6）；（7）；（8）,M（）；（9）N的坐标为：（－1，－6）． 【详解】（1）解：∵， ∴A（－3，0），C（0，－3）， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：， 对称轴为：直线x＝－1，顶点坐标为：D（－1，－4）． （2）解：设P（x，），则N（x，－x－3）， ∴PN＝－x－3－（）＝＝， ∴当x＝－时，PN的最大值为，此时P（－，）． （3）解：过点P作PN∥y轴，交AC于点N， ∵OA＝OC＝3， ∴∠ACO＝45°， ∵PN∥y轴， ∴∠PNH＝45°，即：是等腰直角三角形， ∴PH＝， 设P（x，），则N（x，－x－3）， ∴PN＝－x－3－（）＝＝， ∴当x＝－时，PN的最大值为， ∴当PN最大为时，PH最大值＝×＝，此时P（－，）． （4）解：∵OA＝OC＝3， ∴∠ACO＝45°， ∵PN∥y轴， ∴∠PNH＝45°，即：是等腰直角三角形， ∴PH＝NH＝， ∴周长＝ PH＋NH＋PN＝＋＋ PN＝， 设P（x，），则N（x，－x－3）， ∴PN＝－x－3－（）＝＝， ∴当x＝－时，PN的最大值为， ∴当PN最大为时，周长最大值＝×＝，此时P（－，）． （5）解：连接AC交对称轴于点N′， ∵A、B关于对称轴对称， ∴AN′＝BN′ ∴的周长＝BC＋CN′＋BN′＝ BC＋CN′＋ AN′＝ BC＋AC， ∴此时的周长最小值＝的周长＝ BC＋AC＝， ∵直线AC的解析式为：y＝－x－3， ∴当x＝－1时，y＝－2，即N（－1，－2）． （6）解：由题意得：点N在以CM为直径的圆上，设CM的中点为E，连接EN， 则当圆E与x轴相切时，即：EN⊥x轴时，EN最小，此时CM＝2EN最小， 设M（x，－x－3），则E（）， ∴EN＝，CM＝， ∴2×＝，解得：或（舍去）， ∴M（，）， ∴CM最小值为 （7）解：连接BC，过点M作MQ⊥BC，则tan∠MCQ＝tan∠BCO， ∴， ∴MQ＝， ∴＝AM＋MQ，当A、M、Q在同一条直线上时，最小值＝AQ， 连接AC， 此时AQ＝＝， ∴最小值＝． （8）解：过点N作作NQ∥MC交y轴于点Q，连接AQ交DE于点N′，连接BN′，则Q（－2，0）， ∵NQ∥MC，MN∥CQ， ∴四边形MNQC是平行四边形， ∴CM＝QN， ∴四边形的周长＝BC＋BN＋MN＋CM＝BC＋BN＋1＋QN＝＋BN＋QN， ∵B、A关于DE对称， ∴AN′＝BN′， ∴四边形的周长的最小值＝＋BN′＋QN′＝＋AN′＋QN＝＋AQ＝＋， ∵直线AQ的解析式为：， ∴N′（）， ∴此时M（）． （9）解：连接BC，并延长交ED于点N′，连接BN， ∵A、B关于DE对称， ∴AN＝BN， ∴＝≤BC＝， ∵B（1，0），C（0，－3）， ∴直线BC的解析式为：， 令x＝－1代入得：y＝－6， ∴N′（－1，－6）， ∴最大时，N的坐标为：（－1，－6）． ◆题型9 二次函数的存在性问题 25．抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，P是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的函数关系式和直线的函数关系式． (2)若点D为线段上的动点，过点D作轴，交于点G．在运动过程中，是否存在这样的点G，使得的面积有最大值．若存在，请求出此时点G的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若与相交于点F，判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， (3) 【分析】（1）利用待定系数法，把、代入即可求出抛物线的函数关系式；同法可求直线解析式， （2）设，其中，则，得到的面积，根据二次函数的性质进行解答即可； （3）过作轴交延长线于，过作轴交于，求出，得，设，则，，证明，有，即得的最大值为． 【详解】（1）解：把、代入得： ， 解得， ∴抛物线解析式为， 设直线解析式为，把，得： ，解得： 直线解析式为 （2）解：存在， 如图， ∵点G在直线上， ∴可设，其中，则 ∴的面积， ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时 （3）存在最大值，理由如下： 过作轴交延长线于，过作轴交于，如图： 在中，令得， ， ， 设，则， ， 轴，轴， ∴， ，， ∴， ， ， ， 的最大值为． 26．如图，已知抛物线 的对称轴为，且抛物线经过， (1)若直线经过两点，求直线所在直线的解析式； (2)抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出此点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为直角三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． (4)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 存在，点的坐标为或或或 (4) 存在，点的坐标为或或或或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴，经过，运用待定系数法得到抛物线的解析式，由此得到，再运用待定系数法得到一次函数解析式； （2）根据题意，点A关于的对称点为点B，当点三点共线时点到点的距离与到点的距离之和最小，结合一次函数解析式即可求解； （3）设，运用两点之间距离公式得到，结合勾股定理列式求解即可； （4）设，运用两点之间距离公式得到，根据等腰三角形的定义，分类讨论，由数量关系列式求解即可． 【详解】（1）解：抛物线 的对称轴为，且抛物线经过， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， ∵直线经过两点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：点A关于的对称点为点B，如图所示， ∴， ∴， 当点三点共线时，取等号， ∴当时，在直线上得，， ∴； （3）解：如图所示，设，已知， 当是以为直角的直角三角形时，， ∵，，， ∴， 整理得，， 解得：， ∴，； 当是以为直角的直角三角形时，， ∴， 整理得，， 解得：， ∴； 当是以为直角的直角三角形时，， ∴， 整理得，， 解得：， ∴； 综上，点的坐标为或或或； （4）解：设，已知， ∴，，， 当是以为顶角的等腰三角形时，，则， ∴， 解得：， ∴； 当是以为顶角的等腰三角形时，，则， ∴， 整理得，， 解得：， ∴或； 当是以为顶角的等腰三角形时，，则， ∴， 解得：， ∴或； 综上，点的坐标为或或或或． 27．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过边长为4的等边三角形的三个顶点，已知等边三角形的边在轴的正半轴上，分别是边上的动点，且，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)如图2，是轴上方二次函数的图象上的一个动点，连接．问当时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值，若不存在，请说明理由； (3)如图3，在等边三角形的边上取中点，连接．问的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，最大值为 (3)存在，最小值为 【分析】（1）根据题意得到，根据等边三角形的性质得到，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到，设点，根据点的C的位置，分类讨论：当时；当时；当时；结合图形，表示出的面积，根据二次函数图象的性质即可求解； （3）根据题意得到直线的解析式为，，结合（2）得到，过点P作，使得，连接，得到当点三点共线时，的值最小，最小值为的长，证明，得到，由两点之间的距离公式即可求解． 【详解】（1）解：是边长为4的等边三角形，二次函数的图象经过点A，B，O， ∴，，，， 如图所示，过点作于点E， ∴，， ∴， ∴， 把点的坐标，代入二次函数解析式得，， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：存在，最大值为，理由如下， ，，， ∴，， ∴点是线段的中点，则，即， 设点， 如图所示，过点作轴于点F，过点作轴于点G， ∴，，，，， ∴ ， 当时， ①式 ， ∴当时，的面积最大，最大值为； 当时，如图所示，过点作轴于点F，交于点， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴， ∴，，，， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大，最大值为； 当时，如图所示， ∴，，，，， ∴ ， ∵， ∴该情况不符合题意； ∵， ∴面积的最大值是； （3）解：存在，最小值为，理由如下， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点D是的中点， ∴， 设，则，则， ∴， 如图所示， ∵轴于点， ∴在中，，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点P作，使得，连接， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，最小值为的长， 如图所示，过点P作y轴的平行线，过点作于点，过点作于点T， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴的最小值是． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数图象与几何图形面积的计算方法，二次函数与线段最值得计算方法，相似三角形的判定和性质等知识的综合，数形结合分析是关键． ◆题型10 二次函数的新定义问题 28．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，如点为二倍点． 【定义理解】 (1)下列函数图像上存在二倍点的有__________．（填序号） ①；②；③ 【定义应用】 (2)已知二次函数 ①求该函数图像上的二倍点； ②直接写出不等式的解集； 【问题解决】 (3)无人机在各行各业都有广泛应用．某地利用无人机投放救灾物资，无人机投放物资包裹的竖直高度（米）与离投放点的水平距离（米）的关系为，当无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为5米，试判断该抛物线上是否存在二倍点，若存在，请联系以上情境说明该二倍点表达的实际意义． 【拓展提升】 (4)若抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点，求的取值范围． 【答案】(1)②③ (2)①；②或 (3)该抛物线上存在二倍点，为，其实际意义为无人机在距地面50米处投放物资包裹时，物资包裹落地点距投放点的水平距离为25米 (4) 【分析】（1）由题可知二倍点在直线上，再逐个判断与是否有交点即可； （2）①根据题意与联立求解即可判断； ②根据①中的二倍点直接写出解集即可； （3）先利用待定系数法求出，再与联立求解即可判断； （4）方法一：抛物线与联立，再两次运用二次方程根的判别式求解；方法二：同方法一，根据根的判定式得到，再参变分离求的范围． 【详解】（1）解：由题可知二倍点在直线上， ①把代入，得，无解， ∴直线上不存在二倍点； ②把代入，得， 整理，得， 当时，时，， ∴双曲线上存在二倍点； ③把代入， 得整理得， 解得时，， ∴抛物线上存在二倍点； （2）①解：由得， 整理得， 解得或， 当时，， 当时，， ∴该函数的二倍点为； ②或； （3）该抛物线上存在二倍点， ∵无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为5米， ∴抛物线过点， 将代入，得， ， ， 令， 解得或（舍去）， 此时， ∴该抛物线上存在二倍点，为， 其实际意义为无人机在距地面50米处投放物资包裹时，物资包裹落地点距投放点的水平距离为25米． （4）方法一：由题可知二倍点在直线上， 将代入， 得， 整理，得． ∵抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点， ，对任意的常数恒成立， 即．对任意的常数恒成立， ∵对于任意的常数b恒有两个二倍点， ∴可设关于的方程无解， 解得，即a的取值范围为， 方法二：易知二倍点在直线上， 将代入， 得， 整理，得， ∵抛物线对于任意的常数b恒有两个二倍点， ，对任意的常数恒成立， 即．对任意的常数恒成立， 即，对任意的常数恒成立， ， 令，知是关于的二次函数， 且开口向上，知当时，w有最小值且， ， ． 29．对于二次函数，定义其图象上点的“点值”为．已知该抛物线过点，顶点的“点值”为，且与x轴的两交点的“点值”之和为4，对于上述二次函数，下列结论中正确的有（   ） ①； ②其图象与x轴的两个交点均在y轴右侧； ③其图象上有两个点的“点值”为0； ④存在实数，使得函数图象上有且仅有一个点以为“点值”． A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的综合，一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键．根据已知条件，抛物线过点可得；由顶点的“点值”为和与x轴两交点的“点值”之和为4，联立方程求解a和b，得到函数解析式，再逐一验证各选项是否正确． 【详解】解：∵ 抛物线过点， ∴ 代入得， ∵二次函数的顶点坐标为，顶点的“点值”为， ∴点值， ∴（1）， 设抛物线与x轴的两交点的坐标为，， ∵ 与x轴两交点的“点值”之和为4， ∴， 又∵， ∴，即（2）， 将（2）代入（1）：， 解得：， 代入（2）得， ∴ 函数为；故①错误； 当， ∴，， ∴，， ∴两交点均在y轴右侧，故②正确； 当点值时，即，代入得， 即， ∴， 抛物线上有两个点满足，故③正确； ∵点值，即， 整理得：， ∴当时， 解得，此时有唯一解，故④正确． ∴ 综上②③④正确， 故选：D． 30．对于平面直角坐标系中的两点和给出如下定义：如果，或者，则称点M到点N的距离很远． 已知点，． (1)在点，，中到点A的距离很远的是点______； (2)若抛物线上的任意一点到A，B两点的距离都很远，则的取值范围是______； (3)点P在的内部或边上，点Q在直线上，若点P到O，A，B，Q四点的距离都很远，直接写出点P运动区域的面积的最小值及此时的点Q的坐标. 【答案】(1)D， (2)或 (3)点P运动区域的面积的最小值为，此时点Q坐标为 【分析】本题结合新定义考查了二次函数的性质，分类讨论的数学思想，准确理解新定义是解题关键． （1）按照题中“距离很远”的定义逐个判断即可； （2）分当时和时两类讨论：当时，需在时，，当时，需在时，，即可得到的取值范围； （3）根据题意，画出P点运动的范围的示意图，如图点P运动的区域为和正方形和正方形（内部含边缘），即Q点只能在线段上运动，且只有当Q点位于网格线上时，点P运动区域的面积才能有最小值，当Q点位于点M时，点P运动区域的面积为，当Q点位于点N时，点P运动区域的面积为，当Q点位于R、S两点时，点P运动区域的面积都不能达到最小，从而可得到答案； 【详解】（1）解：对于点， ∵且， 故C点不合题意； 对于点， ∵，故D点符合题意； 对于点， ∴，故点E符合题意， 综上，在点，，中到点A的距离很远的是点D和点E， 故答案为：D，； （2）解：当时，欲使抛物线上的任意一点到A，B两点的距离都很远， ∵当时，已满足， ∴只需在时，还要满足，即， 即，故； 当时，则，欲使抛物线上的任意一点到A，B两点的距离都很远， ∵当时，已满足，只需在时，还要满足， ∴，即， ∴ 故答案为或 ； （3）解：如下图所示， ， 若点P到O，A，B的距离都很远，则点P运动的区域为和正方形和正方形（内部含边缘）， 画出直线的图象，即直线，交网格线分别于R、M、N， 易知，，， 当P到点Q距离也很远时，即Q点只能在线段上运动， 显然，只有当Q点位于网格线上时，点P运动区域的面积才能有最小值， 当Q点位于点M时，点P运动区域的面积为， 当Q点位于点N时，点P运动区域的面积为， 当Q点位于R、S两点时，点P运动区域的面积都不能达到最小， 故点P运动区域的面积的最小值为，此时点Q坐标为； 31．在平面直角坐标系内，某函数的自变量取值范围，函数值的取值范围为，给出如下定义：若称该函数为“正型函数”，若称该函数为“横型函数”，若称该函数为“纵型函数”． (1)下列函数中，是“纵型函数”的有（写出有所正确的序号）______． ①    ② ③    ④． (2)已知函数是“纵型函数”，求a的取值范围． (3)若函数是“纵型函数”，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，新定义问题，函数的最值问题； （1）通过列表分别求得函数值，进而根据自变量的取值范围求得函数的最值，结合新定义，即可求解； （2）分情况讨论，根据新定义得出不等式，解不等式，即可求解； （3）根据分情况讨论，分别求得二次函数的最大值与最小值，结合新定义列出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：列表如下： ①中，，，则，是“横型函数”，    ②中，，，则，是“纵型函数”，   ③中，，，则，是“纵型函数”     ④中，，则称该函数为“正型函数”． 故答案为：②③． （2）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 当时， ∴ 抛物线与轴的交点为和 当时，函数有最小值为， ∵， ∴当时，函数有最大值为 ∵函数是“纵型函数” ∴ 解得： （3）解：∵函数 ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，顶点坐标为 当时， ∴ 抛物线与轴的交点为和 当时，；当时， ①当即时，函数的最大值为， 最小值为 ∵函数是“纵型函数”， ∴即 解得： ∴， ②当时，函数的最小值为， 最大值为 ∵函数是“纵型函数”， ∴即 解得： ∴， ③当时，则函数值的最小值为顶点的纵坐标， 当，即时，函数的最小值为，最大值为 ∴， 解得：（舍去）或 ∴ 当，即，函数的最小值为，最大值为 ∴， 解得：（舍去）或（舍去） ∴ 综上所述，或 综合攻坚·知能拔高 1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与线段有且只有一个交点时，则t的取值范围是______． 【答案】或 【分析】当t向下平移3个单位时，抛物线与线段开始有两个交点，当抛物线向下平移个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点，即可求解． 【详解】解：如图，当t向下平移3个单位时，抛物线与线段开始有两个交点， 如图，当抛物线向下平移3到4个单位（不含3和4个单位）时，抛物线与有两个交点， 当抛物线向下平移4个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点， 综上所述，t的取值范围是或． 2．将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的取值范围为______． 【答案】 【分析】当直线经过点时，直线与新函数的图象有个公共点，把点的坐标代入解析式求出，当时，抛物线关于轴翻折后的图象的解析式是，当直线与的图象有一个交点时，直线与新函数图象有个交点，根据一元二次方程根的判别式求出的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：解方程， 分解因式可得， 可得，， 点的坐标为，点的坐标为， 当直线经过点时， 可得， 解得， 此时，直线与新函数的图象有个公共点， 直线再往下平移，则直线与新函数的图象有个公共点， ， 把抛物线整理成顶点坐标式， 可得， 抛物线的顶点坐标是， 点关于轴对称的点的坐标是， 当时，抛物线关于轴翻折后的图象的解析式是， 当直线与的图象有一个交点时，直线与新函数图象有个交点， 方程有两个相等的实数根， 整理可得， ， 解得， 当时，直线与新函数的图象恰有个公共点． 3．在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，点，，当L与线段有交点时，h的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．当L过点时，易得当时，二次函数的右支过点；当L过点时，易得当时，二次函数的左支过点，通过二次函数在时，可得抛物线左右支之间的宽度小于线段的长度，即可求出当L与线段有交点时，h的取值范围． 【详解】解：第一种情况，当L过点时，， 解得，， 当时，如图所示，二次函数的右支过点， 第二种情况，当L过点时，， 解得，， 当时，如图所示，二次函数的左支过点， 二次函数的图像是顶点为、开口方向向上、开口大小确定的抛物线， 当时，， ， 点，， 线段的长度为4， ， 在时，抛物线左右支之间的宽度小于线段的长度， 当L与线段有交点时，h的取值范围是， 故答案为：． 4．已知抛物线，点，点，若抛物线与线段有且只有一个交点，则的取值范围为________ 【答案】4或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，根据点，点的纵坐标相同，得到点在直线上，分两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，解得， ∴抛物线与轴的交点为， ∵点，点的纵坐标相同， ∴点在直线上， 当抛物线与线段有且只有一个交点时，有两种情况： ①当点在直线上时，满足题意，此时； ②当直线从开始向下平移时，线段与抛物线有2个交点，直至抛物线过点时，此时，即抛物线过点，由对称性可知，抛物线过点，线段与抛物线交于两个点； 继续向下平移，此时线段与抛物线只有一个交点直至当抛物线过点时，； 再向下平移，线段与抛物线没有交点， 故当时，线段与抛物线只有一个交点； 综上：或； 故答案为：或． 5．二次函数的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，明确二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．先根据对称轴求出的值，从而二次函数的解析式可得，从而可得当和时的函数值，再根据的解为与直线在范围内的交点横坐标解答即可． 【详解】解：对称轴为直线， ， ， 二次函数的解析式为：， 其顶点坐标为， 当时，， 时，， 的解为与直线在范围内的交点横坐标， 当时，一元二次方程为实数）在的范围内有解． 故答案为：． 6．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，若点M是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积的最大值为________． 【答案】4 【分析】本题考查二次函数以一次函数的综合应用，涉及二次函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，熟练掌握二次函数的最值的求解是解决本题的关键． 先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再通过设点的坐标，将四边形的面积表示为关于点横坐标的函数，最后根据二次函数的性质求出面积的最大值． 【详解】解：连接，过点作轴交于点， 令，则，因式分解可得， 解得，， 所以，， 那么． 令，则，所以． 设直线的解析式为， 把，代入可得， 将代入，得，解得， 所以直线的解析式为． 设，则． 所以． ， 其中． ． 则． 对于二次函数， 可得． 把代入， 可得． 故答案为：4． 7．已知二次函数（）经过两点． (1)对称轴方程为 ，用含a的代数式表示c，则 ； (2)一次函数与有且只有3个公共点时，求a的值； (3)过点作垂直于x轴的直线分别与一次函数，二次函数交于E，F两点，满足当的时候，总有E，F两点之间距离小于，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）将代入即可求出结果； （2）的图象是将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴上翻折到轴上方，要使一次函数与有且只有3个公共点，当经过时，；当一次函数与在点之间的图象只有一个交点时，； （3）令，经过原点，关于直线对称，由当时，，可得，从而确定；当时，此时当时，取最大值为，得出；当时，此时当时，取最大值为，得出． 【详解】（1）解：将代入得： ，解得：， ∴对称轴方程为（）， 综上：对称轴为，． （2）解：一次函数的图象为一条直线， ∵，， ∴， ∴， ∴的图象是将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴上翻折到轴上方， ∴在轴下方没有图象， ∴要使一次函数与有且只有3个公共点，则， ∴， 如图所示，当经过时， ∴，解得：； 如图所示，一次函数与在点之间的图象只有一个交点， 在点之间的图象解析式为， 令，整理得：， ，解得：或（舍去）， 综上：或． （3）解：∵， ∴，， ∴， 令，当时，， ∴经过原点，关于直线对称， 当时，；当时，；当时，； ∵当时，， ∴且， ∴， ∴， 当时，解得：，如图所示： ∴此时，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴此时当时，取最大值为， ∴，解得：， ∴， ∴当时，解得：，如图所示： ∴此时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴此时当时，取最大值为， ∴，解得：， ∴， 综上：． 8．已知抛物线C：（）． (1)直接写出抛物线C的对称轴； (2)若点和均在抛物线C上，且，直接写出n的取值范围； (3)将抛物线C在y轴右侧的部分关于直线翻折，y轴及左侧部分保持不变，得到新图象G．已知点和均在图象G上，求的最小值． 【答案】(1)直线 (2)或 (3)解：， 则抛物线的顶点坐标为， 根据翻折规则可得，当时，设原抛物线上一点， 则翻折后点的纵坐标为， 则， 则图象G的解析式为， ∵， ∴，， 又∵点和均在图象G上， ∴， ， ∴， ∵，开口向上，对称轴为， ∴当时，最小，最小值为． 【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式求解即可； （2）先求得点关于对称轴的对称点，根据可得，开口方向向下，离对称轴越近函数值越大，再根据确定出的取值范围即可； （3）先求抛物线C的顶点坐标，根据翻折规则，求得翻折后的图象解析式，然后根据的横坐标确定出的位置，从而求出，表示出，利用二次函数的性质，求得最小值即可． 【详解】（1）解：根据二次函数的对称轴公式可得， 抛物线的对称轴为； （2）解：由（1）得，对称轴为， 则点关于对称轴的对称点为， 由可得，抛物线开口向下， 根据二次函数的性质可得，离对称轴越远，函数值越小， 由可得，到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 可得或； （3）略 9．在平面直角坐标系中，对于给定的两个关于x的函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，则称这样的两个函数互为“相关函数”． (1)①在点，，，中， 在正比例函数的“相关函数”图象上的点是________； ②若一次函数的“相关函数”的图象是轴对称图形，则b的值为________； (2)已知，，，． ①若二次函数的“相关函数”图象与四边形始终有2个公共点，求h的取值范围； ②若二次函数的“相关函数”的图象与线段有2个公共点，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)①；②或． 【分析】（1）①根据“相关函数”的定义，将分段函数表示出来，再将分别代入对应的函数中求出解，找出正确的答案即可； ②“相关函数”的图象是轴对称图形，得到当时，两个函数的值相等，从而求出答案； （2）①根据“相关函数”的定义，将分段函数表示出来，根据当时，，与原函数图像关于轴对称，当时，，与原函数一致，所以要使二次函数的“相关函数”图象要与四边形始终有2个公共点，需的图像与四边形始终有2个公共点，根据图像找出特殊情况的值求解； ②转化为，然后根据“相关函数”的定义将分段函数表示出来，根据图像找出端点位置，根据图像判断的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意，当时，，当时，， 在点，中， ∵， ∴当时，， ∴点符合题意； 在点，中， ∵， ∴当时，， ∴点符合题意； 故答案为：，； ②一次函数是关于“相关函数”， ∴当时，，当时，， ∴时，，， ∵“相关函数”的图象是轴对称图形， ∴当时，两个函数的值相等，即， 解得； （2）解：①已知，，，，如图所示， 二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，，与原函数图像关于轴对称， 当时，，与原函数一致， ∴二次函数的“相关函数”图象要与四边形始终有2个公共点， 需的图像与四边形始终有2个公共点， 结合图形得到，， 令，， 解得，， ∴如图所示，与四边形只有一个交点， 二次函数与四边形始终有2个交点， 则，解得， ∴的取值范围为； ②， 由题意得，当时，， 当时，， 作二次函数与的图像如下图， 情况一：当时的图象与线段有两个交点，时的图象与线段没有交点，如图， ∴， 解得， 情况二：当时的图象与线段有一个交点，时的图象与线段有一个交点，如图， ∴， 解得， 综上所述，的取值范围为或． 10．已知抛物线（）与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式． (2)如图（1）：D为第一象限内抛物线上一点，过点D作y轴的平行线交x轴于点E，连接、交于点P，连接，若，求点D的坐标； (3)如图（2）：点M、N分别是第一象限和第三象限内抛物线上的点，直线分别交x轴、y轴于点F、T，直线交x轴于点G，若，且，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把，代入求解即可； （2）过点C作轴交于点Q，设，根据，可求得，根据相似三角形的判定与性质，求得，则，再求出直线的解析式，并将代入，求得，即可求得答案； （3）设，，分别求出直线、直线的解析式，可得点G，F，T坐标，根据，可得，根据可得，进而求出n值，将代入，求出m值，即可得解． 【详解】（1）解：把，代入得：， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：如图，过点C作轴交于点Q， 对于，令，则， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 将代入， 得， ， 解得或， 点D在第一象限， ， 将代入，可得， ； （3）解：过点M作轴于点H， 设，，直线的解析式为， 得， 解得， 直线的解析式为， 令，可得， ， 令，则 解得， ， ， ， ，， ， ， ， ， 又， ， 整理得， 设直线的解析式为， 得， 解得， 直线的解析式为， 令，则 解得， ， ， ， ， 即， ， 又， ， 化简得， 解得， 将代入，得， 解得（舍去）或， 将，，代入， 可得直线的解析式为． 11．在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，先随增大而减小，后随增大而增大，求的取值范围； (3)将抛物线向上平移个单位（），得到图形，当时，图形与直线有且只有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线的性质求解即可； （3）求出直线的解析式为，将抛物线向上平移个单位（）得到，联立解析式得到，令，则问题转化为与在上只有一个交点，结合图象即可求解． 【详解】（1）解：将，代入抛物线得， 解得， ； （2），， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，抛物线中随增大而减小，当时，随增大而增大， 当时，先随增大而减小，后随增大而增大， ， 解得； （3）设直线的解析式为，将，代入得， 解得， 直线的解析式为， 将抛物线向上平移个单位（）得到， 联立， 得到， 令，则问题转化为与在上只有一个交点， 当时，；当时，；当时，； 由图象可知，要使只有一个交点，的取值范围为或，即或． 【点睛】掌握二次函数的图象与性质，并且数形结合是解题的关键． 12．在平面直角坐标系中中，抛物线与轴只有一个交点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是轴上一点， ①若在抛物线上存在点，使得，求点的坐标． ②抛物线与直线交于点，（点在点的左侧），将此抛物线在点，（包含点和点）之间的部分沿轴向左平移个单位后得到的图像记为，若在图像上存在点，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或； 【分析】（1）根据抛物线与轴只有一个交点，求出m即可； （2）设，点在轴上，，函数与有交点，带入求解即可；做出图形，观察图像变化可知． 【详解】（1）抛物线与轴只有一个交点， ， 解得， ； （2）①设，点在轴上，， ， ， 当时， ， 即：， ，无实数解，不合题意， 当时， ， 即： 解得， 当，， 当，， 或； ②如图抛物线与直线交于点， 将此抛物线在点，（包含点和点）之间的部分沿轴向左平移个单位后得到的图像记为若在图像上存在点，使得， 所以：当图像右侧经过时：向左平移4个单位，即， 由图像可知，符合题意的n的取值范围是． 【点睛】本题考查了代入法求二次函数解析式、二次函数与一次函数的交点综合问题；正确求出函数解析式，利用函数图像与交点的关系求交点时阶梯的关键． 13．如图1，抛物线经过点、，对称轴为直线，直线与x轴所夹锐角为，与y轴交于点E． (1)求抛物线和直线的表达式； (2)将抛物线沿二、四象限的角平分线平移，使得平移后的抛物线与直线恰好只有一个交点，求抛物线平移的距离； (3)如图2，将抛物线沿直线翻折，得到新曲线，与y轴交于M、N两点，请直接写出点坐标． 【答案】(1)和 (2)平移的距离是单位 (3) 【分析】本题考查二次函数图象和性质，一次函数图象和性质，一元二次方程，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键； （1）根据题意，可得抛物线对称轴为直线，再将，，代入表达式，根据题意，再求解一次函数解析式，即可求解； （2）根据题意，分情况若抛物线向左上方平移，若抛物线向右下方平移分别讨论，即可求解； （3）根据题意，设点关于的对称点为H，连接，则，进而可得，然后代入函数解析式求解即可. 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线，经过点， ∴抛物线 经过点， 设抛物线表达式为， 将，，代入表达式， ， ∴抛物线为， ∵直线 与轴所夹锐角为， ， ， 设直线表达式为，把，代入， 得，解得 直线：， ∴抛物线和直线的表达式分别为：和； （2）解：①若抛物线向左上方平移，则抛物线与直线始终有两个交点，不合题意； ②若抛物线向右下方平移， ∵二四象限角平分线函数的表达式：， ∴抛物线向右平移单位的同时向下平移单位， ∵原抛物线 为， ∴其顶点为， ∴平移后顶点为， ∴平移后抛物线表达式为， 令， 若平移后抛物线与直线只有一个交点， 则，解得， 平移的距离为个单位； （3）解：设点关于的对称点为H，连接，如图，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点H在抛物线上， ∴， 解得：或（舍去）； ∴， ∴ ∴点坐标为：. 14．如图1，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，P为线段下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交于点M，作轴交y轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，连接、，在抛物线上是否存在一点Q，使得，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为4，此时 (3)存在，或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用． （1）利用抛物线经过的点以及对称轴的信息，通过解方程组求出抛物线的解析式； （2）先求出直线的解析式，再设出点P的坐标，进而表示出与的长度，得到关于点P横坐标的函数表达式，根据二次函数的性质求出最大值； （3）分点Q在上方和下方两种情况，通过构造全等三角形，利用全等三角形的性质以及角度关系来确定点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：∵A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴， 当，， ∴， 设直线解析式为：， ∴， 解得 ∴直线表达式为：， 设， 则由题意得：， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值为4，此时． （3）解：①当Q点位于上方时，在上取一点D，使得，连接并延长交抛物线与点Q， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴此时使得， ∵， ∴ ∵， 同上可求直线得解析式为， 联立，解得：或， ∴； ②当Q点位于下方时，如图，作轴，作于点F，与抛物线的交点为E，连接， ∵， ∴当时，， 解得：或， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则点E与点Q重合， ∴， 综上所述：或． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接，．动点P从A点出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从B点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒． (1)　　，　　； (2)在P，Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)已知点M是该抛物线对称轴上一点，当点P运动1秒时，若要使得线段的值最小，则试求出点M的坐标． 【答案】(1)2，3 (2)当时，四边形的面积最小，最小值为4 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴，垂足为E，利用表示出四边形的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可； （3）直接利用对称点的性质得出M点位置，进而得出答案． 【详解】（1）∵二次函数的图象经过点A，B， 则 ， 解得：； 故答案为：2；3； （2）令，则有，即有； ∵，，， ∴，，即，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由点P、Q的运动可知：，， 结合，可得：， 即：， 过点P作轴，垂足为H，如图， ∴，即， ∴ ， ∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，且， ∴即，， ∴当时，四边形的面积最小，最小值为4； （3）由（2）可知，当时，可得点P的坐标为（2，1）， 根据抛物线的对称性可知，点A，B关于对称轴：对称， 连接，与抛物线对称轴交于点M，点M即为所求， ∵，， ∴利用待定系数法可得直线的解析式为：， 当时，． 即点M的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称最值问题，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二次函数常考几何问题 常考题型·精准突破 考点一 二次函数常考几何问题 题型1 二次函数的面积问题 题型2 二次函数的平移问题 题型3 二次函数的倍角问题 题型4 二次函数的45°角问题 题型5 二次函数的旋转问题 题型6 二次函数的翻折问题 题型7 二次函数与线段交点问题 题型8 二次函数的最值问题 题型9 二次函数的存在性问题 题型10 二次函数的新定义问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次函数常考几何问题 ◆题型1 二次函数的面积问题 1．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．点是第一象限抛物线上的一点．若点的横坐标为，则的面积为______． 2．已知如图，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点P是抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标． 3．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点． (1)求抛物线的函数表达式与顶点坐标； (2)点P是抛物线上位于第一象限内的一动点，连接，交线段于点Q，若，求点 P 的坐标． ◆题型2 二次函数的平移问题 4．抛物线与x轴交于A、B两点，且．将抛物线沿y轴平移m个单位后，与线段（不含端点）一定有交点，则抛物线平移方式及m的取值范围是（   ） A．向上平移， B．向下平移， C．向上平移， D．向下平移， 5．在平面直角坐标系中，已知抛物线L：经过，与y轴交于点B，连接，． (1)求a的值及点B的坐标； (2)将抛物线L平移得到抛物线，设平移后点A，B的对应点分别为，若平移后抛物线的顶点落在x轴上，且，求平移后抛物线的表达式． 6．如图，抛物线与轴交于两点（点在点右侧），与轴交于点，且经过点，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段．若抛物线关于轴对称得到抛物线，将平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线平移的方式和距离； (3)已知点，线段以每秒1个单位长度的速度向左平移，同时抛物线以每秒1个单位长度的速度向下平移，秒后，若抛物线与线段有两个交点，求的取值范围． ◆题型3 二次函数的倍角问题 7．已知：如图，抛物线内的的三个顶点都在抛物线上：其中点为抛物线的顶点，点的坐标为，点的坐标为． （1）___________． （2）在轴上有一点，则点的坐标为___________． 8．如图，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若是直线下方抛物线上任意一点，过点作轴于点，与交于点，求线段长度的最大值． (3)若点在轴上，且，直接写出点的坐标． 9．已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，如图． ①求的面积； ②点在抛物线上，点在线段上（不与端点，重合），若，求点的坐标． ◆题型4 二次函数的45°角问题 10．如图，抛物线经过点、，交轴于点，点是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点的坐标为时，求四边形的面积； (3)若，求点的坐标． 11．如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，为抛物线上的一个动点，且点的横坐标为． (1)直接写出抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)若，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值； (3)在第一象限的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． ◆题型5 二次函数的旋转问题 13．小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=x2-3x-2的“旋转函数”． 小明是这样思考的：由函数y=x2-3x-2可知，a1=1，b1=-3，c1=-2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”． 请参考小明的方法解决下面问题： (1)直接写出函数y=x2-3x-2的“旋转函数” ； (2)若函数与y=x2-2nx+n互为“旋转函数”，求(m+n)2020的值； (3)已知函数的图象与x轴交于点A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数互为“旋转函数” 14．定义：函数图象上的点，把满足纵坐标是横坐标的2倍的点叫作这个函数的“巧点”，例如是函数的“巧点”：是函数的“巧点”． (1)函数的图象上是否存在“巧点”？若存在，请求出函数的“巧点”；若不存在说明理由； (2)动点分别在直线上，直线过直线的“巧点”，在直线上分别取点，试求的最小值； (3)将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有一个“巧点”，求点的坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点A(﹣2，0)、B（点A在点B右侧），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2． （1）填空：点B的坐标是__________； （2）连接AC，BC，若△ABC的面积为24，求此抛物线的解析式； （3）在第（2）小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点．连接CQ，将△ACQ绕点Q旋转180°得到△FGQ，点C恰好旋转到点G，连接AG，CF．当△FGQ为直角三角形时，求点Q的坐标． ◆题型6 二次函数的翻折问题 16．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示： 【问题】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，则_____，点的坐标为_____． 【操作】 （2）将图①中的抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，如图②．直接写出翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式：_____ 【探究】 （3）在图②中，翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象，则新图象对应的函数随的增大而增大时，的取值范围是_____． 【应用】结合上面的操作与探究，继续思考： （4）如图③，若抛物线与轴交于，两点（在左），将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，同样，也得到了一个“W”形状的新图象． ①求、两点的坐标；（用含的式子表示） ②当时，若新图象的函数值随的增大而增大，直接写出的取值范围． 17．定义：将抛物线（，）沿x轴向下翻折得到的图象称为“逆翻折曲线”，如图是一条“逆翻折曲线”，则下列结论：①；②；③当或时y随x的增大而增大；④关于x的方程有三个实数根．其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．如图所示，拋物线与轴交于点和点，将拋物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，顶点落在点处． (1)求点和点的坐标； (2)学校举行班徽设计比赛，九年级（5）班的小明在解答此题时顿生灵感：过点作轴的平行线交抛物线于C，D两点，将翻折后得到的新图象在直线以上的部分去掉，设计成一个“W”形图案．请你计算这个“W”形图案的高与宽的比； (3)现有直线：与（2）中这个“W”形图案有且只有一个交点，请求出的取值范围． ◆题型7 二次函数与线段交点问题 19．已知抛物线，为平面直角坐标系原点，点坐标为． (1)如图，若抛物线过点，与轴的一个交点为，顶点为，直线与轴的交点为． ①求该抛物线的关系式； ②求的面积； ③当时，函数的最大值为，最小值为，求的值． (2)若抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围． 20．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点 (1)若该二次函数图象的顶点坐标为，求抛物线的解析式； (2)设该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为若，，求面积的最大值，并说明此时b的值； (3)已知，点，，若该二次函数图象与线段只有一个交点，直接写出b的取值范围． 21．已知二次函数，其图像与轴的交点记为C． (1)当时，记二次函数与轴的交点为，求的面积 (2)已知，线段与二次函数有两个不同的交点，求实数的取值范围． (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． ◆题型8 二次函数的最值问题 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接，．动点P从A点出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从B点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒． (1)　　，　　； (2)在P，Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)已知点M是该抛物线对称轴上一点，当点P运动1秒时，若要使得线段的值最小，则试求出点M的坐标． 23．已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点在抛物线上，点在轴上，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标； （3）已知点，，在抛物线对称轴上，找一点，使的值最小．此时，在抛物线上是否存在一点，使的值最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，顶点为D，对称轴交x轴于点E． （1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标． （2）直线AC下方的抛物线上有一动点P，过点P作轴交AC于N，求线段PN的最大值及此时点P的坐标． （3）直线AC下方的抛物线上有一动点P，过点P作于H，求线段PH的最大值及此时点P的坐标． （4）直线AC下方的抛物线上有一动点P，过点P作轴交AC于N，过点P作于H，求周长的最大值及此时点P的坐标． （5）在抛物线对称轴上找一点N，使得的周长最小，求周长的最小值及此时点N的坐标． （6）在线段OA上找一点N，连接NC，作交AC于点M，求CM的最小值． （7）在OC上找一点M，使值最小，求出最小值． （8）在抛物线对称轴上有两动点N、M（点N在点M上方），且，求四边形周长的最小值及此时M的坐标． （9）在对称轴上找一点N，使得最大，求点N的坐标． ◆题型9 二次函数的存在性问题 25．抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，P是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的函数关系式和直线的函数关系式． (2)若点D为线段上的动点，过点D作轴，交于点G．在运动过程中，是否存在这样的点G，使得的面积有最大值．若存在，请求出此时点G的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若与相交于点F，判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 26．如图，已知抛物线 的对称轴为，且抛物线经过， (1)若直线经过两点，求直线所在直线的解析式； (2)抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出此点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为直角三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． (4)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． 27．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过边长为4的等边三角形的三个顶点，已知等边三角形的边在轴的正半轴上，分别是边上的动点，且，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)如图2，是轴上方二次函数的图象上的一个动点，连接．问当时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值，若不存在，请说明理由； (3)如图3，在等边三角形的边上取中点，连接．问的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值，若不存在，请说明理由． ◆题型10 二次函数的新定义问题 28．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，如点为二倍点． 【定义理解】 (1)下列函数图像上存在二倍点的有__________．（填序号） ①；②；③ 【定义应用】 (2)已知二次函数 ①求该函数图像上的二倍点； ②直接写出不等式的解集； 【问题解决】 (3)无人机在各行各业都有广泛应用．某地利用无人机投放救灾物资，无人机投放物资包裹的竖直高度（米）与离投放点的水平距离（米）的关系为，当无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为5米，试判断该抛物线上是否存在二倍点，若存在，请联系以上情境说明该二倍点表达的实际意义． 【拓展提升】 (4)若抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点，求的取值范围． 29．对于二次函数，定义其图象上点的“点值”为．已知该抛物线过点，顶点的“点值”为，且与x轴的两交点的“点值”之和为4，对于上述二次函数，下列结论中正确的有（   ） ①； ②其图象与x轴的两个交点均在y轴右侧； ③其图象上有两个点的“点值”为0； ④存在实数，使得函数图象上有且仅有一个点以为“点值”． A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④ 30．对于平面直角坐标系中的两点和给出如下定义：如果，或者，则称点M到点N的距离很远． 已知点，． (1)在点，，中到点A的距离很远的是点______； (2)若抛物线上的任意一点到A，B两点的距离都很远，则的取值范围是______； (3)点P在的内部或边上，点Q在直线上，若点P到O，A，B，Q四点的距离都很远，直接写出点P运动区域的面积的最小值及此时的点Q的坐标. 31．在平面直角坐标系内，某函数的自变量取值范围，函数值的取值范围为，给出如下定义：若称该函数为“正型函数”，若称该函数为“横型函数”，若称该函数为“纵型函数”． (1)下列函数中，是“纵型函数”的有（写出有所正确的序号）______． ①    ② ③    ④． (2)已知函数是“纵型函数”，求a的取值范围． (3)若函数是“纵型函数”，直接写出m的取值范围． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与线段有且只有一个交点时，则t的取值范围是______． 2．将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的取值范围为______． 3．在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，点，，当L与线段有交点时，h的取值范围是______． 4．已知抛物线，点，点，若抛物线与线段有且只有一个交点，则的取值范围为________ 5．二次函数的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是________． 6．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，若点M是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积的最大值为________． 7．已知二次函数（）经过两点． (1)对称轴方程为 ，用含a的代数式表示c，则 ； (2)一次函数与有且只有3个公共点时，求a的值； (3)过点作垂直于x轴的直线分别与一次函数，二次函数交于E，F两点，满足当的时候，总有E，F两点之间距离小于，求a的取值范围． 8．已知抛物线C：（）． (1)直接写出抛物线C的对称轴； (2)若点和均在抛物线C上，且，直接写出n的取值范围； (3)将抛物线C在y轴右侧的部分关于直线翻折，y轴及左侧部分保持不变，得到新图象G．已知点和均在图象G上，求的最小值． 9．在平面直角坐标系中，对于给定的两个关于x的函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，则称这样的两个函数互为“相关函数”． (1)①在点，，，中， 在正比例函数的“相关函数”图象上的点是________； ②若一次函数的“相关函数”的图象是轴对称图形，则b的值为________； (2)已知，，，． ①若二次函数的“相关函数”图象与四边形始终有2个公共点，求h的取值范围； ②若二次函数的“相关函数”的图象与线段有2个公共点，直接写出n的取值范围． 10．已知抛物线（）与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式． (2)如图（1）：D为第一象限内抛物线上一点，过点D作y轴的平行线交x轴于点E，连接、交于点P，连接，若，求点D的坐标； (3)如图（2）：点M、N分别是第一象限和第三象限内抛物线上的点，直线分别交x轴、y轴于点F、T，直线交x轴于点G，若，且，求直线的解析式． 11．在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，先随增大而减小，后随增大而增大，求的取值范围； (3)将抛物线向上平移个单位（），得到图形，当时，图形与直线有且只有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 12．在平面直角坐标系中中，抛物线与轴只有一个交点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是轴上一点， ①若在抛物线上存在点，使得，求点的坐标． ②抛物线与直线交于点，（点在点的左侧），将此抛物线在点，（包含点和点）之间的部分沿轴向左平移个单位后得到的图像记为，若在图像上存在点，使得，求的取值范围． 13．如图1，抛物线经过点、，对称轴为直线，直线与x轴所夹锐角为，与y轴交于点E． (1)求抛物线和直线的表达式； (2)将抛物线沿二、四象限的角平分线平移，使得平移后的抛物线与直线恰好只有一个交点，求抛物线平移的距离； (3)如图2，将抛物线沿直线翻折，得到新曲线，与y轴交于M、N两点，请直接写出点坐标． 14．如图1，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，P为线段下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交于点M，作轴交y轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，连接、，在抛物线上是否存在一点Q，使得，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接，．动点P从A点出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从B点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒． (1)　　，　　； (2)在P，Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)已知点M是该抛物线对称轴上一点，当点P运动1秒时，若要使得线段的值最小，则试求出点M的坐标． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $