专题11 双曲线的几何性质（重难点讲义）数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学双曲线的几何性质，系统梳理范围、对称性、顶点等基础性质，衔接渐近线方程、离心率公式及参数关系，延伸至通径、焦点三角形等综合应用，构建从基础到难点的学习支架。 资料以重点与难点目标分层设计，通过典例变式训练，引导学生用数学眼光观察渐近线特征，用数学思维分析离心率范围，用数学语言精准表达参数关系。课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，提升解题能力。

专题11 双曲线的几何性质 重点目标： 1. 熟练掌握双曲线的范围、对称性、顶点、实轴、虚轴等基础几何性质，能由标准方程快速读取基础几何量. 2. 熟记双曲线渐近线方程、离心率公式，理解离心率的几何意义，掌握双曲线开阔程度与离心率的对应关系. 3. 牢固掌握双曲线参数关系，能实现三个参数、离心率的快速互化计算. 4. 掌握双曲线通径、渐近线、焦点等核心必考结论，能利用基础性质求解标准方程、线段长度、基本参数. 难点目标： 1. 精准区分双曲线与双曲线的几何性质差异，突破渐近线、参数公式、离心率范围的高频混淆难点. 2. 熟练求解双曲线离心率的取值范围，掌握几何约束、不等式构造、临界分析的解题思路. 3. 掌握双曲线焦点三角形、通径、渐近线综合题型，能灵活运用二级结论解决求值、最值问题. 4. 攻克含参双曲线的几何性质问题，能根据参数变化分析离心率、渐近线、图像的变化规律. 5. 综合运用双曲线几何性质、不等式、平面几何知识解决压轴、中档综合题型.. 1、 重点知识 （一）双曲线基础几何性质 · 核心参数关系：双曲线恒满足 （与双曲线严格区分）. 1. 对称性：双曲线关于x轴、y轴对称，同时关于原点中心对称，对称中心为双曲线中心. 2. 取值范围： 焦点在x轴 ： 或 ，y可取任意实数. 焦点在y轴 ： 或 ，x可取任意实数. 3. 顶点坐标：双曲线仅有两个顶点，仅存在实轴顶点，无虚轴顶点. 焦点在x轴：顶点 ，实轴在x轴，虚轴在y轴. 焦点在y轴：顶点 ，实轴在y轴，虚轴在x轴. 4. 轴长：实轴长 ，虚轴长 . （二）渐近线核心考点 1. 定义：双曲线无限趋近但永不相交的两条直线，是双曲线最核心的特征性质（双曲线无渐近线）. 2. 标准方程对应渐近线： 渐近线：. 渐近线：. 3. 速求方法：将双曲线标准方程右侧的1改为0，因式分解即可直接得到渐近线方程. （三）离心率基础性质 1. 公式：. 2. 取值范围：（区别于双曲线）. 3. 几何意义：离心率越大，越大，双曲线开口越开阔；离心率越接近1，双曲线开口越狭长. 4. 衍生公式：，可由a、b直接求解离心率. （四）通径基础结论 1. 定义：过双曲线焦点且垂直于实轴的弦，称为双曲线通径. 2. 通径定值：. 3. 性质：通径是双曲线最短的焦点弦. 2、 难点知识 （一）核心易错难点 1. 双曲线双曲线公式混淆：记错平方关系、离心率范围，是最核心失分点. 2. 渐近线方程写错：混淆焦点在x轴、y轴的渐近线斜率，位置颠倒. 3. 顶点认知误区：双曲线只有实顶点，无虚顶点，不可将虚轴端点当作顶点. 4. 离心率范围误区：默认离心率任意正数，忽略双曲线的硬性约束. 5. 范围书写错误：双曲线是双向区间，极易漏写一侧范围，或误用闭区间. （二）焦点三角形拔高难点 · 设双曲线上任意一点，两焦点为，，构成双曲线焦点三角形. 6. 边长核心关系：. 7. 面积定值公式： 8. 最值规律：点P越靠近顶点，顶角越大，三角形面积越大. 9. 综合考法：结合余弦定理、基本不等式求解角度范围、面积最值、离心率范围. （三）离心率范围求解难点（期末压轴高频） 1. 几何约束法：利用焦点三角形三边关系、双曲线上点的范围构造不等式. 2. 渐近线约束法：利用直线与双曲线位置关系、夹角约束求解离心率区间. 3. 含参范围法：结合参数取值范围，约束比例关系，精准求解离心率范围. （四）渐近线综合拔高难点 1. 渐近线夹角问题：利用渐近线斜率求解两条渐近线夹角，结合角度约束求参数. 2. 点到渐近线距离定值：双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值. 3. 渐近线与离心率联动：由渐近线斜率快速推导离心率大小. （五）高考深度拓展拔高知识 1. 等轴双曲线拓展：，渐近线为，离心率恒为，高考高频特殊模型. 2. 共轭双曲线拓展：实虚轴互换的双曲线，渐近线相同，离心率倒数平方和为1，多选压轴常用. 3. 中点弦点差法结论：双曲线弦中点斜率公式，快速解决弦中点、定点、定值问题. 4. 双曲线最值模型：焦点弦最值、双曲线上动点到定点与定直线距离最值综合问题. 5. 位置关系综合：直线与双曲线、双曲线与双曲线嵌套综合，利用几何性质简化运算. （六）本节高频失分点汇总 1. 混淆双曲线与双曲线公式、离心率范围，造成整题错误. 2. 焦点轴判断错误，导致渐近线方程、顶点坐标全部写错. 3. 求解离心率范围未结合固有范围，区间取值错误. 4. 乱用焦点三角形面积公式，与双曲线混淆. 5. 忽略双曲线定义域，书写单调区间、取值范围不完整. 6. 含参双曲线未分类讨论焦点位置，答案遗漏情况. 题型01 由双曲线方程研究其几何性质 【典例】已知双曲线，则下列选项正确的是（   ） A．的离心率为 B．的渐近线方程为 C．的焦点坐标为和 D．的焦点到渐近线的距离为 【变式】已知点为双曲线的焦点，则下列说法正确的是（   ） A．的实轴长为4 B．的两条渐近线夹角大于60° C．到的渐近线的距离为4 D．上的点到点的距离的最小值为2 题型02 由双曲线几何性质求标准方程 【典例】（1）已知双曲线过点，渐近线方程为，求该双曲线的标准方程． （2）求经过点的双曲线的标准方程． 【变式】求适合下列条件的双曲线的标准方程，并画出草图． (1)一个焦点为，渐近线方程为； (2)焦距为20，离心率为，顶点在x轴上； (3)与双曲线共渐近线，且经过点． 题型03 与双曲线渐近线有关的问题 【典例1】已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且，则双曲线的渐近线的方程为____________． 【典例2】已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上的一个动点，且“”的最小值是，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知双曲线的右焦点为为双曲线右支上一点，O为坐标原点，若，则C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 题型04 双曲线的离心率问题 角度1：求离心率的值 【典例】已知双曲线 焦距为，顶点到渐近线的距离为，则离心率为（    ） A． B． C． D．2 【变式】已知点，是双曲线的左､右顶点，过点作倾斜角为的直线交于点，点是线段的中点.若，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 角度2：求离心率的取值范围 【典例】双曲线的离心率的取值范围为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式】设双曲线的左右焦点分别为.过左焦点的直线与双曲线的左支交于点，交双曲线的右支于点，若满足，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型05 双曲线有关的位置关系问题 角度1：直线与双曲线的交点个数问题 【典例1】下列直线中与双曲线有两个不同交点的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 【典例2】过点 作直线l，使l与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线l共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式2】过点作直线，使它与双曲线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 角度2：直线与双曲线相交弦长问题 【典例1】过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为______． 【变式1】已知双曲线C: （a>0）的右焦点为F，过点F作直线l与C交于A，B两点，若满足的直线l有且仅有3条，则实数a的值为（   ） A．2 B． C． D．或2 【典例2】已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率． (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)若直线l：交于A，B两点，且，求直线的方程． 【变式2】已知双曲线：（），直线与双曲线交于，两点． (1)若点是双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程； (2)若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，求双曲线的离心率． 角度3：直线与双曲线相交形成三角形面积问题 【典例】已知，直线相交于点，且，点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线交曲线于两点，直线与曲线的另一个交点为，线段的中点为的面积为，求直线的方程． 【变式】已知，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是． (1)求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (2)若斜率为的直线交曲线于，两点，为线段的中点，为坐标原点，射线交曲线于点，且，求的面积． 题型06 双曲线的中点弦与点差法 【典例1】设为双曲线上两点，若线段AB的中点是，则直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【典例2】过双曲线内一点且斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被平分，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知直线过双曲线的左焦点，且与的左､右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 题型07 双曲线的综合问题 【典例】已知双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线方程是，点，且的面积为6． (1)求双曲线C的标准方程； (2)直线与双曲线C交于不同的两点P，Q，若，求实数m的取值范围． 【变式】已知双曲线过点，且与的两个顶点连线的斜率之和为4． (1)求的方程； (2)过点的直线与双曲线交于，两点（异于点）．设直线与轴垂直且交直线于点，若线段的中点为，证明：直线的斜率为定值，并求该定值． 【巩固训练】 1．已知双曲线，则下列结论正确的是（） A．双曲线的焦距为5 B．双曲线的离心率为 C．双曲线的渐近线方程为 D．双曲线的实轴长为6 2．中心在原点，顶点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线（，）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的顶点到一条渐近线的距离为实轴长的，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 5．过点作直线，使它与双曲线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 6．已知双曲线的右焦点为，过点且斜率为3的直线与双曲线分别交于两点，若是线段的中点，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）已知双曲线的方程为（，），则随着m的变化而变化的是（    ） A．顶点坐标 B．渐近线方程 C．焦距 D．离心率 8．（多选）已知曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线可以表示圆 B．当时，曲线为双曲线，渐近线为 C．若表示双曲线，则或 D．当时，该曲线的焦点坐标为和 9．如果直线与双曲线有两个不同的交点，那么斜率k的取值范围是______. 10．已知双曲线C的中心在原点，且过点，分别根据下列条件求C的标准方程． (1)C的离心率为； (2)焦点在x轴上，且点在C的渐近线上． 11．已知双曲线的左、右焦点分别是，，点在双曲线C上，且． (1)求双曲线C的标准方程； (2)直线与双曲线C的左支交于A，B两点，直线AP，BP分别与轴交于M，N两点，且，试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【强化训练】 1．已知圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 2．设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点满足，则该双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 3．两条渐近线为，且截直线所得弦长为的双曲线方程为（） A． B． C． D． 4．已知双曲线过点，渐近线方程为，圆C经过双曲线的一个顶点和一个焦点且圆心在双曲线上，则圆心到该双曲线的中心的距离是（   ） A． B． C．4 D． 5．（多选）已知双曲线，则下列结论正确的是（    ） A．m的取值范围是 B．C的焦距与m的取值有关 C．存在实数m，使得点在C上 D．若C的离心率不小于2，则m的取值范围为 6．（多选）已知P是双曲线C：上的动点，，分别为C的左、右焦点，点，则下列说法正确的是（    ） A．C的渐近线方程为 B．直线与C的右支有2个交点 C．当时， D．当点P在C的右支上时，的最小值为 7．过点的直线与双曲线相交于，两点，且为的中点，则直线的方程为______． 8．已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若，则双曲线的离心率为______. 9．已知双曲线的两个焦点为，，且的渐近线方程为. (1)若点在上，且，求； (2)设的左、右顶点分别为，，过点的直线与的右支交于点（异于），且关于的对称点为，若，求直线的斜率. 10．已知椭圆C经过点，且与双曲线共焦点. (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C右焦点作直线l交椭圆C于，两点，交轴于点，且记，，求证：为定值. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 双曲线的几何性质 重点目标： 1. 熟练掌握双曲线的范围、对称性、顶点、实轴、虚轴等基础几何性质，能由标准方程快速读取基础几何量. 2. 熟记双曲线渐近线方程、离心率公式，理解离心率的几何意义，掌握双曲线开阔程度与离心率的对应关系. 3. 牢固掌握双曲线参数关系，能实现三个参数、离心率的快速互化计算. 4. 掌握双曲线通径、渐近线、焦点等核心必考结论，能利用基础性质求解标准方程、线段长度、基本参数. 难点目标： 1. 精准区分双曲线与双曲线的几何性质差异，突破渐近线、参数公式、离心率范围的高频混淆难点. 2. 熟练求解双曲线离心率的取值范围，掌握几何约束、不等式构造、临界分析的解题思路. 3. 掌握双曲线焦点三角形、通径、渐近线综合题型，能灵活运用二级结论解决求值、最值问题. 4. 攻克含参双曲线的几何性质问题，能根据参数变化分析离心率、渐近线、图像的变化规律. 5. 综合运用双曲线几何性质、不等式、平面几何知识解决压轴、中档综合题型.. 1、 重点知识 （一）双曲线基础几何性质 · 核心参数关系：双曲线恒满足 （与双曲线严格区分）. 1. 对称性：双曲线关于x轴、y轴对称，同时关于原点中心对称，对称中心为双曲线中心. 2. 取值范围： 焦点在x轴 ： 或 ，y可取任意实数. 焦点在y轴 ： 或 ，x可取任意实数. 3. 顶点坐标：双曲线仅有两个顶点，仅存在实轴顶点，无虚轴顶点. 焦点在x轴：顶点 ，实轴在x轴，虚轴在y轴. 焦点在y轴：顶点 ，实轴在y轴，虚轴在x轴. 4. 轴长：实轴长 ，虚轴长 . （二）渐近线核心考点 1. 定义：双曲线无限趋近但永不相交的两条直线，是双曲线最核心的特征性质（双曲线无渐近线）. 2. 标准方程对应渐近线： 渐近线：. 渐近线：. 3. 速求方法：将双曲线标准方程右侧的1改为0，因式分解即可直接得到渐近线方程. （三）离心率基础性质 1. 公式：. 2. 取值范围：（区别于双曲线）. 3. 几何意义：离心率越大，越大，双曲线开口越开阔；离心率越接近1，双曲线开口越狭长. 4. 衍生公式：，可由a、b直接求解离心率. （四）通径基础结论 1. 定义：过双曲线焦点且垂直于实轴的弦，称为双曲线通径. 2. 通径定值：. 3. 性质：通径是双曲线最短的焦点弦. 2、 难点知识 （一）核心易错难点 1. 双曲线双曲线公式混淆：记错平方关系、离心率范围，是最核心失分点. 2. 渐近线方程写错：混淆焦点在x轴、y轴的渐近线斜率，位置颠倒. 3. 顶点认知误区：双曲线只有实顶点，无虚顶点，不可将虚轴端点当作顶点. 4. 离心率范围误区：默认离心率任意正数，忽略双曲线的硬性约束. 5. 范围书写错误：双曲线是双向区间，极易漏写一侧范围，或误用闭区间. （二）焦点三角形拔高难点 · 设双曲线上任意一点，两焦点为，，构成双曲线焦点三角形. 6. 边长核心关系：. 7. 面积定值公式： 8. 最值规律：点P越靠近顶点，顶角越大，三角形面积越大. 9. 综合考法：结合余弦定理、基本不等式求解角度范围、面积最值、离心率范围. （三）离心率范围求解难点（期末压轴高频） 1. 几何约束法：利用焦点三角形三边关系、双曲线上点的范围构造不等式. 2. 渐近线约束法：利用直线与双曲线位置关系、夹角约束求解离心率区间. 3. 含参范围法：结合参数取值范围，约束比例关系，精准求解离心率范围. （四）渐近线综合拔高难点 1. 渐近线夹角问题：利用渐近线斜率求解两条渐近线夹角，结合角度约束求参数. 2. 点到渐近线距离定值：双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值. 3. 渐近线与离心率联动：由渐近线斜率快速推导离心率大小. （五）高考深度拓展拔高知识 1. 等轴双曲线拓展：，渐近线为，离心率恒为，高考高频特殊模型. 2. 共轭双曲线拓展：实虚轴互换的双曲线，渐近线相同，离心率倒数平方和为1，多选压轴常用. 3. 中点弦点差法结论：双曲线弦中点斜率公式，快速解决弦中点、定点、定值问题. 4. 双曲线最值模型：焦点弦最值、双曲线上动点到定点与定直线距离最值综合问题. 5. 位置关系综合：直线与双曲线、双曲线与双曲线嵌套综合，利用几何性质简化运算. （六）本节高频失分点汇总 1. 混淆双曲线与双曲线公式、离心率范围，造成整题错误. 2. 焦点轴判断错误，导致渐近线方程、顶点坐标全部写错. 3. 求解离心率范围未结合固有范围，区间取值错误. 4. 乱用焦点三角形面积公式，与双曲线混淆. 5. 忽略双曲线定义域，书写单调区间、取值范围不完整. 6. 含参双曲线未分类讨论焦点位置，答案遗漏情况. 题型01 由双曲线方程研究其几何性质 【典例】已知双曲线，则下列选项正确的是（   ） A．的离心率为 B．的渐近线方程为 C．的焦点坐标为和 D．的焦点到渐近线的距离为 【答案】B 【分析】根据已知条件，可知双曲线的焦点在轴上，，结合双曲线的性质判断A，B，C，根据点到直线的距离求出即可判断D. 【详解】由已知双曲线的焦点在轴上，且，，则， 所以，，. 所以的焦点坐标为、，故C项错误； 离心率，所以A项错误； 渐近线方程为与，所以B选项正确； 焦点到渐近线的距离为，所以D项错误. 故选：B. 【变式】已知点为双曲线的焦点，则下列说法正确的是（   ） A．的实轴长为4 B．的两条渐近线夹角大于60° C．到的渐近线的距离为4 D．上的点到点的距离的最小值为2 【答案】B 【分析】根据双曲线的性质直接求解即可. 【详解】由双曲线方程为，得， 所以，所以实轴长为，故A错误； 双曲线的渐近线方程为， 因为，所以渐近线的倾斜角大于小于， 所以双曲线的两条渐近线夹角大于，故B正确； 双曲线的焦点到渐近线的距离为，故C错误； 双曲线上的点到焦点的距离的最小值为，故D错误. 故选：B. 题型02 由双曲线几何性质求标准方程 【典例】（1）已知双曲线过点，渐近线方程为，求该双曲线的标准方程． （2）求经过点的双曲线的标准方程． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）结合双曲线的渐近线方程，设双曲线方程为，代入给定点即可得解. （2）设双曲线方程为，代入求解方程组即得. 【详解】（1）由双曲线的渐近线方程为，设双曲线的方程为， 而该双曲线过点，则， 所以该双曲线的标准方程为. （2）依题意，设双曲线方程为， 则，解得 所以该双曲线的标准方程为. 【变式】求适合下列条件的双曲线的标准方程，并画出草图． (1)一个焦点为，渐近线方程为； (2)焦距为20，离心率为，顶点在x轴上； (3)与双曲线共渐近线，且经过点． 【答案】(1)，    (2)，    (3)，    【分析】（1）根据渐近线方程及焦点坐标求出即可得解； （2）根据焦距及离心率求出，结合定点位置得出方程； （3）根据渐近线相同可设所求双曲线方程为，代入点即可得解. 【详解】（1）因为焦点为，渐近线方程为， 所以，， 解得，， 所以所求双曲线方程为. 草图如下：    （2）因为焦距为20，离心率为， 所以，故， 又顶点在x轴上， 所以所求双曲线方程为：. 草图如下：    （3）设所求双曲线方程为， 又双曲线经过点， 所以，解得， 所以所求双曲线方程为. 草图如下：    题型03 与双曲线渐近线有关的问题 【典例1】已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用离心率公式结合渐近线方程可解. 【详解】由题知，，解得， 又双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为. 故选：D 【变式1】已知，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且，则双曲线的渐近线的方程为____________． 【答案】 【分析】根据椭圆及双曲线的离心率公式列式计算，再求解渐近线方程即可. 【详解】设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为， 且，则，设，则，则， 则双曲线的渐近线的方程为. 故答案为：. 【典例2】已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上的一个动点，且“”的最小值是，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：根据条件，利用点到点的距离公式得到，再利用，即可求出结果；法二：利用双曲线的定义，得到，再利用的取值范围，即可求出结果. 【详解】解法一：不妨设，，，且， 则， 所以，解得，，故双曲线C的渐近线方程为. 解法二： ， 所以，解得，，故双曲线C的渐近线方程为. 故选：C. 【变式2】已知双曲线的右焦点为为双曲线右支上一点，O为坐标原点，若，则C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，取PO中点Q，连接FQ，根据三角函数定义，可得，的表达式，根据的长，可求得P点坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系，化简整理，即可得答案. 【详解】设，半焦距，取PO中点Q，连接FQ， 因为，所以， 在中，， ， 所以， 过P作PA垂直x轴，交x轴于A， 则，， 所以， 因为点P在双曲线上， 所以，整理得， 又，代入可得， 左右同除得， 令，则，所以，解得或（舍） 则，所以， 所以C的渐近线方程为，即. 故选：D 题型04 双曲线的离心率问题 角度1：求离心率的值 【典例】已知双曲线 焦距为，顶点到渐近线的距离为，则离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由双曲线的渐近线及点到直线距离公式得出，即可求解离心率． 【详解】设双曲线的渐近线为，顶点坐标为， 则顶点到渐近线的距离， 所以离心率． 【变式】已知点，是双曲线的左､右顶点，过点作倾斜角为的直线交于点，点是线段的中点.若，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先由中位线结合求得，进而求出点坐标，代入双曲线的方程，求得，即可求出离心率. 【详解】 易得是线段的中点，又点是线段的中点，则，又，则，作轴于点，又， 则，则，代入可得，解得，故离心率为. 故选：A. 角度2：求离心率的取值范围 【典例】双曲线的离心率的取值范围为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，利用双曲线的离心率公式可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】由题意有，，则，解得：． 故选：C. 【变式】设双曲线的左右焦点分别为.过左焦点的直线与双曲线的左支交于点，交双曲线的右支于点，若满足，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义得到，由可得，再结合可得. 【详解】因为，所以. 由双曲线的定义可知，， 所以. 所以在中，有，即， 解得. 因为，所以，即，所以有，即. 所以有. 故选：B. 题型05 双曲线有关的位置关系问题 角度1：直线与双曲线的交点个数问题 【典例1】下列直线中与双曲线有两个不同交点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A、D选项通过与双曲线方程联立即可判断；B、C选项由于与渐近线方程平行，所以与双曲线只有一个交点，从而可以得出结论. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，因为直线、与渐近线平行，故与双曲线只有一个交点； 联立，得，无解，故与双曲线无交点； 联立，得，，故与双曲线有2个交点； 故选：D 【变式1】已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 【答案】C 【分析】发现点在双曲线的右顶点的右边，联立直线与双曲线方程并画出图形即可得到答案. 【详解】在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象如图所示： 由图可知直线过点，它在双曲线的右顶点的右边， 联立直线与双曲线方程得，解得或， 则直线与双曲线的右支有两个公共点. 故选：C. 【典例2】过点 作直线l，使l与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线l共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】作图分析，判断点P在双曲线的外部，则符合条件的直线有和渐近线平行的直线还有切线，由此可得答案. 【详解】如图示，双曲线的渐近线为，点在双曲线外部， 则过点P和双曲线有且仅有一个公共点的直线，包括两条和渐近线平行的直线 ， 还有两条和双曲线相切的直线，因此过点P和双曲线有且仅有一个公共点的直线有4条， 故选：D. 【变式2】过点作直线，使它与双曲线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据点在双曲线上，与渐近线平行以及该点处的切线均只与双曲线有一个公共点即可求解. 【详解】当时，，所以，故点在双曲线上， 因此过点且与双曲线的两条渐近线平行的直线，只与双曲线有一个交点， 设（且） 将其代入双曲线方程可得，化简得， 令，化简得， 解得， 故过点处的切线也只与双曲线有唯一的交点， 或者由得， 当时，，故，故处的切线斜率为， 故过点经过点的直线方程为，即， 联立与可得，解得， 因此在点处的切线也只与双曲线有唯一的交点， 综上可知：过点的直线有3条与双曲线有一个交点， 故选：C 角度2：直线与双曲线相交弦长问题 【典例1】过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为______． 【答案】 【分析】根据直线与双曲线相交，由韦达定理以及弦长公式即可求解. 【详解】双曲线的右焦点为，所以直线l的方程为．由，得．设，，则，， 所以． 故答案为： 【变式1】已知双曲线C: （a>0）的右焦点为F，过点F作直线l与C交于A，B两点，若满足的直线l有且仅有3条，则实数a的值为（   ） A．2 B． C． D．或2 【答案】D 【分析】据双曲线的对称性，斜率互为相反数（且不为0）的两条直线对应的弦长相等，当直线l的斜率为0时通径长大于5不满足条件，当斜率不存在时列方程解得或，经检验满足条件. 【详解】若直线l的斜率存在且不为0，根据双曲线的对称性，斜率互为相反数（且不为0）的两条直线对应的弦长相等. 因满足条件的直线共3条，为奇数，故其中必有一条直线的斜率为0或斜率不存在. ①当直线l的斜率为0时，A，B为双曲线的左、右顶点， 由，得双曲线C的方程为， 易得过点F的通径长为，不满足条件. ②当直线l的斜率不存在时，此时AB为双曲线C过点F的通径，则， 解得或， 当时，实轴长为1，因为1<5，所以满足|AB|=5的直线有3条; 当时，实轴长为4，因为4<5，所以满足|AB|=5的直线也有3条. 故实数a的值为或2. 故选：D 【典例2】已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率． (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)若直线l：交于A，B两点，且，求直线的方程． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用双曲线的离心率和的关系求解即可； （2）利用直线和双曲线的位置关系和弦长公式求解即可. 【详解】（1）依题意，设双曲线的标准方程为，半焦距，离心率， 则， 所以双曲线的标准方程为，其渐近线方程为. （2）依题意设， 联立与的方程， 消去整理可得，则； 且，解得； 所以， 解得， 满足，符合题意； 所以直线的方程为. 【变式2】已知双曲线：（），直线与双曲线交于，两点． (1)若点是双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程； (2)若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，求双曲线的离心率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用双曲线的焦点坐标及标准方程，结合双曲线中三者的关系及双曲线的渐近线方程即可求解. （2）根据已知条件及直线的点斜式方程，将联立双曲线方程与直线方程，利用韦达定理及点在直线上，结合两点间的距离公式及双曲线的离心率公式即可求解. 【详解】（1）∵点是双曲线的一个焦点，∴， 又∵且，解得， ∴双曲线的方程为， ∴双曲线的渐近线方程为； （2）设直线的方程为且， 联立,可得， 则，∴，即， ∴ 解得，即由可得， 故双曲线的离心率为． 角度3：直线与双曲线相交形成三角形面积问题 【典例】已知，直线相交于点，且，点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线交曲线于两点，直线与曲线的另一个交点为，线段的中点为的面积为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据列出等式，化简即可； （2）设直线，与曲线的方程联立，设，利用，由韦达定理结合面积公式求出即可. 【详解】（1）设，已知， 由，得， 化简得：， 曲线的方程为. （2）依题意，过点的直线斜率不为0，设直线， 联立得， 设，则. 为的中点，为的中点， ，    ， 解得， 直线的方程为：，即. 【变式】已知，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是． (1)求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (2)若斜率为的直线交曲线于，两点，为线段的中点，为坐标原点，射线交曲线于点，且，求的面积． 【答案】(1)，点的轨迹是除去，两点的椭圆 (2) 【分析】（1）设点，由两直线斜率之积是列式化简即可得； （2）设直线方程，直曲联立，设而不解，利用弦长公式和点到直线距离求出三角形的底和高，进而求面积. 【详解】（1）设点，则，， 由已知，得， 化简可得点P的轨迹方程为， 所以点P的轨迹是除去，两点的椭圆. （2）设直线l的方程为，由联立消y可得： ， 设，，由韦达定理得， 所以， 又， 因为点N在C上，所以，化简得， 又， 点O到EF的距离， 所以． 题型06 双曲线的中点弦与点差法 【典例1】设为双曲线上两点，若线段AB的中点是，则直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，通过点差法求解直线的斜率，从而得直线方程． 【详解】设，线段的中点是， ，， ，在双曲线上，则， 两式相减得， 即， 则，所以直线方程为，即， 联立，，故直线与双曲线有两个交点， 故经检验直线方程为. 故选：D． 【变式1】直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，代入双曲线方程，两式相减可得，由题目条件经整理后可得答案. 【详解】设，，则直线l的斜率为 代入，得，两式相减得：. 又线段AB的中点为点，则. 则.经检验满足题意. 故选：D 【典例2】过双曲线内一点且斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被平分，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则有，，将两点的坐标代入双曲线方程相减，再结合的关系，可得，从而可得，从而可得答案. 【详解】解：由题意可得，且， 又因为， 所以， 即有， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 【变式2】已知直线过双曲线的左焦点，且与的左､右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点差法得，由条件知直线的倾斜角为倾斜角的两倍，代入两直线的斜率关系式即可求得的斜率. 【详解】设, 由均在上，为的中点， 得，则， ∴， ∴， 设直线的倾斜角为，则，不妨设为锐角， ∵是以为底边的等腰三角形，∴直线的倾斜角为，则. ∴， ∴，解得， ∴由对称性知直线的斜率为. 故选：D 题型07 双曲线的综合问题 【典例】已知双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线方程是，点，且的面积为6． (1)求双曲线C的标准方程； (2)直线与双曲线C交于不同的两点P，Q，若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据题意，由条件结合双曲线的关系，列出方程，即可得到结果； （2）根据题意，设，，联立直线与椭圆方程结合韦达定理，由知，列出不等式即可得到结果. 【详解】（1）由题意得，① ，② ，③ 由①②③可得，， 双曲线C的标准方程是． （2）由题意知直线l不过点A． 设，，线段PQ的中点为，连接AD 将与联立，消去y， 整理得， 由且，得，④ ，， ，． 由知，，又， ，化简得，⑤ 由④⑤，得或．由，得． 综上，实数m的取值范围是或． 【变式】已知双曲线过点，且与的两个顶点连线的斜率之和为4． (1)求的方程； (2)过点的直线与双曲线交于，两点（异于点）．设直线与轴垂直且交直线于点，若线段的中点为，证明：直线的斜率为定值，并求该定值． 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为2 【分析】（1）由与的两个顶点连线的斜率之和为4得出，再将代入的方程得出的方程； （2）联立直线和双曲线方程结合韦达定理得出，再由点坐标得出，最后由结合证明直线的斜率为定值. 【详解】（1）双曲线的两顶点为，所以，，即， 将代入的方程可得，，故的方程为． （2）依题意，可设直线，，． 与联立，整理得， 所以，，解得，且， ，，所以． （*） 又，所以的坐标为， 由可得，， 从而可得的纵坐标 ， 将（*）式代入上式，得，即． 所以，， 将（*）式代入上式，得． 【巩固训练】 1．已知双曲线，则下列结论正确的是（） A．双曲线的焦距为5 B．双曲线的离心率为 C．双曲线的渐近线方程为 D．双曲线的实轴长为6 【答案】D 【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】双曲线方程为，则，，所以. 焦距为，A错误， 离心率，B错误， 渐近线方程为，C错误， 实轴长为，D正确. 故选：D 2．中心在原点，顶点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可求出直线与轴的交点，得到双曲线的焦点，再根据条件双曲线为等轴双曲线即可得出结论． 【详解】因为双曲线的中心在原点，顶点在轴上，所以双曲线的焦点在轴上， 又因为双曲线的一个焦点在直线上，令，得， 所以，又，所以等轴双曲线的方程为. 故选：D. 3．已知双曲线（，）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由离心率求出，进而求出渐近线方程. 【详解】由双曲线的离心率为，得，解得， 而曲线的渐近线方程为，即， 所以该双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 4．已知双曲线的顶点到一条渐近线的距离为实轴长的，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】由题意得出的关系后求解 【详解】因为双曲线C的顶点到一条渐近线的距离为， 所以，所以， 所以，双曲线C的离心率. 故选：B 5．过点作直线，使它与双曲线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据点在双曲线上，与渐近线平行以及该点处的切线均只与双曲线有一个公共点即可求解. 【详解】当时，，所以，故点在双曲线上， 因此过点且与双曲线的两条渐近线平行的直线，只与双曲线有一个交点， 设（且） 将其代入双曲线方程可得，化简得， 令，化简得， 解得， 故过点处的切线也只与双曲线有唯一的交点， 或者由得， 当时，，故，故处的切线斜率为， 故过点经过点的直线方程为，即， 联立与可得，解得， 因此在点处的切线也只与双曲线有唯一的交点， 综上可知：过点的直线有3条与双曲线有一个交点， 故选：C 6．已知双曲线的右焦点为，过点且斜率为3的直线与双曲线分别交于两点，若是线段的中点，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理求得的坐标，利用，列出方程得出的关系，进而得渐近线方程. 【详解】直线方程为， 与联立得， 设，则， ， 则，即， ∵，∴， 整理得，即 令，则，得，解得， 所以，即， 则双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 7．（多选）已知双曲线的方程为（，），则随着m的变化而变化的是（    ） A．顶点坐标 B．渐近线方程 C．焦距 D．离心率 【答案】ACD 【分析】将方程化为标准式，分和两种情况讨论，求，进而可得顶点坐标、焦距、渐近线方程以及离心率. 【详解】将双曲线方程化为标准式可得． 当时，双曲线表示焦点在x轴上的双曲线，且，，， 此时顶点坐标为，渐近线方程为，焦距，离心率； 当时，双曲线表示焦点在y轴上的双曲线，且，，， 此时顶点坐标为，渐近线方程为，焦距，离心率． 综上可得：随着m的变化而变化的是顶点坐标、焦距和离心率，故ACD正确，B错误. 故选：ACD. 8．（多选）已知曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线可以表示圆 B．当时，曲线为双曲线，渐近线为 C．若表示双曲线，则或 D．当时，该曲线的焦点坐标为和 【答案】AC 【分析】根据曲线方程的特点及圆、椭圆、双曲线的标准方程一一分析选项可得答案. 【详解】若，即时，曲线表示圆，A正确； 当时，表示双曲线，其渐近线方程为，B不正确； 若表示双曲线，则有，即或，C正确； 若，则椭圆的焦点在轴上，坐标为和，D不正确. 故选：AC. 9．如果直线与双曲线有两个不同的交点，那么斜率k的取值范围是______. 【答案】 【分析】联立直线与双曲线方程，得到关于的方程，通过分析方程得判别式确定交点个数，进而求出的取值范围. 【详解】联立直线与双曲线方程，整理可得， 直线与双曲线有两个不同的交点，所以， 解得且，所以斜率k的取值范围是 10．已知双曲线C的中心在原点，且过点，分别根据下列条件求C的标准方程． (1)C的离心率为； (2)焦点在x轴上，且点在C的渐近线上． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用离心率得到，然后设方程求解即可；（2）由定点与渐近线得位置关系可知，显然双曲线的焦点在轴上，利用渐近线过点，得到，建立方程求解即可. 【详解】（1）由离心率为，得，又因为，得 所以可设C的方程为， ∵C过点，∴，即， ∴C的标准方程为 （2）由题意设C的方程为（，）， ∵点在C的渐近线上，∴， 又C过点，∴，两式联立解得，， ∴C的标准方程为． 11．已知双曲线的左、右焦点分别是，，点在双曲线C上，且． (1)求双曲线C的标准方程； (2)直线与双曲线C的左支交于A，B两点，直线AP，BP分别与轴交于M，N两点，且，试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)过定点，定点坐标为 【分析】（1）由双曲线定义可知，结合点在双曲线C上，求出，得到双曲线的标准方程； （2）设直线：，与双曲线的方程联立，由韦达定理得，写出直线AP，BP的方程，求得M，N两点的坐标，结合，可求得的关系式，从而得出定点坐标． 【详解】（1）由题意可得，解得 故双曲线C的标准方程为. （2）由题意可知直线的斜率不为0，设直线：， 联立，整理得 则 直线AP的方程为，令，得，则 直线BP的方程为，令，得，则 因为，所以， 整理得 又，， 所以， 则 即，即 得，解得或 当时，直线经过点P，与题意不符； 当时，直线：，则直线过定点． 故直线过定点． 【强化训练】 1．已知圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线方程得其一条渐近线的方程，由圆得圆心、半径，利用直线与圆相切列方程即可得． 【详解】由双曲线，可得其一条渐近线的方程为，， 由圆，得，则圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为，则，可得. 2．设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点满足，则该双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据条件判断点在线段的垂直平分线上，设出直线的中垂线方程，然后将直线方程分别和双曲线的渐近线方程联立，求得点的坐标，利用中点在直线上，求解的关系和离心率. 【详解】因为，则， 可得，所以点在线段的垂直平分线上， 设是的中点，则直线的斜率为，即直线的方程为， 联立方程，解得； 联立方程，解得； 不妨设，，则， 代入直线的方程可得， 且，整理可得，进而可得， 即，可得， 所以该双曲线的离心率. 3．两条渐近线为，且截直线所得弦长为的双曲线方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由渐近线方程为可设双曲线方程为，联立直线方程可得，结合韦达定理和弦长公式，即可得解． 【详解】由双曲线渐近线为，即， 可设双曲线方程为（）， 直线即，代入双曲线方程得， 整理得二次方程， 设直线与双曲线交点为、，由韦达定理得，， 直线斜率，弦长公式为， 代入已知弦长，得，两边平方得， 化简得，即，解得满足， 代回设的方程得，两边同除以，即得双曲线方程为. 4．已知双曲线过点，渐近线方程为，圆C经过双曲线的一个顶点和一个焦点且圆心在双曲线上，则圆心到该双曲线的中心的距离是（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】首先求双曲线方程，再根据条件求圆心，即可求解距离. 【详解】设双曲线方程为，代入点， 得，，所以双曲线方程为， 根据对称性不妨设圆经过双曲线的焦点，若过左顶点，则圆心所在的直线方程为与双曲线没有交点，所以应过右顶点， 所以圆心所在的直线方程为，代入，得， 所以圆心到双曲线中心的距离为. 5．（多选）已知双曲线，则下列结论正确的是（    ） A．m的取值范围是 B．C的焦距与m的取值有关 C．存在实数m，使得点在C上 D．若C的离心率不小于2，则m的取值范围为 【答案】ACD 【详解】双曲线，则需满足， 解得，故A正确； 双曲线的标准方程为，则， 故，焦距为，与无关，故B错误； 若点存在，则代入双曲线方程得：， 解得， ， 存在这样的实数，故C正确； 由题意知，即，解得， ， ，故D正确． 6．（多选）已知P是双曲线C：上的动点，，分别为C的左、右焦点，点，则下列说法正确的是（    ） A．C的渐近线方程为 B．直线与C的右支有2个交点 C．当时， D．当点P在C的右支上时，的最小值为 【答案】ACD 【分析】本题围绕双曲线的基本性质展开，结合双曲线定义、直线与双曲线位置关系、焦点三角形性质、距离最值模型逐一判断选项. 【详解】双曲线C：中，，渐近线方程为，因此选项A正确， 由，则，那么直线的斜率为， 方程为，联立双曲线方程， 消去可得，由韦达定理， 说明两根一正一负，即直线与C的右支仅有1个交点，故选项B错误. 由双曲线定义可得，两边平方可得，因为， 根据勾股定理可得， 代入可得，则，故选项C正确. 当点P在C的右支上时，由双曲线定义可得，即， 所以，当三点共线时，如图： 取得最小值，即，已知， 则，所以的最小值为，故选项D正确. 7．过点的直线与双曲线相交于，两点，且为的中点，则直线的方程为______． 【答案】 【分析】利用“点差法”求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可． 【详解】设，，则，， 两式相减得, 因为为的中点，所以，, 所以，即所求直线的斜率为1， 所以直线的方程为，即． 8．已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【分析】计算出，利用角平分线定理可求得，在中利用勾股定理可得出的值，再利用离心率公式可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】 渐近线的方程为，双曲线的右焦点为， 则，故， 易知轴为的角平分线，则点到直线、的距离相等， 故，故，， 由勾股定理，即，可得， 所以离心率. 9．已知双曲线的两个焦点为，，且的渐近线方程为. (1)若点在上，且，求； (2)设的左、右顶点分别为，，过点的直线与的右支交于点（异于），且关于的对称点为，若，求直线的斜率. 【答案】(1)； (2)直线的斜率为或． 【分析】（1）由双曲线的焦点坐标、渐近线方程以及可求得，再结合双曲线的定义即可求得，此题需要注意点只会在双曲线的左支上； （2）设出直线的斜率，用点斜式写出直线的方程，将直线与双曲线联立解方程组，求出点，再根据对称性求出点，最后用两点间的距离公式结合即可解决问题． 【详解】（1）因为双曲线的两个焦点为，，所以， 因为双曲线的渐近线方程为，所以， 因为，所以，所以，所以双曲线， 因为，所以点一定在双曲线的左支上， 由双曲线的定义得，因此，即； （2） 因为过点的直线与的右支交于点（异于），所以直线的斜率必存在，可记为且， 所以直线的方程为，设， 由可得， 可得且，于是且， 代入直线的方程得，所以点， 因为关于的对称点为，所以，所以点， 又因为，所以， 整理得，解得或，均满足，故或， 所以直线的斜率为或． 10．已知椭圆C经过点，且与双曲线共焦点. (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C右焦点作直线l交椭圆C于，两点，交轴于点，且记，，求证：为定值. 【答案】(1)； (2)设点、，， 由题意可知，直线的斜率存在，可设直线的方程为， 联立，可得， 由于点在椭圆的内部，直线与椭圆必有两个交点， 由韦达定理可得，， ，，， 得，， ，， . 【分析】（1）由已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出椭圆的方程； （2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、、，联立直线与椭圆的方程，列出韦达定理，由，可得出、的表达式，结合韦达定理可计算得出为定值. 【详解】（1）因为双曲线的焦点坐标为，则， 设椭圆的方程为， 又椭圆过点，， 可得，，椭圆的标准方程为：； （2）略. / 学科网（北京）股份有限公司 $