专题11 对数与对数函数（重难点讲义） 数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“对数与对数函数”核心知识，系统梳理对数定义与指数互化关系、运算公式（四则运算、换底公式及推论）、对数函数性质（定义域、值域、单调性、定点），以及与指数函数的反函数关系，构建从概念到运算再到函数应用的完整知识支架。 该资料以分层设计为特色，重点知识夯实基础，难点知识聚焦定义域陷阱、公式混用等高频易错点及含参分类讨论，题型覆盖解对数方程、比大小、复合函数问题等，通过典例与变式结合培养学生数学思维（推理意识）和数学语言（应用意识）。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺，强化核心素养。

专题11 对数与对数函数 重点目标： 1. 掌握对数的定义、对数与指数的互化关系，理解对数底数与真数的取值约束条件. 2. 熟练掌握对数四则运算公式、恒等式、换底公式，能规范完成对数化简、求值、变形运算. 3. 掌握对数函数的标准定义、定义域、值域、定点特征，熟记两类底数对应的函数图像与单调性. 4. 掌握对数函数基础性质，能利用单调性、图像特征完成对数值大小比较、基础对数不等式求解. 5. 理解对数函数与指数函数的反函数关系，掌握图像关于对称的核心特征. 难点目标： 1. 精准规避对数定义域陷阱，解题中始终优先保证真数大于0、底数合规，杜绝定义域遗漏失分. 2. 熟练运用换底公式、对数变形技巧解决复杂对数综合运算、对数恒等式拔高题型. 3. 掌握含参对数函数的分类讨论方法，根据底数范围分析单调性、不等式解集的变化规律. 4. 掌握复合型对数函数的定义域、单调区间、值域求解方法，熟练运用“同增异减”法则. 5. 综合运用对数函数性质解决恒成立、最值、复合型不等式、跨章节综合问题，对接中档压轴考点. 1、 重点知识 （一）对数核心定义与取值规则 1. 定义：如果，那么数叫做以为底的对数，记作. 2. 互化核心：指数式与对数式等价互化，是所有对数运算的基础. 3. 取值硬性约束：底数，真数，负数和零没有对数. 4. 基础恒等式：，. （二）对数核心运算公式（必考） · 设： 1. 积对数： 2. 商对数： 3. 幂对数： （三）换底公式及推论 1. 核心换底公式： 2. 倒数推论： 3. 链式推论：（连乘消底秒杀结论） （四）对数函数基础定义与性质 1. 定义：函数叫做对数函数，定义域，值域. 2. 定点特征：所有对数函数恒过定点. 3. 单调性分类： 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减. （五）对数函数与指数函数的关系 · 对数函数与指数函数互为反函数，图像关于直线对称，定义域值域相互互换. 2、 难点知识 （一）核心易错难点（选择填空高频陷阱） 1. 定义域致命陷阱：所有对数问题优先满足真数大于0，解题极易遗漏定义域，导致不等式、单调区间答案错误. 2. 公式混用误区：对数加减不满足，无加法分配律，是最高频易错点. 3. 单调性判断误区：默认对数函数递增，忽略底数时单调递减，导致不等式解集反向. 4. 真数范围误区：忽略真数必须大于0，出现负数、零取对数的无意义运算. （二）复杂对数运算难点 1. 多层对数嵌套运算：由外向内逐层运算，优先化简内层对数，结合恒等式消去多层结构. 2. 底数真数同步变形：利用幂对数公式，对底数、真数同时变形，统一底数后简化运算. 3. 整体代换求值：将复杂对数式整体设元，结合公式变形求解整体值，规避分步运算出错. （三）复合对数函数综合难点（高频压轴） · 通用模型：，外层为对数函数，内层为初等函数. 1. 定义域求解：强制满足，是所有复合对数题型的首要步骤. 2. 单调区间求解：遵循“同增异减”，结合外层底数单调性、内层函数单调性判断，且区间必须在定义域范围内. 3. 值域求解：先求内层取值范围，结合外层对数函数单调性，求解整体值域. （四）含参对数函数与不等式难点 1. 底数分类讨论：含参底数必须分和两类，单调性不同、不等式解集方向相反. 2. 复合型对数不等式：脱去对数外壳时，必须同步保留真数大于0的约束条件，双向约束解集. 3. 含参恒成立问题：结合复合函数最值、单调性，转化为参数不等式，求解参数取值范围. （五）深度拓展拔高知识 1. 不同底对数值大小比较：引入中间值0、1搭桥，结合图像高低、换底变形秒杀复杂比大小题型. 2. 对数凹凸性与图像规律：底数越大图像越靠近x轴，底数越小图像越靠近x轴，用于多选快速判断. 3. 对数型奇偶性函数：等经典奇偶函数，是高考高频模型. 4. 反函数拔高应用：利用指数、对数反函数对称性质，快速求解对称点、对称解析式、最值问题. 5. 对数与二次函数综合：内层为二次函数的复合对数函数，结合对称轴、区间最值、定义域约束解决压轴题型. （六）本节高频失分点汇总 1. 解对数不等式、求单调区间遗漏真数大于0的定义域约束. 2. 记错对数运算公式，混淆积商对数与加减运算关系. 3. 含参对数不分类讨论底数范围，导致单调性、解集错误. 4. 复合函数单调区间超出定义域范围，区间书写不规范. 5. 比大小题型不区分底数范围，直接套用单一单调性. 6. 忽略对数函数值域为R的隐藏条件，导致最值求解失误. 题型01 解简单的对数方程 【典例】方程的解是_____________. 【变式】已知，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 题型02 利用对数运算性质化简 【典例】求值： （1）； （2）（log2125＋log425＋log85）（log52＋log254＋log1258）． （3）； （4）． 【变式】化简求值 （1）； （2）；. （3）；． （4）. 题型03 用已知对数表示其他对数 【典例】（1）已知，用表示； （2）已知，用表示； （3）已知，用表示. 【变式】用，，表示下列式子： （1）；         （2）； （3）；         （4）. 题型04 对数函数的解析式问题 角度1：根据对数函数解析式求参数值 【典例】函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式】已知函数是对数函数，则__________． 角度2：待定系数法求对数函数的解析式 【典例】对数函数的图象经过点，则的解析式为______. 【变式】对数函数的图像过点，则此对数函数的表达式为________． 题型05 对数函数的图象问题 【典例1】当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（    ）． A．   B．   C．   D．   【变式1】若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【典例2】小华同学作出的时的对数函数的图象如图所示，则对应于的的值分别为   A． B． C． D． 【变式2】函数与（其中）的图象只可能是（    ） A．   B．   C．   D．   题型06 指对幂比较大小 【典例】已知a=， b=， c=，则a，b，c的大小关系为（    ） A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a 【变式】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 题型07 解对数型不等式 【典例】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式】若是不等式的一个解，则该不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型08 对数型函数问题 角度1：对数型函数过定点问题 【典例】函数（，且）的图象恒过点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式】已知且，函数图像恒过点，若在幂函数图像上，则点坐标为________，________. 角度2：对数型函数单调性问题 【典例1】求下列函数的单调区间： （1）； （2）. 【变式1】（1）求函数的单调区间． （2）讨论函数的单调性． 【典例2】已知函数在区间上递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 角度3：对数型函数奇偶性问题 【典例1】若函数是奇函数，则b的值为（   ） A． B．2 C．-2 D．4 【变式1】“”是“函数是奇函数”的（      ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【典例2】已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性； (3)若，判断函数在内的单调性并用定义证明. 【变式2】已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并给出证明； 角度4：对数型函数值域问题 【典例1】已知函数的值域为，则实数的值为________. 【变式1】已知，试求的最大值和最小值 【典例2】（1）若函数的定义域为，求的取值范围及函数值域； （2）若函数的值域为，求的取值范围及函数的定义域． 【变式2】已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若的值域为，求实数的取值范围． 题型09 对数函数的综合问题 【典例】已知函数为奇函数． (1)求实数a的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围； 【变式】已知. (1)若，求的解集； (2)令，若在区间上存在零点，求a的取值范围； (3)令，对于任意的，，都有成立，求a的取值范围. 【巩固训练】 1. 函数（，）的图象过定点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 2. （多选）下列给出的函数，其中是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 3. 已知函数（为常数，其中，）的图象如图所示，则下列结论中成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4. 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5. 若函数为奇函数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 6. 设，，，则（    ） A． B． C． D． 7. （多选）已知函数，下列说法正确的是 （    ） A．当时，函数的定义域为 B．当时，函数的值域为 C．函数可能有最小值 D．若函数在区间内单调递增，则实数 8. 已知函数.当时，该函数的值域为____________； 9. 计算： (1)； (2)已知，求的值． 10. 已知函数 是R上的奇函数． (1)求实数的值，并判断函数的单调性（不需要证明）； (2)若，求实数的取值范围． 【强化训练】 1. 方程正实数解为（   ） A．1 B． C． D． 2. 设，，，．若，，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 3. （多选）已知，且，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4. （多选）下列说法，正确的有（     ） A．已知是一次函数，若，则的解析式为或 B．函数的值域是 C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数的单调递减区间是 5. （多选）关于函数，则下列选项正确的是（    ） A．图象关于直线对称 B．在单调递增 C．的值域为 D．有两个零点 6. 已知函数，若，则________． 7. 设，则___________． 8. 若函数是奇函数，则在上的最大值等于________． 9. （1）若函数的定义域为，求的取值范围及函数值域； （2）若函数的值域为，求的取值范围及函数的定义域． 10. 已知函数（为常数）是奇函数 (1)求的值与函数的定义域； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； (3)若当时，恒成立，求实数的取值范围. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 对数与对数函数 重点目标： 1. 掌握对数的定义、对数与指数的互化关系，理解对数底数与真数的取值约束条件. 2. 熟练掌握对数四则运算公式、恒等式、换底公式，能规范完成对数化简、求值、变形运算. 3. 掌握对数函数的标准定义、定义域、值域、定点特征，熟记两类底数对应的函数图像与单调性. 4. 掌握对数函数基础性质，能利用单调性、图像特征完成对数值大小比较、基础对数不等式求解. 5. 理解对数函数与指数函数的反函数关系，掌握图像关于对称的核心特征. 难点目标： 1. 精准规避对数定义域陷阱，解题中始终优先保证真数大于0、底数合规，杜绝定义域遗漏失分. 2. 熟练运用换底公式、对数变形技巧解决复杂对数综合运算、对数恒等式拔高题型. 3. 掌握含参对数函数的分类讨论方法，根据底数范围分析单调性、不等式解集的变化规律. 4. 掌握复合型对数函数的定义域、单调区间、值域求解方法，熟练运用“同增异减”法则. 5. 综合运用对数函数性质解决恒成立、最值、复合型不等式、跨章节综合问题，对接中档压轴考点. 1、 重点知识 （一）对数核心定义与取值规则 1. 定义：如果，那么数叫做以为底的对数，记作. 2. 互化核心：指数式与对数式等价互化，是所有对数运算的基础. 3. 取值硬性约束：底数，真数，负数和零没有对数. 4. 基础恒等式：，. （二）对数核心运算公式（必考） · 设： 1. 积对数： 2. 商对数： 3. 幂对数： （三）换底公式及推论 1. 核心换底公式： 2. 倒数推论： 3. 链式推论：（连乘消底秒杀结论） （四）对数函数基础定义与性质 1. 定义：函数叫做对数函数，定义域，值域. 2. 定点特征：所有对数函数恒过定点. 3. 单调性分类： 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减. （五）对数函数与指数函数的关系 · 对数函数与指数函数互为反函数，图像关于直线对称，定义域值域相互互换. 2、 难点知识 （一）核心易错难点（选择填空高频陷阱） 1. 定义域致命陷阱：所有对数问题优先满足真数大于0，解题极易遗漏定义域，导致不等式、单调区间答案错误. 2. 公式混用误区：对数加减不满足，无加法分配律，是最高频易错点. 3. 单调性判断误区：默认对数函数递增，忽略底数时单调递减，导致不等式解集反向. 4. 真数范围误区：忽略真数必须大于0，出现负数、零取对数的无意义运算. （二）复杂对数运算难点（期中重难点） 1. 多层对数嵌套运算：由外向内逐层运算，优先化简内层对数，结合恒等式消去多层结构. 2. 底数真数同步变形：利用幂对数公式，对底数、真数同时变形，统一底数后简化运算. 3. 整体代换求值：将复杂对数式整体设元，结合公式变形求解整体值，规避分步运算出错. （三）复合对数函数综合难点（高频压轴） · 通用模型：，外层为对数函数，内层为初等函数. 1. 定义域求解：强制满足，是所有复合对数题型的首要步骤. 2. 单调区间求解：遵循“同增异减”，结合外层底数单调性、内层函数单调性判断，且区间必须在定义域范围内. 3. 值域求解：先求内层取值范围，结合外层对数函数单调性，求解整体值域. （四）含参对数函数与不等式难点 1. 底数分类讨论：含参底数必须分和两类，单调性不同、不等式解集方向相反. 2. 复合型对数不等式：脱去对数外壳时，必须同步保留真数大于0的约束条件，双向约束解集. 3. 含参恒成立问题：结合复合函数最值、单调性，转化为参数不等式，求解参数取值范围. （五）深度拓展拔高知识 1. 不同底对数值大小比较：引入中间值0、1搭桥，结合图像高低、换底变形秒杀复杂比大小题型. 2. 对数凹凸性与图像规律：底数越大图像越靠近x轴，底数越小图像越靠近x轴，用于多选快速判断. 3. 对数型奇偶性函数：等经典奇偶函数，是高考高频模型. 4. 反函数拔高应用：利用指数、对数反函数对称性质，快速求解对称点、对称解析式、最值问题. 5. 对数与二次函数综合：内层为二次函数的复合对数函数，结合对称轴、区间最值、定义域约束解决压轴题型. （六）本节高频失分点汇总 1. 解对数不等式、求单调区间遗漏真数大于0的定义域约束. 2. 记错对数运算公式，混淆积商对数与加减运算关系. 3. 含参对数不分类讨论底数范围，导致单调性、解集错误. 4. 复合函数单调区间超出定义域范围，区间书写不规范. 5. 比大小题型不区分底数范围，直接套用单一单调性. 6. 忽略对数函数值域为R的隐藏条件，导致最值求解失误. 题型01 解简单的对数方程 【典例】方程的解是_____________. 【答案】 【分析】化简方程得到，设，解方程考虑对数函数定义域得到答案. 【详解】，即， ，即， 设，，，，即，则， 解得或（舍去），即，. 故答案为：. 【变式】已知，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】对数式化为指数式，再由指数的运算法则求解． 【详解】由得，即，又且，所以， 故选：C． 题型02 利用对数运算性质化简 【典例】求值： （1）； （2）（log2125＋log425＋log85）（log52＋log254＋log1258）． （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）13．（3）；（4）1． 【分析】根据对数的基本运算公式，合理进行化简运算，即可得到化简的结果. 【详解】（1）． （2）方法一：原式= ． 方法二：原式= ． （3）因为， ， 所以． （4）． 【变式】化简求值 （1）； （2）；. （3）；． （4）. 【答案】（1）1；（2）1；（3）4；（4）2. 【分析】（1）由对数的运算法则对数恒等式即可求解； （2）由对数的运算性质即可求解； （3）由对数的运算法则与运算性质结合换底公式即可求解： （4）由对数的运算法则与对数恒等式结合换底公式即可求解： 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） 题型03 用已知对数表示其他对数 【典例】（1）已知，用表示； （2）已知，用表示； （3）已知，用表示. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】利用对数的运算性质化简可得解. 【详解】（1）； （2）； （3）. 【变式】用，，表示下列式子： （1）；         （2）； （3）；         （4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】利用对数运算求解. 【详解】（1）；         （2）； （3）；         （4）. 题型04 对数函数的解析式问题 角度1：根据对数函数解析式求参数值 【典例】函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】需要满足对数函数的系数为，同时对数函数的底数要满足大于且不等于，真数大于等条件，然后据此逐步求出的值. 【详解】由解得或，又，且，所以 故选：B. 【变式】已知函数是对数函数，则__________． 【答案】 【分析】利用对数函数的性质结合已知条件求出，再结合指数、对数的关系化简求解． 【详解】已知函数是对数函数，则，且，， 解方程得， ，且， ， ，故， ． 故答案为：． 角度2：待定系数法求对数函数的解析式 【典例】对数函数的图象经过点，则的解析式为______. 【答案】 【分析】设对数函数，根据图象过点即可求解. 【详解】设对数函数， 因为对数函数的图象经过点， 所以，则，解得：，因为，所以. 所以函数解析式为：， 故答案为：. 【变式】对数函数的图像过点，则此对数函数的表达式为________． 【答案】 【分析】结合对数函数的定义即可得出. 【详解】设，由题意可得，解得. 所以此对数函数的表达式为. 故答案为：. 题型05 对数函数的图象问题 【典例1】当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】由可知，根据指数函数和对数函数图象的单调性即可判断得出结果. 【详解】依题意可将指数函数化为，由可知； 由指数函数图象性质可得为单调递减，且过定点，即可排除BC， 由对数函数图象性质可得为单调递增，且过定点，排除D， 故选：A 【变式1】若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的图象可推得，，且，可得函数的图象递减，且，从而可判断答案. 【详解】由函数的图象为减函数可知，， 再由图象的平移变换知，的图象由向左平移不超过一个单位，可知， 故函数的图象递减，且，则符合题意的只有B中图象 故选：B. 【典例2】小华同学作出的时的对数函数的图象如图所示，则对应于的的值分别为   A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令得，结合图象可确定选项. 【详解】令得，如图可得的的值为从小到大的顺序，即， 故选：C 【变式2】函数与（其中）的图象只可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】判断函数的单调性，结合各选项中图象，即可判断出答案. 【详解】对于A，因为，故为R上的减函数，其图象应下降，A错误； 对于B，时，为R上的减函数，为上增函数，图象符合题意； 对于C，时，为上增函数，图象错误； 对于D，时，为上增函数，图象错误； 故选：B 题型06 指对幂比较大小 【典例】已知a=， b=， c=，则a，b，c的大小关系为（    ） A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a 【答案】A 【解析】根据指数函数、对数函数与幂函数的单调性，借助中间量即可比较大小. 【详解】解：由函数在上单调递增， 所以， 由于函数在上单调递减， 所以， 由于函数在上单调递增， 所以， 故. 故选：A. 【变式】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数在 上单调递减，判断；根据幂函数 在 上单调递增，得到 . 【详解】因为对数函数在 上单调递减，所以 ，所以； ， ， 因为幂函数 在 上单调递增，且 ，所以 ， 即 ； 所以 . 题型07 解对数型不等式 【典例】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式可化为，根据对数函数的定义域及单调性，可得，解得原不等式的解集． 【详解】 ， ， 不等式的解集为． 故选：B 【变式】若是不等式的一个解，则该不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由题意，求出，再由对数函数的性质，得到，求解，即可得出结果. 【详解】因为是不等式的一个解， 所以，因此， 所以由可得：， 即，解得：或， 即不等式的解集为. 故选：B 题型08 对数型函数问题 角度1：对数型函数过定点问题 【典例】函数（，且）的图象恒过点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对数型函数过定点，只要令真数部分值为1，解出的值，再将的值代入解析式求得的值. 【详解】令，解得，再将代入解析式得. 所以过定点，即. 故选：D 【变式】已知且，函数图像恒过点，若在幂函数图像上，则点坐标为________，________. 【答案】 【解析】令，即，求得，得到，再设幂函数， 将点代入求得幂函数解析式，进而求得的值. 【详解】由题意，函数图像恒过点， 令，即，可得，即， 设幂函数， 将点代入幂函数，可得，解得，即， 所以. 故答案为：，. 角度2：对数型函数单调性问题 【典例1】求下列函数的单调区间： （1）； （2）. 【答案】（1）增区间，减区间；（2）增区间，减区间 【解析】（1）先求定义域，在定义域内研究的单调性，然后由复合函数单调性得单调区间； （2）换元，令，它是递减的，讨论的单调性，由的范围得的范围，再由复合函数单调性得单调区间． 【详解】（1）由题意知，依据二次函数的图象可得或. 且在上单调递减，在上单调递增. 又是上的减函数， ∴所求函数的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）令，且在上单调递减. 又在上单调递增，在上单调递减， 由，得， 由，得. 故所求函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【变式1】（1）求函数的单调区间． （2）讨论函数的单调性． 【答案】（1）递增区间为，递减区间为；（2）递增区间为，递减区间为. 【分析】（1）根据对数函数性质，先求得函数的定义域，再结合二次函数的性质和复合函数的单调性的判定方法，即可求解； （2）设且，可得，结合二次函数的图象与性质，以及对数函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，函数， 设，令，即，解得或， 又由在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又由函数在定义域内单调递减， 结合复合函数单调性的判定方法， 可得函数的单递增区间为，单调递减区间为. （2）由函数， 设且，可得， 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增， 又由函数在定义域内单调递减， 所以当，即上函数单调递增； 当，即上函数单调递减， 即函数的递增区间为，递减区间为. 【典例2】已知函数在区间上递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令， ，根据复合函数的单调性及条件即可求出结果. 【详解】令，则， 因为在定义域上单调递增，又函数在区间上递增， 所以，得到， 故选：B. 【变式2】已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数定义域，结合复合函数单调性得到不等式，求出，得到答案. 【详解】由，得，所以的定义域为. 又在上单调递增，且在上单调递增， 所以解得，即的取值范围是. 故选：A 角度3：对数型函数奇偶性问题 【典例1】若函数是奇函数，则b的值为（   ） A． B．2 C．-2 D．4 【答案】A 【分析】利用奇函数定义，结合对数运算求出值. 【详解】由函数是奇函数，得， 即， 则，即，而不恒为0， 因此，解得，此时， 函数的定义域为R，符合题意，所以. 故选：A 【变式1】“”是“函数是奇函数”的（      ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】利用奇函数性质对充分性和必要性分别验证可得结论. 【详解】充分性：当时，， 易知，所以，因此其定义域为； 则, 可得,即是奇函数,即充分性成立； 必要性：因是奇函数,所以的定义域关于原点对称，则, 即所以, ，因此，可得,经检验符合题意，即必要性不成立； 故选：A 【典例2】已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性； (3)若，判断函数在内的单调性并用定义证明. 【答案】(1) (2)偶函数 (3) 由，则， 函数在上单调递减，证明如下： 任取， 则，即， 所以函数在上单调递减. 【分析】（1）根据函数有意义求解即可； （2）利用函数奇偶性的定义判断即可； （3）根据题设易得，进而根据函数单调性的定义求证即可. 【详解】（1）由题意得，，解得， 所以函数的定义域为. （2）由， 则，故函数为偶函数. （3）略 【变式2】已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并给出证明； 【答案】(1) (2)函数为奇函数. 证明如下:由（1）可知定义域关于原点对称， 对任意的，有， 所以函数为奇函数. 【分析】（1）解不等式即可得答案； （2）根据函数奇偶性的定义，结合对数运算法则得即可判断. 【详解】（1）由，解得或， 所以函数的定义域为. （2）略 角度4：对数型函数值域问题 【典例1】已知函数的值域为，则实数的值为________. 【答案】/ 【分析】利用复合函数的单调性可得的最大值为，结合二次函数的性质确定参数的值并验证可得. 【详解】因的值域为， 即，所以的最大值为，所以. 根据二次函数的性质，当时取最大值， 代入可得，解得. 此时， 由解得，故函数的定义域为. ， 令，则内层函数在上单调递增，在上单调递减. 外层函数在定义域上为增函数， 故函数在上单调递增，在上单调递减. 所以，符合题意. 所以的值为. 【变式1】已知，试求的最大值和最小值 【答案】最大值为，最小值为. 【详解】令，，则， ，， 因为在上单调递减． ∴当时，取最大值为，当时，取最小值为. 故当时，取最大值为，当时，取最小值为. 故的最大值为，最小值为. 【典例2】（1）若函数的定义域为，求的取值范围及函数值域； （2）若函数的值域为，求的取值范围及函数的定义域． 【答案】（1）的取值范围是，值域为； （2）的取值范围是，定义域为 【分析】（1）分析可知，可求出的取值范围，再利用配方法结合对数函数的单调性可求出原函数的值域； （2）分析可知，可求出的取值范围，由可求出原函数的定义域. 【详解】（1）函数的定义域为，即恒成立， 则恒成立，所以． 此时，， 所以的取值范围是，函数的值域为； （2）函数的值域为，即真数必能取遍所有正数， 二次函数的图象不可能全在轴上方， ，所以或． 所以实数的取值范围是， 由得或． 所以函数的定义域为． 【变式2】已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若的值域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到在上恒成立，再分类讨论求解即可； （2）根据题意得到的值域必须包含，再分类讨论求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 则在上恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，有，解得． 所以实数的取值范围为． （2）函数的值域为， 则的值域必须包含， 当时，，不符合题意； 当时，有，解得. 所以实数的取值范围为． 题型09 对数函数的综合问题 【典例】已知函数为奇函数． (1)求实数a的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用特殊值求出，再根据奇函数定义验证即可； (2)先分别求出的最小值，通过转化得到，求解即可. 【详解】（1）∵是奇函数，且定义域为，∴，即， 解得，将代入函数得， ，符合奇函数定义，∴. （2）∵，单调递增， ∴在定义域上单调递增，又， ，∴， ∵， ∴令，则， 又，，函数对称轴为， 开口向上，∴， ∵对任意的，总存在， 使得成立，即， 即，∴. 所以实数的取值范围为. 【变式】已知. (1)若，求的解集； (2)令，若在区间上存在零点，求a的取值范围； (3)令，对于任意的，，都有成立，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2); (3). 【分析】(1)利用对数函数单调性脱去对数，转化为一元二次不等式，通过换元法结合指数函数性质，求解出x的取值范围; (2)根据函数零点定义转化为方程有解问题，换元后分离参数，利用函数的最值与区间端点值，确定参数取值范围; (3), 转化为  ，再利用函数的单调性求解. 【详解】（1），，得， 所以，即， 令 ，，解得 ，即 ， 所以，所以的解集是； （2） 在 上存在零点，令，得 ，即，所以， 因为，所以 令 ，，记 ， 由均值不等式，当且仅当 时取等号， 所以，在 时取得最大值， 又，， 所以的值域是，所以,所以， 所以a的取值范围是; （3）, 得， 即， 在上的最大值是，最小值是， 由题意  ，即， 所以，所以， 即，所以， 令，， 在上单调递减，所以当时，取得最小值3， 所以在上取得最大值， 在上单调递减，所以当时，取得最小值1， 所以，所以 所以a的取值范围是. 【巩固训练】 1. 函数（，）的图象过定点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数函数的性质求函数所过的定点坐标. 【详解】令，则，此时，故定点的坐标为. 故选：C 2. （多选）下列给出的函数，其中是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据对数函数的定义判断即可. 【详解】形如（且）的函数叫对数函数，其中底数为常数，真数只有自变量. 对于A，真数是，不符合定义. 对于B，底数为，为常数，真数为，满足定义. 对于C，底数为变量，不是常数，不符合定义. 对于D，底数为常数，且大于0不等于1，真数是，满足定义. 3. 已知函数（为常数，其中，）的图象如图所示，则下列结论中成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据单调性可得，即可根据图象与轴的交点求解. 【详解】由函数的图象知该函数为减函数，∴． 图象通过第一、二、四象限且图象与轴的交点横坐标在区间内， ∴，解得． 故选:D． 4. 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数函数单调性来解不等式即可. 【详解】不等式得：， 根据函数在定义域内单调递减，所以有：， 解得,，则不等式解集为， 故选：B. 5. 若函数为奇函数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质可求参数的值. 【详解】因为为奇函数，故， 所以即，故，故. 若，则，此时函数的定义域为， 该定义域不关于原点对称，故舍去； 若，则，此时函数的定义域为， 该定义域关于原点对称， 所以. 6. 设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，由，得，由，得，所以最大； ，因为，由基本不等式得， 所以，所以. 7. （多选）已知函数，下列说法正确的是 （    ） A．当时，函数的定义域为 B．当时，函数的值域为 C．函数可能有最小值 D．若函数在区间内单调递增，则实数 【答案】AB 【详解】设二次函数 ，则 ， ， 选项 A： 时，，令 或 ，定义域为 ，A 正确； 选项 B： 时，，则 ， 对数函数 在 时值域为 ，故 值域为，B 正确； 选项 C： 开口向上，， 恒有两个不同实根，在定义域内取值范围是， 在 无下界，不存在最小值，C 错误； 选项 D： 举反例，当 时 ，不满足定义域，D 错误. 8. 已知函数.当时，该函数的值域为____________； 【答案】 【分析】由对数的运算性质将函数解析式化简为，令，则，利用换元法将原问题转化为求一元二次函数在闭区间的值域问题求解. 【详解】解：， 令，由，则， 所以有，， 所以当时，，当时， 所以函数的值域为. 9. 计算： (1)； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】根据对数的运算法则进行计算. 【详解】（1） ． （2）由已知得， ，整理得． ．． ，， 从而，则． 10. 已知函数 是R上的奇函数． (1)求实数的值，并判断函数的单调性（不需要证明）； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，函数在R上单调递减. (2) 【分析】（1）由奇函数的定义进行判断； （2）由奇函数及函数的单调性求解． 【详解】（1）由，得， 则， 因为函数是R上的奇函数， 所以恒成立，所以. 则，函数在R上单调递减. （2）由题意得是R上的奇函数，可得， 有， 又因为函数在R上单调递减，所以， 整理得，则， 解得，所以实数x的取值范围是. 【强化训练】 1. 方程正实数解为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数和指数的运算性质，将所求方程化为，再利用的单调性，可得是唯一解，再解此方程即可得到原方程的解． 【详解】注意到， 故，即， 等式两边除以，得， 又在上单调递减，且， 所以只能，解得． 2. 设，，，．若，，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过指数与对数的互化求出，再利用基本不等式求的最大值，结合对数函数的单调性即可得到所求最大值. 【详解】由，可得，同理，，可得， 因此，，故， 因为，，所以，化简得，即，当且仅当时等号成立， 因为对数函数在定义域上单调递增，所以当取最大值3时，取得最大值， 即的最大值为1. 3. （多选）已知，且，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数函数以及对数函数的图像分析求解即可. 【详解】由且，可得. 所以，. 当时：函数在上单调递增，且过点. 函数在上单调递增，所以在上单调递减，且过点. 选项B中，一条曲线过且递增，另一条曲线过且递减，符合. 当，函数在上单调递减，且过点. 函数在上单调递减，所以在上单调递增，且过点. 选项D 中，一条曲线过且递减，另一条曲线过且递增，符合. 4. （多选）下列说法，正确的有（     ） A．已知是一次函数，若，则的解析式为或 B．函数的值域是 C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数的单调递减区间是 【答案】ACD 【分析】A.求复合一次函数解析式，采用待定系数法，对比等式两边系数列方程组求解；B.对数函数的值域由真数的取值范围决定，当真数可取全体正实数时，对数值域为； C.抽象函数定义域抓住：括号内整体的取值范围不变；D.复合对数函数单调区间，优先求定义域，再利用 “同增异减”，结合二次函数单调性判断. 【详解】 选项A：设一次函数，则， 与对应系数相等，得，解得或，即或，A正确； 选项B：函数定义域满足，解得或，令， 则的取值范围是，在时值域为，不是，B错误； 选项C：的定义域为，即，得，即的定义域为， 对，需满足，，故的定义域为，C正确； 选项D：函数定义域满足，解得或，令，则是增函数， 根据复合函数“同增异减”，则需找的单调减区间，因为图象开口向上，对称轴为， 结合定义域，则在单调递减，所以函数的单调递减区间是，D正确. 5. （多选）关于函数，则下列选项正确的是（    ） A．图象关于直线对称 B．在单调递增 C．的值域为 D．有两个零点 【答案】AD 【分析】先得到函数定义域为，由，即可得到图象关于直线对称，即可验证A项；令内层函数， 时，单调递减，根据复合函数“同增异减”得到在单调递减，即可验证B项；先由复合函数的单调性原则得到函数的单调性，即可验证C项；令，解得，即可验证D项. 【详解】函数 需满足，即定义域为， 由对数的运算法则得到， 对于A项，因为， 所以，即图象关于直线对称，故A正确； 对于B项，令内层函数，开口向下，对称轴， 时，单调递增，时，单调递减， 因为外层函数在单调递增， 所以根据复合函数的单调性得到在单调递减，故B错误； 对于C项，根据复合函数的单调性得到在单调递增， 所以当时，函数有最大值， 又因为当或时，函数，， 所以函数的值域为，故C错误； 对于D项，令，即，得到， 整理得到，解得， 所以函数有两个零点，故D正确. 6. 已知函数，若，则________． 【答案】 【分析】先根据绝对值相等结合对数函数单调性推出，再将其代入所求分式通分化简即可得结果. 【详解】由可得，则. 已知，又因为函数在上单调递增， 故，因此. 进而，即. . 7. 设，则___________． 【答案】2 【详解】注意到， 因此． 8. 若函数是奇函数，则在上的最大值等于________． 【答案】/ 【分析】先根据是奇函数，得到其定义域关于原点对称，且，从而得到，的值，即可得到的解析式，再根据复合函数的单调性即可判断的单调性，进而即可求出在某区间的最大值． 【详解】由， 则x应满足为，即， 又是奇函数，则其定义域关于原点对称，且， 则，即，解得， 所以， 又是奇函数，且其定义域为， 则，解得， 所以， 又在上单调递增，而在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以在上的最大值为． 9. （1）若函数的定义域为，求的取值范围及函数值域； （2）若函数的值域为，求的取值范围及函数的定义域． 【答案】（1）的取值范围是，值域为； （2）的取值范围是，定义域为 【分析】（1）分析可知，可求出的取值范围，再利用配方法结合对数函数的单调性可求出原函数的值域； （2）分析可知，可求出的取值范围，由可求出原函数的定义域. 【详解】（1）函数的定义域为，即恒成立， 则恒成立，所以． 此时，， 所以的取值范围是，函数的值域为； （2）函数的值域为，即真数必能取遍所有正数， 二次函数的图象不可能全在轴上方， ，所以或． 所以实数的取值范围是， 由得或． 所以函数的定义域为． 10. 已知函数（为常数）是奇函数 (1)求的值与函数的定义域； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； (3)若当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，函数的定义域为. (2)由（1）知，， 因为在上单调递减，是增函数， 所以函数在区间上单调递减. 证明：设，且， . 因为，所以 又， 即 所以，所以，即， 所以函数在区间上单调递减. (3) 【分析】（1）根据函数是奇函数，得到，求出的值，再解不等式，即可求出函数的定义域； （2）根据函数解析式，利用复合函数的单调性可判断，再根据定义证明即可； （3）根据对数函数的性质，结合的单调性，求得其取值范围，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数（为常数）是奇函数， 所以，即在定义域内恒成立. 所以，即， 所以，即， 所以，即在定义域内恒成立， 所以，所以. 若，则无意义，不合题意； 若，则， 令，得， 解得或. 所以函数的定义域为. 综上所述，，函数的定义域为. （2）略 （3）由（1）知，，， 所以. 因为在上单调递增， 所以， 即恒成立， 所以. 所以的取值范围是. / 学科网（北京）股份有限公司 $