专题10 指数函数强化（重难点讲义） 数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦指数函数强化，系统梳理指数型复合函数的单调性、值域、定义域等核心性质，构建恒成立与存在性问题的解题模型，整合实际应用的增长衰减场景，衔接与二次函数、不等式的跨章节综合及新定义题型，形成从基础到高阶的学习支架。 资料通过分层目标设计（重点与难点）、典型题型示例（典例与变式）及实际应用案例（如药物消毒、植物生长），培养学生抽象能力、推理意识与模型观念。课中辅助教师落实分类讨论等方法，课后助力学生通过巩固训练与失分点汇总查漏补缺，提升综合解题能力。

专题10 指数函数强化 重点目标： 1. 深化指数型复合函数的单调性、值域、定义域核心性质.熟练掌握“同增异减”法则的规范应用. 2. 掌握指数型函数恒成立、存在性问题的基础解题模型.能转化为最值问题求解参数范围. 3. 熟悉指数函数实际应用场景（增长、衰减模型）.能建立指数函数模型解决实际求值、预测问题. 4. 掌握指数函数与一次函数、二次函数、不等式结合的综合题型.理清跨章节融合解题逻辑. 5. 读懂指数类新定义题型规则.能结合指数函数基础性质完成简单新定义推理与运算. 难点目标： 1. 精准区分恒成立与存在性问题的最值差异.规避参数范围反向、区间取舍错误. 2. 掌握含参底数、复合型指数函数的分类讨论方法.完整覆盖底数范围、定义域约束条件. 3. 突破指数函数复杂综合题型.融合单调性、奇偶性、最值、不等式求解复合型压轴问题. 4. 熟练处理指数函数跨章节综合问题.结合二次函数最值、分段函数、不等式恒成立综合解题. 5. 攻克指数新定义、创新情境题型.具备抽象推理、模型转化、数形结合的高阶解题思维. 1、 重点知识 （一）指数型复合函数核心性质 · 通用模型：指数型复合函数统一形式.外层为指数函数.内层为初等函数. 1. 定义域：与内层函数定义域一致. 2. 值域求解步骤：先求内层取值范围.再结合外层指数函数单调性求整体值域. 3. 单调性法则（同增异减）：时.内外单调性一致则整体递增.相反则递减；时.内外单调性一致则整体递减.相反则递增. 4. 隐藏性质：指数型函数值域恒大于0.无负值.是解题关键隐藏条件. （二）指数型恒成立与存在性基础模型 · 以为定义域.函数为核心模型. 1. 恒成立核心逻辑：恒成立；恒成立. 2. 存在性核心逻辑：成立；成立. 3. 解题固定步骤：拆分复合函数→判断单调性→求区间最值→转化参数不等式→求解参数范围. （三）指数函数实际应用基础模型 1. 指数增长模型：.适用于人口增长、复利增长、产量递增等场景. 2. 指数衰减模型：.适用于折旧、衰变、浓度递减等场景. 3. 解题要点：找准初始量、变化率、自变量次数.结合指数运算求值、预测变化趋势. （四）指数函数常规综合基础考点 1. 指数函数与奇偶性结合：判断复合型指数函数奇偶性.利用奇偶性化简求值、解不等式. 2. 指数函数与单调性结合：比较复杂指数式大小、求解复合型指数不等式. 3. 定点综合问题：含参指数型复合函数恒过定点.通过分离参数、赋值求解定点坐标. 2、 难点知识 （一）核心易错难点 1. 根式化简陷阱：偶次根式开方必须加绝对值.奇次根式直接去根号.极易混淆导致符号错误. 2. 指数函数判定误区：形如均不是标准指数函数.必须严格满足定义条件. 3. 底数范围误区：忽略的前提.导致函数无意义、单调性判断错误. 4. 大小比较误区：未区分底数范围.直接默认单调递增.造成大小关系颠倒. （一）恒成立与存在性高阶难点（考试高频易错压轴） 1. 易错核心陷阱：学生极易混淆恒成立与存在性的最值取值.恒成立看整体最值约束.存在性看区间临界最值. 2. 含参底数分类讨论：底数含参数时.必须分和讨论单调性.两类情况最值完全相反.缺一不可. 3. 区间动参问题：定义域含参数、区间变动时.结合复合函数单调性.分类讨论区间与单调区间的位置关系. 4. 双变量恒成立问题：双指数型函数最值对比.转化为两个函数最值的大小关系求解参数. （二）指数函数与多章节融合综合难点 1. 指数与二次函数融合：内层为二次函数.结合二次函数对称轴、区间最值、开口方向.求复合函数值域与单调区间.是期中期末核心压轴题型. 2. 指数与分段函数融合：分段指数函数的奇偶性、单调性、零点、值域综合分析.需要分段讨论、整体验证. 3. 指数与不等式融合：复合型指数不等式、含参指数不等式.结合定义域、单调性脱去指数外壳.转化为整式不等式.全程约束定义域. 4. 指数与函数最值融合：闭区间上指数复合函数最值、值域压轴.结合数形结合规避繁琐运算. （三）指数实际应用拔高难点 1. 多阶段指数模型：分段增长、分段衰减的复合型实际模型.需要分段列式、分段计算. 2. 最值型应用题：结合指数单调性求解实际场景中的最大、最小值.求解最优方案. 3. 对数辅助运算：高考高频考点.指数方程无法直接求解时.借助对数转化求解变量. （四）指数新定义题型难点（高考创新压轴） 1. 新定义运算型：自定义指数运算规则、新型指数函数.需要严格依托题干定义运算.不套用旧结论. 2. 新定义性质型：定义“保值函数”“增域函数”“对偶指数函数”等新型函数.结合指数固有性质推理证明. 3. 创新情境判断：结合指数函数有界性、单调性、定点特征.判断新命题、新结论的真假. （五）深度拓展拔高知识 1. 指数有界性秒杀结论：恒成立.利用有界性快速证明恒正、恒负不等式.简化大题步骤. 2. 复合型同构模型：高考高频同构变形.将复杂指数式整理为同构形式.利用单调性脱壳解题. 3. 指数凹凸性拓展：高阶拓展性质.可快速判断函数增减速率、最值趋势.用于多选压轴秒杀. 4. 恒成立临界思想：参数临界值对应函数最值相等的状态.数形结合找临界图像.规避分类遗漏. 5. 指数与导数衔接拓展：为高二导数铺垫.复杂指数函数最值、切线、单调性问题的高阶分析思路. （六）本节培优高频失分点汇总 1. 混淆恒成立与存在性最值逻辑.参数范围反向出错. 2. 含参底数不分类讨论.默认单一单调性.导致答案不全. 3. 复合函数单调性忽略内层定义域.单调区间书写错误. 4. 解指数不等式忘记外层函数单调性约束.直接脱去指数符号. 5. 新定义题型套用固有结论.不严格遵循题干规则解题. 6. 二次型指数复合函数忽略二次函数开口、对称轴区间讨论. 7. 实际应用题遗漏自变量取值范围（正整数、正实数约束）. 题型01 指数型函数的恒成立和能成立问题 角度1：指数型函数的恒成立 【典例】已知函数可以表示成一个偶函数和一个奇函数之和，若不等式对恒成立，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【变式】已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________. 角度2：指数型函数的能成立问题 【典例】若函数为定义在上的奇函数. (1)求实数的值，并证明函数的单调性； (2)若存在实数使得不等式能成立，求实数的取值范围. 【变式】已知为常数，函数为奇函数． (1)求的值； (2)若，试判断的单调性（不需证明）； (3)当时，若存在，使得能成立，求实数的最大值． 题型02 指数型函数的实际应用问题 【典例】为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示．    据图中提供的信息，回答下列问题： （1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为_________； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过_________小时后，学生才能回到教室． 【变式】某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（  ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 题型03 指数型函数性质的综合应用 【典例】已知函数，（为自然对数的底数，）．若，为方程的两个实数根，其中． (1)求实数的取值范围； (2)证明：为定值； (3)若，证明：． 【变式】已知奇函数的定义域为，． (1)求在区间上的值域； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 题型04 指数函数与其他章节的融合与综合 【典例】已知定义域是R的函数是奇函数. (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并予以证明； (3)设，若关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【变式】已知函数是幂函数. (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)若，且关于的不等式有解，求实数的取值范围. 题型05 与指数函数有关的新定义题 【典例】意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？1691年，莱布尼茨等学者研究得出这就是著名的“悬链线问题”，现如今，作为神经网络激活函数之一，广泛应用在“deepseek”、“豆包”等AI大模型中.双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，类似的，我们可以定义双曲正弦函数，设函数， (1)判断的奇偶性并证明； (2)判断在R上的单调性（写出推理过程，无需严格证明）； (3)若实数满足不等式，求的取值范围. 【变式】若函数满足：，有和同时成立，则称为“类直线函数”． (1)判断函数是否为“类直线函数”； (2)设函数， （ⅰ）若为“类直线函数”，求实数a的取值范围； （ⅱ）若，求证：当时，． 【巩固训练】 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分又不必要 D．充要 3．已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 4．双曲函数是一类与三角函数类似的函数，在物理学上应用广泛.定义双曲正切函数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若对任意的，都有恒成立，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 6．已知，函数的最大值为__________，最小值为__________． 7．在上定义运算：，当时，不等式有解，则实数的取值范围是________. 8．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2023年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆､绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统．若过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量），且前4小时消除了的污染物，则污染物消除至最初的还需要过滤 小时． 9．已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【强化训练】 1．定义一种运算，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则（     ） A．是减函数，且曲线存在对称轴 B．是减函数，且曲线存在对称中心 C．是增函数，且曲线存在对称轴 D．是增函数，且曲线存在对称中心 3．已知函数为奇函数，则下列结论不正确的是（    ） A．的定义域为 B． C．的单调递减区间为 D．的值域为 4．已知函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数．将函数向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知函数可以表示成一个偶函数和一个奇函数之和，若不等式对恒成立，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）下列结论中正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则 B．函数的图象必过定点 C．函数的单调增区间是 D．若幂函数，则对任意，都有 8．有关数据显示，2015年我国快递行业产生的包装垃圾约为400万吨.有专家预测，如果不采取措施，快递行业产生的包装垃圾年平均增长率将达到50%.由此可知，如果不采取有效措施，则从___________年(填年份)开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.(参考数据：，) 9．已知函数，若实数满足，则的最大值为________． 10．已知幂函数在上单调递减. (1)求实数的值； (2)若，当时，关于的不等式在上有解，求的取值范围. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 指数函数强化 重点目标： 1. 深化指数型复合函数的单调性、值域、定义域核心性质.熟练掌握“同增异减”法则的规范应用. 2. 掌握指数型函数恒成立、存在性问题的基础解题模型.能转化为最值问题求解参数范围. 3. 熟悉指数函数实际应用场景（增长、衰减模型）.能建立指数函数模型解决实际求值、预测问题. 4. 掌握指数函数与一次函数、二次函数、不等式结合的综合题型.理清跨章节融合解题逻辑. 5. 读懂指数类新定义题型规则.能结合指数函数基础性质完成简单新定义推理与运算. 难点目标： 1. 精准区分恒成立与存在性问题的最值差异.规避参数范围反向、区间取舍错误. 2. 掌握含参底数、复合型指数函数的分类讨论方法.完整覆盖底数范围、定义域约束条件. 3. 突破指数函数复杂综合题型.融合单调性、奇偶性、最值、不等式求解复合型压轴问题. 4. 熟练处理指数函数跨章节综合问题.结合二次函数最值、分段函数、不等式恒成立综合解题. 5. 攻克指数新定义、创新情境题型.具备抽象推理、模型转化、数形结合的高阶解题思维. 1、 重点知识 （一）指数型复合函数核心性质 · 通用模型：指数型复合函数统一形式.外层为指数函数.内层为初等函数. 1. 定义域：与内层函数定义域一致. 2. 值域求解步骤：先求内层取值范围.再结合外层指数函数单调性求整体值域. 3. 单调性法则（同增异减）：时.内外单调性一致则整体递增.相反则递减；时.内外单调性一致则整体递减.相反则递增. 4. 隐藏性质：指数型函数值域恒大于0.无负值.是解题关键隐藏条件. （二）指数型恒成立与存在性基础模型 · 以为定义域.函数为核心模型. 1. 恒成立核心逻辑：恒成立；恒成立. 2. 存在性核心逻辑：成立；成立. 3. 解题固定步骤：拆分复合函数→判断单调性→求区间最值→转化参数不等式→求解参数范围. （三）指数函数实际应用基础模型 1. 指数增长模型：.适用于人口增长、复利增长、产量递增等场景. 2. 指数衰减模型：.适用于折旧、衰变、浓度递减等场景. 3. 解题要点：找准初始量、变化率、自变量次数.结合指数运算求值、预测变化趋势. （四）指数函数常规综合基础考点 1. 指数函数与奇偶性结合：判断复合型指数函数奇偶性.利用奇偶性化简求值、解不等式. 2. 指数函数与单调性结合：比较复杂指数式大小、求解复合型指数不等式. 3. 定点综合问题：含参指数型复合函数恒过定点.通过分离参数、赋值求解定点坐标. 2、 难点知识 （一）核心易错难点 1. 根式化简陷阱：偶次根式开方必须加绝对值.奇次根式直接去根号.极易混淆导致符号错误. 2. 指数函数判定误区：形如均不是标准指数函数.必须严格满足定义条件. 3. 底数范围误区：忽略的前提.导致函数无意义、单调性判断错误. 4. 大小比较误区：未区分底数范围.直接默认单调递增.造成大小关系颠倒. （一）恒成立与存在性高阶难点（考试高频易错压轴） 1. 易错核心陷阱：学生极易混淆恒成立与存在性的最值取值.恒成立看整体最值约束.存在性看区间临界最值. 2. 含参底数分类讨论：底数含参数时.必须分和讨论单调性.两类情况最值完全相反.缺一不可. 3. 区间动参问题：定义域含参数、区间变动时.结合复合函数单调性.分类讨论区间与单调区间的位置关系. 4. 双变量恒成立问题：双指数型函数最值对比.转化为两个函数最值的大小关系求解参数. （二）指数函数与多章节融合综合难点 1. 指数与二次函数融合：内层为二次函数.结合二次函数对称轴、区间最值、开口方向.求复合函数值域与单调区间.是期中期末核心压轴题型. 2. 指数与分段函数融合：分段指数函数的奇偶性、单调性、零点、值域综合分析.需要分段讨论、整体验证. 3. 指数与不等式融合：复合型指数不等式、含参指数不等式.结合定义域、单调性脱去指数外壳.转化为整式不等式.全程约束定义域. 4. 指数与函数最值融合：闭区间上指数复合函数最值、值域压轴.结合数形结合规避繁琐运算. （三）指数实际应用拔高难点 1. 多阶段指数模型：分段增长、分段衰减的复合型实际模型.需要分段列式、分段计算. 2. 最值型应用题：结合指数单调性求解实际场景中的最大、最小值.求解最优方案. 3. 对数辅助运算：高考高频考点.指数方程无法直接求解时.借助对数转化求解变量. （四）指数新定义题型难点（高考创新压轴） 1. 新定义运算型：自定义指数运算规则、新型指数函数.需要严格依托题干定义运算.不套用旧结论. 2. 新定义性质型：定义“保值函数”“增域函数”“对偶指数函数”等新型函数.结合指数固有性质推理证明. 3. 创新情境判断：结合指数函数有界性、单调性、定点特征.判断新命题、新结论的真假. （五）深度拓展拔高知识 1. 指数有界性秒杀结论：恒成立.利用有界性快速证明恒正、恒负不等式.简化大题步骤. 2. 复合型同构模型：高考高频同构变形.将复杂指数式整理为同构形式.利用单调性脱壳解题. 3. 指数凹凸性拓展：高阶拓展性质.可快速判断函数增减速率、最值趋势.用于多选压轴秒杀. 4. 恒成立临界思想：参数临界值对应函数最值相等的状态.数形结合找临界图像.规避分类遗漏. 5. 指数与导数衔接拓展：为高二导数铺垫.复杂指数函数最值、切线、单调性问题的高阶分析思路. （六）本节培优高频失分点汇总 1. 混淆恒成立与存在性最值逻辑.参数范围反向出错. 2. 含参底数不分类讨论.默认单一单调性.导致答案不全. 3. 复合函数单调性忽略内层定义域.单调区间书写错误. 4. 解指数不等式忘记外层函数单调性约束.直接脱去指数符号. 5. 新定义题型套用固有结论.不严格遵循题干规则解题. 6. 二次型指数复合函数忽略二次函数开口、对称轴区间讨论. 7. 实际应用题遗漏自变量取值范围（正整数、正实数约束）. 题型01 指数型函数的恒成立和能成立问题 角度1：指数型函数的恒成立 【典例】已知函数可以表示成一个偶函数和一个奇函数之和，若不等式对恒成立，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.6 【分析】先利用奇函数与偶函数的定义，求出与，将不等式进行化简变形，然后由参变量分离，将问题转化为，由基本不等式求解最值，即可得出的可能取值. 【详解】由， 则， 解得，， 因为对恒成立， 则对恒成立， 所以对恒成立， 故对恒成立， 可得对恒成立， 又， 当且仅当时取等号，所以． 【变式】已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【难度】0.54 【分析】令，将不等式变成对任意恒成立，分离常数可得，令，结合函数的单调性求解即可. 【详解】，即. 令，由可得，则对任意恒成立， 等价于对任意恒成立， 所以，即. 令，易知在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以在上的最大值为. 所以，因为函数为增函数，当时，， 因此.即实数的取值范围为. 角度2：指数型函数的能成立问题 【典例】若函数为定义在上的奇函数. (1)求实数的值，并证明函数的单调性； (2)若存在实数使得不等式能成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，证明如下： 因为函数为定义在上的奇函数， 所以，解得， 经检验符合题意， 所以， 证明：任取，，且， 则 因为，所以， 所以，， ， 所以，即， 所以函数在上单调递增. 因为，在上的奇函数， (2) 【分析】（1）由求得a的值，运用函数单调性的定义证明即可. （2）由在上的奇函数可得，由在上单调递增可得，成立，进而可得，成立，令，运用换元法将问题转化为，，进而求在上的最小值即可. 【详解】（1）略 （2）所以， 由（1）知函数在上单调递增， 所以，成立， 即，成立， 设，则， 所以，， 所以，， 设，， 则在上单调递增，在上单调递减， 又，， 所以， 所以. 【变式】已知为常数，函数为奇函数． (1)求的值； (2)若，试判断的单调性（不需证明）； (3)当时，若存在，使得能成立，求实数的最大值． 【答案】(1) (2)在上单调递减 (3) 【难度】0.65 【分析】（1）根据奇函数定义可整理得到，由此确定，从而得到结果； （2）根据，结合指数函数单调性和单调性的性质可得到结论； （3）根据奇偶性和单调性可将不等式化为，根据单调性可确定，由此可得的范围，进而确定最大值. 【详解】（1）为奇函数，， 即， ，整理可得：， ，解得：. （2）由（1）知：若，则，， 在上单调递增且恒成立， 在上单调递减，在上单调递减. （3）为奇函数，可化为， 由（2）知：在上单调递减，在上有解， 与在上单调递增，在上单调递增， ，则，， 则实数的最大值为. 题型02 指数型函数的实际应用问题 【典例】为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示．    据图中提供的信息，回答下列问题： （1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为_________； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过_________小时后，学生才能回到教室． 【答案】 ； . 【分析】（1）设正比例函数为，代入点，可求得第一段函数的解析式，再将点代入，可求得第二段解析式，即可得函数的解析式； （2）令，求解即可. 【详解】（1）设正比例函数为，代入点， 得，解得， 所以当时，； 当时，将点代入， 得，解得， 所以此时， 综上，； （2）令， 即， 得，解得， 即至少需要小时才能进入教室. 【变式】某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（  ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】设植物原来长度为m，根据8天后，该植物的长度是原来的倍，求出，再结合指数幂的运算即可求得24天后该植物的长度是原来的多少倍． 【解析】方法1 设植物原来长度为m，8天后，该植物的长度是原来的倍， 故，即，即． 24天后该植物的长度是，即为原来的倍， 又， 所以24天后该植物的长度是原来的倍． 方法2  设植物原来长度为1，8天后，该植物的长度是， 24天后，该植物的长度是， 即24天后该植物的长度是原来的倍． 故选：C. 题型03 指数型函数性质的综合应用 【典例】已知函数，（为自然对数的底数，）．若，为方程的两个实数根，其中． (1)求实数的取值范围； (2)证明：为定值； (3)若，证明：． 【答案】(1) (2)由（1）可知，和为方程的两个不相等的实数根， 即方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理可知，，即， 所以 ， 因此为定值. (3)由（2）可知，， 记，则，，且， 所以， 易知函数在上单调递增， 所以要证明，即证明，等价于证明， 即证明， 因为，所以，即， 所以. 【分析】（1）根据题目条件得到方程，将方程的解转化为图象的交点，结合对勾函数的性质从而求解； （2）根据韦达定理得到两根之间的关系，结合函数的方程进行证明； （3）根据函数的单调性将不等式转化为函数值的比较，在结合参数之间的等量关系进行证明. 【详解】（1）由，可得， 令，则方程在上有两个不相等的实数根， 即函数与在上有两个不同的交点， 根据对勾函数的性质可知，即. （2）略 （3）略 【变式】已知奇函数的定义域为，． (1)求在区间上的值域； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据奇偶性得出，再令，结合一元二次函数求值域； （2）令，将问题转化为在上恒成立，结合一元二次函数讨论即可. 【详解】（1）依题意得，解得，所以，， 又，满足是奇函数. 令，因为，所以． 又，故， 又，，，所以， 故在区间上的值域为； （2） ， 令，，故， 设，故在上恒成立， 当，即时，， 解得，所以； 当，即时，，解得，所以． 综上，实数的取值范围为． 题型04 指数函数与其他章节的融合与综合 【典例】已知定义域是R的函数是奇函数. (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并予以证明； (3)设，若关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2)由单调递增可知在上为增函数，证明如下： 对于任意实数，不妨设， ， 递增，且，，，， 故在上为增函数． (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质，利用进行求解； （2）根据函数单调性的定义进行证明即可； （3）结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化，利用参变分离的思想结合函数有解的条件进行转化． 【详解】（1）由为定义在上奇函数，可知， 即，解得． 经检验，符合题意， 故； （2）略 （3）由为奇函数得：，等价于． 又由在上为增函数得：，即； 因为，所以．原问题转化为在上有解， 又对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，. 的取值范围是． 【变式】已知函数是幂函数. (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)若，且关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂函数定义列式求解； （2）由得，而，运算得解； （3）由（1）结合求得，不等式有解化简等价于有解，利用求得答案. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，解得. （2）由（1）知， 因为，所以， 所以， 即. （3）由（1）知，因为，所以，即，所以. 所以关于的不等式有解，等价于有解， 因为函数在上单调递增，所以有解，即有解， 所以，解得. 所以，实数的取值范围为. 题型05 与指数函数有关的新定义题 【典例】意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？1691年，莱布尼茨等学者研究得出这就是著名的“悬链线问题”，现如今，作为神经网络激活函数之一，广泛应用在“deepseek”、“豆包”等AI大模型中.双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，类似的，我们可以定义双曲正弦函数，设函数， (1)判断的奇偶性并证明； (2)判断在R上的单调性（写出推理过程，无需严格证明）； (3)若实数满足不等式，求的取值范围. 【答案】(1) 为奇函数，证明如下： 由题意可知，的定义域为R， 因为，所以为奇函数； (2) 在R上单调递增，理由如下： 因为， 而在R上为增函数，且恒成立， 所以在R上单调递减， 所以由复合函数的单调性可知在R上单调递增； (3) 【分析】（1）先求函数定义域，再得，即可证明为奇函数； （2）化简得到，由复合函数单调性可得答案； （3）由奇偶性和单调性可得不等式，求出答案. 【详解】（1）略 （2）略 （3）在R上为奇函数， ，所以， 由于在R上单调递增，所以， 所以，解得， 所以的取值范围是. 【变式】若函数满足：，有和同时成立，则称为“类直线函数”． (1)判断函数是否为“类直线函数”； (2)设函数， （ⅰ）若为“类直线函数”，求实数a的取值范围； （ⅱ）若，求证：当时，． 【答案】(1)是 (2) （ⅰ） （ⅱ）由（ⅰ）知若，为“类直线函数”，且， 当时，． 由“类直线函数”可知 即 所以，不等式得证． 另解：当，，则． 要证，即证，等价于，（*） 因为，所以，， 所以（*）式得证，原不等式得证． 【分析】（1）根据“类直线函数”的定义进行判断； （2）（ⅰ）由为“类直线函数”知，对，及恒成立，通过参变分离可求得的取值范围； （ⅱ）由（ⅰ）知若，为“类直线函数”，从而利用函数的性质可得证. 【详解】（1）当，时，，， 又， 所以是“类直线函数”． （2）（ⅰ）当时，由恒成立，又，所以． 由，得 ， 即， 整理可得, 即， ，， 故，， 所以， 综上可知，a的取值范围是． （ⅱ）略． 【巩固训练】 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次不等式和指数函数性质求出集合，再利用交集和补集的定义求解即可. 【详解】由题意得，由指数函数性质可得， 则， 故选：C. 2．“”是“”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分又不必要 D．充要 【答案】A 【分析】应用指数函数单调性结合充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由指数函数的单调性得， 若，则，所以充分性成立； 若，则不定一成立，如，但，所以必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义及单调性求出，再结合指数函数的性质可得. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得或， 又为为增函数，则， 故恒过定点. 故选：C. 4．双曲函数是一类与三角函数类似的函数，在物理学上应用广泛.定义双曲正切函数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性的定义先判断函数为奇函数，在上为增函数，进而求解判断即可. 【详解】由，， 则，所以为奇函数， 由，则， 又，在上为增函数， 所以，即. 则“”是“”的充分必要条件. 故选：C 5．若对任意的，都有恒成立，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数化为,分和两种情况讨论在区间上的最大值,进而求【解析】由得， ，所以的最小值为， 所以，． 故选：B． 6．已知，函数的最大值为__________，最小值为__________． 【答案】最小值为1，最大值为2 【分析】解二次不等式可得，结合指数函数单调性可得，换元令，结合二次函数性质求最值即可. 【详解】因为，即， 可得，解得， 令，可得， 当，即时，取到最小值1； 当，即时，取到最大值2. 7．在上定义运算：，当时，不等式有解，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】利用运算的定义，结合不等式的性质可得的取值范围，从而得到实数的取值范围. 【详解】依题意得， 由得，所以 所以，所以. 当时，不等式有解，所以， 即实数的取值范围是. 8．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2023年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆､绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统．若过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量），且前4小时消除了的污染物，则污染物消除至最初的还需要过滤 小时． 【答案】4 【分析】先列出关于还需要过滤时间x小时的方程，解之即可求得还需要过滤时间为4小时. 【解析】根据题意有，，可得，即 设污染物消除至最初的还需要过滤x小时， 则，即 则，即， 则，解之得 故答案为：4 9．已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用奇函数性质，由解得，检验成立； （2）结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化，利用参变分离的思想结合函数有解的条件进行转化． 【详解】（1）因为，所以定义域为R， 又为奇函数，则， 即，解得，   所以，，符合题意， 即. （2）由(1)得， 是定义在R上的减函数， 是R上的增函数． 又是R上的奇函数， 所以， ， ，                        因为关于的不等式在上有解， 且在的最大值为， 所以，解得． 【强化训练】 1．定义一种运算，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，， 因为在上是单调递增函数，所以，即； 当时，，， 因为在上是单调递减函数，所以，即； 综上可知，的值域为.故选项C正确. 2．已知函数，则（     ） A．是减函数，且曲线存在对称轴 B．是减函数，且曲线存在对称中心 C．是增函数，且曲线存在对称轴 D．是增函数，且曲线存在对称中心 【答案】D 【分析】先判断定义域是否关于原点对称，进而利用函数对称中心定义判断对称中心，再由指数函数的单调性结合复合函数单调性可判断函数的单调性. 【详解】函数定义域为R，关于原点对称，满足，所以曲线存在对称中心， 函数，在上单调递增，在上单调递增，所以是增函数. 3．已知函数为奇函数，则下列结论不正确的是（    ） A．的定义域为 B． C．的单调递减区间为 D．的值域为 【答案】C 【分析】对A，由，即可求解；对B，根据函数为奇函数，由即可求解；对C，利用指数函数的单调性求解；对D，由时，，得到，再由是奇函数即可求解． 【详解】对于A，由，解得，所以的定义域为，故A正确； 对于B，因为函数是定义域为的奇函数，所以， 即，解得， 当时，，， 则符合题意，所以B正确； 对于C，当时，，且在上递增，则在上递减， 所以在上递减，又是奇函数， 则的单调递减区间为和，故C错误， 对于D，由选项B可知，，当时，，则， 所以，又是奇函数，当时，， 所以的值域，故D正确． 4．已知函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义判断函数的奇偶性与对称性，再根据直接法判断函数的单调性，解不等式即可. 【详解】， 设， ， 由，得， 又因为， 所以是上的奇函数，即， 又有， 因为是上的增函数，是上的增函数，所以是上的增函数； 则， 即，整理得：，解得：或， 所以实数的取值范围为，故选B． 5．已知函数．将函数向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由平移规律求出，再分析的单调性和值域，结合的性质转化不等式求解. 【详解】将向下平移1个单位，再向右平移1个单位可得，即. 当时，单调递增，值域为； 当时，单调递增，值域为. 由于，故，若要满足， 解，得；满足， 解，因式分解得，解得或. 取交集得的取值范围为. 6．（多选）已知函数可以表示成一个偶函数和一个奇函数之和，若不等式对恒成立，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】先利用奇函数与偶函数的定义，求出与，将不等式进行化简变形，然后由参变量分离，将问题转化为，由基本不等式求解最值，即可得出的可能取值. 【详解】由， 则， 解得，， 因为对恒成立， 则对恒成立， 所以对恒成立， 故对恒成立， 可得对恒成立， 又， 当且仅当时取等号，所以． 7．（多选）下列结论中正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则 B．函数的图象必过定点 C．函数的单调增区间是 D．若幂函数，则对任意，都有 【答案】BD 【分析】根据幂函数解析式，代入点坐标，求出n值，即可判断A的正误；根据指数函数恒过定点的求法，可判断B的正误；根据指数型复合函数单调性的求法，可判断C的正误；根据条件，代入化简，结合基本不等式，即可判断D的正误. 【详解】选项A：设幂函数，由于过点，代入可得， 解得，则，故A错误； 选项B：令，解得，此时， 所以图象必过定点，故B正确； 选项C：令，为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，在R上单调递减， 由复合函数单调性”同增异减”的原则，可得的单调增区间是，故C错误； 选项D：由题意， 则， 所以，即，故D正确. 8．有关数据显示，2015年我国快递行业产生的包装垃圾约为400万吨.有专家预测，如果不采取措施，快递行业产生的包装垃圾年平均增长率将达到50%.由此可知，如果不采取有效措施，则从___________年(填年份)开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.(参考数据：，) 【答案】2021 【分析】根据条件列指数函数，再解指数不等式得结果. 【详解】设快递行业产生的包装垃圾为万吨，表示从2015年开始增加的年份数，由题意可得，，得， 两边取对数可得，∴，得，解得，∴从2015+6=2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨. 故答案为：2021 9．已知函数，若实数满足，则的最大值为________． 【答案】/ 【分析】先判断的图象关于成中心对称，再判断函数的单调性，从而可得，结合基本不等式可求最大值. 【详解】因为， 故， 故而知的图象关于成中心对称， 而， 因为为上的增函数，故也为上的增函数， 而为上的增函数，故为上的增函数， 而，故， 故即， 又 当且仅当时上式取等，故的最大值为． 10．已知幂函数在上单调递减. (1)求实数的值； (2)若，当时，关于的不等式在上有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的单调性结合，即可得到答案； （2）对不等式进行分离参数得到，令，求的值域进而得到k的取值范围. 【详解】（1）由题可知，，解得， 又，所以. （2）将代入中可得， 所以不等式可化为， 即当时，能成立. 令，令，则， 则， 又在上单调递增，所以， 即， 所以在上的值域是. 所以k的取值范围为. / 学科网（北京）股份有限公司 $