专题10 双曲线及其标准方程（重难点讲义）数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦双曲线定义、标准方程及应用核心知识点，系统梳理从定义（含“距离差的绝对值为定值”条件及临界轨迹判定）到标准方程（焦点位置判断、参数关系），再到方程求法（定义法、待定系数法）的脉络，通过与椭圆对比构建知识支架。 资料通过定义临界情况辨析培养数学思维（推理意识），设计焦点三角形、轨迹问题等题型发展数学眼光（几何直观），典例与变式结合助学生规范数学语言（模型意识）。课中辅助分层教学，课后易错点汇总助力学生查漏补缺。

专题10 双曲线及其标准方程 重点目标： 1. 掌握双曲线的定义，理解定义中“距离差的绝对值为定值”的核心条件，明确轨迹成立的限定范围. 2. 熟记双曲线焦点、焦距的概念，掌握双曲线两类标准方程的形式，能快速区分焦点在x轴、y轴的方程特征. 3. 掌握双曲线中三者的核心等量关系，清晰区分与双曲线参数公式的差异，熟练完成参数互化. 4. 熟练运用定义法、待定系数法求解双曲线标准方程，掌握焦点位置确定、参数求解的解题步骤. 5. 能利用双曲线定义解决距离求值、轨迹判断、基础计算题型，适配基础必考考点. 难点目标： 1. 精准辨析双曲线定义的临界情况，能区分轨迹为双曲线、两条射线、无轨迹的三种不同条件，规避定义误区. 2. 不依赖图像，通过方程结构精准判断双曲线焦点位置，突破与双曲线焦点判断的混淆难点. 3. 掌握含参数双曲线方程的约束条件，根据双曲线存在的前提，求解参数取值范围，规避参数漏限问题. 4. 灵活运用双曲线定义进行线段距离转化、周长与最值分析，解决定义类填空、解答综合题型. 5. 综合运用轨迹法、待定系数法求解复杂双曲线方程，结合几何条件解决中档解析几何题型. 1、 重点知识 （一）双曲线定义 · 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线. 1. 定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距，记. 2. 设双曲线上任意一点为，恒满足核心等式：. 3. 定义核心硬性条件：，即，是轨迹为双曲线的必要前提. （二）定义临界轨迹判定 1. 当时，动点轨迹为双曲线； 2. 当时，动点轨迹为以为端点的两条射线； 3. 当或时，无满足条件的动点轨迹. （三）双曲线两类标准方程 · 通用前提：，核心恒等式：（与双曲线公式严格区分）. 1. 焦点在轴上：焦点，标准方程为. 2. 焦点在轴上：焦点，标准方程为. （四）方程核心识别规律（考试速判） 1. 双曲线标准方程左边为两个平方项作差，右边为1，区别于双曲线的平方项求和. 2. 正项定轴：平方项为正的未知数对应焦点所在坐标轴，正项分母为，负项分母为. 3. 为实半轴长，为虚半轴长，为半焦距，始终满足最大. （五）双曲线方程常用求法（期中必考） 1. 定义法：根据距离差的绝对值为定值，直接确定，求出，直接书写标准方程. 2. 待定系数法：已知焦点位置，对应设出标准方程，代入已知点坐标求解参数. 3. 通用设法：焦点位置不确定时，设统一方程，规避分类讨论. 2、 难点知识 （一）核心易错难点（选择填空高频陷阱） 1. 定义条件遗漏误区：常忽略前提，直接判定轨迹为双曲线，混淆双曲线与射线轨迹. 2. 公式混淆致命陷阱：记错参数关系，将双曲线与双曲线颠倒，导致计算错误. 3. 焦点判断误区：照搬双曲线“大数定轴”规律，双曲线为“正项定轴”，正负项判断失误错判焦点位置. 4. 方程判定误区：忽略双曲线方程平方项一正一负的核心特征，误判双曲线方程. 5. 定义绝对值误区：遗漏定义中的绝对值，导致仅能表示双曲线的一支，轨迹不完整. （二）含参双曲线方程难点 1. 参数范围判定：已知方程为双曲线，需满足平方项系数异号，据此列出不等式，求参数取值范围. 2. 焦点位置分类讨论：参数不确定时，正负项不固定，需分类讨论焦点在x轴、y轴两种情况. 3. 含参定点问题：结合双曲线方程恒成立特征，分离参数，求解动双曲线恒过定点坐标. （三）双曲线定义拔高应用 1. 焦点三角形问题：双曲线上任意一点与两焦点构成焦点三角形，结合定义得边长关系，用于周长、边长、角度计算. 2. 单支双支区分：无绝对值的仅表示双曲线右支，仅表示左支，解题需区分支的范围. 3. 距离最值转化：利用双曲线定义进行线段转化，求解双曲线上动点到定点、定焦点的距离最值. （四）深度拓展拔高知识 1. 双曲线与双曲线对比体系：总结两类圆锥曲线定义、公式、焦点判断的异同，解决多选对比题型. 2. 点与双曲线位置关系：点代入双曲线左侧，可快速判定点在双曲线内外区域. 3. 双曲线对称性：双曲线关于x轴、y轴、原点中心对称，可快速求解对称双曲线方程、对称点坐标. 4. 隐形双曲线轨迹：根据距离差定值、几何垂直、边长关系等隐藏条件，挖掘隐形双曲线轨迹，转化为标准方程求解. 5. 定义恒成立综合：结合双曲线定义约束条件，求解参数恒成立、存在性问题，是高考中档解答题高频考点. （五）全节高频失分点汇总 1. 混淆双曲线与双曲线平方关系，计算全程出错. 2. 遗漏双曲线定义绝对值与取值范围条件，误判轨迹类型. 3. 误用双曲线“大数定轴”判断双曲线焦点位置，方向判断错误. 4. 含参双曲线未讨论系数正负，遗漏焦点位置情况，答案不完整. 5. 求解轨迹方程未区分双曲线两支，出现范围多余或缺失问题. 6. 通用双曲线方程设错，不满足系数异号核心条件. 题型01 双曲线的定义及应用 角度1：双曲线定义的辨析 【典例1】已知，，动点P满足，则点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．射线 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义可求得结果. 【详解】因为，，所以， 则，由双曲线的定义可知，点P的轨迹为双曲线的一支. 故选：B. 【典例2】双曲线上一点到它的一个焦点的距离为5，那么点到另一个焦点的距离为（    ） A．1或9 B．9 C．2或6 D．6 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义和性质可求答案. 【详解】由方程可得， 由定义可得，因为，所以或， 双曲线上的点到同侧焦点的最小距离为， 所以. 故选：B 【变式1】已知，则动点的轨迹是（　） A．一条射线 B．双曲线右支 C．双曲线 D．双曲线左支 【答案】A 【分析】根据可得动点的轨迹. 【详解】因为，故动点的轨迹是一条射线， 其方程为：，故选A. 【变式2】已知双曲线上的点到点的距离是，则点到点的距离（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义列方程，解方程求得到点的距离. 【详解】双曲线的焦点坐标为，依题意，根据双曲线的定义，即，解得或. 故选D. 角度2：判断方程是否为双曲线 【典例】已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支 【答案】D 【分析】根据两点间距离化简方程，再根据双曲线的定义即可判断. 【详解】设点，点， 而方程的几何意义是点到两定点M，N的距离之差为， 即， ∴动点的轨迹是双曲线的一支． 故选：D. 【变式】如果点的坐标满足方程，则的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．射线 【答案】D 【分析】根据所给方程的几何意义分析点的轨迹. 【详解】设，则. 由题可知，， 所以点的轨迹是射线. 故选：D. 题型02 求双曲线的标准方程 角度1：根据已知几何条件求双曲线方程 【典例】根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与双曲线有相同的焦点，且经过点； (2)过点，且焦点在坐标轴上． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设双曲线的方程为或，然后根据已知条件来求得正确答案. （2）双曲线的方程为，然后根据已知条件来求得正确答案. 【详解】（1）方法一 根据题意，设所求双曲线的标准方程为， ，即．① 双曲线经过点， ．② 由①②得，， 双曲线的标准方程为． 方法二 设所求双曲线的方程为． 双曲线过点， ， 解得或（舍去）． 双曲线的标准方程为． （2）设双曲线的方程为，． 点，在双曲线上， 解得 双曲线的标准方程为． 【变式】根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)经过两点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出双曲线的标准方程，代入已知条件求解即可； （2）根据焦点设出双曲线的方程，代入经过的点计算即可； （3）设双曲线的方程，代入点的坐标，联立解参数即可． 【详解】（1）由， 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得． 故所求双曲线的标准方程为：． （2）设所求双曲线的方程为． ∵双曲线过点，∴， 解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）可设双曲线的方程为， 则有解得 则双曲线的标准方程为． 角度2：定义法求双曲线方程 【典例1】已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，结合双曲线的定义，即可求解. 【详解】由点，，可得， 又由，可得， 根据双曲线的定义，可得点的轨迹表示以为焦点的双曲线的右支， 且，可得，则， 所以点的轨迹方程为. 故选：C. 【典例2】若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线定义得到点P的轨迹方程是以与为焦点的双曲线，得到答案. 【详解】由题意得点到点与点的距离之差的绝对值为3，且， 故动点P的轨迹方程是以与为焦点的双曲线， 故， 所以， 所以双曲线的方程为. 故选：A. 【变式1】设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用双曲线定义确定曲线为双曲线，再利用题给条件即可求得曲线的标准方程. 【详解】在椭圆中，由题知，解得， 所以椭圆的焦点为，， 因为曲线上的点到，的距离的差的绝对值等于8，且， 所以曲线是以，为焦点，实轴长为8的双曲线， 所以曲线的虚半轴长为， 故的标准方程为：. 故选：A. 【变式2】已知动点的坐标满足方程，则的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】此方程表示点到点的距离与到点的距离之差为8，而这正好符合双曲线的定义，点的轨迹是双曲线的右支， ，的轨迹方程是，故选C. 题型03 由双曲线的标准方程求参数 【典例1】设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线，，解得. 【典例2】若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】由焦点在y轴上的双曲线方程的结构特征列出关于m的不等式组求解即得. 【详解】因方程表示焦点在y轴上的双曲线， 则有，解得， 所以实数m的取值范围为. 故选：A 【变式1】已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线方程的特征列式求解即得. 【详解】方程表示焦点在x轴上的双曲线，则，解得， 所以实数m的取值范围是 故选：C 【变式2】方程表示双曲线的必要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】根据双曲线的方程，可得结果. 【详解】由， 得 方程 表示双曲线的充要条件是， 即，知正确， 故选： 题型04双曲线的焦点三角形问题 角度1：焦点三角形的面积问题 【典例1】若椭圆与双曲线有相同的焦点，，P是两曲线的一个交点，则的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】椭圆与双曲线有相同焦点得到．根据双曲线和椭圆的定义可得，，在中由三边的关系得出其为直角三角形，利用面积公式求结论． 【详解】由题意设两个圆锥曲线的焦距为， 椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为， 由它们有相同的焦点，得到，即． 不妨令在双曲线的右支上，由双曲线的定义，① 由椭圆的定义，② ①2②2得， 所以， ①2②2得， 所以， 又，故， 所以， 则的形状是直角三角形 即有的面积为. 故选：A． 【变式】若椭圆和双曲线的共同焦点为是两曲线的一个交点，则的面积值为 （    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】设点，根据方程组求点P的坐标和焦距，进而可得面积. 【详解】对于椭圆可知：半长轴长为5，半短轴长为3，半焦距为4，则， 设点，则，解得， 所以的面积值为. 故选：A. 角度2：焦点三角形的周长问题 【典例】已知分别是双曲线的左右焦点，是上的一点，且，则的周长是__________． 【答案】34 【分析】由双曲线定义可得，再利用之间的关系求得，从而得到所求周长. 【详解】因为，所以， 故，则， 又，故，则，， 所以的周长为. 故答案为：34. 【变式】已知双曲线的两个焦点分别为，点在双曲线上，且，则的周长为______，面积为_______. 【答案】 12 6 【分析】根据双曲线的定义可得，结合求得，即可求得的周长，再利用余弦定理和三角形面积公式可求其面积. 【详解】 根据题意，， 因为， 由， 可得，则的周长为； 在中，根据余弦定理， ， 则， 故 故答案为：12；6. 角度2：焦点三角形的解三角形问题 【典例】已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与的距离为2，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先应用双曲线定义得出，，再应用余弦定理计算求解即可. 【详解】因为，， 由双曲线的定义可知，得， 又因为， 在中，， 所以. 故选：B． 【变式】设，分别为双曲线的左，右焦点，点为双曲线上的一点.若，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，设，，由双曲线定义知，平方得：，在中利用余弦定理可得：，即可得到，再利用等面积法即可求得 【详解】由题意，双曲线中， 如图，设，，由双曲线定义知 两边平方得： 在中，由余弦定理可得：，即 两式相减得：，即 利用等面积法可知：，即 解得 故选：C. 题型05与双曲线有关的轨迹问题 【典例1】已知一个动圆P与两圆和都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设动圆半径为， 由于动圆P与两圆和都外切， 所以，， 即， 可知动圆P圆心的轨迹为以为焦点，实轴长为4的双曲线的左支， 即，，， 所以动圆P圆心的轨迹方程为， 故选：A. 【典例2】已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质，可得，结合双曲线的定义，可得a，c的值，根据a，b，c的关系，即可求得答案. 【详解】因为圆心，，所以， 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为， 所以， 所以， 所以Q点轨迹为双曲线，且， 所以，则点的轨迹方程为.    故选：B 【变式1】已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，化简得出，利用双曲线的定义，得到点M的轨迹是以为焦点的双曲线的左支，即可求解其轨迹方程，得到答案. 【详解】设动圆的圆心M的坐标为，半径为， 则由题意可得， 相减可得，所以点M的轨迹是以为焦点的双曲线的左支， 由题意可得，所以， 故点M的轨迹方程为，故选B. 【变式2】已知圆外一点，点P是圆上任意一点，线段NP的垂直平分线l和直线MP交于点Q，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线的定义求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径， 由于线段的垂直平分线交直线于， 所以， 所以， 所以点的轨迹是双曲线，且， 所以点的轨迹方程为. 故选：A 题型06 双曲线中线段和差的最值 角度1：线段和的最值问题 【典例】已知是双曲线的左焦点，点是双曲线的右支上的动点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义对所求代数式进行变形，结合两点间距离公式即可求出最小值. 【详解】由题意知，双曲线，，，左焦点，右焦点. 由双曲线的定义可知，双曲线右支上点满足，即， 所以，当、、共线时，等号成立. ， 故的最小值为. 故选：B. 【变式】已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为，焦距为8，点的坐标为，点为的右支上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义及渐近线方程，将转化为的形式，通过点共线判断并计算的最小值即可. 【详解】如图所示 由题意知，解得 记的右焦点为，即， 由双曲线的定义，得，即 所以， 当且仅当点在线段上时等号成立, 所以的最小值为. 故选：C. 角度2：线段差的最值问题 【典例】已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线定义得，则利用三角形任意两边之差小于第三边求出的最小值即为. 【详解】由题意得双曲线焦点在轴上，，，， 所以下焦点，设上焦点为，则， 根据双曲线定义：，在上支， ，, 在中两边之差小于第三边，， ,   . 故选：D. 【变式】已知点，点P是双曲线左支上的动点，为其右焦点，N是圆的动点，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】根据双曲线定义有，则，，，则得到最小值. 【详解】因为双曲线的焦点为, 圆的圆心,恰好为双曲线的左焦点, ， (当且仅当三点共线时取等号)， (当且仅当,,三点共线时取等号), ， 的最小值为. 故答案为：. 题型07双曲线及标准方程的综合 【典例】已知，，动点满足，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若点在上，且，求的面积. 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据双曲线的定义求解即可； （2）设，，由双曲线的定义和勾股定理列方程组，进而可求出，从而可得出答案. 【详解】（1）由双曲线的定义及， 可得点的轨迹是焦点在轴上的双曲线， 设其标准方程为（，）， 则，解得，， 所以的方程为； （2）设，，由双曲线的定义得， 因为，所以， 所以的面积为. 【变式】设两点的坐标分别为，直线相交于点，且直线，的斜率之积是2. (1)求动点的轨迹方程； (2)直线与曲线交于两点，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设，将用坐标表示，化简可得点的轨迹方程； （2）联立直线与曲线，通过韦达定理以及弦长公式即可求解的值. 【详解】（1）设动点的坐标为，已知. 直线的斜率， 直线的斜率， 由题意，，即， 化简可得，；    （2）设， 联立得， 由韦达定理得， 根据弦长公式 , ∴综上所述，弦的长为 【巩固训练】 1．已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．3 B．6 C． D．9 【答案】D 【详解】双曲线的标准方程为其中 设双曲线的焦距参数为 ，则 已知一个焦点坐标为 ，所以 因此 2．已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 【答案】A 【分析】根据圆锥曲线的定义判断即可. 【详解】由题意可知， 因为， 所以点的轨迹是双曲线的一支. 3．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【详解】由题意知，椭圆的标准方程为，可得椭圆的焦点在轴上，且， 所以. 因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以双曲线的焦点在轴上， 所以双曲线方程可化为，且， 所以，解得. 4．已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线C：， 可知，即， 所以由双曲线定义可知， 解得或， 故选：C 5．（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（   ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为两条射线 【答案】AD 【分析】利用椭圆、双曲线、圆的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，，则点的轨迹为以为焦点的椭圆，A正确； 对于B，，则点的轨迹是以为焦点双曲线的右支，B错误； 对于C，由，得，则点的轨迹是以为直径的圆，C错误； 对于D，，则点的轨迹是以为端点，且不过的两条射线，D正确. 故选：AD 6．（多选）关于方程，下列说法正确的有（    ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线 D．若方程表示双曲线，则或 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合双曲线的标准方程及双曲线的性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以A正确； 对于B，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以B正确； 对于C，若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解； 若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解， 综上可得，不存在实数使得方程表示等轴双曲线，所以C错误； 对于D，若方程表示双曲线，则满足， 解得或，所以D正确. 7．已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为__________. 【答案】34 【详解】由题知，由双曲线的定义，知， 故的周长为. 8．已知平面上的动点与点，满足，则点的轨迹方程为_____. 【答案】 【分析】根据题意，求得，得到，进而得到点的轨迹方程. 【详解】由点，，可得， 因为，即，可得点三点共线， 且点的轨迹方程为. 故答案为： 9．求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点为，，且经过点； (2)焦点在y轴上，经过点，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）判断焦点位置，利用待定系数法求解； （2）利用待定系数法求解. 【详解】（1）因为双曲线的焦点为，， 则焦点在上，且， 方程可设为 又经过点， 则， 又，则， 所以双曲线方程为 （2）因为焦点在y轴上， 可设方程为， 又经过点，， 则，解得， 所以双曲线方程为. 10．已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比为，且的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)已知第一象限内的动点在上，点. （i）若点，求的最小值； （ii）若，求的面积. 【答案】(1)（或）. (2)（i）；（ii）3 【分析】（1）根据距离公式得到方程，整理即可得解； （2）（i）由（1）可得，再根据双曲线的定义计算可得；（ii）利用勾股定理求出，再由面积公式计算可得. 【详解】（1）因为动点与定点的距离和它到定直线的距离之比为， 所以， 将上式两边平方，化简得， 所以的方程为（或）. （2）（i）由（1）可知分别是的左､右焦点，又，， 因为第一象限内的点在上，所以，则， 又，所以， 所以， 当且仅当在与双曲线在第一象限的交点时取等号， 所以的最小值为. （ii）由题意得， 将①左右两边平方，得，结合②得， 所以的面积为. 【强化训练】 1．已知AB是双曲线中过右焦点F的弦，且A、B均在双曲线的右支上，则以AB为直径的圆与右准线l的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定 【答案】C 【详解】如图，设A，B到右准线的距离分别是. 由双曲线定义知： . 设弦AB中点为M，它到准线l的距离为MN，则， 从而有. . . 因此以为直径的圆与右准线的位置关系是相交. 2．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上异于顶点的动点，的内切圆与轴相切于点，若点是以为圆心、半径为1的圆上的动点，则的最小值为（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义与切线长定理确定出切点为定点，进而将问题转化为求已知圆上的动点到定焦点的最短距离. 【详解】由题意得，则，所以， 设的内切圆与分别相切于两点，则有， 由双曲线定义可得，即， 进而，即， 因为，所以， 联立得，因为，所以， 所以点在以为圆心，半径的圆上移动，且， 所以. 3．已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线定义设出两焦半径，再在焦点三角形中由余弦定理列方程求边长，最后相加得周长. 【详解】因为双曲线，则，所以. 因为点在双曲线右支上，所以. 令，则，又因为，， 所以由余弦定理得，即， 即，因为，解得，即，所以， 则的周长为. 4．已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线定义得，再利用三角形两边差小于第三边，当三点共线时取等号即可求解. 【详解】由双曲线得，，所以. 则右焦点，设左焦点为. 点M在双曲线右支上，所以，即. 所以. 因为，当且仅当三点共线时，且在延长线与双曲线右支交点时取等号. 又， 所以的最大值为. 5．（多选）当时，方程表示的曲线形状可能是（   ） A．两条平行直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】ACD 【分析】根据椭圆、双曲线的标准方程进行判断即可. 【详解】因为，所以. 当时，方程变为，即和. 和为两条平行的直线，A正确； 当时，方程变为. 因为，所以此方程表示为焦点在轴上的椭圆，C正确； 当时，方程变为. 所以此方程表示为焦点在轴上的双曲线，D正确； 故选：ACD. 6．（多选）已知双曲线，焦点，，以坐标原点为圆心，为半径的圆与双曲线于第一象限交于点，则下列满足内切圆半径为1的双曲线方程有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】通过内切圆半径确定双曲线中需满足的等式关系，进而逐项判断即可. 【详解】以原点为圆心、为半径的圆方程为，该圆过双曲线的两个焦点， 根据直径所对圆周角为直角，可得为直角三角形，， 设，，由双曲线定义得； 直角三角形内切圆半径公式为，又，， 代入得；结合， 可得：， 由勾股定理， 将、代入上式化简可得关系：； 选项A：双曲线，，， ，不满足条件， 选项B：双曲线，，， ，满足条件， 选项C：双曲线，，， ，满足条件， 选项D：双曲线，，， ，满足条件. 7．已知双曲线与直线交于不同的两点A，B，若线段的中点在圆上，则________. 【答案】2 【分析】利用中点弦的性质代入原方程即可得解. 【详解】设，线段的中点，由 ,得，判别式，解得， 由韦达定理，所以，. 因为中点在圆上，故，解得. 8．双曲线型冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为24米，上口半径为26米，下口半径为40米．若半径最小的圆将冷却塔分成上、下两部分的高分别为、米，则______．    【答案】/ 【分析】以最小半径所在圆的圆心为原点建立平面直角坐标系，设出双曲线方程，将上口和下口边缘点的坐标代入方程，通过消去参数b求得高度之比. 【详解】以最小半径所在圆的圆心为坐标原点，水平直径为轴，竖直中心轴为轴建立坐标系， 设双曲线标准方程， 冷却塔最小半径对应双曲线实半轴，故， 上口边缘点：（，上半部分高度）， 下口边缘点：（，下半部分高度）， 将代入双曲线方程，移项整理得， 将代入双曲线方程，移项整理得， 两式相除得， 因为，所以. 9．已知圆 ，过点的直线与圆交于两点，过点作的平行线交直线于点.求点的轨迹的方程; 【答案】 【分析】利用与平行及的几何关系，推导出 ，再根据双曲线的定义，确定点的轨迹是以为焦点、实轴长为的双曲线右支，进而求出轨迹方程. 【详解】圆的圆心为，半径，定点，则, 如图，由于与平行，得， 又因为,所以， 因此，又， 所以，故； 点在直线上，故，即； 因，根据双曲线定义，点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线右支, 半焦距，实半轴，则,轨迹方程为 . 10．已知动点分别与定点和连线的斜率乘积． (1)求动点的轨迹方程； (2)是的右焦点，若过点，与曲线交于，两点，是否存在轴上一定点，使得以为直径的圆恒过该定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据斜率的计算公式代入求解即可. （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，结合圆的性质、韦达定理及向量垂直的坐标表示化简求解即可. 【详解】（1）由题意知，（，否则斜率不存在）， 则，即， 整理得 . 故动点的轨迹方程为 . （2）易知. 当直线斜率存在时，设：. 联立，整理得， 由题意知，， 设，，则，. 以为直径的圆恒过该定点，则，即. 又 ， 则， 即，解得，故 当直线斜率不存在时，此时：，代入双曲线方程解得， 不妨设，，以为直径的圆为， 将代入中，等式成立. 综上，存在满足条件的定点，坐标为. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 双曲线及其标准方程 重点目标： 1. 掌握双曲线的定义，理解定义中“距离差的绝对值为定值”的核心条件，明确轨迹成立的限定范围. 2. 熟记双曲线焦点、焦距的概念，掌握双曲线两类标准方程的形式，能快速区分焦点在x轴、y轴的方程特征. 3. 掌握双曲线中三者的核心等量关系，清晰区分与双曲线参数公式的差异，熟练完成参数互化. 4. 熟练运用定义法、待定系数法求解双曲线标准方程，掌握焦点位置确定、参数求解的解题步骤. 5. 能利用双曲线定义解决距离求值、轨迹判断、基础计算题型，适配基础必考考点. 难点目标： 1. 精准辨析双曲线定义的临界情况，能区分轨迹为双曲线、两条射线、无轨迹的三种不同条件，规避定义误区. 2. 不依赖图像，通过方程结构精准判断双曲线焦点位置，突破与双曲线焦点判断的混淆难点. 3. 掌握含参数双曲线方程的约束条件，根据双曲线存在的前提，求解参数取值范围，规避参数漏限问题. 4. 灵活运用双曲线定义进行线段距离转化、周长与最值分析，解决定义类填空、解答综合题型. 5. 综合运用轨迹法、待定系数法求解复杂双曲线方程，结合几何条件解决中档解析几何题型. 1、 重点知识 （一）双曲线定义 · 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线. 1. 定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距，记. 2. 设双曲线上任意一点为，恒满足核心等式：. 3. 定义核心硬性条件：，即，是轨迹为双曲线的必要前提. （二）定义临界轨迹判定 1. 当时，动点轨迹为双曲线； 2. 当时，动点轨迹为以为端点的两条射线； 3. 当或时，无满足条件的动点轨迹. （三）双曲线两类标准方程 · 通用前提：，核心恒等式：（与双曲线公式严格区分）. 1. 焦点在轴上：焦点，标准方程为. 2. 焦点在轴上：焦点，标准方程为. （四）方程核心识别规律（考试速判） 1. 双曲线标准方程左边为两个平方项作差，右边为1，区别于双曲线的平方项求和. 2. 正项定轴：平方项为正的未知数对应焦点所在坐标轴，正项分母为，负项分母为. 3. 为实半轴长，为虚半轴长，为半焦距，始终满足最大. （五）双曲线方程常用求法（期中必考） 1. 定义法：根据距离差的绝对值为定值，直接确定，求出，直接书写标准方程. 2. 待定系数法：已知焦点位置，对应设出标准方程，代入已知点坐标求解参数. 3. 通用设法：焦点位置不确定时，设统一方程，规避分类讨论. 2、 难点知识 （一）核心易错难点（选择填空高频陷阱） 1. 定义条件遗漏误区：常忽略前提，直接判定轨迹为双曲线，混淆双曲线与射线轨迹. 2. 公式混淆致命陷阱：记错参数关系，将双曲线与双曲线颠倒，导致计算错误. 3. 焦点判断误区：照搬双曲线“大数定轴”规律，双曲线为“正项定轴”，正负项判断失误错判焦点位置. 4. 方程判定误区：忽略双曲线方程平方项一正一负的核心特征，误判双曲线方程. 5. 定义绝对值误区：遗漏定义中的绝对值，导致仅能表示双曲线的一支，轨迹不完整. （二）含参双曲线方程难点 1. 参数范围判定：已知方程为双曲线，需满足平方项系数异号，据此列出不等式，求参数取值范围. 2. 焦点位置分类讨论：参数不确定时，正负项不固定，需分类讨论焦点在x轴、y轴两种情况. 3. 含参定点问题：结合双曲线方程恒成立特征，分离参数，求解动双曲线恒过定点坐标. （三）双曲线定义拔高应用 1. 焦点三角形问题：双曲线上任意一点与两焦点构成焦点三角形，结合定义得边长关系，用于周长、边长、角度计算. 2. 单支双支区分：无绝对值的仅表示双曲线右支，仅表示左支，解题需区分支的范围. 3. 距离最值转化：利用双曲线定义进行线段转化，求解双曲线上动点到定点、定焦点的距离最值. （四）深度拓展拔高知识 1. 双曲线与双曲线对比体系：总结两类圆锥曲线定义、公式、焦点判断的异同，解决多选对比题型. 2. 点与双曲线位置关系：点代入双曲线左侧，可快速判定点在双曲线内外区域. 3. 双曲线对称性：双曲线关于x轴、y轴、原点中心对称，可快速求解对称双曲线方程、对称点坐标. 4. 隐形双曲线轨迹：根据距离差定值、几何垂直、边长关系等隐藏条件，挖掘隐形双曲线轨迹，转化为标准方程求解. 5. 定义恒成立综合：结合双曲线定义约束条件，求解参数恒成立、存在性问题，是高考中档解答题高频考点. （五）全节高频失分点汇总 1. 混淆双曲线与双曲线平方关系，计算全程出错. 2. 遗漏双曲线定义绝对值与取值范围条件，误判轨迹类型. 3. 误用双曲线“大数定轴”判断双曲线焦点位置，方向判断错误. 4. 含参双曲线未讨论系数正负，遗漏焦点位置情况，答案不完整. 5. 求解轨迹方程未区分双曲线两支，出现范围多余或缺失问题. 6. 通用双曲线方程设错，不满足系数异号核心条件. 题型01 双曲线的定义及应用 角度1：双曲线定义的辨析 【典例1】已知，，动点P满足，则点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．射线 【典例2】双曲线上一点到它的一个焦点的距离为5，那么点到另一个焦点的距离为（    ） A．1或9 B．9 C．2或6 D．6 【变式1】已知，则动点的轨迹是（　） A．一条射线 B．双曲线右支 C．双曲线 D．双曲线左支 【变式2】已知双曲线上的点到点的距离是，则点到点的距离（    ） A． B． C． D． 角度2：判断方程是否为双曲线 【典例】已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支 【变式】如果点的坐标满足方程，则的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．射线 题型02 求双曲线的标准方程 角度1：根据已知几何条件求双曲线方程 【典例】根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与双曲线有相同的焦点，且经过点； (2)过点，且焦点在坐标轴上． 【变式】根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)经过两点． 角度2：定义法求双曲线方程 【典例1】已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知动点的坐标满足方程，则的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 题型03 由双曲线的标准方程求参数 【典例1】设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 【变式1】已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】方程表示双曲线的必要条件是（    ） A． B． C． D．或 题型04双曲线的焦点三角形问题 角度1：焦点三角形的面积问题 【典例1】若椭圆与双曲线有相同的焦点，，P是两曲线的一个交点，则的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式】若椭圆和双曲线的共同焦点为是两曲线的一个交点，则的面积值为 （    ） A． B． C． D．8 角度2：焦点三角形的周长问题 【典例】已知分别是双曲线的左右焦点，是上的一点，且，则的周长是__________． 【变式】已知双曲线的两个焦点分别为，点在双曲线上，且，则的周长为______，面积为_______. 角度2：焦点三角形的解三角形问题 【典例】已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与的距离为2，则（   ） A． B． C． D． 【变式】设，分别为双曲线的左，右焦点，点为双曲线上的一点.若，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 题型05与双曲线有关的轨迹问题 【典例1】已知一个动圆P与两圆和都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为(　　) A． B． C． D． 【变式2】已知圆外一点，点P是圆上任意一点，线段NP的垂直平分线l和直线MP交于点Q，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型06 双曲线中线段和差的最值 角度1：线段和的最值问题 【典例】已知是双曲线的左焦点，点是双曲线的右支上的动点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式】已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为，焦距为8，点的坐标为，点为的右支上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 角度2：线段差的最值问题 【典例】已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式】已知点，点P是双曲线左支上的动点，为其右焦点，N是圆的动点，则的最小值为________． 题型07双曲线及标准方程的综合 【典例】已知，，动点满足，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若点在上，且，求的面积. 【变式】设两点的坐标分别为，直线相交于点，且直线，的斜率之积是2. (1)求动点的轨迹方程； (2)直线与曲线交于两点，求的值. 【巩固训练】 1．已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．3 B．6 C． D．9 2．已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 3．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．6 4．已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 5．（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（   ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为两条射线 6．（多选）关于方程，下列说法正确的有（    ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线 D．若方程表示双曲线，则或 7．已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为__________. 8．已知平面上的动点与点，满足，则点的轨迹方程为_____. 9．求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点为，，且经过点； (2)焦点在y轴上，经过点，. 10．已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比为，且的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)已知第一象限内的动点在上，点. （i）若点，求的最小值； （ii）若，求的面积. 【强化训练】 1．已知AB是双曲线中过右焦点F的弦，且A、B均在双曲线的右支上，则以AB为直径的圆与右准线l的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定 2．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上异于顶点的动点，的内切圆与轴相切于点，若点是以为圆心、半径为1的圆上的动点，则的最小值为（     ） A．2 B． C．1 D． 3．已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（多选）当时，方程表示的曲线形状可能是（   ） A．两条平行直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 6．（多选）已知双曲线，焦点，，以坐标原点为圆心，为半径的圆与双曲线于第一象限交于点，则下列满足内切圆半径为1的双曲线方程有（   ） A． B． C． D． 7．已知双曲线与直线交于不同的两点A，B，若线段的中点在圆上，则________. 8．双曲线型冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为24米，上口半径为26米，下口半径为40米．若半径最小的圆将冷却塔分成上、下两部分的高分别为、米，则______．    9．已知圆 ，过点的直线与圆交于两点，过点作的平行线交直线于点.求点的轨迹的方程; 10．已知动点分别与定点和连线的斜率乘积． (1)求动点的轨迹方程； (2)是的右焦点，若过点，与曲线交于，两点，是否存在轴上一定点，使得以为直径的圆恒过该定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $