3.2.1双曲线及其标准方程讲义（知识清单+8类热点题型+分层强化训练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学双曲线及其标准方程核心知识点，通过思维导图构建整体认知，知识梳理先阐述双曲线定义（含集合语言表达及绝对值意义说明），再以表格对比焦点在x轴、y轴上的标准方程，形成衔接椭圆知识的学习支架。 资料亮点在于题型设计系统分层，涵盖定义理解、方程求解等8类题型，典例与变式结合培养数学思维（推理、运算），轨迹问题等体现数学语言表达。思维导图助几何直观，分层精练课中辅助教学，课后可查漏补缺，提升学习效果。

第03讲 3.2.1双曲线及其标准方程 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：双曲线的定义 1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. 3、说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 【即学即练1】（25-26高二上·湖南怀化·期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线C：， 可知，即， 所以由双曲线定义可知， 解得或， 故选：C 知识点02：双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 【即学即练2】（25-26高二上·北京延庆·期末）已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，即可求解方程. 【详解】因为， 所以点是以点为焦点的双曲线的右支，所以，，， 所以点的轨迹方程是，. 故选：C 第三部分 题型精讲 题型01双曲线定义的理解 【典例1】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 【答案】A 【分析】根据圆锥曲线的定义判断即可. 【详解】由题意可知， 因为， 所以点的轨迹是双曲线的一支. 【典例2】（25-26高二上·重庆大足·期中）已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支 【答案】D 【分析】根据两点间距离化简方程，再根据双曲线的定义即可判断. 【详解】设点，点， 而方程的几何意义是点到两定点M，N的距离之差为， 即， ∴动点的轨迹是双曲线的一支． 故选：D. 【变式1】（25-26高二下·上海黄浦·期中）到两定点的距离之差为定值的点的轨迹一定不是（   ） A．一条直线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．双曲线 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义，对定值进行讨论，即可判断选项. 【详解】设两定点分别为和，设， 当时为双曲线的一支， 当时为一条射线， 当时，为的垂直平分线，一条直线， 无论为何值时，都不会是双曲线. 【变式2】（25-26高二上·四川凉山·期末）设，为平面上两个定点，动点满足，则动点P的轨迹为（    ） A．直线 B．两条射线 C．椭圆 D．双曲线 【答案】B 【分析】由即可判断. 【详解】由题可知，， 因此动点P的轨迹为两条射线， 故选：B. 【变式3】（25-26高二上·北京·期中）已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（    ） A．椭圆 B．线段 C．双曲线的一支 D．一条射线 【答案】C 【分析】根据双曲线的概念，判断结果； 【详解】因为，则动点轨迹为双曲线的右支. 故选：C. 题型02利用双曲线定义求方程 【典例1】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线定义计算即可得. 【详解】由题意可知，爆炸点到的距离比到的距离少， 又，由双曲线定义可知，爆炸点为双曲线的左支， 其中，，则， 又，故爆炸点所在曲线的方程为. 故选：B. 【典例2】（25-26高二下·上海·期末）已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 【答案】 【详解】由题意，点的轨迹是以为焦点的双曲线的上支，其方程形如 其中，则， 故点的轨迹方程为. 【变式1】（25-26高二上·江西萍乡·期中）方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，将条件中的等式转化为，即动点的轨迹为双曲线，然后得到双曲线的，求出，即可写出双曲线方程. 【详解】设，，点， 则，， ∴， 由双曲线的定义可知，动点的轨迹为双曲线，焦点为，， ∴，，，则， ∴动点的轨迹为双曲线方程为：. 故选：B. 【变式2】（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）设，是平面内两个定点，动点P满足，则P点的轨迹方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义可知，点P的轨迹是以，为焦点的双曲线， 因为，，所以， 所以其轨迹方程为. 故选：B 【变式3】（2025·北京海淀·二模）已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的定义即可得出答案. 【详解】∵，动点满足， ∴动点的轨迹为双曲线且为右支，，，， ∴的轨迹的方程为， 故选：D. 题型03利用双曲线定义求点到焦点距离及最值 【典例1】（25-26高二上·安徽六安·期末）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为5，那么点到另一个焦点的距离为（    ） A．1或9 B．9 C．2或6 D．6 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义和性质可求答案. 【详解】由方程可得， 由定义可得，因为，所以或， 双曲线上的点到同侧焦点的最小距离为， 所以. 故选：B 【典例2】设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线定义数形结合判断取最小值时，三点共线，联立直线及双曲线方程解出Q的坐标为，即可求解的值. 【详解】由双曲线定义得, 故 如图示，当三点共线，即Q在M位置时，取最小值， ，故方程为， 联立，解得点Q的坐标为 (Q为第一象限上的一点)， 故 故选：A 【变式1】双曲线的两个焦点分别是，，双曲线上一点P到的距离是7，则P到的距离是（    ） A．13 B．1 C．1或13 D．2或14 【答案】A 【分析】根据的长度先确定出点的位置，然后根据双曲线的定义可知，由此可求出P到的距离. 【详解】由双曲线方程，得，． 因为，所以点P在靠近的一支上， 所以，所以， 又因为，所以． 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过距离先确定出点位置，不能直接利用定义进行求解. 【变式2】（多选）（25-26高二上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知P为双曲线右支上一点，那么点P到双曲线左焦点F的距离可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】CD 【分析】由题意，根据双曲线的方程可得，结合即可下结论. 【详解】由已知可得： 所以， 所以 故选：CD 【变式3】（25-26高二上·宁夏固原·期末）双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上的一点，若，则__________. 【答案】9 【分析】由焦半径取值范围确定P点位置，从而由双曲线定义即可求解. 【详解】由双曲线，可知：， 所以当在左支上时，当在右支上时， 因为，所以在左支上，所以. 故答案为：9. 题型04利用双曲线定义求双曲线中线段和差最值 【典例1】（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【分析】设双曲线的左焦点为，根据双曲线的定义，将转化为，即可求其最小值. 【详解】设双曲线的左焦点为，则，所以，. 则由题意可得，，即. 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立. 即的最小值为. 【典例2】（25-26高二下·陕西宝鸡·阶段检测）已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． 【答案】 【详解】由题意可知双曲线的实半轴长，设右焦点为， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号. 的最大值为 【变式1】（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设双曲线右焦点为，利用双曲线的定义，将的最大值问题转化为的最小值问题，从而借助平面中三角形两边之差小于第三边的几何性质求解即可． 【详解】设双曲线的右焦点为，则，， 而（渐近线斜率）， 故直线与双曲线的右支交于两个不同的点， 而，仅当共线且A在之间时等号成立， 所以， 当共线且A在之间时等号成立． 所以的最大值为， 故选：C 【变式2】（24-25高一上·广东·阶段检测）是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据题设及双曲线定义、圆的性质确定点到圆上点距离差的最大值. 【详解】双曲线中，如图所示：   ，，，设左、右焦点为，， ，， ， ，三点共线且在之间时取等号， ，则，共线且在之间时取等号， 所以. 故选：D 【变式3】（2026·云南保山·二模）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. 【答案】 【详解】由题可知双曲线的实半轴长，设左焦点为， 由双曲线定义，，得， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号． 题型05判断方程是否表示双曲线 【典例1】（23-24高二下·浙江·期中）“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程，结合充分、必要条件的概念即可求解. 【详解】若，则，所以方程表示双曲线； 若方程表示双曲线，则，解得或， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A 【典例2】（多选）（25-26高二上·广东清远·期中）方程表示的曲线为，下列正确的命题是（   ） A．曲线不可能是圆； B．若，则曲线为椭圆； C．若曲线为双曲线，则或； D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则． 【答案】CD 【分析】根据方程的特点，结合圆、椭圆和双曲线的标准方程判断. 【详解】对于A，若曲线是圆，则，解得，故A错误； 对于B，若曲线为椭圆，则，解得且，故B错误； 对于C，若曲线为双曲线，则，解得或，故C正确； 对于D，若曲线表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，故D正确； 故选：CD. 【变式1】（多选）（23-24高二上·湖北武汉·期中）若方程所表示的曲线为，则下列说法错误的是（    ） A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或 C．若为椭圆，则焦距为定值 D．若为双曲线，则焦距为定值 【答案】ACD 【分析】根据椭圆以及双曲线的标准方程，即可结合选项逐一求解. 【详解】方程，由，解得,,，此时曲线是椭圆，所以A不正确．   由得或，此时表示的曲线是双曲线，所以B正确， 当，解得，此时曲线表示焦点在轴上的椭圆， 故焦距为，不为定值，故C错误， 当，解得时，此时曲线表示焦点在轴上的双曲线， 则焦距为，不为定值，故D错误， 故选：ACD． 【变式2】（多选）（23-24高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，方程表示椭圆 B．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线 C．当时，方程表示圆 D．当或时，方程表示双曲线 【答案】BCD 【分析】根据方程中分母的正负及是否相等可判断选项即可. 【详解】当时，由，且即时，此方程表示圆，故A不正确； 当时，，，由方程可知表示焦点在轴上的双曲线，故B正确； 由A可知，当时，方程表示圆，故C正确； 当时，，，故方程表示焦点在轴上的双曲线，当时，由B可知，方程表示双曲线，故D正确. 故选：BCD 【变式3】（多选）（23-24高二上·吉林·期中）对于曲线，下列说法正确的是（    ） A．当时，曲线C表示椭圆 B．当时，曲线C表示焦点在y轴上的双曲线 C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 D．曲线C只能表示椭圆和双曲线 【答案】BC 【分析】根据圆，椭圆和双曲线的方程判断. 【详解】解：若曲线C表示椭圆，则，解得且，故A错误； 曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则，解得，故B正确； 若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，故C正确； 当时，方程为，表示圆，故D错误； 故选：BC 题型06求双曲线方程 【典例1】（25-26高二上·河南·阶段检测）求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点为，，且经过点； (2)焦点在y轴上，经过点，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）判断焦点位置，利用待定系数法求解； （2）利用待定系数法求解. 【详解】（1）因为双曲线的焦点为，， 则焦点在上，且， 方程可设为 又经过点， 则， 又，则， 所以双曲线方程为 （2）因为焦点在y轴上， 可设方程为， 又经过点，， 则，解得， 所以双曲线方程为. 【典例2】（25-26高二上·江西南昌·期中）（1）求经过和两点的椭圆标准方程； （2）求与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线标准方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据椭圆的焦点分别在轴或轴上设椭圆方程，代入两点列方程组求解即得所求椭圆方程； （2）设所求双曲线为（，），根据条件得出关于的方程组，求解即得所求双曲线方程. 【详解】（1）当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为（）， 将两点坐标代入方程可得：，解得，因，不合题意，舍去； 当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为（）， 将两点坐标代入方程可得，解得，符合题意， 此时椭圆的标准方程为. 综上，椭圆的标准方程为. （2）依题意，设所求双曲线为（，）. 因两曲线有相同的焦点，所以①. 又点在双曲线上，所以②. 由①②联立，解得. 故所求的双曲线方程为. 【变式1】（24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合的值，设出双曲线方程，将点坐标代入，计算参数即可． （2）结合已知双曲线，设出所求双曲线方程，代入点的坐标，计算参数，即可求出答案． 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 由，经过点， 可得，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）设所求双曲线的方程为． 双曲线过点， ， 解得或（舍去）． 双曲线的标准方程为． 【变式2】（24-25高二上·辽宁铁岭·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)过点和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意设双曲线的标准方程为，将点的坐标代入求出，即可得解； （2）设双曲线方程为，代入点的坐标得到方程组，解得、即可. 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 由，经过点， 可得，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）依题意设双曲线方程为， 则，解得，所以双曲线方程为； 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上； (2)，经过点，焦点在轴上； (3)双曲线过两点． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用求出双曲线的标准方程. （2）设出双曲线的标准方程，结合给定点的坐标求出即可. （3）设方程为，建立方程组求解即得. 【详解】（1）由双曲线的焦点在轴上，，，得， 所以所求双曲线的标准方程为. （2）由双曲线的焦点在轴上，设双曲线的标准方程为， 由，且点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. （3）设所求双曲线方程为， 由点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. 题型07双曲线中的轨迹方程问题 【典例1】（2026高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过设出交点的坐标，利用、、、的坐标关系以及已知条件来建立等式，从而求出的轨迹方程. 【详解】设，，. 因为，所以. 已知，， 根据直线的截距式方程（为轴上的截距，为轴上的截距）， 可得直线的方程：. 已知，，则直线的方程为. 因为是和的交点，所以的坐标满足和的方程. 对于直线的方程，可得. 对于直线的方程，可得. 所以，或， 又因为，所以，即. 故选：D. 【典例2】（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）（1）已知是椭圆上一动点，为坐标原点，求线段的中点的轨迹方程. （2）已知动点到定点的距离与到定直线的距离的比是，求点的轨迹方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用相关点法，设，，从而得到，代入方程整理即可； （2）设，由距离公式得到方程，整理即可. 【详解】（1）设，， 由中点坐标公式得，所以. 又点在椭圆上，所以，即. （2）由题意，设，则， 所以，整理得，即点的轨迹方程为. 【变式1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质，可得，结合双曲线的定义，可得a，c的值，根据a，b，c的关系，即可求得答案. 【详解】因为圆心，，所以， 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为， 所以， 所以， 所以Q点轨迹为双曲线，且， 所以，则点的轨迹方程为.    故选：B 【变式2】已知两点坐标分别为，直线与斜率之积为24，求的轨迹方程. 【答案】 【详解】设，由题意知，，其中， 化简整理得， 所以点的轨迹方程为. 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，点的坐标分别是，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，试求点的轨迹方程．    【答案】 【分析】首先设的坐标为，由已知点的坐标代入求得直线的斜率，由乘积为即可得到点坐标的关系式，将其整理化简可得到的轨迹方程，最后去除多余点. 【详解】设，则直线的斜率， 直线的斜率, 由题意得，， 化简，整理得， 所以点的轨迹方程为：. 题型08双曲线中的焦点三角形问题 【典例1】（26-27高三上·甘肃·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交的左支于，两点，且，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先把双曲线方程化为标准形式，再利用双曲线的定义求解. 【详解】把双曲线方程化为标准形式 ， 设双曲线实半轴长为，那么， 根据双曲线的定义可知，，, 又, 所以的周长为. 【典例2】（2025·贵州安顺·二模）已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线定理及余弦定理可求. 【详解】由题设，双曲线的实半轴长，且， 因为，故在右支上且， 而，故， 由余弦定理可得：， 故选：C. 【变式1】（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与的距离为2，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先应用双曲线定义得出，，再应用余弦定理计算求解即可. 【详解】因为，， 由双曲线的定义可知，得， 又因为， 在中，， 所以. 故选：B． 【变式2】（2025·四川成都·三模）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为4，M是双曲线上的一点，且，则的面积是_______. 【答案】6 【分析】根据给定条件，结合双曲线定义求出，进而求出三角形面积. 【详解】由双曲线的焦距为4，得，解得， 由，，解得或， 当时，点为双曲线离焦点较近的顶点，与共线，不符合要求， 因此，，为直角三角形， 所以的面积是. 故答案为：6 【变式3】（24-25高二上·云南昭通·期中）若是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在双曲线上，且，离心率为，则的面积为__________. 【答案】4 【分析】由题意，易知为直角三角形，根据勾股定理和双曲线的定义计算可得，结合三角形的面积公式计算即可求解. 【详解】双曲线中，解得， 所以，得，所以， 故为直角三角形，得， 由双曲线的定义知， 所以， 得，所以. 故答案为：4 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．（26-27高二上·全国·课后作业）已知，，动点满足，当为3和5时，点的轨迹分别是（   ） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和两条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 【答案】D 【详解】依题意得． 当时，，此时，符合双曲线定义， 因此点的轨迹是双曲线靠近的右支，故点的轨迹为双曲线的一支； 当时，，此时， 说明点满足和、共线，且在的右侧（含点），沿轴正方向延伸， 故点的轨迹为一条射线． 综上，点的轨迹分别是双曲线的一支和一条射线． 2．（25-26高二下·云南昭通·期末）已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．3 B．6 C． D．9 【答案】D 【详解】双曲线的标准方程为其中 设双曲线的焦距参数为 ，则 已知一个焦点坐标为 ，所以 因此 3．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知双曲线C：，则（   ） A． B．C的焦点在x轴上 C． D．C的焦点在y轴上 【答案】D 【分析】根据双曲线方程的代数特征求得的取值范围，进而判断出正确答案. 【详解】由方程表示双曲线，可得二次项分母异号， 即， 解得. 因此，，，将方程化为双曲线标准形式， 可得双曲线的焦点在轴上. 对于选项A：与矛盾，故A错误. 对于选项B：双曲线焦点在轴上，故B错误. 对于选项C：的完整取值范围为，仅为其子集，故C错误. 对于选项D：由上述推导，双曲线的焦点在轴上，故D正确. 4．（2026·四川遂宁·二模）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】由题意得：，解得或. 5．（25-26高三下·江西赣州·期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线，，解得. 6．（25-26高二上·陕西安康·期末）记双曲线的左，右焦点分别为上一点满足，，则的周长为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】D 【分析】由双曲线定义可得，从而求出，得到，求出答案. 【详解】由双曲线定义可知，即，故， 故，故， 所以，的周长为. 故选：D 7．（多选）已知点在双曲线上，，分别为双曲线的左、右焦点，若的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．点到x轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 【答案】AC 【分析】根据双曲线的方程，定义与性质，结合三角形的面积求出点的坐标，结合两点的距离公式、斜率公式以及余弦定理，对选项逐一判断即可. 【详解】由双曲线的方程可得，，则， 由的面积为，得，解得， 即点到x轴的距离为，故A选项正确； 将代入双曲线方程可得，根据双曲线的对称性可设， 则， 由双曲线的定义知，则， 则，故B选项错误； 在中，， 则，为钝角， 则为钝角三角形，故C选项正确； ， 则错误， 故选：AC. 8．（多选）（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知曲线，则（    ） A．若曲线C表示圆，则 B．若曲线C表示椭圆，则 C．若曲线C表示双曲线，则或 D．曲线C不可能表示等轴双曲线 【答案】AD 【分析】根据圆、椭圆、双曲线、等轴双曲线的标准方程逐一判断即可. 【详解】A：若曲线C表示圆，则有，本选项正确； B：若曲线C表示椭圆，则有，且，所以本选项不正确； C：若曲线C表示双曲线，则有，或，解得，或 所以本选项不正确； D：若曲线C表示等轴双曲线，则有或 两个方程组都是空集，所以曲线C不可能表示等轴双曲线，因此本选项正确， 故选：AD 9．（2026·北京海淀·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，.若C上一点P满足，则______. 【答案】7 【分析】根据方程可得，结合双曲线的定义运算求解. 【详解】由题意可知：，，则， 由双曲线定义可得，即， 解得或（舍去）， 且，符合题意， 所以. 10．（2026高二上·浙江温州·专题练习）已知平面上的动点与点，满足，则点的轨迹方程为_____. 【答案】 【分析】根据题意，求得，得到，进而得到点的轨迹方程. 【详解】由点，，可得， 因为，即，可得点三点共线， 且点的轨迹方程为. 故答案为： B能力提升 1．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线定义设出两焦半径，再在焦点三角形中由余弦定理列方程求边长，最后相加得周长. 【详解】因为双曲线，则，所以. 因为点在双曲线右支上，所以. 令，则，又因为，， 所以由余弦定理得，即， 即，因为，解得，即，所以， 则的周长为. 2．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设动点坐标，利用点到直线距离公式表示垂线段长度，结合两直线夹角与三角形面积公式建立方程，化简后得到轨迹方程. 【详解】不妨设， 设动点，直线与的一般式为、， 由点到直线的距离公式，得，. 直线与的夹角为，由， 得与两直线夹角互补，故. 由， 即， 化简得，即. 当时，整理为； 当时，整理为. 因此动点的轨迹方程为或. 3．（多选）（26-27高三上·浙江·阶段检测）已知双曲线，焦点，，以坐标原点为圆心，为半径的圆与双曲线于第一象限交于点，则下列满足内切圆半径为1的双曲线方程有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】通过内切圆半径确定双曲线中需满足的等式关系，进而逐项判断即可. 【详解】以原点为圆心、为半径的圆方程为，该圆过双曲线的两个焦点， 根据直径所对圆周角为直角，可得为直角三角形，， 设，，由双曲线定义得； 直角三角形内切圆半径公式为，又，， 代入得；结合， 可得：， 由勾股定理， 将、代入上式化简可得关系：； 选项A：双曲线，，， ，不满足条件， 选项B：双曲线，，， ，满足条件， 选项C：双曲线，，， ，满足条件， 选项D：双曲线，，， ，满足条件. 4．（多选）（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆. B．若，则点的轨迹为双曲线. C．若，则点的轨迹为圆. D．若，则点的轨迹为两条射线. 【答案】ACD 【分析】利用椭圆、双曲线、圆的定义，逐项判断即可． 【详解】对于A，，则点的轨迹为以为焦点的椭圆，A正确； 对于B，，则点的轨迹是以为焦点双曲线的右支，B错误； 对于C，由，得，则点的轨迹是以为直径的圆，C正确； 对于D，，则点的轨迹是以为端点，且不过的两条射线，D正确． 故选：ACD 5．（26-27高三·全国·一轮复习）已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 【答案】48 【分析】根据所给条件结合双曲线的定义求出.方法一：过点作的垂线交于，求出的高，即可求出三角形的面积；方法二：在中运用余弦定理求得，求得，进而求出三角形的面积；方法三：根据海伦公式求三角形的面积. 【详解】由可得，，， ， ， 方法一：过点作的垂线交于，则， ， 所以的面积为. 方法二：在中，. 因为，所以， 所以. 方法三:根据海伦公式，，其中是三角形的三边长，得 . C综合素养 1．设动圆的半径为，它与圆外切，且与圆内切，求圆心的轨迹方程. 【答案】 【分析】根据两圆关系及已知有，再由双曲线的定义确定轨迹并写出轨迹方程. 【详解】因为动圆与圆外切，所以， 因为动圆与圆内切，所以， 所以， 根据双曲线的定义，点的轨迹为双曲线的右支，且， 所以，则， 所以圆心的轨迹方程E为. 2．（26-27高三·全国·一轮复习）已知动点与两定点，连线的斜率之积等于常数． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状． 【答案】(1)，， (2)当时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线（除去顶点）； 当时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆（除去长轴的两个端点）； 当时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆除去点，； 当时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）． 【分析】（1）设，，根据题意结合斜率公式运算求解可得轨迹方程，要注意限制条件； （2）由（1）知动点P的轨迹C的方程，结合圆、椭圆以及双曲线的方程分析判断. 【详解】（1）设，， 由题意可得：，整理可得， 由，可得， 所以动点P的轨迹C的方程为，，. （2）由（1）知动点P的轨迹C的方程为，，. 当时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线（除去顶点）； 当时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆（除去长轴的两个端点）； 当时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆除去点，； 当时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）． 3．（2026·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，一动直线分别交，于A，B（A，B横坐标同号）两点，且的面积恒为4. (1)求中点的轨迹的方程； (2)若直线交轨迹于，两点，的面积为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用三角形面积为4，建立，两点坐标之间的等量关系；设中点的坐标，利用中点坐标公式将点坐标用，两点坐标表示，即可求出点的轨迹的方程； （2）联立方程组，分别根据弦长公式表示出，再根据点到直线的距离公式求出距离，根据面积为建立等量关系即可求出. 【详解】（1）解：设，，由题知， 则，    设，则，，所以， 因此，中点的轨迹的方程. （2）解：设，， 将代入，整理得， 则，解得，，， 由弦长公式可得： ， 设点到直线的距离为，则， 所以， 两边同时平方，化简整理得， 解得或（舍），所以. 4．（25-26高三·全国·三轮复习）已知双曲线的左､右顶点分别为A和B，和是双曲线上两个不同的动点.求直线与交点的轨迹C的方程. 【答案】 【分析】设直线与的交点为，求出直线与的方程，两式相乘得，再利用在双曲线上，整理化简可得答案. 【详解】设直线与的交点为， ∵A，B是双曲线的左､右顶点，∴， ，， 两式相乘得，而在双曲线上， 所以，即，所以，化简得：，即. 又当时，则交点为或，与题意不合，故去掉左右顶点； 当时，则交点为,的斜率为，与双曲线渐近线平行，与双曲线仅有一个交点A，故去掉上下顶点； ∴直线与的交点的轨迹C的方程是. 5．（2026高三·全国·专题练习）已知圆 ，过点的直线与圆交于两点，过点作的平行线交直线于点.求点的轨迹的方程; 【答案】 【分析】利用与平行及的几何关系，推导出 ，再根据双曲线的定义，确定点的轨迹是以为焦点、实轴长为的双曲线右支，进而求出轨迹方程. 【详解】圆的圆心为，半径，定点，则, 如图，由于与平行，得， 又因为,所以， 因此，又， 所以，故； 点在直线上，故，即； 因，根据双曲线定义，点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线右支, 半焦距，实半轴，则,轨迹方程为 . 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 3.2.1双曲线及其标准方程 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：双曲线的定义 1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. 3、说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 【即学即练1】（25-26高二上·湖南怀化·期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 知识点02：双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 【即学即练2】（25-26高二上·北京延庆·期末）已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 第三部分 题型精讲 题型01双曲线定义的理解 【典例1】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 【典例2】（25-26高二上·重庆大足·期中）已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支 【变式1】（25-26高二下·上海黄浦·期中）到两定点的距离之差为定值的点的轨迹一定不是（   ） A．一条直线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．双曲线 【变式2】（25-26高二上·四川凉山·期末）设，为平面上两个定点，动点满足，则动点P的轨迹为（    ） A．直线 B．两条射线 C．椭圆 D．双曲线 【变式3】（25-26高二上·北京·期中）已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（    ） A．椭圆 B．线段 C．双曲线的一支 D．一条射线 题型02利用双曲线定义求方程 【典例1】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·上海·期末）已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 【变式1】（25-26高二上·江西萍乡·期中）方程的化简结果为（    ） A． B． C．D． 【变式2】（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）设，是平面内两个定点，动点P满足，则P点的轨迹方程是（    ）． A． B． C． D． 【变式3】（2025·北京海淀·二模）已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 题型03利用双曲线定义求点到焦点距离及最值 【典例1】（25-26高二上·安徽六安·期末）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为5，那么点到另一个焦点的距离为（    ） A．1或9 B．9 C．2或6 D．6 【典例2】设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】双曲线的两个焦点分别是，，双曲线上一点P到的距离是7，则P到的距离是（    ） A．13 B．1 C．1或13 D．2或14 【变式2】（多选）（25-26高二上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知P为双曲线右支上一点，那么点P到双曲线左焦点F的距离可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式3】（25-26高二上·宁夏固原·期末）双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上的一点，若，则__________. 题型04利用双曲线定义求双曲线中线段和差最值 【典例1】（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 【典例2】（25-26高二下·陕西宝鸡·阶段检测）已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． 【变式1】（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·广东·阶段检测）是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式3】（2026·云南保山·二模）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. 题型05判断方程是否表示双曲线 【典例1】（23-24高二下·浙江·期中）“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】（多选）（25-26高二上·广东清远·期中）方程表示的曲线为，下列正确的命题是（   ） A．曲线不可能是圆； B．若，则曲线为椭圆； C．若曲线为双曲线，则或； D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则． 【变式1】（多选）（23-24高二上·湖北武汉·期中）若方程所表示的曲线为，则下列说法错误的是（    ） A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或 C．若为椭圆，则焦距为定值 D．若为双曲线，则焦距为定值 【变式2】（多选）（23-24高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，方程表示椭圆 B．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线 C．当时，方程表示圆 D．当或时，方程表示双曲线 【变式3】（多选）（23-24高二上·吉林·期中）对于曲线，下列说法正确的是（    ） A．当时，曲线C表示椭圆 B．当时，曲线C表示焦点在y轴上的双曲线 C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 D．曲线C只能表示椭圆和双曲线 题型06求双曲线方程 【典例1】（25-26高二上·河南·阶段检测）求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点为，，且经过点； (2)焦点在y轴上，经过点，. 【典例2】（25-26高二上·江西南昌·期中）（1）求经过和两点的椭圆标准方程； （2）求与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线标准方程. 【变式1】（24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； 【变式2】（24-25高二上·辽宁铁岭·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)过点和． 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上； (2)，经过点，焦点在轴上； (3)双曲线过两点． 题型07双曲线中的轨迹方程问题 【典例1】（2026高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）（1）已知是椭圆上一动点，为坐标原点，求线段的中点的轨迹方程. （2）已知动点到定点的距离与到定直线的距离的比是，求点的轨迹方程. 【变式1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C．D． 【变式2】已知两点坐标分别为，直线与斜率之积为24，求的轨迹方程. 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，点的坐标分别是，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，试求点的轨迹方程．    题型08双曲线中的焦点三角形问题 【典例1】（26-27高三上·甘肃·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交的左支于，两点，且，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【典例2】（2025·贵州安顺·二模）已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与的距离为2，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·四川成都·三模）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为4，M是双曲线上的一点，且，则的面积是_______. 【变式3】（24-25高二上·云南昭通·期中）若是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在双曲线上，且，离心率为，则的面积为__________. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．（26-27高二上·全国·课后作业）已知，，动点满足，当为3和5时，点的轨迹分别是（   ） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和两条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 2．（25-26高二下·云南昭通·期末）已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．3 B．6 C． D．9 3．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知双曲线C：，则（   ） A． B．C的焦点在x轴上 C． D．C的焦点在y轴上 4．（2026·四川遂宁·二模）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 5．（25-26高三下·江西赣州·期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．D． 6．（25-26高二上·陕西安康·期末）记双曲线的左，右焦点分别为上一点满足，，则的周长为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 7．（多选）已知点在双曲线上，，分别为双曲线的左、右焦点，若的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．点到x轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 8．（多选）（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知曲线，则（    ） A．若曲线C表示圆，则 B．若曲线C表示椭圆，则 C．若曲线C表示双曲线，则或 D．曲线C不可能表示等轴双曲线 9．（2026·北京海淀·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，.若C上一点P满足，则______. 10．（2026高二上·浙江温州·专题练习）已知平面上的动点与点，满足，则点的轨迹方程为_____. B能力提升 1．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（多选）（26-27高三上·浙江·阶段检测）已知双曲线，焦点，，以坐标原点为圆心，为半径的圆与双曲线于第一象限交于点，则下列满足内切圆半径为1的双曲线方程有（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆. B．若，则点的轨迹为双曲线. C．若，则点的轨迹为圆. D．若，则点的轨迹为两条射线. 5．（26-27高三·全国·一轮复习）已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. C综合素养 1．设动圆的半径为，它与圆外切，且与圆内切，求圆心的轨迹方程. 2．（26-27高三·全国·一轮复习）已知动点与两定点，连线的斜率之积等于常数． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状． 3．（2026·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，一动直线分别交，于A，B（A，B横坐标同号）两点，且的面积恒为4. (1)求中点的轨迹的方程； (2)若直线交轨迹于，两点，的面积为，求的值. 4．（25-26高三·全国·三轮复习）已知双曲线的左､右顶点分别为A和B，和是双曲线上两个不同的动点.求直线与交点的轨迹C的方程. 5．（2026高三·全国·专题练习）已知圆 ，过点的直线与圆交于两点，过点作的平行线交直线于点.求点的轨迹的方程; 学科网（北京）股份有限公司 $