第二章一元二次方程单元综合检测试题 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦一元二次方程核心内容，通过基础辨析、解法应用及生活情境题（如楚超赛事、共享单车投放、草莓种植），全面检测概念理解与模型构建能力，适配单元复习巩固，体现数学眼光、思维与语言的素养融合。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|定义判断、解法选择、根的范围分析|结合表格数据判断方程解（第3题），渗透几何直观| |填空题|5|参数取值、面积问题建模|矩形道路面积题（第15题），强化空间观念与抽象能力| |解答题|8|解方程、应用题、阅读材料探究|草莓种植增长率与售价问题（第21题）体现模型意识；十字相乘法阅读题（第22题）培养推理能力与创新意识|

第二章一元二次方程单元综合检测试题 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一元二次方程的解为(    ) A. B. C. ， D. ， 2.下列方程是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 3.根据下表判断方程的一个解的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值是(    ) A. B. C. D. 5.用配方法解方程时，配方结果正确的是(    ) A. B. C. D. 6.若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为  ． A. B. C. 且 D . 且 7.是下列哪个一元二次方程的根(    ) A. B. C. D. 8.小影与小冬一起写作业，在解同一道一元二次方程二次项系数为时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和，则原来的方程是(    ) A. B. C. D. 9.年湖北省城市足球联赛简称“楚超”是湖北省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式每两支球队之间比赛场，共需进行场比赛，则可列方程(    ) A. B. C. D. 10.某共享单车计划年第一季度月连续个月对成都投放新型单车，计划月投放台，第一季度共投放台，每月的增长率相同，设增长率为，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.若，则的值为          ． 12.若方程是关于的一元二次方程，则          ． 13.若关于的方程有实数根，则的取值范围是          ． 14.已知实数，，满足，若，异号，则的取值范围为          ． 15.如图，在长为、宽为的矩形空地上修建道路图中的阴影部分，余下部分铺设草坪，要使草坪的面积为，设道路的宽为，则所列方程为          ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.用适当的方法解下列方程： ． 17.根据下列问题列一元二次方程，并将方程化为一般形式． 已知两个连续偶数的积为，求这两个偶数 用一根长的铁丝折成一个斜边长为的直角三角形，求这个三角形的直角边长． 18.已知关于的方程． 当          时，此方程为一元一次方程，此时方程的解是          ． 当取何值时，此方程为一元二次方程请写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 19.已知关于的一元二次方程． 求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根； 若，是原方程的两根，且，求的值，并求出此时方程的两个根． 20.阅读材料题：我们知道，所以代数式的最小值为学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即来求一些多项式的最小值例如，求的最小值问题． 解：． ，．的最小值为． 请应用上述思想方法，解决下列问题： 代数式有最大值还是最小值呢尝试求出这个最值． 应用：若，，试比较与的大小． 21.年月，经开区推出了农产品区域公用品牌“鹿溪荟”，旗下产品包括草莓、枇杷、葡萄等．其中，“天府鹿溪草莓”是该品牌的主打产品之一，具有品质优良、口感鲜美等特点．某种植基地年开始种植“天府鹿溪草莓”亩，计划到年增长到亩． 求年、年这两年的平均增长率． 市场调查发现，当草莓的售价为元千克时，每天能售出千克；售价每降价元，每天可多售出千克．已知该种植基地草莓的平均成本价是元千克，为了宣传推广，基地决定降价促销，同时减少库存，若要使销售草莓每日获利元，则售价应降低多少元？ 22.【阅读与理解】将分解因式，我们可以按下面方法： 竖分二次项与常数项：，． 交叉相乘，验中项交叉相乘后的结果相加，其结果等于多项式中的一次项： ． 横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”． 根据乘法原理：若，则或，所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得，所以原方程的解为，． 【解决问题】 试用上述方法和原理解下列方程： ； ； 解方程： ； 23.阅读下列材料： 材料：若关于的一元二次方程的两个根分别为，，则，． 材料：已知实数，满足，，且，求的值． 解：根据题意可知，实数，是方程的两个不相等的实数根． 根据材料，得，． ，． ． 根据上述材料，解答下列问题： 若一元二次方程的两个根分别为，，则          ，          ； 已知实数，满足，，且，求的值； 已知实数，分别满足，，且，求的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 1.C 2.C 3.B 4.B 5.B 6.D 8.B 9.A 10.D 1*圆 2 12.2或4或3 13.m≤3 14.-5<k<-1 15.（28-x)(10-x)=243 16.【小题1】 解：（x-12=25 x-1=t5即x-1=5或x-1=-5 .X1=6’X2=-41 【小题2】 解：X-4x=-1'X-4x+4=-1+4即(x-2P=3 x-2=±3即x-2=或x-2=-V3 ∴.x1=2+V3x2=2-V3 【小题3】 第1页，共1页 7.D 解：.a=1,b=-5,c=2, ∴.△=b2-4ac=(-52-4×1×2=17>0 x=-b±vb-4ac_5±7， 2a x,=5+17 2,,=5 2 【小题4】 解：（x+1)(x-1)-2(x+1)=0,（x+1)(x-1-2=0, X+1=0或x-3=0°x,=-1'X,=3 17.【小题1】 解：（答案不唯一） 设较小的偶数为X, 则较大的偶数为(x+2), 根据题意，得x(x+2)=24. 化为一般形式为x2+2x-24=0. 【小题2】 设一直角边长为xcm,则另一直角边长为30-13-x=(17-x)cm, 则x×2+(17-x2=132” 化为一般形式为X2-17X+60=0 18.【小题1】 1 X=1 【小题2】 若方程为一元二次方程，则应满足k2-1≠0，解得k≠±1，所以当k≠ 它的二次项系数为k2-1?一次项系数为k+1常数项为2 第2页，共1页 ±1时，此方程为一元二次方程. 19.【小题1】 证明：：△=m+32-4m+1=m+1P+4无论取何值，m+1?+4恒大于0： 原方程总有两个不相等的实数根： 【小题2】 解：：Xx,是原方程的两根，X+X,=-m+3XX=m+1 x1-x=22.x1-x2}=2V2,x+x22-4xx=8-m+3到-4m+1=8 .m2+2m-3=0,解得m1=-3,m2=1. 当m=-3时，原方程化为X-2=0解得x,=2:X,=-V2 当m=1时，原方程化为X+4x+2=0解得x=-2+V2:X,=-2-V2 20.【小题1】 x2-4x+7 =x2-4x+4+3 =(x-2}2+3 .（x-22≥0 ∴.（x-2)2+3≥3 .x2-4x+7有最小值3. 【小题2】 B-A=x2-1-(2x-3) =X2-2X+2 =(x-12+1 .(x-12≥01 ∴.（x-1)2+1≥1 第3页，共1页 ∴.B-A>0.∴B>A. 21.【小题1】 解：设2026年、2027年这两年的平均增长率为x, 根据题意得：641+x}=100 解得：x1=0.25=25%,x2=-2.25(不符合题意，舍去). 答：2026年、2027年这两年的平均增长率为25%： 【小题2】 设售价应降低y元，则每千克的销售利润为(20-y-8)元，每天可售出(240+兰×60)千克， 根据题意得：(20-y-8)(240+义×60)=2520. 整理得：y-4y-12=0, 解得：y1=6,y2=-2(不符合题意，舍去). 答：售价应降低6元. 22.【小题1】 ①因为-3+(-7)=-10，-3×(-7)=21， 所以x-10x+21=(x-3(x-7) 则x-3)(x-7)=0, 所以X1=3,X2=7; ②因为1+4=5'1×4=4 所以x+5x+4=(x+1)(x+4) 则(x+1)(x+4)=0, 所以X1=-1,X2=-4: ③因为-7+1=-6'-7×1=-7 所以x2-6x-7=(x-7)(x+1 第4页，共1页 则x-7)〔(x+1)=0, 所以X1=7,X2=-1 【小题2】 ①2027x2+2026x-1=0, (x+1)(2027x-1)=0 则x+1=0或2027x-1=0, 所以x1=-1,X2F2027 1 ②(1+V2)x2-(3+V2)x+V2=01 (x-V2)[(1+V2)x-1]=01 则x-V2=0或(1+V2)x-1=0 所以x,=V2,x2=V2-1 23.【小题1】 -2 【小题2】 解：7m2-7m-1=0,7n2-7n-1=0, ∴.m、n可看作方程7x2-7x-1=0, .mtn=1.mn=- ∴mn+mn=mm+n=-x1=-》 【小题3】 且m≠n, 第5页，共1页 +9+19=02形为1+99*19月-0 ∴.实数s和可看作方程19x2+99x+1=0的两根， “片8s洁 °t191 t+4s+1-5+4+1-5++4=-99+4-95-5. t tt t t191919 第6页，共1页