双曲线专项训练—2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦双曲线定义与几何性质，通过分层题型构建“定义应用-性质推导-综合运算”的方法体系，强化逻辑推理与数学模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1/填空13|定义法求焦半径、渐近线方程|从标准方程到几何量关系的生成| |几何性质|单选2-8/多选9-11|离心率计算（余弦定理/面积公式）、焦点三角形性质|性质推导与代数化表达的结合| |综合应用|解答15-19|韦达定理、点差法、轨迹方程|直线与双曲线位置关系的模型构建|

双曲线专项训练复习题——2027届高三数学一轮复习 一、单选题 1．双曲线的一条渐近线方程为，，分别为其左、右焦点，M是C上的一点，且，则（） A．1 B．3 C．7 D．9 2．已知双曲线：的左焦点为，点为双曲线上位于第一象限内的一点，直线与双曲线的左支相交于点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．在等腰梯形中，且，，，（）（如图）以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为，以，为焦点，且过点的椭圆的离心率为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．如图，双曲线的右顶点为A，左右焦点为，，点P是双曲线右支上一点，交左支于点Q，交渐近线于点R，M是的中点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，直线与双曲线的右支交于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作E的一条渐近线的垂线，垂足为T，交E的左支于点P．若T恰好为线段的中点，则E的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 8．如图，双曲线：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线与双曲线C的右支相交于A，B两点，且，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 二、多选题 9．已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，点在上，且，，则（    ） A．的焦距为 B．的渐近线方程为 C．的面积为 D．双曲线是等轴双曲线 10．已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于，两点，则（    ） A．到渐近线的距离为 B．的最小值为5 C．若，在左右两支上，则直线的斜率的取值范围为 D．若在左支上，则的内切圆的圆心的横坐标为定值 11．已知，是双曲线：的左、右焦点，过的直线为，则（   ） A．若与左、右两支相交于、两点，则 B．当与仅有一个交点时，到的距离为8 C．若与左、右两支交于、两点，则的斜率的取值范围为 D．若与左、右两支相交于、两点，，则为定值12 三、填空题 12．已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的离心率是__________． 13．已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为______. 14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，在的右支上存在异于顶点的一点，使交轴于点，若为的角平分线，则的离心率的取值范围为____． 四、解答题 15．已知双曲线：（，）过点，一条渐近线的方程为，. (1)求双曲线的标准方程； (2)如图，曲线的左顶点为，过点且斜率不为的直线与曲线交于，两点，直线与直线：交于点，求证：直线与直线的斜率之积为定值； (3)过点作曲线的两条切线，，当与的斜率之积为时，是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由. 16．已知双曲线：（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)已知直线过点且与双曲线交于，两点，若，求直线的方程． 17．求解下列问题： (1)已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线外一点，点在双曲线的右支上，求的最小值； (2)已知双曲线的方程为，点的坐标为，是圆上的点，点为其圆心，点在双曲线的右支上，求的最小值． 18．已知双曲线的两个焦点为，，且的渐近线方程为. (1)若点在上，且，求； (2)设的左、右顶点分别为，，过点的直线与的右支交于点（异于），且关于的对称点为，若，求直线的斜率. 19．在平面直角坐标系xOy中，设m为实数，若双曲线的右焦点为，离心率为，点F到双曲线的一条渐近线的距离为1，直线交双曲线于A，B两点. (1)求此双曲线的方程. (2)若A，B两点都在双曲线的右支上. （ⅰ）求面积的最小值. （ⅱ）在x轴上是否存在一点P，使得为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《双曲线专项训练复习题——2027届高三数学一轮复习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B C A B D D ACD ACD 题号 11 答案 BCD 1．D 【详解】由题意得，，得， 则， 若在左支，则；若在右支，则； 因为，所以在左支，则，得. 2．D 【分析】根据双曲线的定义，表示出，，，，的长度，结合，利用余弦定理列式，可得的关系，进而可求双曲线的离心率. 【详解】如图， 记双曲线的右焦点为，为坐标原点.连，， 由且，可得，，. 设，又由，得， 所以，可得， 可得双曲线的离心率为. 3．B 【分析】根据双曲线和椭圆的定义分别表示出离心率和，再利用对勾函数的单调性求解即可. 【详解】如图，双曲线以，为焦点，且过点，则， ，，，则 所以；椭圆以，为焦点，且过点， 则，，，， 所以，，令，又， 则，所以， 令，则是对勾函数， 由对勾函数单调性可知，当时，函数单调递减， 即时，，时，， 所以的取值范围为. 4．C 【分析】先求出点坐标，再求出点坐标，再根据点差法表示出，再由建立方程求解即可. 【详解】因为，所以在直角中，， 设，则，解得，即， 又，所以，则， 即，又因为，，所以 ，设，， 联立，两式相减化简得， 又M是的中点，， 即，又，所以， 又，所以， 化简得，又，解得， 即. 5．A 【分析】根据已知内切圆的半径，可利用焦点三角形面积公式建立等式，得到关于的表达式，根据余弦定理建立的齐次式，进而计算离心率． 【详解】如图，作出符合题意的图形， 由直线，整理可得，恒过点；故直线过点； 由点到直线的距离公式可知到的距离为； 则（为内切圆半径）， 因为点在右支上，所以， 则； 又因为；所以， 解得，故； 故，解得； 因为点在右支上，斜率为负，故，故， 代入直线方程可得，解得； 因为在双曲线上，所以代入可得， 由整理可得， 由；则； 则原式化简可得， 两边同乘可得， 约分可得 即，整理得； 即，化简得， 化简得，解得或或； 由题意得，则符合题意，故A正确. 6．B 【分析】设双曲线的左焦点为，根据双曲线的定义，将转化为，即可求其最小值. 【详解】设双曲线的左焦点为，则，所以，. 则由题意可得，，即. 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立. 即的最小值为. 7．D 【详解】由于，故， 连接， 在中，因为为中点，为中点，所以为中位线， 又因为，所以， 所以， 由定义可得， 所以．    8．D 【分析】根据双曲线的定义及勾股定理，得到与关系，从而求得双曲线的离心率. 【详解】设，则，. 在中，有，整理得，故. 设， 在中，有，即， 所以的离心率. 9．ACD 【分析】根据条件，利用双曲线的定义求出，再由余弦定理即可求出，进而可得，即可判断出A、B和D的正误，再由平方关系和三角形面积公式，求出的面积，即可判断C的正误. 【详解】易知，则，又，所以，又，所以， 则，所以A正确， 对于B，因为，则，所以，则的渐近线方程为，所以B错误， 对于C，因为，则， 所以的面积为，故C正确， 对于D，因为，则，即，所以双曲线是等轴双曲线，D正确. 10．ACD 【分析】由点到直线的距离公式计算可判断A；当直线斜率为时，可判断B；结合题意直线的斜率的绝对值小于，计算可判断C；结合圆的切线长定理、双曲线的定义可判断D. 【详解】由题意可得， 所以，渐近线的方程为， 对于A，到渐近线的距离为，故A正确； 对于B，当过的直线斜率为时， 此时，，故B错误； 对于C，由于双曲线渐近线方程的斜率为， 当直线的斜率的绝对值小于时，过的直线与双曲线交于，两点在左右两支上， 此时直线的斜率的取值范围为，故C正确； 对于D，设内切圆圆心为，内切圆与相切于点， 则． 因为，所以． 令的横坐标为，则， 所以若在左支上，则的内切圆的圆心的横坐标为定值，故D正确. 11．BCD 【分析】对A，计算得到过且与左右两支相交的直线斜率为时，弦长，因此不成立；对B，确定过 且与双曲线仅有一个交点的直线为两条渐近线，代入点到直线距离公式计算得到直线的距离恒为；对C，根据双曲线渐近线斜率与交点位置的关系，可得直线与双曲线左右两支相交时斜率满足；对D，利用的条件结合韦达定理解出斜率，代入弦长公式计算得弦长为定值. 【详解】双曲线 ，得 ，焦点 ， 对于A：若直线为轴，交双曲线左右两支于，此时，A错误； 对于B：在双曲线外部，过的直线与双曲线仅有一个交点时，只能是平行于渐近线的直线， 渐近线斜率为，则直线方程为，整理得， 到的距离，B正确； 对于C：若直线斜率存在，设，由，得， 若交左右两支于两点，需两根之积，即，得，即； 若直线斜率不存在，则，两个交点都在左支，不符合要求； 因此斜率范围为，C正确； 对于D：设，AB中点，直线斜率为， 由，得，整理得 即，所以， 整理得 由在双曲线上，可得，， 两式作差得，即 所以，即，解得 由，得，则，解得， 所以， 所以 ，即为定值，D正确. 12． / 【分析】设的内切圆半径为，结合双曲线定义与三角形面积公式推导、的关系，进而求出离心率。 【详解】设的内切圆半径为, 根据双曲线的定义，点在双曲线右支上，故，双曲线的焦距, 由三角形面积公式可得 ，，, 代入题设条件， 得 ，得 ,由于，两边约去得， 故双曲线的离心率. 13． 【分析】由已知可直接写出，进而利用双曲线参数关系，求出，再通过双曲线的渐近线方程公式即可解决本题. 【详解】焦点在轴上的双曲线的标准方程为，焦点坐标为，其中， 双曲线的一个焦点为可知， 则， 所以双曲线的渐近线方程为，即. 14． 【分析】设点且，，从而有直线为，根据三角形角平分线的性质有，且，，得即可求范围. 【详解】设双曲线的焦距为，且，则，， 设点且，， 直线的方程为，令，得，， 所以，则在线段上， 由是的角平分线，在中， 由三点共线，则， 因为，则， 而点到右焦点的距离为， 所以，所以， 由，则，即， 综上，离心率的取值范围为. 15．(1) (2)设直线，联立得， 因为直线与双曲线有两个交点， ，且， 设则. ， 直线方程为，当时，. 为定值. (3)存在， 【分析】(1)利用双曲线渐近线得到 比例关系，再把已知点代入双曲线方程联立求解参数，直接得到标准方程； (2)设 ，联立双曲线用韦达定理，求出交点 P，把斜率乘积全部转化为韦达的整体代数式，消参得到定值；(3)设切线斜率，利用相切判别式为 0 得到关于斜率的二次方程，由斜率之积的条件推导出动点D的轨迹椭圆，再利用椭圆定义找到定点与定值. 【详解】（1） 由题意得，双曲线标准方程为. （2）略 （3）存在，， 设切线方程为， ， ，， ，， 整理得在以为焦点的椭圆上. 由椭圆定义可知，椭圆上任意点到两焦点距离和为， 存在点使为定值. 16．(1) (2) 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，双曲线的半焦距， 双曲线的渐近线方程为，， 又，， 双曲线的方程为． （2）如图， 易知直线斜率存在，设直线的方程为（，）， 联立，消去，可得， 设，，则①，②， 又，可得③， 由①③可得，， 代入②，化简可得，解得， 则直线的方程为． 17．(1) (2) 【分析】（1）利用双曲线定义把求的最小值转化为求的最小值，再利用两点间线段最短求解； （2）利用双曲线定义，结合圆的性质及两点间线段最短求解最小值． 【详解】（1）由题意知， 所以要求的最小值，只需求的最小值， 如图1所示，连接交双曲线的右支于点， 当点位于点处时，最小，最小值为． 故的最小值为． （2）设点的坐标为，则点，是双曲线的焦点， 如图2所示，连接，， 由双曲线的定义，得． 所以． 因为点是圆上的点，圆的圆心为，半径为1， 所以，从而， 当且仅当点，在线段上时，等号成立， 故的最小值为． 18．(1)； (2)直线的斜率为或． 【分析】（1）由双曲线的焦点坐标、渐近线方程以及可求得，再结合双曲线的定义即可求得，此题需要注意点只会在双曲线的左支上； （2）设出直线的斜率，用点斜式写出直线的方程，将直线与双曲线联立解方程组，求出点，再根据对称性求出点，最后用两点间的距离公式结合即可解决问题． 【详解】（1）因为双曲线的两个焦点为，，所以， 因为双曲线的渐近线方程为，所以， 因为，所以，所以，所以双曲线， 因为，所以点一定在双曲线的左支上， 由双曲线的定义得，因此，即； （2） 因为过点的直线与的右支交于点（异于），所以直线的斜率必存在，可记为且， 所以直线的方程为，设， 由可得， 可得且，于是且， 代入直线的方程得，所以点， 因为关于的对称点为，所以，所以点， 又因为，所以， 整理得，解得或，均满足，故或， 所以直线的斜率为或． 19．(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在， 【分析】（1）根据给定条件，结合点到直线距离公式列式求出即可. （2）（ⅰ）联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理求出三角形面积的函数关系，进而求出最小值；（ⅱ）假定存在并设出点的坐标，利用数量积的坐标表示，结合韦达定理化简求解. 【详解】（1）由离心率，得，又，得， 焦点到渐近线的距离为，解得，，， 所以双曲线方程为. （2）（ⅰ）由消去得，设， 且，，， 因此的面积 ， 令，函数在上递减，当时，， 因此当时，取得最大值1， 所以面积的最小值为. （ⅱ）假设在x轴上存在一点P，使得为定值，设， 则， ，要为定值，当且仅当，即， 所以在x轴上存在一点P，使得为定值，点的坐标为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $