第03讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学讲义聚焦空间点线面位置关系高考核心考点，涵盖平面基本性质、空间位置关系、异面直线所成角等内容，按考情分析、知识梳理、重难突破、分层集训逻辑架构，通过考点精讲、方法归纳、真题演练帮助学生系统构建知识网络，突破立体几何证明与计算难点。 资料以长方体模型为载体培养直观想象，通过共面问题“先定面再证线”等策略强化逻辑推理，设置基础到真题三层练习实现分层提能。如异面直线所成角用平移法转化，截面问题结合空间构图提升数学建模能力，助力学生高效备考，为教师提供精准复习指导。

第03讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 平面的基本性质 知识2 空间的位置关系 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测） 考点01 基本事实及推论的应用 考点02 共面、共线、共点问题的证明 考点03 异面直线所成的角 考点04 点、直线、平面位置关系判断 考点05 截面问题 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1．通过对长方体、棱柱、棱锥等具体空间几何体的观察与抽象，认识空间中点、直线、平面的基本位置关系，掌握平面的基本性质，理解三个基本公理及其推论，能运用公理判断空间点、线、面的共面、共线、共点问题． 2．通过直观感知、操作确认、推理论证，理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直关系的判定定理与性质定理，能准确辨析空间异面直线的位置关系、夹角概念，能利用定理进行简单的空间位置关系证明与几何计算． 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 平面的基本性质 共点、共线、共面 异面直线所成的角 全国I卷T17 直线与平面的位置关系 全国I卷（理）T10 全国II卷（文）T11 平面与平面的位置关系 考情解读 空间点、直线、平面之间的位置关系是新高考立体几何的基础必考内容，是空间几何体、空间向量求解立体几何问题的理论基础．题型分为选择填空与解答题两类：小题分值5分，多为容易或中档题，以命题真假判断、异面直线辨析为主，重点考查直观想象；解答题一般放在立体大题第1小问，必考平行、垂直的逻辑证明．命题载体多为长方体、棱柱、棱锥，弱化复杂繁琐证明，重点考查对公理、定理条件的准确理解，区分空间与平面几何结论差异．本模块是立体几何拿分基础，难度稳定，属于必须掌握的内容． 备考策略 理解并熟记空间点、线、面位置关系定义，掌握四个基本事实与等角定理；系统梳理线线、线面、面面平行、垂直的判定定理与性质定理，做到文字、图形、符号三种语言熟练转化．训练识图构图能力，依托长方体模型建立空间思维，避免直接套用平面几何结论．规范证明书写格式，重点突破共面证明、线面平行与垂直证明，整理常见易错陷阱，保证小题判断准确、证明步骤严谨完整． 知识・归纳梳理 知识1 平面的基本性质 1、平面的3个基本事实 （1）基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面． （2）基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． （3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 知识2 空间中的位置关系 1、直线与直线的位置关系 （1）空间两条直线的位置关系 位置关系 特点 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 （2）异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． ②范围：(0°，90°]． 2、直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 3、两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 重难・核心突破 考点01 基本事实及推论的应用 典例1．（23-24高三上·广西柳州·阶段检测）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．三角形一定是平面图形 C．梯形一定是平面图形 D．不重合的平面和平面有不同在一条直线上的三个交点 【答案】BC 【解析】对于A，不共线的三点确定一个平面，错误； 对于B，三角形的三个顶点不在一条线，可确定唯一一个平面，故三角形一定是平面图形，正确； 对于C，梯形中有两条线平行，可确定唯一一个平面，故梯形一定是平面图形，正确； 对于D，若不重合的两个平面相交，则它们一定有一条交线， 所有的两个平面的公共点都在这条交线上，错误. 故选：BC. 典例2．（2024·吉林长春·模拟预测）（多选）下列基本事实叙述正确的是（    ） A．经过两条相交直线，有且只有一个平面 B．经过两条平行直线，有且只有一个平面 C．经过三点，有且只有一个平面 D．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面 【答案】AB 【解析】根据基本事实以及推论，易知A，B正确； 对于C项，若三点共线，经过三点的平面有无数多个，故C错误； 对于D，若这个点在直线外，则确定一个平面，若这个点在直线上，可有无数平面，故D不正确； 故选：AB 【考法预测1】（25-26高三上·甘肃临夏·阶段检测）若平面，直线，点，则在内过点的所有直线中（    ） A．存在唯一一条与 平行的直线 B．只有两条与平行的直线 C．不一定存在与平行的直线 D．存在无数条与平行的直线 【答案】C 【解析】平面，直线，点， 1、当时，在内过点有且仅有一条直线与平行； 2、当时，在内过点有且仅有一条直线与平行； 3、当时，在内过点不存在直线与平行；故选：C 【考法预测2】（26-27高三上·上海·阶段检测）下列命题中，正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．垂直于同一直线的两条直线平行 C．若直线与平面上的无数条直线都垂直，则 D．若a、b、c是三条直线，且与c都相交，则直线a、b、c在同一平面上 【答案】D 【解析】A.不共线的三点确定一个平面，故A错误； B.由墙角模型，显然B错误； C.根据线面垂直的判定定理，若直线与平面内的两条相交直线垂直， 则直线与平面垂直，若直线与平面内的无数条平行直线垂直， 则直线与平面不一定垂直，故C错误； D.因为，所以确定唯一一个平面，又与都相交， 故直线共面，故D正确；故选：D. 考点02 共面、共线、共点问题的证明 典例1．（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证： (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【答案】证明见解析 【解析】（1）证明：如图，连结. ∵点分别是的中点，∴. ∵四边形为平行四边形，∴， ∴， ∴四点共面，即和共面． （2）证明：正方体中， ∵点分别是的中点，∴且 ∵四边形为平行四边形，∴，且 ∴∥且 ∴与相交，设交点为P， ∵，平面，∴平面； 又∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P. 典例2．如图，在直三棱柱中，分别为的中点. 请考生从下面的两个命题中自己选择一个证明.若多选，则按照书写的第一个证明计分. ①三线共点； ②若平面，证明：共线 【答案】证明见解析 【解析】选①：由分别为的中点，则且， 同理得且，而，所以不平行； 由分别为的中点， 易知，所以平面； 因为不平行，延长交于一点， 则平面，即在平面内，同理平面，即在平面内， 所以平面平面，即为面与面的公共点； 又平面平面，则；所以； 综上，三线共点； 选②：由分别为的中点， 易知，所以平面； 而，，则平面，所以平面； 由，平面，则平面， 所以平面，所以平面平面； 又平面，所以，平面， 又平面，所以平面； 又平面，所以，即共线. 方法技巧 共面、共线、共点问题的证明方法 1、证明点或线共面问题的2种方法 （1）首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内； （2）将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合． 2、证明点共线问题的2种方法 （1）先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上； （2）直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上． 3、证明线共点问题的常用方法 先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 【考法预测1】（2026·江苏南京·模拟预测）在正三棱锥中，平面，垂足为点O，过O作平面与棱，，，交于点D，E，F，G. (1)求证：E，O，F三点共线； (2)若四边形为平行四边形，求的值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：因为平面，平面，所以平面. 同理平面，所以平面平面. 又因为平面，平面，所以. 即E，O，F三点共线. （2）若四边形为平行四边形，则. 又平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. 在正三棱锥中，平面， 则为正三角形的中心，即为重心. 连接并延长交于点Q，则. 由（1）可知，.又，则. 所以. 【考法预测2】已知，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证： (1)D，B，E，F四点共面. (2)若A1C交平面BDEF于点R，则P，Q，R三点共线. 【答案】证明见解析 【解析】(1)证明：连接B1D1，如下图所示： 因为E，F分别为D1C1，C1B1的中点， 所以EF∥B1D1，又因为B1D1∥BD， 所以EF∥BD， 所以EF与BD共面， 所以E，F，B，D四点共面.即证. (2)证明：因为AC∩BD=P，所以P∈平面AA1C1C∩平面BDEF. 同理，Q∈平面AA1C1C∩平面BDEF， 因为A1C∩平面DBFE=R， 所以R∈平面AA1C1C∩平面BDEF， 所以P，Q，R三点共线，即证. 考点03 异面直线所成的角 典例1．（2026·辽宁大连·一模）在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于，所以， 设分别是的中点，连接，则， 所以异面直线BE与AD所成角为（或其补角）， 在中，， 所以， 所以异面直线BE与AD所成角的余弦值为. 典例2．（2026·福建泉州·模拟预测）在三棱锥中，平面，，，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解法一：如图，分别取，，的中点，，， 分别连结，，，，则， ，所以（或其补角）即为直线与所成角， 设，可得，，， ， 在中，由余弦定理可得，， 由于直线与所成角为锐角， 故直线与所成角的余弦值为，故D正确. 解法二：如图，把三棱锥扩充为正方体， 直线与所成角即为直线与所成角， 因为为等边三角形，所以直线与所成角为， 即直线与所成角的余弦值为，故D正确. 方法技巧 平移法求异面直线所成角 第一步平移：平移的方法一般有三种类型：(1)利用图中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移 第二步证明：证明所作的角是异面直线所成的角或其补角 第三步寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之 第四步取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0°＜θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角 【考法预测1】（25-26高三下·河南·阶段检测）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，将直四棱柱补成正六棱柱， 连接，，显然， 则即为直线与所成的角或其补角． 设，则， 又， 则， 解得， 又， ， 则为正三角形，从而， 则直线与所成的角为． 【考法预测2】（2026·贵州黔西南·二模）定义：对于空间一个平面和该平面外两点，，若在平面内存在一点使得取得最小值，则称为，两点关于平面的“最短距点”.如图，已知正方体的棱长为2，与交于点，点为线段的中点，其中，点是，两点关于平面的“最短距点”，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】延长到，使得，连接交平面于， 根据两点之间线段最短可知：此时是，两点关于平面的“最短距点”， 连接，则， 故，故， 因此， ， 因此， 故直线与所成角的余弦值为. 考点04 点、直线、平面位置关系判断 典例1．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【解析】A：若，，，则平行、异面、相交均有可能，错； B：若，，则或，错； C：若，，则或，错； D：若，，则，又且，是两条不同的直线，则，对. 典例2．（2026·湖南长沙·一模）（多选）已知是三个不同的平面，为三条不同的直线且，则三条直线的位置关系可能是（    ） A．三条直线两两平行 B．有且仅有两条直线平行 C．三条直线相交于同一点 D．有且仅有两条直线相交 【答案】AC 【解析】由题设，故为共面直线， 若，则，则重合，与题设矛盾，故，同理 若，因，故，而，，故， 故三条直线两两平行，故A正确，B错误； 若相交，设，则，故， 故三条直线相交于同一点，故C正确，D错误； 【考法预测1】（2025·陕西榆林·模拟预测）已知是异面直线，是两个不同的平面，且，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解析】由，，则或， 当，而，则相交且垂直，与是异面直线矛盾，所以，A错、B对， 若，，，则与相交或平行，且相交情况下不一定有，C、D错. 故选：B 【考法预测2】（2026·山东菏泽·模拟预测）（多选）已知平面，直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BD 【解析】选项A：若，，，则或与异面，A说法错误； 选项B：若，，，，则由平面与平面垂直的性质可得，B说法正确； 选项C：若，，则可能平行，相交或垂直，C说法错误； 选项D：若，，则在内可找到的平行线使得，所以由可得，D说法正确； 故选：BD 考点05 截面问题 典例1．（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】B 【解析】在正方体中，取，， 连接，，，，，，如下图所示： 因为在正方体中，，分别是棱和上的点，，， 所以，且，则四边形为平行四边形，则，， 又因为，且，所以四边形为平行四边形， 则，， 所以，，所以为平行四边形， 则正方体中过点，，的截面形状为四边形.故选：B 典例2．（25-26高三下·云南昆明·阶段检测）在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取线段的中点为，的中点为，，如图， 因为正方体中，分别是棱的中点， 所以，所以四点共面. 由正方体的棱长为2，可得，， 所得截面周长为，故选：B. 【考法预测1】（2026·甘肃嘉峪关·三模）如图：正方体的棱长为2，E为的中点，过点D作正方体截面使其与平面平行，则该截面的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，取的中点分别为，连接，如下图所示：    易知，且，所以四边形是平行四边形； 即，又平面，平面， 所以平面； 同理可得平面； ，平面， 所以平面平面平行， 即过点D作正方体截面使其与平面平行的截面即为平面； 显然，，且，； 所以四边形是边长为的菱形，即所求截面面积即为菱形的面积； 易知，所以其面积为.故选：B 【考法预测2】（25-26高三上·河南焦作·阶段检测）已知平面与单位正方体相交得到一个六边形，若该六边形有3个内角是，则它的周长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】设单位正方体为正方体，截面为六边形EFGHIJ. 因为这六点共面，而正方体的对面相平行，所以有. 因此. 又由于六边形有3个内角是， 所以其所有内角均为.    设，因为平面，而平面， ，所以，即三线共点， 同理可得相交于，相交于点. 因为，所以， 同理，. 进而，. 所以六边形的周长为.故选：B 拔高・分层集训 基础演练 1．（2026·江苏·模拟预测）空间中两条直线，则“”是“与相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】空间中两条直线，若， 与可以相交也可以异面； 与相交时，不一定互相垂直，不能得到， 所以“”是“与相交”的既不充分也不必要条件. 2．（25-26高三上·广东汕头·期末）已知是异面直线，设平面满足，且，则这样的（    ） A．不存在 B．有且仅有1个 C．有且仅有2个 D．有无数多个 【答案】B 【解析】在上任取一点作的平行线， 因，则经过的平面只有1个，设为，则， 又，则，从而，即这样的平面有且只有一个.故选：B 3．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）给定下列四个命题，其中正确的是（    ） A．若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合 B．垂直于同一直线的两条直线互相平行 C．若直线和直线平行，且平面，则 D．若两个平面相交，那么其中一个平面内与两平面的交线不垂直的直线与另一个平面一定不垂直 【答案】D 【解析】对于A，若两个平面有无数个公共点，则这两个平面相交或重合，A错； 对于B，空间中垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面，B错； 对于C，若直线和直线平行，且平面，则或，C错； 对于D，假设，直线为平面内的一条直线， 假设，由于，则，这与题设条件矛盾，假设不成立，故D正确，故选：D． 4．（2026·海南儋州·二模）已知直线，与平面，，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【解析】若，，则或相交（墙角模型），故A错误； 若，，则，故B正确； 若，，则或异面，故C错误； 若，，则或相交，故D错误. 5．（2026·安徽合肥·一模）已知空间中三条直线与平面分别交于不同的三点，则“三点共线”是“直线共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】如图所示，空间中三条直线与平面分别交于不同的三点， 且三点共线，但直线不共面， 所以“三点共线”是“直线共面”的不充分条件； 若直线共面，设其为，则均在平面内，也在平面内， 则在平面与的交线上，所以三点共线， 所以“三点共线”是“直线共面”的必要条件； 所以“三点共线”是“直线共面”的必要不充分条件.故选：B. 6．（25-26高三下·新疆省直辖县级单位·阶段检测）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则（    ） A．EF与GH平行 B．EF与GH异面 C．EF与GH的交点一定在直线AC上 D．EF与GH的交点可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 【答案】C 【解析】如图所示，连接，因为分别是上的点，且， 所以，且， 又因为点分别是边的中点，所以，且， 所以且，所以和相交， 设和相交于点，则平面且平面， 因为平面平面，所以点在直线上. 7．（26-27高三上·安徽·阶段检测）《九章算术·商功》记载：“斜解立方，得两堑堵；斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑．”其中，“阳马”特指底面为矩形，且一条侧棱垂直于底面的四棱锥（即直四棱锥）．今有一阳马如图所示，其中平面，，若与所成角的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为四边形为矩形且，所以四边形是正方形，，，； 又因为与所成角的余弦值为，所以与所成角的余弦值为； 因为平面，⊆平面，所以，， 又因为，⊆平面,所以平面， 又因为⊆平面，所以； 在直角三角形中，因为，所以； 所以在直角三角形中，，所以. 8．（2026·黑龙江·一模）三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 取BC中点F，连接，，因为，故， 故或其补角即为直线与所成角， 因为平面，平面，故， 而，故，同理， 而为中位线，故， 而是边长为的等边三角形，，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以直线与所成角的余弦值为. 9．（25-26高三上·福建福州·阶段检测）已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【解析】如图，设，分别延长交于点，此时， 连接交于，连接， 设平面与平面的交线为，则， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，设，则， 此时，故，连接， 所以五边形为所求截面图形，故选：C． 10．（2026高三上·陕西咸阳·专题练习）（多选）如图，分别是空间四边形各边上的点（不与各边的端点重合），且，．则下列结论一定正确的是（    ） A．共面 B． C．面 D．若直线与有交点，则交点在直线上 【答案】AD 【解析】对于A，，；同理可得：， ，四点共面，A正确； 对于B，由A知：四点共面，若，则与为相交直线，B错误； 对于C，若面，平面，平面平面， ，，此条件未必成立，C错误； 对于D，平面，平面，与有交点，与的交点必在平面与平面的交线上， 平面平面，与的交点在直线上，D正确.故选：AD. 能力进阶 1．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图取正方体底边的中点，和正方体的顶点M，N，P，Q， 连接， 在正方体中有， 所以，所以点四点共面； 同理可知点四点共面，点四点共面，点四点共面， 所以六点共面, 所以直线与直线、直线与直线共面、直线与直线共面， 直线平面AFG， 直线平面，所以直线与直线是异面直线. 综上可知ABC错误D正确. 故选：D. 2．（25-26高三上·湖南常德·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法中错误的是（    ） A． B．E、F、G、H四点共面 C．设，则平面截该三棱柱所得截面的周长为 D．、、三线共点 【答案】C 【解析】如图， 连接，由分别为中点，可得， 由可知，侧面为菱形， 所以，所以，故A正确； 连接，因为E、F、G、H分别为、、、的中点， 所以，，所以，所以E、F、G、H四点共面，故B正确； 延长交的延长线于点，连接，交于点，连接，， 设确定平面为，则，所以，所以， 则易知三棱柱的截面四边形为， 在中，， 在中，，而中，， 而，所以截面的周长大于，故C错误； 由B知，且，所以梯形的两腰、所在直线必相交于一点， 因为平面，平面， 又平面平面，所以，所以与重合， 即、、三线共点于，故D正确.故选：C 3．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）在长方体中，分别是棱的中点，点满足，若过点的平面截长方体所得的截面为五边形，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示， 要使点所在的截面为五边形，则截面与棱相交， 因为是的中点，所以， 因为，， 所以，所以， 在长方体中，，所以， 所以， 同理可得，即， 因为，所以，即，所以， 即实数的取值范围是.故选：B. 4．（2026·广东中山·三模）（多选）已知直线l与平面相交于点P，则（    ） A．内不存在直线与l平行 B．内有无数条直线与l垂直 C．内所有直线与l是异面直线 D．至少存在一个过l且与垂直的平面 【答案】ABD 【解析】已知直线与平面相交于点，若α内存在直线n与l平行，则直线n与l确定一个平面， 由，，且，，则与重合， 有，与矛盾，故选项A正确. 设直线在平面内的射影为PO，根据三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.所以平面内与射影PO垂直的直线，与直线垂直. 又因为在平面内与直线平行的直线都与直线垂直，而在平面内与一条直线平行的直线有无数条，所以平面内有无数条直线与垂直，故选项B正确. 在平面内过点的直线，因为直线与直线都过点，根据相交直线的定义：两条直线有且只有一个公共点，则这两条直线相交，所以直线与直线相交，并非异面直线，故选项C错误. 如图，取直线上除斜足外一点，过该点作平面的垂线. 因为，且平面，平面，根据平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，所以平面垂直于平面，即至少存在一个过且与垂直的平面，故选项D正确. 故选：ABD. 5．（26-27高三上·安徽·开学考试）设空间平面与正八面体相交所得截面是边形，则的最大值=_________． 【答案】6 【解析】平面截多面体，截面边数=平面相交到的面的个数,正八面体是两个全等正四棱锥底面对扣， 共8个三角形面，6个顶点,虽然有8个面，但上半4个面汇聚上顶点，下半4个面汇聚下顶点， 不存在一个平面可以同时切割全部8个面，平面最多和其中6个面相交，如图： 因此截面最多是六边形,则的最大值为6. 6．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，BC，的中点，则异面直线AD与EF所成角的余弦值为______． 【答案】 【解析】把直三棱柱补成一个底面为菱形的直四棱柱，如图所示：    因为，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以异面直线AD与EF所成的角为或其补角， 不妨设， 因为，所以， 所以为等边三角形，所以，， 所以， 因为为边长为的等边三角形，所以， 又因为， 所以在中，由余弦定理可得， 故异面直线与所成角的余弦值为. 7．（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是______． 【答案】 【解析】 取的中点的中点的中点，连接， 则正六边形为对应的截面，又正六边形的边长为， 所以截面的面积为：. 故答案为：. 8．（25-26高三上·宁夏陕西·阶段检测）在四面体中，，，，，若异面直线与所成的角为，则________． 【答案】 【解析】由题意得，均为直角三角形，故， 如图，分别作和斜边上的高，， 则在中，根据面积公式可知， 故， 故． 在平面中，过作，且，连接，， 故四边形是平行四边形， 则，且． 因为四边形是平行四边形，且，所以四边形为矩形，所以． 又，，故，又平面， 所以平面，故， 又，所以． 真题实战 1．（2025·上海·高考真题）如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（    ） A．和； B．和； C．和； D．和． 【答案】D 【解析】因为是正四棱台，所以，故A错误， 侧棱延长交于一点，所以与相交，故B错误， 同理与也相交，所以四点共面，所以与相交，故C错误， 与是异面直线，故D正确.故选：D 2．（2025·天津·高考真题）若m,n为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A，若，则可平行或异面，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则存在直线，， 所以由可得，故，故C正确； 对于D，，则与可平行或相交或，故D错误；故选：C. 3．（2024·全国甲卷·高考真题）设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或          ②若，则或 ③若且，则       ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【解析】对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确； 对②，若，则与不一定垂直，故②错误； 对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误； 综上只有①③正确，故选：A. 4．（2024·天津·高考真题）已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A，若，，则平行或相交，不一定垂直，故A错误. 对于B，若，则或，故B错误. 对于C，，过作平面，使得， 因为，故，而，故，故，故C正确. 对于D，若，则，故D错误.故选：C. 5．（2024·上海·高考真题）空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】B 【解析】对于A，若，，则或， 当时，，则或者与斜交或者， 当时，，则或者与斜交或者，故A错误； 对于B，若，，，可在取作为的法向量， 由于，故，即，则，故B正确； 对于C，若，，，则可能平行可能相交，也可能异面，故C错误； 对于D，若，，，则或，故D错误；故选：B 6．（2025·上海·高考真题）已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为__________． 【答案】 【解析】 如图，过作交底面圆锥于点，连接， 因为，则为异面直线与所成角， 所以， 又，所以，即， 因为，函数在上单调递减，所以， 故异面直线与所成角的最小值为. 故答案为：. 7．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)（i）证明见解析；（ii）. 【解析】（1）证明：由题意证明如下， 在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （2）（i）证明：由题意及（1）证明如下， 在四棱锥中，，，，∥， ，， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上， 则， 在平面中， ∴， ∴线段中点坐标， 直线的斜率：， 直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：， 即， 当时，，解得：，∴ 在立体几何中，， ∵解得：， ∴点在平面上. （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ， 设直线与直线所成角为， ∴. 法2：由几何知识得，， ，∥，∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 过点作的平行线，交的延长线为，连接，， 则，直线与直线所成角即为中或其补角. ∵平面，平面，， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 在Rt中，，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 即：解得： ∴直线与直线所成角的余弦值为：. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 平面的基本性质 知识2 空间的位置关系 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测） 考点01 基本事实及推论的应用 考点02 共面、共线、共点问题的证明 考点03 异面直线所成的角 考点04 点、直线、平面位置关系判断 考点05 截面问题 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1．通过对长方体、棱柱、棱锥等具体空间几何体的观察与抽象，认识空间中点、直线、平面的基本位置关系，掌握平面的基本性质，理解三个基本公理及其推论，能运用公理判断空间点、线、面的共面、共线、共点问题． 2．通过直观感知、操作确认、推理论证，理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直关系的判定定理与性质定理，能准确辨析空间异面直线的位置关系、夹角概念，能利用定理进行简单的空间位置关系证明与几何计算． 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 平面的基本性质 共点、共线、共面 异面直线所成的角 全国I卷T17 直线与平面的位置关系 全国I卷（理）T10 全国II卷（文）T11 平面与平面的位置关系 考情解读 空间点、直线、平面之间的位置关系是新高考立体几何的基础必考内容，是空间几何体、空间向量求解立体几何问题的理论基础．题型分为选择填空与解答题两类：小题分值5分，多为容易或中档题，以命题真假判断、异面直线辨析为主，重点考查直观想象；解答题一般放在立体大题第1小问，必考平行、垂直的逻辑证明．命题载体多为长方体、棱柱、棱锥，弱化复杂繁琐证明，重点考查对公理、定理条件的准确理解，区分空间与平面几何结论差异．本模块是立体几何拿分基础，难度稳定，属于必须掌握的内容． 备考策略 理解并熟记空间点、线、面位置关系定义，掌握四个基本事实与等角定理；系统梳理线线、线面、面面平行、垂直的判定定理与性质定理，做到文字、图形、符号三种语言熟练转化．训练识图构图能力，依托长方体模型建立空间思维，避免直接套用平面几何结论．规范证明书写格式，重点突破共面证明、线面平行与垂直证明，整理常见易错陷阱，保证小题判断准确、证明步骤严谨完整． 知识・归纳梳理 知识1 平面的基本性质 1、平面的3个基本事实 （1）基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面． （2）基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． （3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 知识2 空间中的位置关系 1、直线与直线的位置关系 （1）空间两条直线的位置关系 位置关系 特点 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 （2）异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． ②范围：(0°，90°]． 2、直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 3、两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 重难・核心突破 考点01 基本事实及推论的应用 典例1．（23-24高三上·广西柳州·阶段检测）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．三角形一定是平面图形 C．梯形一定是平面图形 D．不重合的平面和平面有不同在一条直线上的三个交点 典例2．（2024·吉林长春·模拟预测）（多选）下列基本事实叙述正确的是（    ） A．经过两条相交直线，有且只有一个平面 B．经过两条平行直线，有且只有一个平面 C．经过三点，有且只有一个平面 D．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面 【考法预测1】（25-26高三上·甘肃临夏·阶段检测）若平面，直线，点，则在内过点的所有直线中（    ） A．存在唯一一条与 平行的直线 B．只有两条与平行的直线 C．不一定存在与平行的直线 D．存在无数条与平行的直线 【考法预测2】（26-27高三上·上海·阶段检测）下列命题中，正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．垂直于同一直线的两条直线平行 C．若直线与平面上的无数条直线都垂直，则 D．若a、b、c是三条直线，且与c都相交，则直线a、b、c在同一平面上 考点02 共面、共线、共点问题的证明 典例1．（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证： (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 典例2．如图，在直三棱柱中，分别为的中点. 请考生从下面的两个命题中自己选择一个证明.若多选，则按照书写的第一个证明计分. ①三线共点； ②若平面，证明：共线 方法技巧 共面、共线、共点问题的证明方法 1、证明点或线共面问题的2种方法 （1）首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内； （2）将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合． 2、证明点共线问题的2种方法 （1）先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上； （2）直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上． 3、证明线共点问题的常用方法 先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 【考法预测1】（2026·江苏南京·模拟预测）在正三棱锥中，平面，垂足为点O，过O作平面与棱，，，交于点D，E，F，G. (1)求证：E，O，F三点共线； (2)若四边形为平行四边形，求的值. 【考法预测2】已知，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证： (1)D，B，E，F四点共面. (2)若A1C交平面BDEF于点R，则P，Q，R三点共线. 考点03 异面直线所成的角 典例1．（2026·辽宁大连·一模）在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 典例2．（2026·福建泉州·模拟预测）在三棱锥中，平面，，，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 平移法求异面直线所成角 第一步平移：平移的方法一般有三种类型：(1)利用图中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移 第二步证明：证明所作的角是异面直线所成的角或其补角 第三步寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之 第四步取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0°＜θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角 【考法预测1】（25-26高三下·河南·阶段检测）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026·贵州黔西南·二模）定义：对于空间一个平面和该平面外两点，，若在平面内存在一点使得取得最小值，则称为，两点关于平面的“最短距点”.如图，已知正方体的棱长为2，与交于点，点为线段的中点，其中，点是，两点关于平面的“最短距点”，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 考点04 点、直线、平面位置关系判断 典例1．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 典例2．（2026·湖南长沙·一模）（多选）已知是三个不同的平面，为三条不同的直线且，则三条直线的位置关系可能是（    ） A．三条直线两两平行 B．有且仅有两条直线平行 C．三条直线相交于同一点 D．有且仅有两条直线相交 【考法预测1】（2025·陕西榆林·模拟预测）已知是异面直线，是两个不同的平面，且，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【考法预测2】（2026·山东菏泽·模拟预测）（多选）已知平面，直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，则 D．若，，则 考点05 截面问题 典例1．（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 典例2．（25-26高三下·云南昆明·阶段检测）在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】（2026·甘肃嘉峪关·三模）如图：正方体的棱长为2，E为的中点，过点D作正方体截面使其与平面平行，则该截面的面积为（    ）    A． B． C． D． 【考法预测2】（25-26高三上·河南焦作·阶段检测）已知平面与单位正方体相交得到一个六边形，若该六边形有3个内角是，则它的周长为（    ） A．3 B． C． D． 拔高・分层集训 基础演练 1．（2026·江苏·模拟预测）空间中两条直线，则“”是“与相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高三上·广东汕头·期末）已知是异面直线，设平面满足，且，则这样的（    ） A．不存在 B．有且仅有1个 C．有且仅有2个 D．有无数多个 3．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）给定下列四个命题，其中正确的是（    ） A．若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合 B．垂直于同一直线的两条直线互相平行 C．若直线和直线平行，且平面，则 D．若两个平面相交，那么其中一个平面内与两平面的交线不垂直的直线与另一个平面一定不垂直 4．（2026·海南儋州·二模）已知直线，与平面，，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．（2026·安徽合肥·一模）已知空间中三条直线与平面分别交于不同的三点，则“三点共线”是“直线共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高三下·新疆省直辖县级单位·阶段检测）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则（    ） A．EF与GH平行 B．EF与GH异面 C．EF与GH的交点一定在直线AC上 D．EF与GH的交点可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 7．（26-27高三上·安徽·阶段检测）《九章算术·商功》记载：“斜解立方，得两堑堵；斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑．”其中，“阳马”特指底面为矩形，且一条侧棱垂直于底面的四棱锥（即直四棱锥）．今有一阳马如图所示，其中平面，，若与所成角的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·黑龙江·一模）三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·福建福州·阶段检测）已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 10．（2026高三上·陕西咸阳·专题练习）（多选）如图，分别是空间四边形各边上的点（不与各边的端点重合），且，．则下列结论一定正确的是（    ） A．共面 B． C．面 D．若直线与有交点，则交点在直线上 能力进阶 1．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·湖南常德·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法中错误的是（    ） A． B．E、F、G、H四点共面 C．设，则平面截该三棱柱所得截面的周长为 D．、、三线共点 3．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）在长方体中，分别是棱的中点，点满足，若过点的平面截长方体所得的截面为五边形，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·广东中山·三模）（多选）已知直线l与平面相交于点P，则（    ） A．内不存在直线与l平行 B．内有无数条直线与l垂直 C．内所有直线与l是异面直线 D．至少存在一个过l且与垂直的平面 5．（26-27高三上·安徽·开学考试）设空间平面与正八面体相交所得截面是边形，则的最大值=_________． 6．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，BC，的中点，则异面直线AD与EF所成角的余弦值为______． 7．（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是______． 8．（25-26高三上·宁夏陕西·阶段检测）在四面体中，，，，，若异面直线与所成的角为，则________． 真题实战 1．（2025·上海·高考真题）如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（    ） A．和； B．和； C．和； D．和． 2．（2025·天津·高考真题）若m,n为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2024·全国甲卷·高考真题）设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或          ②若，则或 ③若且，则       ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 4．（2024·天津·高考真题）已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（2024·上海·高考真题）空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 6．（2025·上海·高考真题）已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为__________． 7．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $