第03讲 三角函数的图象与性质（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学讲义聚焦三角函数的图象与性质，覆盖五点作图法、解析式求解、图象变换、单调性、奇偶性、周期性、零点与最值问题及实际应用等高考核心考点。按“知识梳理-重难突破-分层集训”架构，结合考情分析与课标要求，通过考点归纳、方法指导、真题演练等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破重难。 资料突出“关键点法”“数形结合”等策略，如用五点法关键点列方程求解析式，培养学生数学思维与几何直观。分层集训设基础、能力、真题层，配合考法预测，确保高效复习。助力学生提升解题能力，为教师把控复习节奏、精准教学提供有力支撑。

第03讲 三角函数的图象与性质 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 知识2 正余弦型函数的图象与性质 知识3 三角函数的奇偶性与对称性拓展 知识4 三角函数周期的拓展结论 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测） 考点01 五点作图法 考点02 给定正余弦函数图象求解析式 方法技巧 关键点法求正余弦函数的解析式 考点03 三角函数的图象变换 考点04 三角函数的单调性 考点05 三角函数的奇偶性和对称性 考点06 三角函数的周期性 考点07 已知零点个数求 考点08 已知最值点个数求 考点09 三角函数有关的零点问题 考点10 三角函数模型解决现实问题 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1．通过单位圆能画出三角函数(正弦、余弦、正切)的图象,了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值； 2．通过图象理解正弦函数、余弦函数在上,正切函数在上的性质。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 正（余）弦函数的图象与性质 全国一卷T13 全国一卷T19 全国一卷T7、全国二卷T9 正切函数的图象与性质 全国一卷T4 考情解读 三角函数的图象及其性质是高考数学的必考考点，常见给出三角函数解析式，来考查三角函数的性质，一般出现在高考的填选题中，全国卷中偶见大题。题目难度以简单题、中档题为主，25年考察了第19题。基础题型多以正弦型或正切型函数的性质为主，强调对周期、对称性和单调区间的熟练掌握；解答题则倾向于将三角函数与不等式恒成立、导数等知识结合，综合性强. 备考策略 熟练掌握正弦、余弦、正切函数的图象与基本性质，能够准确求出复杂三角函数的周期、对称轴、对称中心及单调区间。强化数形结合能力，在处理三角函数方程的根、图象交点个数等问题时，养成画草图辅助分析的习惯。针对解答题中的三角函数综合问题，需提升代数变形能力，熟练运用三角恒等变换公式，并结合导数工具处理复杂的最值与恒成立问题。 知识・归纳梳理 知识1 正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中） 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 必记结论 （1）正弦曲线、余弦曲线的对称轴经过其最高点或最低点，此时相应函数取得最值. （2）正弦曲线、余弦曲线的对称中心是其与x轴的交点，此时相应函数的值为0. （3）正切曲线的对称中心的横坐标是的整数倍，纵坐标为0. ✅ 注意：正切曲线与x轴的交点是它的对称中心，除此之外，渐近线与x轴的交点也是它的对称中心. 知识2 函数与的图象与性质 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的有关概念 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2.用五点(画图)法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点(画图)法画y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： ωx＋φ 0 π 2π x y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种途径 必记结论 (1)先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是｜φ｜个单位长度； (2)先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位长度. (3)函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”. ✅ 注意：(1)由y＝sin ωx的图象得到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移个单位长度而非｜φ｜个单位长度. (2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值. (3)函数图象的画法可类比的图象的画法进行，其变换规律也类似. 4. 函数与的性质 （1） 最小正周期：. （2） 定义域与值域：，的定义域为，值域为. （3） 最值（假设）： ① 对于，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值. ② 对于，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值. （4） 对称轴与对称中心（假设）： ① 对于， 当，即时，的对称轴为； 当，即时，的对称中心为. ② 对于， 当，即时，的对称轴为； 当，即时，的对称中心为. ③ 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置. （5） 单调性（假设）： ① 对于， 增区间； 减区间. ② 对于， 增区间； 减区间. 知识3 三角函数的奇偶性与对称性拓展 （1） 若函数为奇函数，则其图象关于原点对称，此时. （2） 若函数为偶函数，则其图象关于轴对称，此时. （3） 若函数为奇函数，则其图象关于原点对称，此时. （4） 若函数为偶函数，则其图象关于轴对称，此时. （5）正切型函数只能是奇函数或非奇非偶函数，绝不可能为偶函数.当其为奇函数时，. 知识4 三角函数周期的拓展结论 （1） 函数与的最小正周期均为. （2） 函数的最小正周期为. （3） 函数不是周期函数，而是周期函数，且最小正周期为（因为）. （4） 函数与的最小正周期均为. （5） 函数与的最小正周期均为（可通过降幂公式转化为与得出）. 重难・核心突破 考点01 五点作图法 典例1．（多选）(2026·安徽合肥·模拟预测)用“五点法”画函数(，，)在一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表，则下列说法正确的是( ) x 0 0 2 0 0 A． B．不等式的解集为 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上单调递增 典例2．(2026·云南曲靖·模拟预测)已知函数. (1)完善下面的表格并作出函数在上的图象： 0 1 (2)将函数的图象向右平个单位后再向上平移1个单位得到的图象，解不等式. 【考法预测1】(2026·上海长宁·二模)某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 1 0 (1)请在答题卷上将上表处的数据补充完整，并直接写出函数的解析式； (2)设，求函数的值域； 【考法预测2】(2026·上海·一模)(1)在用“五点法”作出函数的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表： 0 0 1 (2)设实数且，求证：；(可以使用公式：) (3)证明：等式对任意实数恒成立的充要条件是 考点02 给定正余弦函数图象求解析式 典例1．（25-26高一下·上海长宁·期末）已知，，，函数 的部分图象如图所示，则该函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 典例2．（多选）（25-26高一下·浙江杭州·期末）函数的部分图象如图所示，则（     ） A． B． C．， D．函数在区间上有3个零点 方法技巧 关键点法求正余弦函数的解析式 关键点法：课本中在介绍正余弦函数图象时，采用的是五点作图法，而关键点法就从五点作图法而来，我们通过在对应题目中找到标准型，从而确定关键点，关键点共有五个，分别为第一关键点，第二关键点等等。在找到标准型后，结合题目所给条件，列出方程，解方程后即可得到正余弦函数的解析式。 基本步骤：1、确定函数名，不同的函数名对应的标准型不同。2、结合图象中给出的条件确定关键点。3、结合关键点列方程，最终得到函数解析式。 【考法预测1】（多选）（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的图象可由曲线向左平移个单位长度得到 C．的图象关于直线对称 D．在上的值域为 【考法预测2】（25-26高一下·上海·期中）已知函数的一部分图象如图所示，如果，，． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数的最大值与最小值，并写出对应的值． 考点03 三角函数的图象变换 典例1．(2026·福建厦门·三模)将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则( ) A． B． C． D． 典例2．(2026·全国·模拟预测)将函数的图象向右平移()个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为( ) A． B． C． D． 典例3．(25-26高三上·广东湛江·期末)已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象( ) A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【考法预测1】(2026·全国·模拟预测)若函数的图象向左平移个单位长度后，其图象与函数的图象重合，则的值可以为( ) A． B． C． D． 【考法预测2】(23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，则的值为( ) A． B． C． D． 考点04 三角函数的单调性 典例1．（25-26高一下·河北·期中）若函数在区间上单调，且，则的取值范围为________． 典例2． (2026·山西·三模)已知函数在上单调递减，则正数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【考法预测1】(2026·黑龙江大庆·模拟预测)已知函数，在区间上单调递增，在上单调递减，且，则( ) A． B． C． D． 【考法预测2】(2026·山东·二模)已知函数在上单调递增，且其图象关于点对称，则( ) A． B． C． D． 考点05 三角函数的奇偶性和对称性 典例1．（25-26高一下·全国·课后作业）关于函数，有以下命题，正确的是（   ） A．函数的最小正周期是 B．函数的定义域是 C．是奇函数 D．的一个单调递增区间为 典例2． (2026·山东泰安·模拟预测)已知函数，且是偶函数，则实数( ) A． B． C． D．2 典例3．(2026·广东·一模)已知函数在区间上单调递减，且和分别是函数图象的对称轴和对称中心，则( ) A．1 B． C． D． 【考法预测1】(2026·河北秦皇岛·一模)已知函数，若在区间上单调，则( ) A． B． C． D． 【考法预测2】(2026·辽宁·模拟预测)将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数是偶函数，则的最小值为 ． 考点06 三角函数的周期性 典例1．(25-26高三上全国阶段练习)函数的最小正周期是( ) A． B． C． D． 典例2．（多选）(2025·浙江温州·三模)已知函数，则存在实数，使得( ) A．的最小正周期为 B．是偶函数 C．是奇函数 D．的最大值为0 【考法预测1】(2026·天津北辰·三模)记为中的较大值，则关于函数有如下四个命题：①的最小正周期为；②的图象关于直线对称；③的值域为； ④在区间上单调递增. 其中真命题的个数为( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考法预测2】（多选）(2025·湖北武汉·三模)已知函数，则( ) A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的一个对称中心为 D．图象上所有的点向左平移个单位长度后关于轴对称 考点07 已知零点个数求 典例1．（2026·全国·高三专题练习）设函数与有相同的对称轴,且在内恰有3个零点,则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 典例2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】（25-26高一下·云南·期中）已知函数（）在上恰有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】（25-26高三·江苏南通·阶段练习）若函数在区间上有且仅有两个零点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 考点08 已知最值点个数求 典例1．（25-26高二上·黑龙江黑河·开学考试）已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】（25-26高三上·河南新乡·开学考试）已知是函数的两个极值点，且，则的图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（25-26高一下·河南·期中）设函数，若，满足，且，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 考点09 三角函数有关的零点问题 典例1．(2026·山东·模拟预测)已知函数，，当时，取得最值，且当时，单调递增，则在上的零点个数为 ． 典例2．(多选)(2026全国模拟预测)函数； 满足：，恒成立，且在上有且仅有2个零点，则( ) A．周期为 B．函数在区间上单调递增 C．函数的一条对称轴为 D．函数的对称中心为 【考法预测1】(2026·北京顺义·一模)已知函数. (1)求的值；(2)再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使函数存在且唯一确定.当在区间上仅有一个零点时，求的取值范围. 条件①：在上是单调函数；条件②：图象的一个对称中心为； 条件③：对任意的，都有成立. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 考点10 三角函数模型解决现实问题 典例1．(2026·陕西榆林·模拟预测)交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度(安)随时间(秒)变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是( ) A．安 B．5安 C．安 D．安 典例2． (2026·浙江·一模)古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一.如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当秒时，( )    A． B． C． D．4 【考法预测1】(多选)(2026·河北廊坊·模拟预测)“早潮才落晚潮来，一月周流六十回”，潮汐现象是海水受日月的引力而引起的周期性涨落现象，观察发现某港口的潮汐涨落规律为(其中(单位)为港口水深，(单位)为时间，).若某轮船当水深大于时可以进出港口，根据表格中的观测数据，下列说法正确的是( ) 时间 1 4 7 10 13 16 19 22 水深 11 12.5 14 12.5 11 12.5 14 12.5 A． B． C．该轮船9点可以进出港口 D．该轮船从0点到12点，在港口可停留的时间最长不超过4小时 【考法预测2】(多选)(2026·重庆·一模)声音源于物体振动所产生的、能够激发听觉的波动．为了有效地消除噪声，人类研发了主动降噪的技术，该技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率，振幅完全相同，但相位恰好相反(即相位差为的奇数倍)的声音，理论上就可以和噪声完全抵消．某一目标噪声的数学模型函数是，则可以作为降噪模拟声的数学函数模型有(   ) A． B． C． D． 拔高・分层集训 基础演练 1．（湖北省云学联盟2026学年高三模拟）已知函数，将的图象向左平移个长度单位后得到的图象，若函数为偶函数，则φ的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（浙江丽水市2026高三模拟）函数的图象关于直线对称，且的最小正周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·山东日照）已知函数的周期为2，且在上单调递减，则可以是（     ） A． B． C． D． 4．（2026高三·上海长宁）下列函数中，最小正周期是的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高三·云南大理）函数在区间内的取值不可能为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三·浙江宁波）已知（），如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三·浙江绍兴）已知函数（，）在轴上的截距为，若在内有且只有一个零点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 8．（2026高三·湖北十堰）对于，则的值域为________________ 9．（25-26高三·上海静安）已知向量，，设．则函数的值域为________． 能力进阶 1．（25-26高三·河南）函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高三·浙江绍兴）已知函数，，若与的图象有唯一公共点，则的值为（    ） A．-1 B．0 C． D．1 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，设函数的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·四川南充）已知函数在区间上单调，其中为正整数，，且，，则（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高三·四川南充）函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（多选）（25-26高三·云南文山）已知函数满足，则（     ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递减 D．在区间上有两个零点 7．（多选）（25-26高三·云南文山）已知函数（，，）的图象如图所示，，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，且，，与轴的交点为，则下列说法正确的有（     ） A．函数的解析式为 B．函数的一个最大值点为 C．函数的对称中心为（） D．函数在区间上单调递增 8．（25-26高三下·上海黄浦）已知． (1)若，求函数在上的值域； (2)若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围． 9．（25-26高三·江苏盐城）已知，，且． (1)求函数的最小正周期； (2)将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域． 10．（浙江丽水市2026高三一模）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若，，求的值. 真题实战 1. （2026·全国一卷·高考真题）已知（，）是偶函数，在区间上单调递增．则__________，__________． 2.（2024·全国一卷）当时，曲线与的交点个数为（ 　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 3.（2025·全国一卷）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 4.（2026·全国一卷）已知是偶函数，在区间单调递增，则＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿. 5.（2026·上海·高考真题）已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________． 6.（2025·全国一卷） （1）设函数，求在的最大值； （2）给定，设为实数，证明：存在，使得； （3）若存在使得对任意，都有，求的最小值. 7. （2026·上海·高考真题）已知函数. (1)当，，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 三角函数的图象与性质 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 知识2 函数与的图象与性质 知识3 三角函数的奇偶性与对称性拓展 知识4 三角函数周期的拓展结论 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测） 考点01 五点作图法 考点02 给定正余弦函数图象求解析式 方法技巧 关键点法求正余弦函数的解析式 考点03 三角函数的图象变换 考点04 三角函数的单调性 考点05 三角函数的奇偶性和对称性 考点06 三角函数的周期性 考点07 已知零点个数求 考点08 已知最值点个数求 考点09 三角函数有关的零点问题 考点10 三角函数模型解决现实问题 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1．通过单位圆能画出三角函数(正弦、余弦、正切)的图象,了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值； 2．通过图象理解正弦函数、余弦函数在上,正切函数在上的性质。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 正（余）弦函数的图象与性质 全国一卷T13 全国一卷T19 全国一卷T7、全国二卷T9 正切函数的图象与性质 全国一卷T4 考情解读 三角函数的图象及其性质是高考数学的必考考点，常见给出三角函数解析式，来考查三角函数的性质，一般出现在高考的填选题中，全国卷中偶见大题。题目难度以简单题、中档题为主，25年考察了第19题。基础题型多以正弦型或正切型函数的性质为主，强调对周期、对称性和单调区间的熟练掌握；解答题则倾向于将三角函数与不等式恒成立、导数等知识结合，综合性强. 备考策略 熟练掌握正弦、余弦、正切函数的图象与基本性质，能够准确求出复杂三角函数的周期、对称轴、对称中心及单调区间。强化数形结合能力，在处理三角函数方程的根、图象交点个数等问题时，养成画草图辅助分析的习惯。针对解答题中的三角函数综合问题，需提升代数变形能力，熟练运用三角恒等变换公式，并结合导数工具处理复杂的最值与恒成立问题。 知识・归纳梳理 知识1 正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中） 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 必记结论 （1）正弦曲线、余弦曲线的对称轴经过其最高点或最低点，此时相应函数取得最值. （2）正弦曲线、余弦曲线的对称中心是其与x轴的交点，此时相应函数的值为0. （3）正切曲线的对称中心的横坐标是的整数倍，纵坐标为0. ✅ 注意：正切曲线与x轴的交点是它的对称中心，除此之外，渐近线与x轴的交点也是它的对称中心. 知识2 函数与的图象与性质 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的有关概念 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2.用五点(画图)法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点(画图)法画y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： ωx＋φ 0 π 2π x y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种途径 必记结论 (1)先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是｜φ｜个单位长度； (2)先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位长度. (3)函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”. ✅ 注意：(1)由y＝sin ωx的图象得到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移个单位长度而非｜φ｜个单位长度. (2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值. (3)函数图象的画法可类比的图象的画法进行，其变换规律也类似. 4. 函数与的性质 （1） 最小正周期：. （2） 定义域与值域：，的定义域为，值域为. （3） 最值（假设）： ① 对于，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值. ② 对于，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值. （4） 对称轴与对称中心（假设）： ① 对于， 当，即时，的对称轴为； 当，即时，的对称中心为. ② 对于， 当，即时，的对称轴为； 当，即时，的对称中心为. ③ 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置. （5） 单调性（假设）： ① 对于， 增区间； 减区间. ② 对于， 增区间； 减区间. 必记结论 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定. (1)函数y＝Acos(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定；对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定. 知识3 三角函数的奇偶性与对称性拓展 （1） 若函数为奇函数，则其图象关于原点对称，此时. （2） 若函数为偶函数，则其图象关于轴对称，此时. （3） 若函数为奇函数，则其图象关于原点对称，此时. （4） 若函数为偶函数，则其图象关于轴对称，此时. （5）正切型函数只能是奇函数或非奇非偶函数，绝不可能为偶函数.当其为奇函数时，. 知识4 三角函数周期的拓展结论 （1） 函数与的最小正周期均为. （2） 函数的最小正周期为. （3） 函数不是周期函数，而是周期函数，且最小正周期为（因为）. （4） 函数与的最小正周期均为. （5） 函数与的最小正周期均为（可通过降幂公式转化为与得出）. 重难・核心突破 考点01 五点作图法 典例1．（多选）(2026·安徽合肥·模拟预测)用“五点法”画函数(，，)在一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表，则下列说法正确的是( ) x 0 0 2 0 0 A． B．不等式的解集为 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上单调递增 【答案】AC 【详解】由表可知，且，解得，所以，故A正确； 令，即，即，，解得，， 所以不等式的解集为，，故B错误； 又，所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 由可得，因为在上不单调， 所以在区间上不单调，故D错误.故选：AC 典例2．(2026·云南曲靖·模拟预测)已知函数. (1)完善下面的表格并作出函数在上的图象： 0 1 (2)将函数的图象向右平个单位后再向上平移1个单位得到的图象，解不等式. 【详解】(1)表格如下： 0  0 0 1 0 函数在上的图象如下： (2)将函数的图象向右平个单位后再向上平移1个单位得到的图象， 则，所以，即， 则，得， 所以不等式的解集为. 【考法预测1】(2026·上海长宁·二模)某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 1 0 (1)请在答题卷上将上表处的数据补充完整，并直接写出函数的解析式； (2)设，求函数的值域； 【详解】(1)由题意，解得，所以函数的解析式为， 令时，解得，当时，， 将表中处的数据补充完整如下表： 0 0 1 0 0 (2)若， 则， 因为，所以，进而， 所以函数的值域为. 【考法预测2】(2026·上海·一模)(1)在用“五点法”作出函数的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表： 0 0 1 (2)设实数且，求证：；(可以使用公式：) (3)证明：等式对任意实数恒成立的充要条件是 【详解】(1)“五点法”作函数的图象的5个关键点的横坐标为， 所以表格如下： 0 0 0 1 0 1 0 1 2 1 (2)实数且，则， 因此，所以. (3) ， 依题意，对任意实数恒成立， 因此， 所以等式对任意实数恒成立的充要条件是. 考点02 给定正余弦函数图象求解析式 典例1．（25-26高一下·上海长宁·期末）已知，，，函数 的部分图象如图所示，则该函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象最高点确定，利用周期求出，最后代入最低点坐标求出. 【详解】由 ，，，的图象可知， . 由图象可知，与为正弦型函数的第四关键点和第五关键点。 所以有 即函数表达式为 . 将点 代入上式，得，化简得. 所以，因为，可得. 所以该函数的表达式是 . 典例2．（多选）（25-26高一下·浙江杭州·期末）函数的部分图象如图所示，则（     ） A． B． C．， D．函数在区间上有3个零点 【答案】ABD 【详解】由图象可知，与为正弦型函数的第一关键点和第四关键点。 所以有 因此函数为, ，B正确； 说明函数对称轴为, 的对称轴满足，显然不是对称轴，C错误； 的零点即，解得：, 要求，即，得，共个零点，D正确. 方法技巧 关键点法求正余弦函数的解析式 关键点法：课本中在介绍正余弦函数图象时，采用的是五点作图法，而关键点法就从五点作图法而来，我们通过在对应题目中找到标准型，从而确定关键点，关键点共有五个，分别为第一关键点，第二关键点等等。在找到标准型后，结合题目所给条件，列出方程，解方程后即可得到正余弦函数的解析式。 基本步骤：1、确定函数名，不同的函数名对应的标准型不同。2、结合图象中给出的条件确定关键点。3、结合关键点列方程，最终得到函数解析式。 【考法预测1】（多选）（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的图象可由曲线向左平移个单位长度得到 C．的图象关于直线对称 D．在上的值域为 【答案】ACD 又因为,即则得,故A正确； 因,结合函数图象可得 所以,即． 而曲线向左平移个单位长度得到,故B错误； 当时,可得,故的图象关于直线对称,故C正确； 当时,,则,故D正确． 【考法预测2】（25-26高一下·上海·期中）已知函数的一部分图象如图所示，如果，，． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数的最大值与最小值，并写出对应的值． 【答案】(1) (2)最大值为4，此时；最小值为1，此时 【详解】（1）由图象可知，，， 设最小正周期为，，∴， ∴， 又∵，且， ∴，，∴， ∴函数的解析式为. （2）当时，，， 故当，即时，有最小值； 当，即时，有最大值. 考点03 三角函数的图象变换 典例1．(2026·福建厦门·三模)将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解】因为，所以.故选：A 典例2．(2026·全国·模拟预测)将函数的图象向右平移()个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解】因为，， 所以把的图象向右平移个单位长度可以得到的图象，则的最小值为，故选：B． 典例3．(25-26高三上·广东湛江·期末)已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象( ) A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【解】， ， 故将的图象向右平移个单位长度可得，即为的图象.故选：D 【考法预测1】(2026·全国·模拟预测)若函数的图象向左平移个单位长度后，其图象与函数的图象重合，则的值可以为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解】由题可得的图象与函数的图象重合， 则，即，， 解得，，故的值可以为.故选：D． 【考法预测2】(23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，则的值为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解】由已知得， 所以，解得，又，所以.故选：D. 考点04 三角函数的单调性 典例1．（25-26高一下·河北·期中）若函数在区间上单调，且，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】令，解得：，所以， 则，即：，由题意得：， 因为，所以， 所以，即的取值范围为. 典例2． (2026·山西·三模)已知函数在上单调递减，则正数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解】原函数为，相当于把位于轴下方的图象翻折到上方， 则有，， 当时，.故选：D． 【考法预测1】(2026·黑龙江大庆·模拟预测)已知函数，在区间上单调递增，在上单调递减，且，则( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解】由题设或，，所以或，则(舍)或， 所以，，又，则，所以，故. 故选：A 【考法预测2】(2026·山东·二模)已知函数在上单调递增，且其图象关于点对称，则( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解】由函数在上单调递增，得， 解得，由的图象关于点对称，得， 解得，于是，， 所以.故选：C 考点05 三角函数的奇偶性和对称性 典例1．（25-26高一下·全国·课后作业）关于函数，有以下命题，正确的是（   ） A．函数的最小正周期是 B．函数的定义域是 C．是奇函数 D．的一个单调递增区间为 【答案】A 【详解】对于A选项，函数的最小正周期是，A对； 对于B选项，由可得， 故函数的定义域是，B错； 对于C选项，是非奇非偶函数，C错； 对于D选项，当时，， 所以函数在区间上不单调，D错. 故选：A. 典例2． (2026·山东泰安·模拟预测)已知函数，且是偶函数，则实数( ) A． B． C． D．2 【答案】B 【解】，其中，， 为偶函数，故，解得，则.故选：B 典例3．(2026·广东·一模)已知函数在区间上单调递减，且和分别是函数图象的对称轴和对称中心，则( ) A．1 B． C． D． 【答案】B 【解】由题意，函数的最小正周期满足，即所以. 因为是函数图象的对称轴，所以， 解得，又因为，所以. 所以，则.故选：B. 【考法预测1】(2026·河北秦皇岛·一模)已知函数，若在区间上单调，则( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解】当时，，， 由在区间上单调，则， 于是，解得， 由，得，因此或， 又，则，，所以.故选：C 【考法预测2】(2026·辽宁·模拟预测)将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数是偶函数，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解】， 图象向右平移个单位长度后得到是偶函数， ，的最小值为.故答案为：. 考点06 三角函数的周期性 典例1．(25-26高三上全国阶段练习)函数的最小正周期是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解】利用周期公式可得． 典例2．（多选）(2025·浙江温州·三模)已知函数，则存在实数，使得( ) A．的最小正周期为 B．是偶函数 C．是奇函数 D．的最大值为0 【答案】AC 【解】当时，，为奇函数，且，故AC正确； 若为偶函数，则，恒成立，矛盾，故B错误； 因为，所以，无解，故D错误． 故选：AC 【考法预测1】(2026·天津北辰·三模)记为中的较大值，则关于函数有如下四个命题：①的最小正周期为；②的图象关于直线对称；③的值域为； ④在区间上单调递增. 其中真命题的个数为( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解】设，， 则， 函数的图象如下所示： 对于①，由图知，函数的最小正周期为，①正确； 对于②，由图知，为函数的对称轴，②正确； 对于③，，由图知，函数的值域为，③错误； 对于④，由图知，函数在区间上单调递减，④错误. 所以真命题的个数为2个.故选：B 【考法预测2】（多选）(2025·湖北武汉·三模)已知函数，则( ) A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的一个对称中心为 D．图象上所有的点向左平移个单位长度后关于轴对称 【答案】ABC 【解】对于A，由周期公式可得最小正周期为，A正确， 对于B，由，则，由正弦函数的单调性可知在区间上单调递增，B正确； 对于C，当时，，C正确； 对于D，图象上所有的点向左平移个单位长度后，得到，显然图象关于轴不对称，D错误，故选：ABC 考点07 已知零点个数求 典例1．（2026·全国·高三专题练习）设函数与有相同的对称轴,且在内恰有3个零点,则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解:由题知,因为与有相同对称轴,所以,即,, 令,即在上有3个零点,因为,所以 画出图象如下所示: 当时,在上有3个零点,只需,解得,故; 当时,在上有3个零点, 只需,解得,综上: 或. 故选:D 典例2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设函数的最小正周期为，因为在区间上单调递增， 所以，解得，所以. 令，则当时，. 因为在区间上单调递增且存在零点， 所以，解得， 又，时，得，时，得，其他值，均不合要求， 所以或， 所以的取值范围是. 故选：C 【考法预测1】（25-26高一下·云南·期中）已知函数（）在上恰有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以， 又因为函数在上恰有3个零点， 所以，解得， 所以的取值范围是． 故选：A. 【考法预测2】（25-26高三·江苏南通·阶段练习）若函数在区间上有且仅有两个零点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得， 因为，当时，， 因为函数在区间上有且仅有两个零点， 所以，，解得，即的最小值为. 故选：C. 考点08 已知最值点个数求 典例1．（25-26高二上·黑龙江黑河·开学考试）已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，∴时，， ∵在区间内有最大值，但无最小值， 令，结合图象， ∴，解得． 故选：B． 【考法预测1】（25-26高三上·河南新乡·开学考试）已知是函数的两个极值点，且，则的图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】图象上两个极值点，满足， 即，，所以，所以， ，，，， 当时，， 所以点为函数的一个对称中心为． 故选：D． 【考法预测2】（25-26高一下·河南·期中）设函数，若，满足，且，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】，且， ，分别为最大值点和最小值点， 又， ，，整理得， 又， ，，整理得，， 又， 的最小值为4. 故选：B 考点09 三角函数有关的零点问题 典例1．(2026·山东·模拟预测)已知函数，，当时，取得最值，且当时，单调递增，则在上的零点个数为 ． 【答案】4 【解】当时，取得最值，且当时，单调递增，故当时，取得最小值， 设的最小正周期为，则，解得，故，解得， 又，故， 又，；所以，①，，② 联立①②得，，故，，则， 故或0或或，解得或或或， 故在上的零点个数为4.故答案为：4 典例2．(多选)(2026全国模拟预测)函数； 满足：，恒成立，且在上有且仅有2个零点，则( ) A．周期为 B．函数在区间上单调递增 C．函数的一条对称轴为 D．函数的对称中心为 【答案】BCD 【解】因为，恒成立，所以的最大值为， 所以，即，当时，， 因为在上有且仅有2个零点，所以， 所以，即，得，所以， 因为，所以，所以， 对于A，的周期为，若，则，所以A错误， 对于B，由，得， 所以的递增区间为， 当时，的递增区间为，而是的真子集， 所以函数在区间上单调递增，所以B正确， 对于C，令，则，所以的对称轴为， 当时，的一条对称轴为，所以C正确， 对于D，由，得， 所以函数的对称中心为，所以D正确，故选：BCD. 【考法预测1】(2026·北京顺义·一模)已知函数. (1)求的值；(2)再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使函数存在且唯一确定.当在区间上仅有一个零点时，求的取值范围. 条件①：在上是单调函数；条件②：图象的一个对称中心为； 条件③：对任意的，都有成立. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【解】(1)因为， 所以， 所以. (2)对于条件①：在上是单调函数，所以，所以， 又因为，解得， 因为，解得， 所以函数的单调单调递增区间为：， 若函数在上单调递增，则，整理有， 当时，，解得， 当时，无解，得其他值时不等式无解； 因为，解得， 所以函数的单调单调递减区间为：， 若函数在上单调递减，则，整理有， 当时，，解得， 当时，无解，得其他值时不等式无解； 对于条件②：图象的一个对称中心为， 因为，解得， 所以函数的对称中心为， 若是图象的一个对称中心，则，解得； 对于条件③：对任意的，都有成立， 则时，函数取得最大值，有，解得； 若选条件①②，则有，方程无解， 或，时，， 所以，因为，所以， 因为在区间上仅有一个零点， 所以，，解得； 若选条件①③，则有有，方程无解， 或，时，， 所以，因为，所以， 因为在区间上仅有一个零点， 所以，，解得； 若选条件②③，则有， 即，方程解不唯一， 此时取值不唯一，所以函数不唯一，不合要求. 考点10 三角函数模型解决现实问题 典例1．(2026·陕西榆林·模拟预测)交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度(安)随时间(秒)变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是( ) A．安 B．5安 C．安 D．安 【答案】D 【解】由图象得，电流的最大值和最小值分别为10和，可得. 由周期得，再将点代入，得， 所以.因为，所以时， ， 所以.将代入得，.故选：D. 典例2． (2026·浙江·一模)古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一.如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当秒时，( )    A． B． C． D．4 【答案】A 【解】由已知，， 经过45秒后，即旋转了个周期， 因此，如图，所以，故选：A．    【考法预测1】(多选)(2026·河北廊坊·模拟预测)“早潮才落晚潮来，一月周流六十回”，潮汐现象是海水受日月的引力而引起的周期性涨落现象，观察发现某港口的潮汐涨落规律为(其中(单位)为港口水深，(单位)为时间，).若某轮船当水深大于时可以进出港口，根据表格中的观测数据，下列说法正确的是( ) 时间 1 4 7 10 13 16 19 22 水深 11 12.5 14 12.5 11 12.5 14 12.5 A． B． C．该轮船9点可以进出港口 D．该轮船从0点到12点，在港口可停留的时间最长不超过4小时 【答案】BC 【解】对于A，由表格数据可得，故A错误； 对于B，由数据得，解得，，所以，因为点在函数图象上， 所以，即，又因为，所以，故B正确； 对于C，当时，，故C正确； 对于D，由，得，由得， 即，当时，，，因为 得该轮船从0点到12点，在港口可停留的时间最长超过4小时，故D错误.故选：BC. 【考法预测2】(多选)(2026·重庆·一模)声音源于物体振动所产生的、能够激发听觉的波动．为了有效地消除噪声，人类研发了主动降噪的技术，该技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率，振幅完全相同，但相位恰好相反(即相位差为的奇数倍)的声音，理论上就可以和噪声完全抵消．某一目标噪声的数学模型函数是，则可以作为降噪模拟声的数学函数模型有(   ) A． B． C． D． 【答案】AB 【解】由题意知，可以作为降噪模拟声的数学函数模型为，， 或，，AB选项满足题意， 故选：AB. 拔高・分层集训 基础演练 1．（湖北省云学联盟2026高三模拟）已知函数，将的图象向左平移个长度单位后得到的图象，若函数为偶函数，则φ的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的平移求出解析式，由为偶函数，结合正弦型函数的性质求解. 【详解】由题意可得，其为偶函数， 所以，则， 又，故的最小值为. 2．（浙江丽水市2026高三模拟）函数的图象关于直线对称，且的最小正周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为最小正周期为4，，得，可排除AB选项. 代入，C选项是函数的一条对称轴； D选项为函数的一个对称中心，并非对称轴， 故排除D. 3．（25-26高三·山东日照）已知函数的周期为2，且在上单调递减，则可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举例说明函数的单调性不满足要求，排除AC；结合函数定义域，排除B；求函数的周期，结合余弦函数的单调性判断D； 【详解】对于选项A：因为，， 所以函数在上不单调递减，不符合题意，故A错误； 对于选项B：函数的定义域为，， 所以函数在上不单调，不符合题意，故B错误； 对于选项C：因为，， 所以函数在上不单调递减，不符合题意，故C错误； 对于选项D：因为的最小正周期为， 又因为，则，且在内单调递减 所以函数在上单调递减，符合题意，故D正确. 4．（25-26高三·上海长宁）下列函数中，最小正周期是的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数周期的计算即可求解. 【详解】对于A，最小正周期为，故A错误； 对于B，最小正周期为 ，故B错误； 对于C，最小正周期为，故C错误； 对于D，因为，所以最小正周期为，故D正确. 5．（25-26高三·云南大理）函数在区间内的取值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】可化为， 当时，，所以， 所以函数在区间内的取值不可能为. 6．（25-26高三·浙江宁波）已知（），如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦函数的性质和题给不等式可确定为的最小值，为的最大值，进而得到的周期，确定的最小值. 【详解】已知对任意的实数x，都有成立， 所以，， 当最小时，的最小正周期最大，此时有，即， 则，得，故的最小值为. 7．（25-26高三·浙江绍兴）已知函数（，）在轴上的截距为，若在内有且只有一个零点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到，再根据零点个数得到不等式，求出答案 【详解】由题意得，即， 因为，所以， ，，故， 因为在内有且只有一个零点，所以， 解得. 8．（2026高三·湖北十堰）对于，则的值域为________________ 【答案】 【分析】将两边平方，得，设，结合的取值范围和函数的单调性求的取值范围，进而可得函数的值域. 【详解】因为，所以，， 设，则. 再设，因为，所以， 且. 所以，. 观察可知，在，为增函数， 又时，；时，，所以， 又，所以. 9．（25-26高三·上海静安）已知向量，，设．则函数的值域为________． 【答案】 【详解】， 所以当时，取得最小值，；当时，取得最大值，； 所以函数的值域为. 能力进阶 1．（25-26高三·河南）函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】使用正切函数的图象与性质求解. 【详解】令，得，解得，， 所以定义域为：， 2．（25-26高三·浙江绍兴）已知函数，，若与的图象有唯一公共点，则的值为（    ） A．-1 B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意，分别求得和的图象关于对称，画出图象，结合图象，得到唯一的交点为，代入即可求解. 【详解】由函数，可得其周期为，且， 又由，所以的图象关于对称， 又由函数，可得函数的图象也关于对称， 将，代入，可得， 因为与的图象有唯一公共点，如图所示， 可得函数与的图象有唯一的公共点， 将代入，可得，解得， 所以实数的值为. 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，设函数的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到函数的对称中心，从而得到为奇函数，利用奇函数性质得到结果. 【详解】， 故函数水平渐近线为，当时，趋向于， 故对称中心的纵坐标为， 联立与得， 由上述分析知的图象关于点对称， 变形函数，令， 则 ， 则在上是奇函数， 故有，即，． 4．（25-26高三·四川南充）已知函数在区间上单调，其中为正整数，，且，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得的最小正周期，进而可以得出1，2或3，结合进行分类讨论，即可求出的值. 【详解】解：由题知的最小正周期， 因为，所以直线为图象的一条对称轴， 由，则，又为正整数，所以1，2或3， 因为直线为图象的对称轴，所以， 因为，所以或， 若，则， 即，不存在整数使得1，2或3； 若，则， 即，不存在整数，使得1或3， 当时，2，此时，由， 所以当时，. 5．（25-26高三·四川南充）函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 当时，，∴ ， ∴ ，此时. ∵ 当时，，∴ ， ∴ ，此时. 画出的大致图象如图所示： 观察图象可得，要想有且仅有两个交点，则. 6．（多选）（25-26高三·云南文山）已知函数满足，则（     ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递减 D．在区间上有两个零点 【答案】ABD 【分析】A.利用周期的公式求解；B.利用对称轴的公式求解；C.利用单调递增区间判断；D.转化为方程求解根的个数. 【详解】已知，满足， 即，该式说明函数关于点中心对称，因此时，： 结合，取，得 A.，故周期 ，A正确； B.由，得，,当，， 所以是的图象的一条对称轴，B正确； C. 由，则，又在上单调递增，即在上单调递增，C错误； D.由, 得,令，得， 则，，所以， ，所以在区间上有两个零点，D正确. 7．（多选）（25-26高三·云南文山）已知函数（，，）的图象如图所示，，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，且，，与轴的交点为，则下列说法正确的有（     ） A．函数的解析式为 B．函数的一个最大值点为 C．函数的对称中心为（） D．函数在区间上单调递增 【答案】ACD 【分析】A.由图象信息求解函数解析式；B.由最大值求解x的取值；C.由对称中心公式求解；D.由单调递增区间公式求解. 【详解】选项A. 是最高点，，即函数最大值为 2，，得 ， 设最高点，最低点，两点纵向距离：， 已知，由勾股定理， ， ，此时， 图象过， 代入，条件，则或 由图象：处函数呈下降趋势，故， ，选项A正确； 选项B. 函数取最大值满足：，得， 令，；，， 不在解集内，选项B错误； 选项C.由，得 函数的对称中心为，选项C正确； 选项D.由得 取，递增区间为 ， 即为一个单调递增区间，选项D正确. 8．（25-26高三·上海黄浦）已知． (1)若，求函数在上的值域； (2)若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简函数，代入求出的解析式，采用换元法，结合正弦函数的性质求函数在上的值域； （2）解方程，用换元法转化为，求出的解，利用函数在上恰有2个零点构造不等式求出实数的取值范围． 【详解】（1）， 当时，，令， 由得，故， 所以， 即函数在上的值域为． （2）令，则，即， 设，当时，， 满足的解满足或， 前3个解依次是：， 已知函数在上恰有2个零点，则， 解得，故实数的取值范围是． 9．（25-26高三·江苏盐城）已知，，且． (1)求函数的最小正周期； (2)将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， . 函数的最小正周期. （2）由（1）得. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象， . ，. ； ，即. 函数的值域为. 10．（浙江丽水市2026高三一模）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若，，求的值. 【答案】(1)（） (2) 【详解】（1）由题可知， 由（）可得（）， 所以的递增区间为（）． （2）由，得，因为，所以， 若，则，不合题意 若，则，不合题意 所以，所以， 所以． 真题实战 1. （2026·全国一卷·高考真题）已知（，）是偶函数，在区间上单调递增．则__________，__________． 【答案】 【详解】设函数的最小正周期为，由题意可知， 因为函数在上单调递增，则，即， 可得，解得， 且，，则. 解法一：因为函数为偶函数， 则，，且， 则，， 若，则， 即或，不符合题意， 若，则， 即或，符合题意； 且或； 综上所述：，. 2.（2024·全国一卷）当时，曲线与的交点个数为（ 　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】因为函数的最小正周期为，函数的最小正周期为.所以在上函数有三个周期的图象.所以在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点.故选C. 3.（2025·全国一卷）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足.即的对称中心是.即.又因为，所以时最小，最小值是.即.故选B. 4.（2026·全国一卷）已知是偶函数，在区间单调递增，则＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿. 【答案】； 【解析】因为是偶函数，所以.又因为，所以或.若，则.要使其在单调递增，需且半周期，即.此时或.但此时在上实际是单调递减的，矛盾.若，则.要使其在单调递增，需且，即.又因为，所以或.当时，，.当时，，.综上，，. 5．（2026·上海·高考真题）已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________． 【答案】 【详解】由题意知，和时，导数为0，即的最小值为0，最大值为4， 又， 所以，解得，故； 已知初速度为0，则，解得， 已知，则， 速度第一次达到4时用时秒，则，即， 此时． 6.（2025·全国一卷） （1）设函数，求在的最大值； （2）给定，设为实数，证明：存在，使得； （3）若存在使得对任意，都有，求的最小值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】（1）法1：.因为，所以，所以.当时，即.当时，即.所以在上为增函数，在为减函数.所以在上的最大值为. 法2：我们有.所以.这得到，同时又有，所以在上的最大值为，在上的最大值也是. （2）法1：由余弦函数的性质得的解为.若任意与交集为空，则且，此时无解，矛盾，故无解.所以存在，使得. 法2：由余弦函数的性质知的解为.若每个与交集都为空，则对每个，必有或之一成立.此即或，但长度为1的闭区间上必有一整数，该整数不满足条件，矛盾.所以存在，使得成立. （3）法1：记.因为，所以为周期函数且周期为，所以只需讨论的情况.当时，.当时，，此时.令，则.而，，所以.当，在（2）中取，则存在，使得.取，则，取即，所以，所以.综上，可取，使得等号成立.综上，. 法2：设.①一方面，若存在，使得对任意恒成立，则对这样的，同样有.所以对任意恒成立，这直接得到.设，则根据恒成立，有，，.所以均不超过.再结合，就得到均不超过.假设，则，所以.但这是不可能的，因为三个角和单位圆的交点将单位圆三等分，这三个点不可能都在直线左侧.所以假设不成立，这意味着.②另一方面，若，则由（1）中已经证明，知存在，使得.从而满足题目要求.综合上述两个方面，可知的最小值是. 7. （2026·上海·高考真题）已知函数. (1)当，，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或， 【详解】（1）当时，则， 根据可得，故，故， 由于，故，故， ，则， 故函数在处的切线方程为，故， （2）函数的最小正周期为，故，所以， 令，当，则， 令，则或， 当时，要使得有1351个实数根，则，解得， 当时，要使得有1351个实数根，则，解得， 当时，要使得有1351个实数根，则，无解， 综上可得或. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $