专题11 直线与圆的位置关系（专项训练）数学新教材青岛版九年级上册

**基本信息** 以“考点-题型”双维度架构系统覆盖直线与圆位置关系、切线性质与判定、切线长定理三大核心模块，通过分层训练实现知识逻辑与解题能力的递进式突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线与圆的位置关系|3题型12题|含静态距离计算、动态平移相切（圆/直线平移）|从距离与半径关系（概念）到动态位置转化（应用），构建空间观念| |切线的性质与判定|3题型19题|包含条件补全、高频证明、性质应用（角度/长度计算）|以切线判定定理为核心，结合几何直观发展推理能力| |切线长定理|2题型14题|涉及长度求解、角度求证及综合应用|从切线长相等（性质）到图形等量关系转化，培养数学思维|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题11直线与圆的位置关系 内容概览 目常考题型精准突破 考点一直线与圆的位置关系 题型1已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型2求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 题型3求直线平移到与圆相切时运动的距离 考点二切线的性质与判定 题型1判断或补全使直线为切线的条件 题型2证明某直线是圆的切线（高频） 题型3切线的性质定理（重） 考点三切线长定理 题型1应用切线长定理求解 题型2应用切线长定理求证 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ·考点一直线与圆的位置关系 题型1已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 1.若直线1与半径为5的⊙0相离，则圆心0与直线1的距离d为() A.d<5 B.d>5 c.d=5 D.d≤5 【答案】B 【详解】解：，直线与半径为5的⊙0相离， ∴圆心O与直线l的距离d>5 2.⊙0的半径为r,某直线与该圆有公共点，且与圆心的距离为4，则 () A.d=r B.d<r c.d≥r D.d≤r 【答案】D 1/43 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：，直线与⊙O有公共点， ∴直线与圆相交或相切。 :直线与圆相交时d<r,相切时d=r, .d≤r 3.以坐标原点0为圆心，作半径为4的圆，若直线y=~x+b与⊙0相交，则b的取值范围是（) A.0≤b<2√2 B.-4V2≤b≤4√2 C.-22<b<22 D.-4V2<b<42 【答案】D 【详解】解：当直线y=-x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图： B 在y=-x+b中，令x=0时，y=b,则与y轴的交点是B(0,b), 当y=0时，x=b,则与x轴的交点是A(b,0), 则OA=OB=b,即△OAB是等腰直角三角形， 在RtaOAB中，AB=VOAP+OB2=Vb+b=√2b, 连接圆心O和切点C,则OC=4,OC⊥AB, S.ow-10A-OB=OC-AB, 2 2 4=01-0Bb-6 ABV2b· 则b=4v2: 同理，当直线y=-x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=4V2: 则若直线y=-x+b与⊙0相交，则b的取值范围是-4V2<b<4√2 4.已知圆Cc-1)2+(0y+2)2=9与直线2x-y+m=0相切，求m的值. 【答案】m=-4+3W5或m=-4-3V5 【详解】解：由圆方程可得圆心(1，-2)，半径r=3, :直线与圆相切， 2143 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “圆心到直线距离等于半径： 2x1-（-2)+m_4+m=3 V2+(-1 5 解得4+m=3V5,即m=-4士3√5 题型2求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 5.如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P圆心坐标是(-3,0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y 轴相切，则平移的距离为() A.1 B.1或5 C.3 D.5 【答案】B 【详解】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2，P的坐标为(-2,0)， 所以平移的距离为2-（-3)=1： 当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2，P的坐标为(2，O),所以平移的距 离为2-（-3)=5 故选：B 6.如图，∠APB=30°，圆心在边PB上的⊙O的半径为3cm,OP=8cm.若⊙0在BP上向点P移动，当 ⊙0与PA相切时，圆心O移动的距离为一cm. 【答案】2 【详解】解：当⊙O移动到与PA相切时，设圆心为O,切点为C,则PA⊥OC, ∴.∠O'CP=90° .∠APB=30°，OC=3cm, :.0P=20'C=6cm, ..OP=8cm, 3/43 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .00'=OP-0'P=8-6=2cm, ∴.圆心O移动的距离为2cm B 故答案为：2， 7.如图，在直线I上有相距5cm的两点A和0（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过 点A作直线AB⊥1.将⊙0以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线I上），则⊙0与直线AB在 秒时相切. B 【答案】2或3 【详解】解：当点O到AB的距离为lcm时，⊙0与AB相切， :开始时O点到AB的距离为5， .当圆向右移动5-1或5+1时，点O到AB的距离为lcm,此时⊙0与AB相切， .t=(5-1)÷2=2(s)或t=(5+)÷2=3s), 即⊙O与直线AB在2秒或3秒时相切. 故答案为：2或3. 8.如图，直线AB、CD相交于点O,∠AOC=45°，⊙P的半径为V2cm,且OP=4cm,如果⊙P以1cm/s 的速度沿由A向B的方向移动，则」 秒时OP与直线CD相切. C D 【答案】2或6 【详解】解：当点P在O点左侧，OP与CD相切时，过P作PE⊥CD于E,如图， 4143 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E -B D .PE=√2cm ∠A0C=45°， .OP=√2PE=2cm, ∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了4-2=2(cm)后与CD相切， ∴⊙P移动所用的时间=2÷1=2（秒）： 当点P在O点右侧，⊙P与CD相切，如图， C A B 同理，得⊙P的圆心在直线AB上向右移动了4+2=6(cm)后与CD相切， ∴⊙P移动所用的时间=6÷1=6（秒）. 故答案为：2或6 题型3求直线平移到与圆相切时运动的距离 9.已知：⊙0的半径为2cm,圆心到直线l的距离为lcm,将直线I沿垂直于l的方向平移，使1与⊙0相 切，则平移的距离是() A.Icm B.1cm或2cm c.2cm或3cm D.lcm或3cm 【答案】D 【详解】解：如图，当直线I经过点B时，OB=lcm, 当直线1平移至直线'，且切点为点A时，此时AB=2-1=1cm: 当1移动到”，且切点为点C时，则BC=2+1=3cm: C B A 5143 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上所述，1与⊙O相切时，平移的距离是lcm或3cm 故选D. 10.如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为(3，-)，AB=2W5.将 ⊙P沿着与y轴平行的方向平移，使得⊙P与x轴相切，则平移的距离为() A B 主 P A.1 B.1或2 C.3 D.1或3 【答案】D 【详解】解：连接PA,作PC⊥AB于点C,由垂径定理得： B AC=-4B=x25=V5 2 2 在直角△PAC中，由勾股定理得：PA=PC2+AC2, 即PA2=1P+(5)2=4. PA=2, .⊙P的半径是2. 将⊙P向上平移，当⊙P与x轴相切时，平移的距离=1+2=3： 将⊙P向下平移，当⊙P与x轴相切时，平移的距离=2-1=1， 故选：D 11.如图，⊙0的半径OC=5cm,直线11OC,垂足为H,且l交O0于A,B两点，AB=8cm,若l沿 OC所在直线平移后与⊙0相切，则平移的距离是 cm B 6143 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】2或8 【详解】解：连接OA, 4 B :直线l⊥OC,AB=8cm, .H=4B=4cm 在Rt△AOH中，OA=OC=5cm,AH=4cm, .'.OH=OA2-AH2 =3cm, ,直线I沿OC所在直线平移后与⊙0相切， ∴，直线应垂直于过点C的直径，垂足为直径的两个端点， .当直线向下平移时，直线I沿OC所在直线移动的距离为CH=5-3=2cm: 当直线向上平移时，直线I沿OC所在直线移动的距离为CH=5+3=8cm; 综上所述，平移的距离是2cm或8cm. 12.如图，直线AB、CD相交于点O,∠AOC=30°，半径为lcm的圆的圆心P在直线AB上，且与点O的 距离为8cm,若点P以lcm/s的速度由A向B的方向运动，当运动时间t为一时，⊙P与直线CD 相切 D 【答案】10s或6s 【详解】解：当OP在射线OA上，设OP与CD相切于点E,P移动到M时，连接ME, D A PM E :⊙P与直线CD相切， ∴.∠OEM=90° 7/43 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,在Rt△OEM中，ME=lcm,∠AOC=30°， ..OM =2ME=2(cm). PM=OP-OM=8-2=6(cm). ,⊙P以lcm/s的速度沿由A向B的方向移动， ∴.⊙P移动6s时与直线CD相切. 当⊙P在射线OB上时，同理可求OP移动1Os时与直线CD相切 故答案为：10s或6s。 一·考点二切线的性质与判定●— 题型1判断或补全使直线为切线的条件 13.如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D,DE⊥AC于点E,下列说法不正确的是() D A.若DE=DO,则DE是⊙O的切线 B.若AB=AC,则DE是⊙O的切线 C.若CD=DB,则DE是⊙O的切线 D.若DE是⊙O的切线，则AB=AC 【答案】A 【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD, D AB是⊙O的直径， AD⊥BC, ∴.CD=BD, .AO=BO. 8143 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.OD是△ABC的中位线， ∴.ODAC .DE⊥AC, ∴.DE⊥OD, DE是⊙O的切线，所以B选项正确： 当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD, DE是⊙O的切线， ∴.DE⊥OD, DE⊥AC, ..ODAC, ∴.OD是△ABC的中位线， ∴.CDBD, AB是⊙O的直径， ∴AD1BC, ,∴.AD是线段BC的垂直平分线， ∴AB=AC,所以D选项正确； 当CD=BD时，又AO=BO, ∴.OD是△ABC的中位线， ∴.ODAC .DE⊥AC, ∴DE⊥OD, ∴.DE是⊙O的切线，所以C选项正确， 若DE=DO,设没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误. 故选：A 14.如图，AB是⊙0的直径，C是⊙0上一点，D是⊙0外一点，过点A作AE⊥CD,垂足为E,连接 9/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OC.若使CD切⊙O于点C,添加的下列条件中，不正确的是() A.OC∥AE B.∠OAC=∠CAE C.∠OCA=∠CAE D.OA=AC 【答案】D 【详解】解：A、,AE⊥CD ∴.∠AED=90° 当OC∥AE时，则∠OCD=90°，即OC⊥DE, “.CD切⊙O于点C,该选项正确，不符合题意： B、,AE⊥CD ·∠AED=90°，则∠CAE+∠ACE=90°， ..OA=OC, ∴.∠OAC=∠OCA, 当∠OAC=∠CAE时，则∠0CA+∠ACE=90°，即OC⊥DE, :CD切⊙O于点C,该选项正确，不符合题意； C、当∠OCA=∠CAE时，OC∥AE, AE⊥CD, ∴∠AED=90°， .∠OCD=90°，即OC⊥DE “.CD切⊙O于点C,该选项正确，不符合题意： D、当OA=AC时，由OA=OC得到OA=OC=AC, ∴.△OAC是等腰三角形，无法确定∠OCD=90°， :不能得到CD切O0于点C,该选项不正确，符合题意. 故选：D 15.如图，CD是⊙0的直径，BD是⊙O0的弦，延长DC到点A,使∠ABD=120°.有下列三个条件：① AC=BC;②OC=BC;③AB=BD.其中只需添加一个条件就能使AB成为⊙O的切线的是 (填序号)· 10/43 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】①②③ 【详解】解：如图，连接OB 是 的直径， CD⊙0 ∴.∠CBD=90° .∠ABD=120°， ∠ABC=30° ①AC=BC, :.∠A=∠ABC=30° .∠BCO=∠A+∠ABC=60°. 又0B=OC, .△BCO是等边三角形， .∠CB0=60°， ∠ABO=90°， .AB⊥OB, AB是⊙O的切线。 ∴①正确： ②：OC=BC,OB=OC, ∴.△BCO是等边三角形， ∠CB0=60°. :∠ABC=30°， ∴.∠AB0=90°， ∴.AB⊥OB, AB是⊙O的切线。 ②正确： ③：AB=BD, 11/43 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠A=∠D .∠ABD=120°， .∠D=30° .·OB=OD :.∠OBD=∠D=30° ∠ABD=120°， ∴.∠ABO=90°， AB⊥OB, ∴AB是⊙O的切线： ∴③正确： 综上所述，能使AB成为OO的切线的是①②③. 故答案为：①②③ 16.在下图中，AB是⊙0的直径，要使得直线AT是⊙0的切线，需要添加的一个条件是 (写 一个条件即可) B A 【答案】∠ABT∠ATB=45°（答案不唯一） 【详解】解：添加条件：∠ABT∠ATB=45, :∠ABT=∠ATB=45°， ∴.∠BAT=90°， 又，AB是圆O的直径， .AT是圆O的切线， 故答案为：∠ABT-ZATB-=45°（答案不唯一） 12/43 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 题型2证明某直线是圆的切线 17.如图，在R△ABC中，∠ACB=90°，A0是△ABC的角平分线，以0为圆心，OC为半径作⊙0与直 线AO交于E、D两点. A E C 求证：AB是⊙O的切线： 【答案】证明：如图，过点O作OH⊥AB于H, 是 的角平分线， 0 ∠ACB=90°AO △ABC ..OC=OH 0为圆心，OC为半径， AB是⊙O的切线， 18.如图，点C在以AB为直径的⊙O上，连接AC并延长至点D,使DC=AC,连接BD交⊙O于点E, 延长BD至点r,连按A,使∠F1DABD, B E D ○ 13/43 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：FA是⊙O的切线： (2)若FD=4,FA=8,求BE的长， 【答案】(1)证明：连接BC,如图： E A :AB是⊙0的直径，且点C在⊙0上， .∠ACB=90°，即BC⊥AD, 又，DC=AC, ∴.BC垂直平分AD, ∴.BA=BD, ∴.∠BAD=∠BDA, 设∠FAD=a, :∠FAD=5∠ABD, 2 .∠ABD=2a, 在等腰。BMD中，∠BAD180°∠ABD-180-2a=90°-a 2 2 .∠BAF=∠BAD+∠FAD=(90°-a)+a=90°， .FA⊥AB, ,AB是⊙0的直径，且点A在⊙0上， ∴FA是⊙O的切线 a版片 【详解】(1)略； (2)解：设BD=x, 由(1)知，BA=BD, ∴.BA=BD=x, .FD=4, .'.FB=FD+DB=4+x, 14/43 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在RtAFAB中， FA+AB2=FB2,且FA=8, 82+x2=(4+x, 解得x=6, .BA=BD=6,FB=4+6=10, 连接AE,如图： B E :AB是⊙O的直径，且点E在⊙0上， :.∠AEB=90°，即AE⊥BF, FA-4B-FBE 2 .FAAB=FB·AE,即8×6=I0AE, 解得AB=24 ,在 5e 19.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，∠ACB=90°，以CD为直径作⊙0，分别交AC,BC于点 M,N,过点M作ME⊥AB于点E. M D (1)求证：ME是⊙0的切线： (2)若CD=5,AC=8,求ME的长， 【答案】(1)证明：连接OM,如图所示： 15/43 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M ,为斜边 的中点， D B:∠ACB=90°D AB 1 CD-DA-DB-24B. ∠ACD=∠A, .OC=OM, ∠ACD=∠OMC, .∠OMC=LA, .OM∥AB, ME⊥AB, .ME⊥OM, 又：OM为⊙0的半径， .ME是⊙O的切线. (2)2.4 【详解】(1)略 (2)解：连接DM,如图所示： D B..CD=5 ∴由(1)可知，BD=AD=CD=5. :CD为⊙O的直径， ∠CMD=90°， ∴.DM⊥AC, 在等腰。1DC中，由三线合一性质可得DM是边AC上的中线，即4M=CM=4C=4, ∴.在Rt&CDM中，由勾股定理可得DM=VCD2-CM2=V52-42=3, AM.DM :S=2 24D-ME. 16/43 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .ME=AM.DM_4x3 =2.4 AD 5 20.如图，在△ABC中，点A在以BD为直径的⊙O上，边BC交⊙O于点D.E为半径OB上一点（不与 点B重合)，过点E作PE⊥BC交CA的延长线于点P,交AB于点F,且PA=PF. F R D (1)求证：AC是⊙0的切线： BE 12 2)若BF=13,AB=4求⊙0的半径. 【答案】(1)证明：如图，连接OA, D .OA=OB .∠OAB=∠OBA, :PE⊥BC, ∴∠BEF=90° ∴.∠EBF+∠BFE=90°， 、.∠OAB+∠BFE=90°， .PA=PF, ∴.∠PAF=∠PFA, ∴∠BFE=∠PAF=∠PFA, ∠OAB+∠PAF=90°，即OA⊥AC, :OA是⊙0的半径， .AC是⊙O的切线： 17/43 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13 26 【详解】(1)略： (2)解：如图，连接AD, E 0 :BD是⊙O的直径， .∠BAD=90°， 在Rt4BD中，cos∠ABD= BD· BE 在RtABEF中，CoS∠EBF= BF AB BE 12 ∴BDBF13 ÷BD=AB2=4x15_13 13 123 13 六O0的半径为2BD= 6” 题型3切线的性质定理 21.如图，PA,PB是O0的切线，A,B为切点，AC是⊙0的直径，若∠OAB=21°，则∠P= 夕 【答案】42°/42度 【详解】解：：PA是⊙0的切线，A为切点，∠OAB=21°， .∠CAP=90°， ∠BAP=90°-21°=69° 18/43 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,PA,PB是⊙O的切线，A,B为切点， ∴PA=PB, .∠ABP=∠BAP=69°， .∠P=180°-69°×2=42° 22.如图，AB与⊙0相切于点B,连接B0,过点O作B0的垂线OC,交⊙0于点C,连接AC,交线段 OB于点D.若AB=3,OC=2,则tanA的值为 D B 【答案】50.4 【详解】解：：AB与⊙O相切于点B, OB⊥AB, .OC⊥OB ∴.OC‖AB ∴.△ODC∽aBDA, OD OC BD AB' .OB=OC=2. 2-BD2 BD3· .BD=6 5 BD 2 .'tan A= AB5· 23.如图，AB是⊙O的直径，直线I与O0相切于点D,BE⊥1，垂足为点E,交⊙0于点C,连接OE 交弦BD于点F 19143 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E F (1)求证：BD平分∠ABC: 2若DF=2: cos∠ABC=2 :求BE的长. 【答案】(1)证明：如图，连接OD 直线与 相切于点， B 1⊙0 D .∠ODE=90° :BE⊥1， ∴∠BED=90°， ∴∠ODE+∠BED=180°， .OD∥BE, ∠ODB=∠DBC, OB=OD ∴.∠ODB=∠OBD. ..LOBD ZDBC, ∴BD平分∠ABC: 2)BF=10 3 【详解】(1)略 (2)解：如图，过点D作DG⊥AB,垂足为点G,设OO的半径为r, 20143 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ·.·OD∥BE .∠GOD=∠ABC, DG⊥AB, .∠DG0=90°， 在RtDGO中，cos∠G0D= OD· 又coS∠G0D=cos∠ABC=2 ∴.0G= 3, ..BG=OB+OG=r, 3 在△DBG和△DBE中， ∠DGB=∠DEB=90° ∠DBG=∠DBE DB=DB ADBG≌ADBE(AAS), E=G-3, ∠ODF=∠EBF,∠OFD=∠EFB, ∴.△ODF△EBF, DF OD BF BE' 23 BF=10 · 21/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24.如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的直径，CD⊥AB,垂足为点F.延长CA交⊙O过点D的切 线于G点. D (1)求证：∠ADG=∠DCB: (2)连接A0并延长交BC于点E,若A0=3,OF=2,求OE的长. 【答案】(1)证明：：GD是⊙0的切线， .CD⊥DG, CD L AB .AB∥DG. ∴.∠ADG=∠BAD, ∠BAD=∠DCB, ∴.∠ADG=∠DCB 9 20E=7 【详解】(1)略 (2)解：延长AE交OO于点H,连接BH, H E 为 的直径， .…AH ⊙0 ∴.∠ABH=90°， ,CD⊥AB ∴∠AFC=90°， ∴∠ABH=∠AFC, 22/43 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 FC∥BH, .ACOE∽aBHE, OC_OE .HB HE :CD是⊙O的直径，CD⊥AB, .AF=BF, 即点F为AB的中点， 点O为AH的中点， ∴.OF为△ABH的中位线， .OF-BH OF=2, ∴HB=4 A0=3, ∴OC=OH=3, 3 OE .43-0E, ··考点三切线长定理● 题型1应用切线长定理求解 25.如图所示，P是⊙O外一点，PA,PB分别和⊙0切于A,B两点，C是AB上任意一点，过C作⊙0的切 线分别交PA,PB于D,E.若△PDE的周长为12，则PA的长为() B A.12 B.6 C.8 D.4 【答案】B 【详解】解；：PA,PB分别和⊙O切于A,B两点， ∴PA=PB, 23/43 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :过C作OO的切线分别交PA,PB于D,E, 、AD=CD,BE=CE .PA+PB=PD+AD+PE+BE=PD+CD+PE+CE=PD+DE+PE, ∴△PDE的周长为12， .PA+PB=PD+DE+PE=12, ∴.PA=PB=6 26.如图，PA、PB切⊙O于点A、B,PA=10,则PB= CD切⊙O于点E,交PA、PB于C、 D两点，则aPCD的周长是 【答案】 10 20 【详解】解：：PA、PB切OO于点A、B, ∴PA=PB=10 又，CD切⊙O于点E .'CA=CE,DB=DE, ∴.CD=CE+DE=CA+DB, ∴aPCD的周长为PC+CD+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=2PA=20 27.为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为 30°的三角尺和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径.若三角尺与铁环 相切，且测得PA=5cm,则铁环的半径为. 0cm51015202530 【答案】5V3cm 【详解】解：过O作O01AB于，连接OP、OA,如图， 24143 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1B 0cm51015202530 :AP为⊙0的切线，40为⊙0的切线， :AO为∠PA0的平分线，即∠PA0=∠QA0, 又：∠BAC=60°，∠PA0+∠0A0+∠BAC=180°， .∠PA0=∠QA0=60°， ∴∠P0A=30°， 在Rt△OPA中，PA=5cm,∠POA=30°， .'.O4=2PA=10cm. “0P=VOA-PAP=V102-52=5V5(cm),即铁环的半径为5√3cm. 28.如图，⊙0是△ABC的内切圆，与AB,BC,CA的切点分别为D,E,F,若∠BDE+∠CFE=110°， 则∠A的度数是 D B E 【答案】40°/40 【详解】解：，OO是△ABC的内切圆，与AB,BC,CA的切点分别为D,E,F, ∴BD=BE,CE=CF, ∴.∠BDE=∠BED,∠CFE=∠CEF, ,∠BDE+∠CFE=110, ∴.∠BED+∠CEF=1I0° ∴.∠BDE+∠CFE+∠BED+∠CEF=220° .∠B+∠C=360°-（∠BDE+∠CFE+∠BED+∠CEF)=140° .∠A=180°-（∠B+∠C)=40° 题型2应用切线长定理求证 25/43 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 29.如图，P为⊙O外一点，PA和PB为⊙O的两条切线，A和B为切点，BC为直径，连接AC,PO, 如果∠C=58°，那么∠AP0的度数是() B A.20° B.22 C.32° D.36° 【答案】C 【详解】解：如图，连接OA, A B :PA和PB为⊙O的两条切线， .PA=PB,∠PAO=∠PBO=90° .OA=OB,PO=PO ∴△PAO2aPBO(SSS), ∴.∠AOP=∠BOP AB=AB,∠C=58°， .∠A0B=2∠C=116°， :∠A0P=∠B0P=,∠AOB=580, .∠AP0=90°-58°=32° 30.如图，AB为OO直径，PB,PC与⊙O相切，切点分别为B,C,连接OP交⊙O于点D,连接BC 交OP于点E,连接AC. 26/43 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：AC∥OP; a作射线D交BC,P阳分别于点p:G:老DF-寸4D,DG=5,求OO的半径. 4 【答案】(1) 证明：连接OC, 与 相切，切点分别为 PB,PC⊙O B,C .:.PB=PC, ..OC=OB, .OP⊥BC, ∠0EB=90°， :AB为⊙O直径， .∠ACB=90°， ∴.∠OEB=∠ACB .ACOP: (2)5 【详解】(1)略 (2)解：连接BD, P G 与 相切，切点分别为 B PB,PC⊙O B,C .OC⊥PC,OB⊥PB :∠GBD+∠ABD=90°， AB为⊙O直径， ∠ADB=90°， ∴.∠DAB+∠ABD=90° 27/43 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠GBD=∠DAB, OP⊥BC, ·.CD=BD, ∴∠CBD=∠DAB, .∠CBD=∠GBD :∠BDF=∠BDG,BD=BD △BDF≌aBDG(ASA). :.DF=DG=5, DF=I4D. 4 :AD=4V5,4G=55, ∠DAB=∠BAG,∠ADB=∠ABG, .△ABDAAGB AB AD AG=AB,可得AB=10: .⊙0的半径为5 31.已知圆O的半径为1，P为圆外一点，PA,PB是圆O的切线，连接OP交圆O于点C. B (1)求证：△OPA≌△OPB: (2)若tan∠APB=V5,求CP的长度. 【答案】(1) 证明：PA,PB是圆O的切线， ∠PA0=∠PBO=90°，PA=PB' ∠APO=∠BPO=,∠APB, 又.OP=OP, :aOPA≌△OPB(HL), (2)1 28/43 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)略 (2).tanZAPB=3. .∠APB=60°， ∠APO= ∠APB=30°， 又：∠PA0=90° OP=2A0=2, ...CP=OP-OC=1. 32.如图，过点P作⊙0的两条切线，切点分别为A,B,连接OA,OB,OP,取OP的中点C,连接 AC并延长，交OO于点D,连接BD. D (1)求证：∠ADB=∠AOP； a延长Op交DB的延长线于点E若AP=g,m∠40P-5,求pe的长。 【答案】(1)见解析 2)0v2 3 【详解】(1)证明：~AP,BP分别切O0于A点，B点， ∴.OP平分∠AOB, ∠AOP=∠A0B 2 又，AB=AB ,∠ADB=∠AOB, 2 ∴.∠ADB=∠AOP (2)解：延长AO交⊙O于点F,连接DF,则∠ADF=90°， 29143 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 分别切 于A点，B点， .AP BP ⊙0 .PA⊥OA, C为OP的中点， .PC=OC, coc-op. 又4P=gtan∠Aop=)V5, 2 AP AO= tan∠AOP =82, ·OP=VA02+AP2=V82+82=8V5, :4AC=0c=0P=45,Ar-240=16N5 AC=OC, ∠CAO=∠AOC, 又∠PAO=∠ADF=90°， ∴.△PAOAFDA, PO OA FA DA D4=16 x8√2=32 8√5 3，CD=DA-AC=205 3 :∠AOP=∠ADB,∠ACO=∠ECD, ∴.△ACO∽△ECD, A0 CO ED CD' 20W5 DE=32x82-402 4W3 3 30/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.若半径为6cm的⊙0与直线I没有公共点，则圆心0到直线l的距离可以是() A.7cm B 6cm C.5cm D 4cm 【答案】A 【详解】解：：⊙0与直线I无公共点， ∴直线1与⊙0相离， ∴.圆心O到直线l的距离d>半径r=6cm, 选项中只有7cm>6cm,即选项A符合题意. 故选：A 2.如图，⊙0和直线，直线2在同一平面内，AB是⊙0的直径，直线2是⊙0的切线，直线经过点A, 下列条件不能判定直线与⊙0相切的是() B A.4∥12 B.I⊥AB C.4与⊙0只有一个公共点 D.点O到上某点的距离等于半径 【答案】D 【详解】解：AB是⊙O的直径，且2是⊙O的切线 ⊥AB 又4∥1 .l⊥AB ∴.直线马与⊙0相切 故选项A、B可以判定，不符合题意： C、根据圆的切线的定义，可知与圆仅有一个公共点的直线是切线，选项C可以判定，不符合题意； D、根据与圆心的距离等于半径的直线为圆的切线，选项D不可判定，符合题意： 31/43 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：D, AF 3 3.如图，A4BC中，∠C=90,⊙0为。4BC的内切圆，切点分别为D、、F三点.若AB5,则 tanZDEF的值是() B F A. 1 3V10 B. c.3 D. v10 3 10 10 【答案】C 【详解】解：设AF=3k,则AB=5k,BF=AB-AF=2k, :⊙O是内切圆，切点分别为D、E、F, .AD=AF=3k,BE=BF=2k,CD=CE, 设CD=CE=r,则AC=3k+r,BC=2k+r, 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2, .(3k+r)2+(2k+r)2=(5k)2, 整理得r2+5k-6k2=0, 解得r=k(负值舍去)， 连接OA、OD、OF,如图， B 是切线， AC、AB ∴.OD⊥AC,OF⊥AB,OA平分∠BAC, ·∠AD0=90, 0aD=2B1C, 在RA4OD中，tam☑A0D=OD==3 在四边形AFOD中，∠DOF=360°-90°-90°-∠BAC=180°-∠BAC, :∠DEF是圆周角， 32/43 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠DEF= ∠D0F=90°-1 ∠BAC=90°-∠OAD=∠AOD ∴.tan∠DEF=tan∠AOD=3 二、填空题 4.如图，直角坐标系中，⊙A的半径为3，点A的坐标为-3，-4)，若将⊙A沿y轴方向平移，平移后， 使⊙A上只有3个点到x轴的距离为2，则平移后点A的坐标为一· 【答案】(-3，-1)或(-3,1) 【详解】解：如图，观察图像可知，当A(-3,-1)或A'(-3,1)时⊙A上只有3个点到x轴的距离为 2 故答案为：(-3，-1)或(-3,1)· 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是理解题意，学会利用图像法解决问题，属于中考常 考题型， 5.如图，直线AB、CD相交于点O,∠A0C=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在直线AB上，且与点0的距 离为8cm,如果⊙P以2cm/s的速度，由A向B的方向运动，那么. 秒后⊙P与直线CD相切： 33/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D -B C 【答案】3或5 【详解】当点P在射线OA时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与E, ○ C .'.PE=1cm, .∠A0C=30°， ∴.OP=2PE=2cm, ∴.⊙P的圆心在直线AB上向右移动了(82)cm后与CD相切， 8-2 OP移动所用的时间=2=3（秒）： 当点P在射线OB时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与F, D ∴.PF=1cm, '.∠AOC=∠D0B=30°， .∴.0P=2PF=2cm, ∴.⊙P的圆心在直线AB上向右移动了(8+2)cm后与CD相切， 8+2 .⊙P移动所用的时间=2=5（秒）： 故答案为3或5. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系（相切、相交、相离），也考查了切线的 性质，解题关键是熟练掌握以上性质 6.如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向 终点C、D运动，连接AM、BN,交于点P,再连接PC,若AB=4,，则PC长的最小值为 34143 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 【答案】25-2 【详解】解：由题意得：BM=CN, ,四边形ABCD是正方形， .∠ABM=∠BCN=90°，AB=BC=4, 在△ABM和△BCN中， AB=BC ∠ABM=∠BCN, BH=CN ∴△ABM兰△BCN(SAS). ∴∠BAM=∠CBN, ∠ABP+∠CBN=90°， .∠ABP+∠BAM=90°， ∴.∠ABP=90°， ∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O,运动路径一条弧BG,是这个圆的4，如图所示： 连接OC交圆O于P,此时PC最小， A D G B M .·AB=4 :.OP=OB=2, 由勾股定理得：0C=V22+42=25, .PC=0C-0P=2W5-2: 故答案为：2V5-2 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理 等知识；熟练掌握正方形的性质，证出点P在以AB为直径的圆上运动是解题关键. 35/43 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点O在AB上，以点O为圆心，OB长为半径作圆，恰好与AC相切 F点D,交B于点巴，连接OC,D,FD若4DBC,OO的半径为2，则线段4B的长为一 D B 【答案】3 【详解】解：如图，连接OD, D B :∠ABC=90°，以点O为圆心，OB长为半径作圆， ∴BC是⊙O的切线， :AC是⊙0的切线， .'.CD=CB, .OB=OD ∴OC是BD的垂直平分线， .OC⊥BD, g0-9c. .AD-3CD. AD 3 CD 2' AD 3 .AC5' BB为⊙O的直径， ∴.∠EDB=90°，即ED⊥BD, ∴.ED∥OC, 36143 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD AE AC-OA' :⊙0的半径为2， 3 AE 5AE+2: AE=3, 经检验，AE=3是原方程的解， .AE的长为3 三、解答题 8.已知：直线y=x(k≠0)经过点(3,4). (1)求k的值： (2)将该直线向上平移m(m>0)个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙0相离（点0为坐标原 点)，试求m的取值范围。 【答案】(1)3：(2)m>10 【详解】(1)因为直线y=ax(k≠0)经过点(3，-4)， 所以-4=3k, 即k、4 3 4 故答案为 4 (2)由（①）及题意知，平移后得到的直线所对应的函数关系式为y=一x+m(m>0),设直线，与x轴、 y轴分别交于点A、B(如图所示)， B A 当x=0时：y=m:当)=0时，= m 4 3 所以44m,0B(0,m),即OA=4m,OB=m 37/43 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 住RAB中，AB=O4P+OB三16+m=m 在 4 过点O作OD⊥AB于D, 因为SAMB0=5OD·AB=5OAOB 2 所以00.m=1.3 4m=24mm, 3 因为m>0: 解得OD=。m. 5 3 依题意得：亏m>6, 解得m>10, 即m的取值范围为m>10 【点睛】此题主要考查待定系数法、勾股定理、直线与圆的位置关系等知识， 9.如图，△ABC中，AB=AC,点D为BC上一点，且AD=DC,过A、B、D三点作O0,AE是⊙0 的直径，连接DE, B D (1)求证：AC是⊙0的切线 2若cosC=3 ,AC=24,求直径AE的长. 【答案】(1)证明：AB=AC,AD=DC ∴∠C=∠B,1=∠C. C.∠I=∠B 又∠E=∠B, 38/43 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠1=∠E, :AE是⊙O的直径， .∠ADE=90°， ∴∠E+∠EAD=90°， ∴∠1+∠EAD=90°，即∠EAC=90°， .AE⊥AC, .AC是⊙O的切线， (2)25 【详解】(1)略： (2)解：过点D作DF⊥AC于点F,如图， D C..DA=DC C-12, 1 ∴.CF= 在RtACDF中，cosC=3 FC 3 CD5· 123 即：CD5' 解得：DC=20, .DF=VDC2-CF2=√202-122=16. AD=20, :∠ADE=∠DFC=90°，∠E=∠C, ∴△ADE~△DFC, AE AD DC DF' AE 20 即：2016 解得：AE=25 39/43 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.如图，△ABC是以AB为直径的⊙O的内接三角形，BD与OO相切于点B,与AC的延长线交于点D, E是BD的中点，延长EC,交BA的延长线于点F. B (1)FC与⊙O有怎样的位置关系并说明理由； EF 3 2若BD=8,BE2,求BF的长和O0的半径. 【答案】(1)解：FC与⊙0相切.理由如下： 如图，连接OC B D ,BD与⊙O相切于点B,, .OB⊥BD,即∠OBD=90°， ,AB为OO的直径， ∴.∠ACB=LDCB=90°， E是BD的中点， CE-BE-7BD .∠ECB=∠EBC, .OB=OC, .∠OCB=∠OBC, ∴.∠OCE=∠OBD=90°，OC⊥FC, 0C是⊙0的半径， :.FC与⊙O相切： v5 2)BF=25,O0的半径为5 【详解】(1)略 40/43 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：：BD=8,∠DCB=90°，E是BD的中点， CE=BE-BD=4 EF 3 BE2' ∴.EF=6, “.FC=EF-EC=6-4=2, 在RtAFBE中，BF=VEF2-BE2=V62-42=2√5， 由(1)得∠OCF=∠ABD=90°， 设OC=x,则OF=BF-OB=2V5-x, :OF2=0C2+FC2, (25-x=x+2, 4V5 解得：x= 5 4v5 ·⊙0的半径为5 11.如图，AB是OO的直径，AM,BN分别切⊙O于点A、B,CD分别交AM,BN于点D、C,DO 平分∠ADC. A DM B (1)求证：CD是⊙0的切线： (2)若AD=4,BC=9求⊙0的半径. 【答案】(1) 证明：过O点作OE⊥CD于点E, 41/43 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D M 切于点A, B CN.AM⊙O ∴.OA⊥AD 又：DO平分∠ADC, ..OE=0A, :OA为⊙0的半径， ∴.OE是⊙O的半径，且OE⊥DC, ∴CD是OO的切线； (2)⊙0的半径是6. 【详解】(1)略 (2)解：过点D作DF⊥BC于点F, A DM E 分别切 于点A,B, B F C N.AM BN ⊙0 .AB⊥AD,AB⊥BC '四边形ABFD是矩形， .AD=BF,AB=DF 又AD=4,BC=9, ∴.FC=9-4=5, :AM,BN,DC分别切⊙O于点A,B,E, ∴AD=DE,BC=CE .DC=AD+BC=4+9=13, 在RtADFC中， DF=VDC2-FC2=V132-52=12, .AB=DF=12, 42143 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OA=- B=6, 即⊙0的半径是6. 43/43学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题11直线与圆的位置关系 常考题型精准突破 ●考点一直线与圆的位置关系 ● 题型1已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 1.B 【详解】解：直线1与半径为5的⊙0相离， ∴.圆心0与直线l的距离d>5. 2.D 【详解】解：：直线与⊙0有公共点， .直线与圆相交或相切. ,直线与圆相交时d<r,相切时d=r, ∴d≤r 3.D 【详解】解：当直线y=-x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图： B 在y=-x+b中，令x=0时，y=b,则与y轴的交点是B(0,b), 当y=0时，x=b,则与x轴的交点是A(b,0), 则OA=OB=b,即△OAB是等腰直角三角形， 在RtaOAB中，AB=VOA+OB2=VB2+b=√2b, 连接圆心O和切点C,则OC=4,OC⊥AB 5m0m08-0lB, 2 4=04-0Bb-b AB√2b' 1/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则b=4v2; 同理，当直线y=-x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=4V2: 则若直线y=-x+b与⊙0相交，则b的取值范围是4V2<b<4V2. 4.m=-4+3W5或m=-4-3V5 【详解】解：由圆方程可得圆心(1，-2)，半径r=3, ,直线与圆相切， ∴风心到直线距离等于半径，4=2X(2+烈_4+则-3 V2+(-1☑ 5 解得4+m=3√5，即m=-4±35】 题型2求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 5.B 【详解】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2，P的坐标为(-2,0)， 所以平移的距离为2-（-3)=1： 当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2，P的坐标为(2,0)，所以平移的距 离为2-(-3)=5. 故选：B. 6.2 【详解】解：当⊙O移动到与PA相切时，设圆心为O',切点为C,则PA⊥O'C, .∠O'CP=90°， .∠APB=30°，OC=3cm. ∴.0P=20'C=6cm. .OP=8cm, .00'=OP-OP=8-6=2cm. ∴.圆心O移动的距离为2cm. A 2/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：2. 7.2或3 【详解】解：当点O到AB的距离为lcm时，⊙O与AB相切， 开始时O点到AB的距离为5， .当圆向右移动5-l或5+1时，点O到AB的距离为lcm,此时⊙0与AB相切， ∴.t=(5-1)÷2=2(s)或t=(5+1)÷2=3(s), 即⊙O与直线AB在2秒或3秒时相切. 故答案为：2或3 8.2或6 【详解】解：当点P在O点左侧，OP与CD相切时，过P作PE⊥CD于E,如图， C —B D :PE=2cm .∠A0C=45°」 :.OP=√2PE=2cm, :⊙P的圆心在直线AB上向右移动了4-2=2(cm)后与CD相切， ∴⊙P移动所用的时间=2÷1=2（秒）； 当点P在O点右侧，⊙P与CD相切，如图， B 同理，得⊙P的圆心在直线AB上向右移动了4+2=6(cm)后与CD相切， ∴⊙P移动所用的时间=6÷1=6（秒）. 故答案为：2或6. 题型3求直线平移到与圆相切时运动的距离 9.D 【详解】解：如图，当直线I经过点B时，OB=lcm, 3128 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当直线I平移至直线I',且切点为点A时，此时AB=2-1=lcm; 当1移动到”，且切点为点C时，则BC=2+1=3cm: C ---…1 B -----1 A 综上所述，l与⊙0相切时，平移的距离是lcm或3cm. 故选D, 10.D 【详解】解：连接PA,作PC⊥AB于点C,由垂径定理得： A B 4C=1AB=x25=5 2 2 在直角△PAC中，由勾股定理得：PA=PC2+AC2, 即PP=1P+(5)2=4, PA=2, ∴.⊙P的半径是2， 将⊙P向上平移，当⊙P与x轴相切时，平移的距离=1+2=3： 将⊙P向下平移，当⊙P与x轴相切时，平移的距离=2-1=1. 故选：D 11.2或8 【详解】解：连接OA, B :直线l⊥OC,AB=8cm, 4/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AH=号AB=4cm, 在Rt△AOH中，OA=OC=5cm,AH=4cm. .OH=VO42-AH2 =3cm, ,直线1沿OC所在直线平移后与⊙0相切， ∴直线应垂直于过点C的直径，垂足为直径的两个端点， ∴，当直线向下平移时，直线I沿OC所在直线移动的距离为CH=5-3=2cm: 当直线向上平移时，直线1沿OC所在直线移动的距离为CH=5+3=8cm: 综上所述，平移的距离是2cm或8cm, 12.10s或6s 【详解】解：当⊙P在射线OA上，设⊙P与CD相切于点E,P移动到M时，连接ME. D A PM B :⊙P与直线CD相切， .∠OEM=90°， ,在Rt△OEM中，ME=lcm,∠AOC=30°， .OM=2ME=2(cm）. PM=OP-OM=8-2=6(cm). ,⊙P以lcm/s的速度沿由A向B的方向移动， ∴.⊙P移动6s时与直线CD相切. 当⊙P在射线OB上时，同理可求⊙P移动1Os时与直线CD相切. 故答案为：10s或6s. 一●考点二切线的性质与判定●一 题型1判断或补全使直线为切线的条件 13.A 【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD, 5/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D AB是⊙O的直径， .AD⊥BC, ∴.CD=BD, .AO=BO, ∴.OD是△ABC的中位线， ∴.ODAC .DE⊥AC, ∴.DE⊥OD .DE是⊙O的切线，所以B选项正确： 当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD, D :DE是⊙O的切线， .DE⊥OD DE⊥AC, ∴.ODAC, ∴.OD是△ABC的中位线， ∴.CD BD. AB是⊙O的直径， ∴.AD⊥BC, ∴AD是线段BC的垂直平分线， ∴AB=AC,所以D选项正确： 6128 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当CD=BD时，又AO=BO, ∴.OD是△ABC的中位线， ..OD AC, DE⊥AC, .DE⊥OD, ∴.DE是⊙O的切线，所以C选项正确. 若DE=DO,没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误. 故选：A. 14.D 【详解】解：A、AE⊥CD」 .∠AED=90°」 当OC∥AE时，则∠OCD=90°，即OC⊥DE, .CD切OO于点C,该选项正确，不符合题意： B、,AE⊥CD ∴.∠AED=90°，则∠CAE+∠ACE=90°， ...OA=OC, ∴.∠OAC=∠OCA, 当∠OAC=∠CAE时，则∠CA+∠ACE=90°，即OC⊥DE, .CD切⊙O于点C,该选项正确，不符合题意： C、当∠OCA=∠CAE时，OC∥AE, AE⊥CD, .∠AED=90°， .∠OCD=90°，即OC⊥DE, ∴CD切⊙O于点C,该选项正确，不符合题意； D、当OA=AC时，由OA=OC得到OA=OC=AC, ∴.aOAC是等腰三角形，无法确定∠OCD=90°， ∴不能得到CD切⊙O于点C,该选项不正确，符合题意. 故选：D 15.①②③ 【详解】解：如图，连接OB」 7/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是 的直径， ·.·CD⊙O ∠CBD=90° ·∠ABD=120°， ∴∠ABC=30° ①：AC=BC, ∠A=∠ABC=30°， ∴∠BCO=∠A+∠ABC=60°， 又0B=OC, ∴.△BCO是等边三角形， :∠CB0=60°， .∠ABO=90°， .AB⊥OB, ∴AB是⊙O的切线： ①正确： ②：OC=BC,OB=OC, .△BCO是等边三角形， .∠CB0=60°. ∠ABC=30°， .∠AB0=90°， AB⊥OB, .AB是⊙O的切线。 ∴.②正确： ③AB=BD, ∠A=∠D. .∠ABD=120°， ∠D=30°. .OB=OD, .∠OBD=∠D=30° 8/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠ABD=120°， .∠AB0=90°， .AB⊥OB, ,AB是⊙O的切线. ,③正确： 综上所述，能使AB成为⊙0的切线的是①②③. 故答案为：①②③ 16.∠ABT∠ATB=45°（答案不唯一) 【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°， .∵∠ABT=LATB=45°， ∴.∠BAT=90° 又AB是圆O的直径， ∴.AT是圆O的切线， 故答案为：∠ABT-ZATB=45°（答案不唯一）. B ○ 题型2证明某直线是圆的切线（高频) 17.证明：如图，过点O作OH⊥AB于H, H E 是 的角平分线， C D :∠ACB=90°AO△ABC ∴.OC=OH O为圆心，OC为半径， AB是⊙O的切线. 【详解】略. 9/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(1)证明：连接BC,如图： B F y ,AB是⊙O的直径，且点C在⊙0上， .∠ACB=90°，即BC⊥AD, 又DC=AC, .BC垂直平分AD, ∴BA=BD, .∠BAD=∠BDA, 设∠FAD=a, .∠FAD= ∠ABD」 ∴.∠ABD=2a, 在等腰B4D中，∠BAD=180°-∠ABD180°-2a=90°-CL 2 2 .∠BAF=∠BAD+∠FAD=(90°-a)+a=90°」 .FA⊥AB, ,AB是⊙O的直径，且点A在⊙O上， ∴.FA是⊙O的切线 2)BE=18 【详解】(1)略： (2)解：设BD=x, 由(1)知，BA=BD, .BA=BD=x, .FD=4, .'FB=FD+DB=4+x, 在Rt△FAB中， FA+AB2=FB2,且FA=8, 10/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 82+x2=(4+x)2, 解得x=6, ∴BA=BD=6,FB=4+6=10. 连接AE,如图： B D F A :AB是⊙O的直径，且点E在⊙0上， .∠AEB=90°，即AE⊥BF, 5.rw-FA-AB-FBAE. 2 .FAAB=FB·AE,即8×6=10AE, 解得4E=24 , 在 =va-e-6-- 241 Rt△AEB 所贤 19.(1)证明：连接OM,如图所示： M ,为斜边 的中点， D B,∠ACB=90°D AB .CD=DA=DB=1 B, .∠ACD=∠A, ..OC=OM, ∴.∠ACD=∠OMC, .∠OMC=∠A, .OM∥AB, ME⊥AB, 11/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .ME⊥OM, 又：OM为⊙O的半径， ∴.ME是⊙O的切线. (2)2.4 【详解】(1)略 (2)解：连接DM,如图所示： M D B...CD=5 由(1)可知，BD=AD=CD=5, :CD为⊙O的直径， ∴.∠CMD=90° ∴.DM⊥AC, 在等腰。ADC中，由三线合一性质可得DM是边4C上的中线，即AM=CM=)AC=4, ∴在RtaCDM中，由勾股定理可得DM=VCD2-CM=V52-4=3, AM-DM-AD ME, 2 :ME=4M.DM_4x3=24 AD 5 20.(1)证明：如图，连接0A, D .OA=OB .∠OAB=∠OBA. .PE⊥BC, .∠BEF=90° 12/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠EBF+∠BFE=90°， .∠OAB+∠BFE=90°， .PA=PF, ∴.∠PAF=∠PFA, ∴.∠BFE=∠PAF=∠PFA, ∠OAB+∠PAF=90°，即OA⊥AC, .OA是⊙0的半径， .AC是⊙O的切线： 哈 【详解】(1)略： (2)解：如图，连接AD, D E :BD是OO的直径， .∠BAD=90°， 在Rts4BD中，os∠ABD=4B BD 在RtaBEF中，cos∠EBF= BE BF AB BE 12 ·BDBF13' :BD=AB2=4x13-13 13 123, 13 ⊙0的半径为2BD= 6 题型3切线的性质定理 21.42°/42度 13/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：：PA是⊙O的切线，A为切点，∠OAB=21°， .∠CAP=90° .∠BAP=90°-21°=69°， ,PA,PB是⊙O的切线，A,B为切点， .'PA=PB, ∴.∠ABP=∠BAP=69°， .∠P=180°-69°×2=42° 2 22.5/0.4 【详解】解：，AB与⊙O相切于点B, .OB⊥AB, .OC⊥OB ∴.OC‖AB △ODC∽aBDA, OD OC BD AB' .OB=OC=2 .2-BD_2 BD3· ·BD=6 :.tan A=BD_2 AB5· 23.(1)证明：如图，连接OD, 直线与 相切于点， 1⊙0 D .∴.∠ODE=90° BE⊥1， 14/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BED=90°， ∴.∠ODE+∠BED=180°， .OD∥BE, .∠ODB=∠DBC, .OB=OD, ∴∠ODB=∠OBD, ∴.LOBD=∠DBC, .BD平分∠ABC: 2)BF=1 【详解】(1)略 (2)解：如图，过点D作DG⊥AB,垂足为点G,设O0的半径为r, OD∥BE .∠GOD=∠ABC, DG⊥AB, .∠DG0=90°， 在RtDGO中，cos∠G0D= OD· 2 又CoS∠GOD=cos∠ABC= 3 ∴.0G= 3, ÷BG=0B+0G=3, 在△DBG和△DBE中， ∠DGB=∠DEB=90° ∠DBG=∠DBE DB=DB 15/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·ADBG≌ADBE(AAS), .BE=BG 3, '∠ODF=∠EBF,∠OFD=∠EFB, .∴AODF∽△EBF, DF OD BF BE' 2 8F 3, 23 BF 5 24.(1)证明：：GD是⊙0的切线， ∴.CD⊥DG CD⊥AB, ∴.AB//DG, .∠ADG=∠BAD ∠BAD=∠DCB, ∴.∠ADG=∠DCB 9 2)0E=7 【详解】(1)略 (2)解：延长AE交⊙O于点H,连接BH, H 为 的直径， D :AH⊙O ∴.∠ABH=90°， CD⊥AB, 16/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AFC=90°， .∠ABH=∠AFC, FC∥BH, ∴.ACOEPABHE, OC OE .HBHE· CD是⊙O的直径，CD⊥AB, :AF=BF, 即点F为AB的中点， 点O为AH的中点， ∴OF为△ABH的中位线， .OF-H, OF=2, .∴.HB=4. A0=3, .0C=OH=3, 3 OE .43-0E, :.0E=7: 9 ·考点三切线长定理● 题型1应用切线长定理求解 25.B 【详解】解；PA,PB分别和⊙O切于A,B两点， .PA=PB, :过C作OO的切线分别交PA,PB于D,E, .AD=CD,BE=CE, .PA+PB=PD+AD+PE+BE=PD+CD+PE+CE=PD+DE+PE, .△PDE的周长为12， .'PA+PB=PD+DE+PE=12, ∴.PA=PB=6 17/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 26. 10 20 【详解】解：，PA、PB切⊙O于点A、B, .PA=PB=10, 又，CD切⊙O于点E .CA=CE,DB=DE, ..CD CE DE CA+DB, ∴.△PCD的周长为PC+CD+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=2PA=20. 27.5V3cm 【详解】解：过O作O01AB于Q,连接OP、OA,如图， B 0cm51015202530 ,AP为⊙O的切线，AQ为⊙O的切线， :AO为∠PA0的平分线，即∠PAO=∠QAO 又：∠BAC=60°，∠PAO+∠QA0+∠BAC=180° .∠PAO=∠QA0=60° .∠P0A=30°， 在Rt△OPA中，PA=5cm,∠POA=30°， ∴.OA=2PA=10cm, :.OP=VOAP-PA2=V102-52=5V5(cm),即铁环的半径为5√cm. 28.40°/40 【详解】解：：OO是△ABC的内切圆，与AB,BC,CA的切点分别为D,E,F, .'BD=BE,CE=CF, ∴.∠BDE=∠BED,∠CFE=∠CEF, .∠BDE+∠CFE=110°、 .∠BED+∠CEF=110° ∴.∠BDE+∠CFE+∠BED+∠CEF=220° .∠B+∠C=360°-（∠BDE+∠CFE+∠BED+∠CEF)=140° 18/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠A=180°-（∠B+∠C)=40° 题型2应用切线长定理求证 29.C 【详解】解：如图，连接OA, 夕 ,PA和PB为⊙O的两条切线， .PA=PB,∠PAO=∠PBO=90° .OA=OB,PO=PO」 .△PAO≌aPBO(SSS), .∠AOP=∠BOP :AB=AB,∠C=58°， .∠AOB=2∠C=116°， :∠A0P=∠BOP=;∠A0B=58, 2 ∴.∠AP0=90°-58°=32° 30.(1) 证明：连接OC, P 与 相切，切点分别为， B PB,PC⊙O B,C :.PB=PC, ..OC=OB, .OP⊥BC, .∠0EB=90°， AB为O0直径， 19/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ACB=90°， ∴.∠OEB=∠ACB, ..ACIOP; (2)5. 【详解】(1)略 (2)解：连接BD, D G 相切，切点分别为， B PB,PC⊙O B,C ∴OC⊥PC,OB⊥PB ∴.∠GBD+∠ABD=90°， :AB为⊙O直径， ∠ADB=90°， .∠DAB+∠ABD=90°， .∠GBD=∠DAB OP⊥BC, .CD=BD, ∴.∠CBD=∠DAB. .∠CBD=∠GBD .·∠BDF=∠BDG,BD=BD ∴.△BDF≌△BDG(ASA). :.DF=DG=5, :DF=14D 41 :AD=4V5,AG=55, :∠DAB=∠BAG,∠ADB=∠ABG, .△ABD△AGB, .AB_AD AGAB,可得AB=10: 20128 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .⊙0的半径为5. 31.(1) 证明：PA,PB是圆O的切线， ∴∠PAO=∠PBO=90,PA=PB' ∠APO=∠BPO=.∠APB, 0 又OP=OP, ∴.aOPA≌aOPB(HL), (2)1 【详解】(1)略 (2).tan∠APB=V3, .∠APB=60°， i0-Ps=30. 又：∠PAO=90°， .OP=2A0=2, ..CP=OP-OC=1. 32.(1)见解析 ai 【详解】(I)证明：AP,BP分别切O0于A点，B点， ∴.OP平分∠AOB, ∠i0p-a0s, 又AB=AB, ∠ADB=∠AOB」 2 :.∠ADB=∠AOP (2)解：延长AO交⊙O于点F,连接DF,则∠ADF=90°， 21/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D , 分别切 于A点，B点， .AP BP ⊙0 .PA⊥OA, C为OP的中点， ∴.PC=OC, sc-ocop 又：AP=g:tam∠A0p=)2, AP AO= tan∠AOP =82, .OP=VA02+AP=V82+82=8N5, :4C=0C=0P=45,AF=240=165: 2 .AC=OC, ∠CAO=∠AOC, 又：∠PAO=∠ADF=90°， .△PAO△FDA, PO OA FA DA' DA=162x8N2-32 8√5 3，CD=DA-AC=205 3 .∠AOP=∠ADB,∠ACO=∠ECD, ∴.△ACOn△ECD, A0 CO ED CD' 20W5 DE=,3x8N2=402 4/3 22/28 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.A 2.D 3.C 二、填空题 4.（-3,-1)或(-3,1) 5.3或5 6.25-2 7.3 三、解答题 8. 【详解】(1)因为直线y=ax(k≠0)经过点(3，-4)， 所以-4=3k, 即k=、4 3’ 故答案为3 4 (2)由(1)及题意知，平移后得到的直线，所对应的函数关系式为y=- 3x+m(m>0),设直线与x轴、 y轴分别交于点A、B(如图所示)， B D A 当x=0时，y=m:当y=0时，= m. 3 3 所以44m,0B0,m)即O1= ,OB=m 23/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 448-O08-. 9 过点O作OD⊥AB于D, 1 1 因为SA4B0=5OD·AB=OAOB, 2 513 所以20D子m=24m:m, 3 因为m>0: 解得OD=三m. 5 3 依题意得：亏m>6, 解得m>10, 即m的取值范围为m>10, 9. 【答案】(1)证明：AB=AC,AD=DC .∠C=∠B,∠1=∠C B D C:I=∠B 又∠E=∠B, ∠1=∠E, :AE是⊙O的直径， ∴.∠ADE=90°， ∠E+∠EAD=90°」 ∴.∠I+∠EAD=90°，即∠EAC=90°， .AE⊥AC, .AC是⊙O的切线. (2)25 【详解】(1)略： (2)解：过点D作DF⊥AC于点F,如图， 24/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D C..DA=DC 1 CF=2AC=12, 在RIACDF中，csC= 5 FC 3 CD5 123 即：CD5' 解得：DC=20」 .DF=VDC2-CF2=V202-122=16. .AD=20, ∠ADE=∠DFC=90°，∠E=∠C. △ADE一△DFC, :AE、AD DC DF' AE_20 即：2016' 解得：AE=25 10. 【答案】(1)解：FC与O0相切.理由如下： 如图，连接OC, B E D ,BD与⊙O相切于点B,, ,OB⊥BD,即∠OBD=90°， ,AB为⊙O的直径， 25/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ACB=∠DCB=90°， E是BD的中点， CE-BE RD. ∠ECB=∠EBC, ..OB=OC, .∠OCB=∠OBC, ∴.∠OCE=∠OBD=90°，OC⊥FC, .OC是⊙0的半径， ,FC与⊙O相切： V5 2)BF=2N5,O0的半径为5 【详解】(1)略 (2)解：BD=8,∠DCB=90°，E是BD的中点， ∴.CE=BE=5BD=4, EF 3 BE2' .EF=6, FC=EF-EC=6-4=2, 在RteFBE中，BF=VEF2-BE2=V6-4-=2√5， 由(1)得∠OCF=∠ABD=90°」 设OC=x,则OF=BF-OB=2W5-x, .0F2=0C2+FC2, .(25-x=x2+22, 解得：x=4 5, 4v5 ·o0的半径为 11. 【答案】(1) 26/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：过O点作OE⊥CD于点E, A D M 切 于点A, CN.AM⊙O .OA⊥AD, 又：DO平分∠ADC, ..OE=0A, OA为⊙0的半径， .OE是⊙O的半径，且OE⊥DC, ∴CD是⊙O的切线： (2)⊙0的半径是6. 【详解】(1)略 (2)解：过点D作DF L BC于点F, A DM E 分别切 于点A,B, B F C N.AM BN ⊙0 :AB⊥AD,AB⊥BC, ∴四边形ABFD是矩形， :AD=BF,AB=DF. 又AD=4,BC=9 ∴.FC=9-4=5, :AM,BN,DC分别切⊙O于点A,B,E, .AD=DE,BC=CE .DC=AD+BC=4+9=13, 在RtADFC中， DF=√DC2-FC2=V1B2-52=12, 27/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=DF=12, OA=。AB=6. 2 即⊙0的半径是6. 28/28 专题11 直线与圆的位置关系 常考题型·精准突破 考点一 直线与圆的位置关系 题型1已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型2求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 题型3求直线平移到与圆相切时运动的距离 考点二 切线的性质与判定 题型1判断或补全使直线为切线的条件 题型2证明某直线是圆的切线（高频） 题型3切线的性质定理（重） 考点三 切线长定理 题型1应用切线长定理求解 题型2应用切线长定理求证 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 直线与圆的位置关系 题型1已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 1．若直线l与半径为5的相离，则圆心O与直线l的距离d为（     ） A． B． C． D． 2．的半径为r，某直线与该圆有公共点，且与圆心的距离为d，则    （     ） A． B． C． D． 3．以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线与⊙O相交，则b的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．已知圆与直线相切，求m的值． 题型2求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 5．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 6．如图，，圆心在边上的的半径为，．若在上向点移动，当与相切时，圆心移动的距离为________． 7．如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在______秒时相切． 8．如图，直线、相交于点，，的半径为，且，如果以的速度沿由向的方向移动，则___________秒时与直线相切． 题型3求直线平移到与圆相切时运动的距离 9．已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B．或 C．或 D．或 10．如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 11．如图，的半径，直线，垂足为，且交于，两点，，若沿所在直线平移后与相切，则平移的距离是________． 12．如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为________ 时，与直线相切． 考点二 切线的性质与判定 题型1判断或补全使直线为切线的条件 13．如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 14．如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 15．如图，CD是的直径，BD是的弦，延长DC到点A，使．有下列三个条件：①；②；③．其中只需添加一个条件就能使AB成为的切线的是________（填序号）． 16．在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是________．（写一个条件即可） 题型2证明某直线是圆的切线 17．如图，在中，，是的角平分线，以为圆心，为半径作与直线交于、两点． 求证：是的切线； 18．如图，点在以为直径的上，连接并延长至点，使，连接交于点，延长至点，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 19．如图，是的斜边上的中线，，以为直径作，分别交于点，过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 20．如图，在中，点在以为直径的上，边交于点．为半径上一点（不与点重合），过点作交的延长线于点，交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 题型3切线的性质定理 21．如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________． 22．如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为______． 23．如图，是的直径，直线与相切于点，，垂足为点，交于点，连接，交弦于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 24．如图，是的外接圆，是的直径，，垂足为点F．延长交过点D的切线于G点． (1)求证：； (2)连接并延长交于点E，若，，求的长． 考点三 切线长定理 题型1应用切线长定理求解 25．如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 26．如图，、切于点、，，则________；切于点，交、于、两点，则的周长是________． 27．为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为的三角尺和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若三角尺与铁环相切，且测得，则铁环的半径为________． 28．如图，是的内切圆，与，，的切点分别为，，，若，则的度数是________． 题型2应用切线长定理求证 29．如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径，连接，．如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 30．如图，为直径，，与相切，切点分别为，，连接交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)作射线交，分别于点，，若，，求的半径． 31．已知圆的半径为1，为圆外一点，，是圆的切线，连接交圆于点． (1)求证：； (2)若，求的长度． 32．如图，过点作的两条切线，切点分别为，，连接，，，取的中点，连接并延长，交于点，连接． (1)求证：； (2)延长交的延长线于点．若，，求的长． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．若半径为的与直线没有公共点，则圆心到直线的距离可以是（） A． B． C． D． 2．如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 3．如图，中，，为的内切圆，切点分别为三点．若，则 的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，直角坐标系中，⊙A的半径为3，点A的坐标为(﹣3，﹣4)，若将⊙A沿y轴方向平移，平移后，使⊙A上只有3个点到x轴的距离为2，则平移后点A的坐标为_____． 5．如图，直线、相交于点，半径为1cm的⊙的圆心在直线上，且与点的距离为8cm，如果⊙以2cm/s的速度，由向的方向运动，那么_________秒后⊙与直线相切. 6．如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若，则PC长的最小值为_________． 7．如图，在中，，点O在上，以点O为圆心，长为半径作圆，恰好与相切于点D，交于点E，连接，，．若，的半径为2，则线段的长为______． 三、解答题 8．已知：直线经过点. （1）求的值； （2）将该直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为6的相离（点为坐标原点），试求的取值范围. 9．如图，中，，点为上一点，且，过、、三点作，是的直径，连接． (1)求证：是的切线 (2)若，，求直径的长． 10．如图，是以为直径的的内接三角形，与相切于点B，与的延长线交于点D，E是的中点，延长，交的延长线于点F． (1)与有怎样的位置关系并说明理由； (2)若，，求的长和的半径． 11．如图，是的直径，，分别切于点、，分别交，于点、，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $