微专题03 直线和圆的位置关系四大题型（专项训练）数学北师大版九年级下册

微专题03 直线和圆的位置关系四大题型 题型一 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 核心技巧：比较圆心到直线的距离d与半径r的大小关系。 1. 求距离 d：利用点到直线距离公式，求出圆心到已知直线的距离d。 2. 列不等式： 相离：d > r； 相切：d = r； 相交：d < r 3. 解不等式：根据题目要求的位置关系（如“有公共点”对应d≤ r，“没有公共点”对应d > r），将d代入相应的不等式中，解出半径r的取值范围。 关键：准确记忆三种位置关系的判定公式，并注意“有公共点”包含相切和相交两种情况。 1．（2025·福建·中考真题）在四边形中，，，，，．点是边上一点，如果以为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，直角梯形以及直角三角形的边角关系，画出半径最小和最大时的图形是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键． 根据题意，分别画出半径最小和最大时的图形，根据直角三角形的边角关系以及切线的性质列方程求解即可． 【详解】解：如图1，过点D作于H， 则，，， 在中，， 当与相切时，此时与线段有一个公共点，此时半径最小， 设，则， 在中，， ∴， 由得，， 解得 ∴； 如图2，当以为半径的过点B时，半径最大，过点O作于F， 设，则， 在中，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，即的最大半径为， 所以当以O为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围为， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，是的内心，以为圆心，为半径的圆与线段有且只有一个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、三角形的内切圆与内心、勾股定理、直角三角形内切圆半径的计算等知识；熟练掌握直线与圆的位置关系，由勾股定理求出是解决问题的关键． 作于D，于E，于F，根据题意得出四边形是正方形，得出，由勾股定理得出，由内心的性质得出，，，由勾股定理求出，，由直线与圆的位置关系，即可得出结果． 【详解】解：如图，作于D，于E，于F，连接，， 则， 四边形是长方形， 是的内心， ， 四边形是正方形， ． ，，， ， 设， 则， ， ， ，， ，， 当时，与线段有且只有一个公共点， 当时，与线段有两个公共点， 当时，与线段有且只有一个公共点， 当时，与线段没有公共点， 综上可知，的取值范围是或． 故答案为：或． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，，点是射线上一点，，以点为圆心，为半径作，若与射线只有个公共点，则半径的取值范围是 ．    【答案】或 【分析】此题重点考查直线与圆的位置关系，正确地作出辅助线是解题的关键．作于点D，由，得，由勾股定理求出，若与射线只有个公共点，则或，即可得半径r的取值范围． 【详解】解：作于点D，则，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵当时，与射线相切，此时与射线只有一个公共点； 当时，与射线有两个公共点， ∴若与射线只有个公共点，则或， ∴半径r的取值范围是或， 故答案为：或． 4．（2025九年级上·浙江·专题练习）在中，，，，若以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点，则该圆半径的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理；分直线与圆相交和相切两种情况解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：在中，∵，，， ∴， ∵，， ∴当时，可知以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点； 过点作于点，如图， 可知当时，以为圆心的圆与斜边相切，此时圆与斜边有且只有一个公共点， ∵， ∴， 解得，即； 综上，当以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点时，该圆半径的取值范围为或， 故答案为：或． 5．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）在C中，，点O在内部，以O为圆心，长为半径的圆与直线相离，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，勾股定理，设恰好与直线相切时，切点为E，过点C作于D，连接，可由勾股定理得到的长，利用等面积法可得的长，再求出恰好与直线相切时的长的最小值即可得到答案． 【详解】解：设恰好与直线相切时，切点为E，过点C作于D，连接， ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当点E为点D重合，且O、C、D三点共线时，有最小值，最小值为， ∴当与直线相离，的取值范围是， 故答案为：． 题型二 切线的性质和判定的综合应用 核心技巧：连半径，证垂直（判定）；知切线，得垂直（性质）。 1. 判定定理应用：要证明一条直线是圆的切线，若已知直线与圆有公共点，则连接该点与圆心（半径），证明这条半径与该直线垂直（OA⊥l）。 2. 性质定理应用：若已知直线是圆的切线（l是⊙O的切线，A为切点），则连接切点与圆心（OA），必得到垂直关系（OA⊥ l）。此性质常用于后续推导直角三角形或相似形。 关键：无论判定还是性质，辅助线“连接圆心与切点（或公共点）”是通用的核心步骤，目的是构造直角三角形。 1．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点． (1)求证∶与相切； (2)若正方形的边长为1，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过作于，连接，由正方形的性质结合已知条件可得出，由三角形内角和可得出，进一步即可证明与相切； （2）由（1）易知为等腰直角三角形，为半径，设，由勾股定理可得出，进而可得出，再由勾股定理可得出，由正方形的性质可得出，求出，进而列出等式计算即可． 【详解】（1）证明∶过作于，连接， 与相切于点， ， 四边形为正方形， ， ， 又为正方形对角线， ， ∴， ， 与相切； （2）解∶由（1）易知为等腰直角三角形，为半径， 设， ∴ ， 在中，， ∴， ， ． ， ， 的半径为. 2．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的圆与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、切线的判定、切线长定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法．在解圆的相关题型中，连接常用的辅助线是解题关键． （1）连接，由与相切于点，得，可证明，得，即可证明是的切线； （2）由，得，由勾股定理得，则，即可求得，，由，且，得，可求得． 【详解】（1）证明：如图，连接， 与相切于点， ． ． 在和中， ， ． ． 是的半径，且， 是的切线． （2）解：， ． ． ． ． ， ，解得． 的长是． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知是的直径，与相切于点B，D为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为3 【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握圆的切线的判定方法是解此题的关键． （1）连接，根据平行线和等腰三角形的性质得到，进而利用证得，得到，结合与相切于点B，即可证得结论； （2）由（1）可知，设，则，然后在中，利用勾股定理建立方程，即可求得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为的切线， ，即， ， 又为的半径， 为的切线； （2）解：由（1）可知，， ， 设， ，， ， 在中，， 即， 解得， 的长为3． 4．（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图，在中，平分交于点O，以点O为圆心，长为半径的与相切于点B，与相交于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，设的面积为，的面积为，．求常数m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的证明、角平分线的性质定理、切线长定理以及勾股定理等知识点，掌握圆中相关定理的内容是解题关键． （1）过点作，由角平分线的性质定理可得，即可求证； （2）在中求出，设的半径为，则，，，在中求出即可求解． 【详解】（1）证明：过点O作，垂足为E，如图， ∵以点O为圆心，长为半径的与相切于点B， ∴， ∵平分， ∴， ∴是的半径， 又∵， ∴是的切线； （2）解：由（1）知， ∴， 根据勾股定理，得， ∵，均为的切线，切点分别为点B和点E， ∴， 设的半径为r， 则， ， ， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得，即， ∴． 5．（24-25九年级下·湖北孝感·月考）如图，是的直径，为上一点，是劣弧的中点，过点作的垂线，分别交，的延长线于E，F两点． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分面积和面积的比． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由是劣弧的中点，得到，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据已知条件得到，求得，得到，推出是等边三角形，求得，得到，得到，求得，图中阴影部分面积的面积，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， 是劣弧的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图，连接， 是劣弧的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，图中阴影部分面积的面积， ， ， ， ， ， ， ， 图中阴影部分面积和面积的比为． 6．（2025·四川泸州·中考真题）如图，是的直径，过点的直线与过点的切线交于点，与的延长线交于点，且，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由切线的性质可得，证明，可得，据此由切线的判定定理可证明结论； （2）过点C作于H，过点D作于M，设，则，解得到，则，解方程可得，则，，，由勾股定理得，则；解得到，则，，由勾股定理得；由等面积法可得，证明，得到；证明可得，则． 【详解】（1）证明；如图所示，连接， ∵是的切线， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图所示，过点C作于H，过点D作于M， 设，则， 由（1）可得， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； 在中，， ∴，， 在中，由勾股定理得； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴． 7．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，为的外接圆，，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理： （1）连接，由，得到，结合，推出，再根据为的直径，得到，进而得到即，即可证明结论； （2）延长交于点，连接，易证垂直平分，圆周角定理，切线的性质，推出四边形为矩形，即可得证； （2）由（2）可知，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴即， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）证明：延长交于点，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵为的切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴； （3）解：由（2）知四边形为矩形，，， ∴， ∴， 设的半径为，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 即：的半径为． 8．（2025·湖南永州·二模）如图，已知，以为直径作，交边于点，连接，，连接并延长，交的延长线于点，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据是的直径，得出，结合，即可得出，证出是的切线； （2）证明，得出，在中，求出，，在中，求出，连接、，证明四边形是矩形，得出，，再证明，得出，求出，再根据即可求解． （3）设，则，得出，根据（1）可得，证明，得出，即，在中，勾股定理表示出，结合，得出，由（2）可知，，列方程整理得，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：在中，是的直径， ， ， ， ， 即， ， 是的切线； （2）解：在中，， ∵， ， ， 在中，， ， 中，， 在中， ， ， 连接、， 、是的直径 ， 、互相平分且相等， 四边形是矩形， ，， ， ， ，即， 解得：， ． （3）解：设， ∴， ∴， 根据（1）可得， ∴， ∴，即， 即， ， 中，， ， ， ， 由（2）可知，， 即， 整理得， 解得， ， ， ． 9．（2025八年级·全国·竞赛）如图，在四边形中，，对角线平分．点P是边上一动点，它从点B出发，向点A移动，移动速度为；点Q是上一动点，它从点A出发，向点C移动，移动速度为．设点P，Q同时出发，移动时间为（）．连接，以为直径作． (1)求的长． (2)当t为何值时，与相切？ (3)当t为何值时，线段被截得的线段长恰好等于的半径？ (4)当t为_______时，圆心O到直线的距离最短，最短距离为_______．（直接写出结果） 【答案】(1) (2) (3)或 (4)， 【分析】（1）过点作于点，根据矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解； （2）当与相切时，，求出、，用含的式子表示出，即可求解； （3）分两种情况画出图形，根据直角三角形的性质用含的式子表示出，即可求解； （4）过圆心作于点，则的长为到的距离，延长交于点，过点作于点，根据矩形的判定和性质，相似三角形判定和性质，得出用表示的式子，根据的取值范围以及一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：过点D作于点M，如图1， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，解得（负值舍去）， 平分，， ， ； （2）当与相切时，，如图2， 由题意得：， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 时，与相切； （3）第一种情况：如图3，当时满足条件， 在中， ， ， ， 过作交于， 则， ， ， 即，解得； 第二种情况：如图4，当时满足条件， 在中，， 又， ， ， 即，解得； 综上，或； （4）如图5，过圆心O作于点H，则的长为O到的距离，延长交于点K，过点Q作于点R， 则四边形是矩形，， ， ∵， ， ， ， ， 点O是的中点， ， ， ， 当时，有最小值，最小值为． 故答案为：，． 10．（25-26九年级上·山西忻州·月考）综合与探究 【问题情境】 如图1，为的直径，，为的弦，过点作的切线交的延长线于点，过点作并延长交的延长线于点，连接． 【解决问题】 （1）试判断与的位置关系，并说明理由． 【思维拓展】 （2）如图2，过点作交于另一点，连接，． ①若，，求的长； ②若，试判断四边形的形状，并证明． 【答案】（1）与相切，理由见解析；（2）①；②四边形是菱形，证明见解析． 【分析】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，菱形的判定． （1）根据切线的性质定理得到，根据三线合一得到，根据证明，即可得到，即可证明与相切； （2）①连接，根据垂径定理得到，则，根据圆周角定理得到，进而求出，根据全等三角形的性质得到，即，根据证明，得到，根据30度角的性质及勾股定理计算即可； ②设与H，根据垂径定理得到，即，根据，，证明，得到，则，根据全等三角形到性质得到，即，则，可证四边形是平行四边形，根据可证平行四边形是菱形． 【详解】（1）解：与相切，理由如下： 如图，连接， ∵过点作的切线交的延长线于点， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴（）， ∴， ∵为的直径， ∴与相切； （2）①解：如图，连接， ∵，， ∴ ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴（）， ∴， 即， ∴ ∴； ②解：四边形是菱形，证明如下： 如图，设与H， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ 即 ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 题型三 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 核心技巧：利用“面积法”和“切线长相等”构建桥梁。 1. 面积桥梁：直角三角形面积S =ab =(a+b+c) r，其中a, b为直角边，c为斜边，r为内切圆半径。 2. 切线长桥梁：由切线长相等可知，内切圆与各边切点将周长分割，满足a+b = c + 2r。 3. 公式联立：常用r =或r =（p为半周长）快速求解。 关键：灵活运用面积法与切线长性质，在周长、面积、边长和半径之间建立等量关系。 1．（25-26九年级上·山东德州·月考）九章算术中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形（如图），勾（短直角边）长为步，股（长直角边）长为步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？求得该直径等于 步（注：“步”为古代长度单位）． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理，掌握中，两直角边长分别为、，斜边长为，其内切圆半径是解题的关键．先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据直角三角形的内切圆的半径求法确定出内切圆半径，进而可得到直径． 【详解】解：根据勾股定理得：斜边长为， 该直角三角形内切圆的半径为（步）， 该直角三角形内切圆的直径为（步）． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿切线剪一个，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】设的内切圆切三边于点，连接，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，得四边形是正方形，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，    由切线长定理可知，，， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 则四边形是正方形， ∵是的内切圆， ∴内切圆的半径， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：12． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·月考）如图，是的内切圆，，则的大小是 ；的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内切圆和内心及半径，是的内切圆，即O是的内心，求得，然后利用三角形内角和定理求解即可，如图所示，设、、与的切点分别为、、，内切圆半径为，证明，结合，，再进一步解答即可． 【详解】解：∵是的内切圆，即O是的内心， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 如图所示，设、、与的切点分别为、、，内切圆半径为， ∴，    在，，，， ∴， 在四边形中，，， 四边形是正方形， ∴， 由切线长定理，得：，， ∴， ∴． 故答案为： 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，为的内切圆，．求的半径． 【答案】3． 【分析】设的半径为，与的三边分别相切于点，连接，易证四边形为正方形，在中，由勾股定理求出，再根据切线长定理即可求出． 【详解】解：设的半径为，与的三边分别相切于点，连接，如图所示． 易得四边形是正方形， ． 在中， ， ． 由切线长定理，得， 即， 解得， 的半径为． 5．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，中，，，与的三边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，求的周长． 【答案】30 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 设，由切线长定理得，根据题意可得四边形为正方形，则，，在直角三角形中，利用勾股定理求出x，然后求其周长． 【详解】解：连接，，设． 由切线长定理，得． 与的三边分别切于点D，E，F， ，， ∵ ∴四边形为正方形． 的半径为2，， ，． 在中，， 即， 解得， ，， 的周长为． 6．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在中，． (1)尺规作图：作的内切圆，并分别标出和、、相切的切点、、；（要求：保留作图痕迹，不写做法，不需证明） (2)若，求的半径的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）首先由三角形的内心是三角形三个角平分线的交点，确定圆心，然后作边的垂线，确定半径，继而可求得的内切圆； （2）连接，，，根据切线的性质得到，，求得，得到四边形是矩形，根据角平分线的性质得到，，求得，得到四边形是正方形，根据正方形的性质得到，根据切线的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：连接，，， ∵是的内切圆， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵是的内切圆， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴（负值已舍去）， 即的半径r的长为2． 7．（2025·湖南长沙·二模）如图1，中，，于点，，的内切圆圆心分别为，，半径分别为，，连接，并延长交于点，连接，， (1)求证：； (2)①求证：；②若，，求的值； (3)如图2，连接线段，，与边相切于点，与边相切于点， ①若，，求线段和的长； ②猜想线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② (3)①；；②证明见解析 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）①由内心性质可知、分别为和的角平分线，又，故，即证明． ②证明，则可设由直角三角形内切圆公式得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． （3）①作于点，故四边形为矩形，，根据，，可得，，，，，由直角三角形内切圆公式可得，，，，在中，由勾股定理可得．作于点，由题意知为的内心，，，可得，，从而可得； ②由内心性质可知，即．同理，，．延长交于点，证明，同理可知，则，只证明，即可得本题结论． 【详解】（1）证明：，，则， ，， ． ， ，即； （2）①证明：由内心性质可知、分别为和的角平分线， 且， ， 即． ②解：由（）知，， ， 设 ， （3）①解：如图2所示，作于点， 由切线性质可知， 故四边形为矩形，． ，， ，，，，， ， ， 在由勾股定理可得． 作于点，由题意知为的内心， ， ， ②证明：，理由如下： 由内心性质可知， 即． 同理，， ． 延长交于点，如图3所示， ， ， 同理可知，则， 在和中， ， ， ． 题型四 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 核心技巧：面积法。将三角形分割为三个小三角形，利用等面积建立关系。 1. 核心公式：三角形面积S、周长C、内切圆半径r满足：S = C r 或r = . 2. 应用场景： 已知周长和面积求r：直接代入公式r = r = 。 已知边长求r：先用海伦公式S =求出面积（其中p = C/2），再代入上述公式求r。 关键：公式S = pr（p为半周长）是内切圆问题的通用桥梁，适用于任何三角形。 1．（25-26九年级上·江西宜春·月考）如图，已知是等边的内切圆，若的半径为2，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，等边三角形的性质、含的直角三角形性质等知识点，内切圆的圆心是三角形角平分线交点是解题的关键． 连接、连接并延长交于点，在直角中，，利用含的直角三角形性质求解出，进而求出等边的边长和高，由此即可解题． 【详解】解：连接、连接并延长交于点， ∵等边， ∴， 又∵是等边的内切圆， ∴是的角平分线，即，， ，， 又∵是的切线，的半径为2， ∴是切点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为． 2．（2025九年级·全国·专题练习）如图，等边三角形ABC的外接圆的半径OA的长为3，则其内切圆半径的长为 ． 【答案】1.5 【分析】因为三角形为等边三角形，所以外接圆和内切圆共圆心，均为，过点作于点，利用直角三角形中对应边为斜边一半，求得长即为内切圆半径． 【详解】解：过点作于点，如图： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 即其内切圆半径的长为， 故答案为： ． 3．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的内切圆． （1）若，则的度数为 ． （2）若，则的半径为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、三角形内角和定理、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）由得，因为是的内心，所以，，则即可求得． （2）作于点，利用解得，再利用勾股定理解得，，故，设的内切圆的半径为，与、、分别相切于点、、，连接、、、，则利用即可求出的半径． 【详解】解：（1）， ， ， 是的内心， 平分，平分， ， ， ， 答案为：． （2）作于点，则， ， ， 即， 解得， ， ， 在中， ． 设的内切圆的半径为，与、、分别相切于点、、，连接、、、， ，，，且， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，中，． (1)在图中用无刻度的直尺和圆规作的外接圆O；（保留作图痕迹） (2)若，，求的内切圆半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查三角形外接圆，内切圆，勾股定理，垂径定理，掌握勾股定理及垂径定理是解题的关键． （1）用尺规作边和的垂直平分线，两线相交于点O进而作出的外接圆； （2）根据勾股定理和等面积法即可求出内切圆的半径． 【详解】（1）解：如图所示即为的外接圆， （2）解：连接、，设交于点， ∵， ， 根据垂径定理，得，， ， 设内切圆半径为， ， 内切圆半径． 5．（2024九年级下·安徽·专题练习）如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，． (1)若，则　　； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了三角形内切圆与内心、切线的性质、三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）由切线的性质可得，由四边形内角和定理和直角三角形的性质可求解； （2）由三角形面积的和差关系列出等式计算即可解答． 【详解】（1）解：，是的切线， ， 又， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，连接，，，， ，，是的切线， ，，， ，，， ， ， ， ． ， 的半径为1． 6．（2025九年级·全国·专题练习）阅读材料：已知的周长为l，面积为S，内切圆的半径为r，探究r与S，l之间的关系． 解：如图①，连接OA，OB，OC． ，， ，，． 解决问题： (1)利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形的内切圆半径． (2)如图（2），若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用探究的结论，计算边长分别为的三角形内切圆半径； （2）若四边形存在内切圆（与各边都相切的圆），且四边形的面积为，各边长分别为，利用四边形面积等于个三角形的面积之和，可得四边形的内切圆半径公式． 【详解】（1）解：， 此三角形为直角三角形， 三角形的面积， ． （2）解：如图，设四边形ABCD内切圆的圆心为O，连接OA，OB，OC，OD，则 ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题03直线和圆的位置关系四大题型 题型一已知直线和圆的位置关系求半径的取值 直线和圆的位置关系四 题型二切线的性质和判定的综合应用 大题型 题型三直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型四一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 /00 德点堂破 题型一已知直线和圆的位置关系求半径的取值 啸方法 核心技巧：比较圆心到直线的距离d与半径r的大小关系。 1.求距离d:利用点到直线距离公式，求出圆心到已知直线的距离d。 2.列不等式： 相离：d>r;相切：d=r;相交：d<r 3.解不等式：根据题目要求的位置关系（如“有公共点”对应k”,“没有公共点”对应d>r),将d代入 相应的不等式中，解出半径r的取值范围。 关键：准确记忆三种位置关系的判定公式，并注意“有公共点”包含相切和相交两种情况。 1.(2025福建中考真题)在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，AB=4,BC=4,AD=1,点O 是边CD上一点，如果以O为圆心，OD为半径的圆与边BC有交点，那么OD的取值范围是 2.(25-26九年级上江苏盐城期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,O是ABC的 内心，以O为圆心，”为半径的圆与线段AB有且只有一个公共点，则r的取值范围是· 3.(25-26九年级上·江苏宿迁·月考)如图，∠A0B=45°，点M是射线OB上一点，0M=2,以点M为圆 心，r为半径作⊙M,若⊙M与射线OA只有1个公共点，则半径r的取值范围是 1/10 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A M 4.(2025九年级上·浙江·专题练习)在ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,若以C为圆心的圆与斜 边AB有且只有一个公共点，则该圆半径r的取值范围为一· 5.(25-26九年级上江苏泰州月考)在△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=2,点O在ABC内部，以O 为圆心，OC长为半径的圆与直线AB相离，则OC的取值范围是 O ● B 题型二切线的性质和判定的综合应用 啸方法 核心技巧：连半径，证垂直（判定）；知切线，得垂直（性质）。 1.判定定理应用：要证明一条直线是圆的切线，若已知直线与圆有公共点，则连接该点与圆心（半径），证 明这条半径与该直线垂直(OA⊥1)。 2.性质定理应用：若已知直线是圆的切线(1是⊙O的切线，A为切点)，则连接切点与圆心(OA),必得 到垂直关系(OA⊥1)。此性质常用于后续推导直角三角形或相似形。 关键：无论判定还是性质，辅助线“连接圆心与切点（或公共点）”是通用的核心步骤，目的是构造直角三 角形。 1.(2025九年级上全国·专题练习)如图，0为正方形ABCD对角线AC上一点，以0为圆心，OA长为半 径的O0与BC相切于点M. 2/10 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D (1)求证：CD与⊙0相切； (2)若正方形ABCD的边长为1，求⊙0的半径. 2.(25-26九年级上·江苏镇江·月考)如图，己知O是ABC边AB上的一点，以0为圆心、OB为半径的圆 与边AC相切于点D,且BC=CD,连接OC,交OO于点E,连接BE并延长OO,交AC于点F, D (1)求证：BC是⊙0的切线； ②若AC=10,an∠BAC=号，求E0的长. 3.(2025九年级上全国.专题练习)如图，已知BE是00的直径，BC与O0相切于点B,D为O0上一点， 且DE‖OC,连接CD并延长交BE的延长线于点A. D (1)求证：CD是OO的切线： (2)若AD=2,AB=4,求CD的长. 4.(25-26九年级上广西崇左·月考)如图，在ABC中，A0平分∠BAC交BC于点O,以点O为圆心， BO长为半径的OO与AB相切于点B,与BC相交于点D. 3/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 (1)求证：AC是⊙0的切线： (②)若AB=5,4C=13,设&4B0的面积为S,ABC的面积为S,m= S, 求常数m的值. 5.(24-25九年级下·湖北孝感月考)如图，AB是O0的直径，D为⊙0上一点，C是劣弧DB的中点，过 点C作AD的垂线，分别交AD,AB的延长线于E,F两点. D (1)求证：EF是O0的切线： ②若DE=)BC,求图中阴影部分面积和△AEF面积的平 6.(2025·四川泸州中考真题)如图，AB,CD是00的直径，过点C的直线与过点B的切线交于点E,与 BA的延长线交于点F,且EB=EC,连接DE交AB于点G. F F G B (1)求证：EF是O0的切线： ②考F=10snF=号求G的长。 7.(25-26九年级上广东惠州期中)如图，在△ABD中，AB=BD,⊙O为△ABD的外接圆， LEBC=LBAC,AC为⊙O的直径，连接DC并延长交BE于点E. 4/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D (1)求证：BE为⊙O的切线： (2)求证：DE⊥BE; (3)若AB=5V6,BE=5,求⊙O的半径. 8.(2025湖南永州二模)如图，已知ABC,以AC为直径作⊙0，⊙0交BC边于点D,连接AD, ∠BAD=∠C,连接DO并延长，交BA的延长线于点P,交⊙O于点E. D B D (1)求证：AB是O0的切线： (2)若CD=2,tanB= ，求PD的长： 2 同诺答号求m3的监。 9.(2025八年级全国·竞赛)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,∠B=90°，LBAD=60°，BC=6cm, 对角线AC平分∠BAD,点P是BA边上一动点，它从点B出发，向点A移动，移动速度为lcm/s;点Q是 AC上一动点，它从点A出发，向点C移动，移动速度为1cms.设点P,Q同时出发，移动时间为s (0≤t≤6).连接P9,以P9为直径作o0. B B D← 备用图 (I)求DC的长. (2)当t为何值时，⊙0与AC相切？ (3)当t为何值时，线段AC被⊙0截得的线段长恰好等于O0的半径？ (4)当t为时，圆心O到直线DC的距离最短，最短距离为 .(直接写出结果) 5/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 10.(25-26九年级上山西忻州月考)综合与探究 【问题情境】 如图1，AB为OO的直径，AD,BD为OO的弦，过点D作OO的切线交BA的延长线于点P,过点O作 OG⊥BD并延长交PD的延长线于点E,连接BE. 【解决问题】 (1)试判断BE与O0的位置关系，并说明理由. 【思维拓展】 (2)如图2，过点D作DF⊥AB交OO于另一点F,连接AF,BF. ①若∠FAB=60°，PD=√3，求PB的长； ②若PD=DF,试判断四边形BEDF的形状，并证明. 图1 图2 题型三直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 嫦方法 核心技巧：利用“面积法”和“切线长相等”构建桥梁。 1.面积桥梁：直角三角形面积8号b号a+b+e),其中ab为直角边，c为斜边，r为内切圆半径。 2.切线长桥梁：由切线长相等可知，内切圆与各边切点将周长分割，满足a+b-c+2。 3.公式联立：常用r=或r=g(p为半周长)快速求解。 2 关键：灵活运用面积法与切线长性质，在周长、面积、边长和半径之间建立等量关系。 1.(25-26九年级上山东德州月考)《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步.问勾中容圆径几何？” 译文：今有一个直角三角形（如图），勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角 形内切圆的直径是多少？求得该直径等于」 步（注：“步”为古代长度单位）. 6/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 弦 股15 勾8 2.(24-25九年级上山东滨州期末)如图，在ABC中，BC=6,AC=8,AB=10,⊙0是它的内切圆， 用剪刀沿OO切线DE剪一个ADE,则ADE的周长为一· 、D E ○ B 3.(24-25九年级上湖北武汉·月考)如图，⊙0是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°，AC=3,AB=5,则 ∠A0B的大小是；⊙0的半径是一· 4.(25-26九年级上·全国课后作业)如图，在ABC中，∠C=90°，⊙I为ABC的内切圆，BC=9,AC=12 .求⊙I的半径 5.(23-24九年级下·全国课后作业)如图，ABC中，∠C=90°，BC=5,⊙0与ABC的三边分别相切 于点D,E,F,若⊙O的半径为2，求ABC的周长 7/10 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E 6.(2025·黑龙江绥化模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°. B (I)尺规作图：作Rt△ABC的内切圆OO,并分别标出OO和AB、BC、CA相切的切点D、E、F;(要求： 保留作图痕迹，不写做法，不需证明) (2)若AD=6,BD=4,求⊙0的半径r的长。 7.(2025湖南长沙二模)如图1，Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,△ADC,△CDB的内 切圆圆心分别为Q,Q,半径分别为5,5，连接AO,BO2并延长交于点0，连接CO,CO2, B D 图1 图2 备用图 (1)求证：AC2=AD·AB; (2)①求证：∠AC0,=∠CB02;②若5=3,5=4， S4c0的值： SCBO: (3)如图2，连接线段C0,O,O2,⊙O,与边AD相切于点E,⊙O,与边BD相切于点M, ①若∠ACD=30°，AC=2,求线段O,O2和C0的长； ②猜想线段O,O,与C0的数量关系，并证明. 题型四一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 8/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 啸方法 核心技巧：面积法。将三角形分割为三个小三角形，利用等面积建立关系。 1核心公式：三角形面积&、周长C、内切圆半径r满足：8=专C,或r=号 2.应用场景： 已知周长和面积求：直接代入公式r=r=S。 己知边长求r:先用海伦公式S= p(p-a)(p-b)(p-c) 「求出面积（其中p=C2),再代入上述公式 求r。 关键：公式S=r(p为半周长)是内切圆问题的通用桥梁，适用于任何三角形。 1.(25-26九年级上江西宜春·月考)如图，已知⊙0是等边ABC的内切圆，若⊙0的半径为2，则ABC 的面积为」 2.(2025九年级全国.专题练习)如图，等边三角形ABC的外接圆⊙0的半径OA的长为3，则其内切圆半 径的长为 3.(24-25九年级上·安徽阜阳·期末)如图，⊙0是ABC的内切圆. (1)若∠A=80°，则∠B0C的度数为 (2)若SABc=14,AB=5,BC=7,则⊙0的半径为 4.(25-26九年级上江苏南通·月考)如图，ABC中，AB=AC. 9/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (1)在图中用无刻度的直尺和圆规作ABC的外接圆O;(保留作图痕迹) (2)若AB=10,BC=16,求ABC的内切圆半径. 5.(2024九年级下·安微专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，⊙0是它的内切圆，与AB,BC, CA分别切于点D,E,F. A E (1)若D0E=130°，则∠ACB= (2)若AB=3,AC=4,求00的半径 6.(2025九年级全国，专题练习)阅读材料：已知ABC的周长为1，面积为S,内切圆⊙0的半径为r,探 究r与S,1之间的关系 B D C B 图① 图② 解：如图①，连接OA,OB,OC. SAAOB=ABF S.0C=BCF S.OCA= 2 1 解决问题： (1)利用探究的结论，计算边长分别为5,12,13的三角形的内切圆半径. (2)如图(2)，若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），且面积为S,各边长分别为a,b,c,d, 试推导四边形的内切圆半径公式. 10/10