专题09 垂径定理（专项训练）数学新教材青岛版九年级上册

**基本信息** 聚焦垂径定理核心应用，通过分层题型构建"基础应用-变式拓展-实际建模"的知识逻辑链，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型突破|5类16题|含求值（重）、平行弦（重）、同心圆、推论、实际应用（高频），覆盖直接应用与分类讨论|以垂径定理"垂直平分弦"为核心，从基础计算到位置关系（平行弦距离）、嵌套图形（同心圆）逐步深化| |综合攻坚|3类10题|综合圆的性质、勾股定理、实际场景（摩天轮、拱桥），含解答题与开放探究|衔接中考命题趋势，通过实际问题建模（如"圆材埋壁"）提升应用意识，强化符号意识与空间观念|

专题09 垂径定理 常考题型·精准突破 考点一 垂径定理 题型1利用垂径定理求值（重） 题型2利用垂径定理求平行弦问题（重） 题型3利用垂径定理求同心圆问题 题型4垂径定理的推论 题型5垂径定理的实际应用（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 垂径定理 ◆题型1利用垂径定理求值 1．在中，，弦，则圆心O到的距离为（     ） A． B． C． D． 2．如图，是的弦，半径于点D．若，．则的长是（     ） A．5 B．6 C．8 D．10 3．（多选）如图，是的直径，弦于点E，连接，．若的半径为m，，则下列结论一定成立的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． ◆题型2利用垂径定理求平行弦问题 5．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 6．如图，在中，半径，弦平行于直径，且到直径的距离为．点是上不与A、B重合的一点，则的度数为_____． 7．已知的半径为，弦，且，，则与之间的距离为______． 8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，点D是的中点． (1)求证：； (2)连接AC，若AB＝10，CD＝4，求AC的长． ◆题型3利用垂径定理求同心圆问题 9．如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 10．如图，正方形的边长为，点O在正方形的内部，以O为圆心，2为半径的圆经过点D和C，与边交于点E，在正方形内的圆弧上取一点F，使得，连接并延长和边交于点G，则的值为_______． 11．如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 12．如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． ◆题型4垂径定理的推论 13．如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 14．如图，内接于， 是上一点，且于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且点，在上．若，则的长为______． 16．如图，在中，，是外接圆，点是圆外一点，是的切线．连接，与交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的半径． ◆题型5垂径定理的实际应用 17．日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为， ，垂足为，， 的半径，则圆盘离桌面最近的距离是______． 18．如图是一个管道的横截面，圆心O到水面的距离是3，水面宽．求这个管道横截面的半径． 19．有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 20．《九章算术》是中国古代数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述如下：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，求直径的长． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．如图，线段是的直径，于点．若，，则的半径长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如下图所示，为上两点，且，弦于D点，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，为的直径，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．所学即所用，所用即所得，周末邓紫展同学利用所学测算如图①所示的厨房锅盖直径，图②是其截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为，，锅盖直径为，锅盖最低点到的距离是，则______． 5．如图，两个同心圆，大圆半径为，小圆的半径为，若大圆的弦与小圆有两个公共点，则的取值范围是_____． 6．如图，是的直径，点是半圆的中点，且，点是上的一个动点，连接，过点作于点，连接，在点的运动过程中，长度的最小值是__________． 7．如图，为圆的直径，为切线，与圆交于点，，，则的长为______；连接并延长交圆于点，点为点下方圆上一点，且，连接，则的长为______． 三、解答题 8．如图，在圆心O的同侧有圆内接四边形，，．点E在上，且，线段、的延长线交于点F，连结、． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 9．如图1，摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上旋转，可以从高处俯瞰四周景色．如图2，该摩天轮的半径为40米，摩天轮的轴点O距离地面的高度为45米，摩天轮逆时针匀速旋转，每6分钟转一圈，且摩天轮上点P的起始位置在最低点处． (1)经过 分钟，点P首次到达最高点； (2)第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高吗？请说明理由； (3)（i）画出点P高度关于运动时间的大致图象，并说明理由； （ii）摩天轮在旋转一周的过程中有m分钟距离地面不低于65米，写出“m”的值或“求m的思路”．（可用含t的式子表示） 10．已知内接于，，E是弧的中点，连结，交于点D，射线交的延长线于点F． (1)如图1， ①求证：； ②若，，求的长； (2)若直线与直线交于点G，且，求的度数． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09垂径定理 常考题型精准突破 。考点一垂径定理●一 ◆题型1利用垂径定理求值 1.A 【详解】解：如图所示，过点O作OD⊥AB于点D, 弦 D AB=24,r=13 BD-74B=12.0B=r=13 :.0D=VOB2-BD2=V132-122=5, 即圆心O到AB的距离为5， 2.D 【详解】解： 0 D B 连接OB, OC⊥AB,且AB=16, :.4D=BD-14B=8, 设圆的半径为R, .CD=4, 则在R1a0DB中，有0D2+BD2=OB2即(R-4)+82=R2 1/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得R=10,即OC=10, 故选项D符合题意. 3.BC 【详解】解：AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E, ∴.DE=CD 在Rt△EDO中，OD=m,∠AOD=∠a, DE .∴.tana= OE' ∴OE=DE、CD ana2tana,故选项A不正确： DE .'sina= OD' ..DE =OD.sina=m.sina .CD=2DE=2 m.sina,故选项B正确； OE .'cosa OD' ∴.OE=OD.cosa=m.cosa, AO=DO=m, AE=AO-OE=m-m.cosa,故选项C正确； .CD=2m.sina,OE =m.cosa, _LCDXOE= :.S.coD= x2 n-sina×m:cosa=m'sina:cosa,故选项D不正确： 29 【详解】解：由题意，设半径为r, 则OC=OB=r, ,BE=2, .OE=r-2, ,AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E, .点E是CD的中点， .CD=10. 2/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 在RtAOCE中，由勾股定理得 0C2=CE2+0E2, 即2=52+(-22， 29 解得：r= 4· ◆题型2利用垂径定理求平行弦问题 5.A 【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时， 连接OA,OC,过点O作OE⊥AB于点E并延长交CD于点F.则OF⊥CD,如图， "a F D AB=30cm CD=16cm AE=7AB=15cm.CF= -CD=8cm, .04=OC =17cm. .EO=OA2-AE2 =8cm,OF=OA2-CF2 =15cm, ∴.EF=OF-OE=7cm: ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图， C D E ·.'AB=30cm CD=16cm AE=48=15cm.CF=CD=8cm 04=OC=17cm, .EO=0A2-AE2 =8cm,OF=O42-CF2 =15cm, .EF =OF +OE =23cm, 3/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AB与CD之间的距离为7cm或23cm. 6.30°或150° 【详解】解：过点O作OF⊥AB于点F,连接OA,OB, :半径r=6,弦AB平行于直径CD,且AB到直径CD的距离为3V5 B E O4=OB=6,0F=35,∠A0F=∠B0F, cos∠A0F=OF_35_5 0A621 .∠A0F=30°， .∠BOF=∠AOF=30°， ∴.∠AOB=∠BOF+∠AOF=60°， 当点2在优弧B上时，A5840B=30； 当点8在劣弧G上时，∠4BB-×(360-60°)-150； 故答案为：30°或150°」 7.(3v2-3cm或(3v2+3cm 【详解】过点O作OE⊥AB于点E,则E为AB中点，连接OA,OC 4北=48-65=35cm, 在RtAOEA中，OA=6cm, 由勾股定理得0E=V0f-AE2-6-32-V36-18=8=32cm, 过点O作OF⊥CD于点F,则F为CD中点， :cr-5cn-方65=iem 在Rt△OFC中，OC=6cm, 4/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由勾股定理得0F=0c2-CF=V36-(35=V36-27=9=3cm, 如图所示，当AB与CD在圆心O同侧时，AB与CD之间的距离为OE-OF=3W2-3(cm): A D 如图所示，当AB与CD在圆心O两侧时，AB与CD之间的距离为OE+OF=3V2+3(cm). B 故答案为：3W2-3cm或3V2+3cm. 【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理的应用，通过作圆心到弦的垂线，将弦长、半径和弦心距转化为直 角三角形的三边关系，实现几何量的计算；解决本题的关键是利用分类讨论的思想，当两条平行弦在圆内 时，需分弦的圆心同侧和弦在圆心两侧两种情况. 8.(1) 证明：如图，连接AC, BAB是⊙O的直径， .AC⊥BC, ,点D是AC的中点， ∴.OD⊥AC, .OD BC: a 5/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接OC,连接AC,交OD于E, D B 由(1)可得，OD⊥AC, .∴.AC=2AE=2CE .AB=10 ∴.0C=0D=5, ∴.设DE=x,则OE=-5-x」 在Rt△CDE中，CE2=CD2-DE2 在Rt△OCE中，CE2=OC2-OE2, .16-x2=25-(5-x)2, 解得8 5 .CE =CD2-DE2 5 .'AC=2CE= 8√21 5 ◆题型3利用垂径定理求同心圆问题 9.D 【详解】解：根据同心圆的半径可知， 两圆上两点最远的距离为25+20=45（米）， 两圆上两点最近的距离为25-20=5（米）， ∴，两人的距离不可能是50米. 10.2 【详解】如图，连接OC,OD,OE,OF,过O作OH⊥CD于H, 6121 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G B :四边形ABCD是正方形， .CD=BC=AB=2W3,∠BCD=∠B=90°， :点C,D在⊙0上，半径为2，OH⊥CD,OC=OD, DH-CD-5 ∴.cos∠ODH= DH3 OD2 .∠0DH=30°， .∠CED=60°， .OC=OE, ∴.△OCE是等边三角形，∠COE=60°， .CE=OC=2,BE BC-CE=23-2. EF=CE=OE=OF ∴.△EOF是等边三角形，∠OEF=60°， .∠BEG=60°，EF=2, 在RtABEG中，tan∠BEG=BC, BE,cOs∠BEG=BE EG .tan60°= BG 2W3-2 =3,c0s60°=23-2-1 EG 2 .BG=6-23,EG=4V3-4, .AG=AB-BG=43-6, ..EG-AG=2. 11.12 【详解】解：如图所示，过点O作OH⊥CD于点H,连接OD,OB, 7/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 DH =CH=CD=4,AB=2BH 2 在RtAODH中，由勾股定理得OH=VOD2-DH=V52-42=3, 在Rt△OBH中，由勾股定理得BH=VOB2-OH=V35-32=6, .AB=2BH=12, 故答案为：12. 12.(1)1 (2)3V2 【详解】(1)解：如图所示，过点O作OE⊥AB于点E,连接OA,OB,OC,OD, 根据垂径定理得，点E为线段AB和CD的中点， DE-0D=38s=4B8=4, .BD=BE-DE=4-3=1, 故答案为：1； (2)解：如图所示，过点O作OE⊥AB于点E,连接OA,OB,OC,OD, D八B 结合(1)得， 根据勾股定理得OE=√OB2-BE2=√25-16=3， ..OD=VOE2+DE2=9+9=32, 8/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 小圆的半径长为32 ◆题型4垂径定理的推论 13.B 【详解】解：设OC与BD交于点E,如图所示： .BC=DC,∠A=25°， .∠C0D=2∠A=50°， .BC=DC,OC为半径， OC⊥BD. ∴.∠OED=90° .∠D=90°-50°=40° 14.B 【详解】解：如图，连接CD, D E .OD⊥AC于点E. ∴.AE=CE, .OD垂直平分AC, .'AD=CD ∴.△ACD是等腰三角形， .∠ADE=∠CDE=50° .∠ADC=∠ADE+∠CDE=100° :四边形ABCD内接于OO, .∠B=180°-∠ADC=80°. 9121 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15. 【详解】解：·点A,D的坐标分别是(-3,0)，(3,0)， ∴.OA=OD」 .OB垂直平分AD, ∴圆心在y轴上. 如图，设AD所在圆的圆心为M,连接MA,MC. D M 设⊙M的半径为r, 在Rt△4OM中，0A+OM2=4M?,即3+(-1)=r2,解得r=5. :∠BAC=15°， .∠BMC=2∠BAC=30°， 30元×5_5π :.BC的长为180=6： 16.(1)证明：连接0B,如图所示， B D 是 的切线， A DB⊙O .OB⊥DB, ∴.∠DB0=90°， .∠DBA+∠ABO=90° .OB=0A, .∠ABO=∠BAO. ∠ABC=90°， .∠BAO+∠ACB=90°， 10/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABO+∠ACB=90°， .∠DBA=∠ACB (2)V5 【详解】(1)略 (2)解：DO⊥AB,且经过⊙O, :BE=AB, :0A=0C, 0e-8c-2-1 DO⊥AB, .∠BEO=∠BED=90°， 设⊙0半径OB=r,则在RtABE0中，BE2=BO2-OE2=r2-1, ∴.在RtADBE中，DB2=BE2+DE2=r2-1+16=r2+15 由(1)问可知，∠DB0=90°， 在R△DB0中，DB2=0D2-0B2=(4+1-r2=25-r2 r2+15=25-r2, r2=5, r=5或r=-5(舍去). ⊙0半径为V5, ◆题型5垂径定理的实际应用 17.1cm 【详解】 E F B G D 解：连结AB、OA,过点O作OG⊥CD于G、交AB于E、交OO于F, :AC⊥CD、BD⊥CD, 11/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AC∥BD, AC=BD, ∴.四边形ABDC是矩形， AB∥CD,AB=CD=16, OG⊥CD. OG⊥AB,EG∥AC,EG=AC=5, c=B-号48-16=8， 在直角三角形OAE中，由勾股定理得：OE=VOA2-AE2=V102-82=6, ∴0G=0E+EG=6+5=11」 .OF=OA=10. ∴.FG=OG-OF=11-10=1(cm). 18.3v2 【详解】解：如图，连接OA, 0 D --7B C :AB=6,OD⊥AB ..AD=3 OD=3, ∴△OAD是等腰直角三角形， 在RtaA0D中，A0=√AD2+0D=V32+32=32. .这个管道横截面的半径为3V2 19.(1)34米 (2)不需要采取紧急措施 【详解】(1)解：连接OA, 12/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由思意得：AD=)4B=30米，OD=-18米. 在RaAD0中，有r2=302+(-18)2,解得r=34米： (2)解：连接OA OE=OP-PE=30米， ∴在Rt△4E0中，AE=VA02-OE2=16(米)， .AB=32米 AB=32>30 不需要采取紧急措施。 20.26寸 【详解】解：连接OC,设OB=OC=r寸. E 是直径， :AB⊥CDAB c=DC0=5时 在RtaCE0中，则有2=(-1)2+52， 解得r=13, .AB=2r=26寸. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.D 2.C 3.B 13/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 4.32 5.6cm<AB≤10cm 6.(3W5-3cm 10万0万 7 7 三、解答题 8. 【答案】(1) 证明：AB∥CD,OE⊥AB, ∴.OE⊥CD .OE为CD的垂线平分线， ∴.CE=DE. (2) 证明：如图，连接OA,OD,设OF与⊙O相交于G, E B .OE⊥AB .G为AB中点， BG=AG, ∴.∠AOG=∠BOG: :∠DMB=∠B0D-(<B0G+∠D0G),∠DB4=40D, ∠FDB=∠BAD+∠DBA-(∠B0G+∠D0G)+A0DB0G+∠D0G+∠A0D)-A0B=∠G0B, 14/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即∠FDB=∠GOB, 又∠DEF=∠OEB, ∴.aDEF∽aOEB, .∠F=∠OBE 1 (3 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：连结OA, F G D 由(2)知∠F=∠OBE, .OE⊥AB, .'AG=BG, ∴∠AOF=∠EOB ∴.△AOF∽△EOB、 BE OE OB 1 ·FAOA OF2' 记OA=OB=r, 1 ..OE 2·OF=2r· ∴EF 2”, 1 OE -r 1 ·EF 3 3 2 9. 15/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)3 (2)第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高，理由如下： ,摩天轮逆时针匀速旋转，每6分钟转一圈， .摩天轮每分钟旋转360°÷6=60°」 “第4分钟时，点P旋转了60°×4=240°；第8分钟时，点P旋转了60°×8=480°，如图所示： 地面水平线 ∠P0P=360°-240°=120°，∠P0P=480°-360°=120°， .∠POP=∠POP .∠ROA=∠P0A, 又0=B0, PB⊥OA, B平行于地面水平线， ∴.第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高. (3)(i)当t=0时，h=45-40=5m. 当t=1.5时，即点P在x轴正半轴上， .h=45m; 当t=3时，点P到达最高点， .h=45+40=85m; 当t=4.5时，即点P在x轴负半轴上， .h=45m; 当t=6时，点P回到起始最低点， .h=5m; 可列出如下表格： t/min 0 1.5 3 4.5 6 16/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 h/m 5 45 85 45 5 根据表格，在坐标系中描出对应的点，用一条平滑的曲线连接起来，即可得到大致图象，如图所示： 8 0H 40 3 20 10月 0123456x ,当摩天轮开始转第二圈时，点P会重复第一圈的过程， ∴点P距离地面的高度会呈现周期性变化， .点P高度h/m关于运动时间t/min的大致图象会重复O≤t≤6的这个图象. ()由(i)可得：当1.5<t<3或3<t<4.5时，点P距离地面的高度才有可能是65米， 设地面水平线为MN,过点P作PD⊥y轴，PC⊥MN, 当1.5<t<3时，∠D0P=180°-60°，如图所示： 珠 D M C N地面水平线 :.OD=cos∠DOP×OP=40×cos(180°-60t). :.PC=45+OD=45+40×cos(180°-601). .45+40×c0s(180°-60）=65， 6os080-60r）-克 .180°-601°=60°，解得：t=2: 当3<t<4.5时，∠D0P=60°-180°，如图所示： 17/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y D M N 地面水平线 C :.OD=cos∠D0P×OP=40×cos(60t°-180)， .PC=45+0D=45+40×cos(601°-180)， .45+40×cos(601°-180）=65 ow(6r-10）- .601°-180°=60°，解得：t=4; ,当2≤t≤4时，h≥65， ∴.m=4-2=2min 【详解】(1)解：，点P的起始位置在最低点处， .∴点P首次到达最高点需要转半圈， ·摩天轮转一圈需要6分钟， ∴点P首次到达最高点需要3分钟. (2)略 (3)略 10. 【答案】(1) ①证明：：AB=AC, :.AB=AC, OA⊥BC, .∠F+∠OAF=90°， :E是弧AC的中点， .OD⊥AC, ∠CAF+∠OEA=90°， ..OA=OE, 18/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠OAF=LOEA, ∠F=∠CAF, ..AC=CF; ②9.6 (2)36°或72° 【详解】(1)①略 ②解：设BC与OA交于点H,连接OB,如图， E .OA⊥BC :.BH-CH-IBC, 2 0A=5, ∴OB=OA=5, 设OH=x,则AH=5-x, OB2 -OH2=AB2-AH2=BH2, 52-x2=62-（5-x, .x=1.4, ∴0H=1.4, BH=VOB2-0H2=4.8, BC=2BH=9.6. (2)解：①点G在线段BC上时，连接AG,如图， A E D B .·AC=CF 19/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠F=∠CAF, 设∠F=∠CAF=a, ∴∠ACB=∠F+∠CAF=2a, E是弧AC的中点， .OD⊥AC,AD=DC, ∴.OE为AC的垂直平分线， ..GA=GC, ∠GAC=∠GCA=2a, ∴.∠AGB=∠GAC+∠GCA=4a, .BG=CF,AC=CF,AB=AC, .BA=BG, ∠BAG=∠BGA=4Q, AB=AC, ∴.∠B=∠ACB=2a, :∠B+∠BAG+∠BGA=180°， 2a+4a+4a=180°， .a=18°， .∠ABC=2a=36°： ②点G在线段CB的延长线上时，连接AG,如图， D .·AC=CF ∴∠F=∠CAF, 设∠F=∠CAF=x, ·∠ACB=∠F+∠CAF=2x, E是弧AC的中点， .OD⊥AC,AD=DC, ∴OE为AC的垂直平分线， ..GA=GC, 20/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠GAC=∠GCA=2x, AB=AC, ∠ABC=∠ACB=2x, .BG=CF,AC=CF,AB=AC, .BA=BG, .∠BAG=∠BGA, ∠BAG+∠BGA=∠ABC=2x, ∠BAG=LBGA=x, :∠AGC+∠CAG+∠GCA=180°， ∴x+2x+2x=180°， .x=36° ∴.∠ABC=72° 综上，∠ABC的度数为36°或72° 21/21的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09垂径定理 内容概览 目常考题型精准突破 考点一垂径定理 题型1利用垂径定理求值（重） 题型2利用垂径定理求平行弦问题（重） 题型3利用垂径定理求同心圆问题 题型4垂径定理的推论 题型5垂径定理的实际应用（高频） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ●考点一垂径定理 ● ◆题型1利用垂径定理求值 1.在⊙0中，r=13,弦AB=24,则圆心0到AB的距离为() A.5 B.10 C.12 D.13 【答案】A 【详解】解：如图所示，过点O作OD⊥AB于点D, 弦 AB=24,r=13 BD-1 AB=12,0B=r=13. .0D=VOB2-BD2=V132-122=5, 即圆心O到AB的距离为5， 1/34 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D.若AB=16,CD=4.则OC的长是() 0 D A.5 B.6 C.8 D.10 【答案】D 【详解】解： 09 B 连接OB, ,OC⊥AB,且AB=16, :AD=BD=)4B=8, 2 设圆的半径为R, ,CD=4, 则在Rt△ODB中，有OD2+BD2=OB2即(R-4)+82=R2, 解得R=10,即OC=10. 故选项D符合题意 3.(多选)如图，AB是O0的直径，弦CD⊥OA于点E,连接OC,OD.若⊙0的半径为m, ∠AOD=∠a, 则下列结论一定成立的是() B 2/34 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 A.OE=m.tana B.CD=2m.sina AE=m-m·cosa D.S.cop=m2.sina 【答案】BC 【详解】解：~AB是OO的直径，弦CD⊥OA于点E, 1 ∴.DE=。CD 在Rt△EDO中，OD=m,∠AOD=∠a, DE ∴.tana= OE' ..OE= DE CD tana 2tana, 故选项A不正确： DE .'sina= OD ∴.DE=OD.sina=m.sina, ∴.CD=2DE=2 m.sina,故选项B正确 OE ∴.c0sa= OD ..OE OD.cosa=m.cosa, :AO=DO=m, ∴AE=AO-OE=m-m-cosa,故选项C正确： CD=2m.sina,OE =m-cosa, .S.COD=7 CDx0B=×2m:sina×m-cosa=m'sina:cosa,故选项D不正确， 4.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,CD=10,BE=2,则⊙O的半径OC= 9 【答案】4 【详解】解：由题意，设半径为”， 则OC=OB=r, BE=2, 3/34 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .OE=r-2, :AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E, ∴点E是CD的中点， .CD=10」 在RtAOCE中，由勾股定理得 0C2=CE2+0E2, 即2=52+(-2)2， 29 解得：r= 4· ◆题型2利用垂径定理求平行弦问题 5.己知⊙0的直径为34cm,AB,CD是⊙0的两条弦，ABCD,AB=30cm,CD=16cm,则AB和 CD之间的距离是() A.7cm或23cm B.14cm或46cm C.7cm D.23cm 【答案】A 【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时， 连接OA,OC,过点O作OE⊥AB于点E并延长交CD于点F.则OF⊥CD,如图， B .AB=30cm CD=16cm B=15em,CF-CD-em, ..04=OC=17cm, .EO=OA2-AE2 =8cm,OF=OA2-CF2 =15cm, ∴EF=OF-OE=7cm: ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图， 4/34 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B AB=30cm CD=16cm :.AE=AB=15em,CF=ICD=Scm, 1 2 04=OC=17cm, ..EO=042-AE2 =8cm,OF=042-CF2 =15cm, .EF=OF +OE=23cm. .AB与CD之间的距离为7cm或23cm. 6.如图，在⊙0中，半径r=6,弦AB平行于直径CD,且AB到直径CD的距离为3V5.点E是⊙0上不 与A、B重合的一点，则∠AEB的度数为一· A B 【答案】30°或150° 【详解】解：过点O作OF⊥AB于点F,连接OA,OB :半径r=6,弦AB平行于直径CD,且AB到直径CD的距离为3V3. E A B E ∴O4=OB=6,0F=33,∠A0F=∠B0F, ∴cos∠A0F=OF=3V3V5 0A=6=2 .∠A0F=30°， .∠BOF=∠AOF=30°， 5/34 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AOB=∠BOF+∠AOF=60°」 当点E在优弧B上时，∠HEB=∠AOB=30, 当点B在劣弧B上时，∠AEB= 2×(360°-60）=150： 故答案为：30°或150° 7.己知⊙0的半径为6cm,弦AB∥CD,且AB=62cm,CD=6N3cm,则AB与CD之间的距离为 【答案】(3v2-3列cm或(32+3)cm 【详解】过点O作OE⊥AB于点E,则E为AB中点，连接OA,OC :4B-4B-3x65-32cm, 在RtAOEA中，OA=6cm, 由勾股定理得0E=VO-AE2=62-32=V36-18=18=32cm, 过点O作OF⊥CD于点F,则F为CD中点， CF-cDcm. 在Rt△OFC中，OC=6cm, 由勾股定理得0F=V0C2-CF2=36-(35=V36-27=9=3cm, 如图所示，当4B与CD在圆心0同侧时，AB与CD之间的距离为OE-OF=3V2-3(cm): 6 D 如图所示，当AB与CD在圆心O两侧时，AB与CD之间的距离为OE+OF=3V2+3(cm) 6134 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 故答案为：3V2-3cm或3v2+3cm 8.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB是直径，点D是AC的中点. B (1)求证：OD‖BC: (2)连接AC,若AB=10,CD=4,求AC的长」 【答案】(1) 证明：如图，连接AC, B AB是⊙O的直径， ∴.AC⊥BC, ,点D是AC的中点， ∴.OD⊥AC, ODI‖BC: 2,$②i 5 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接OC,连接AC,交OD于E, 7/34 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 由(1)可得，OD1AC, ∴.AC=2AE=2CE」 AB=10, ∴.OC=OD=5, ∴设DE=x,则OE-5-x 在Rt△CDE中，CE2=CD2-DE2 在Rt△OCE中，CE2=OC2-OE2, .16-x2=25-(5-x)2, 8 解得x=5 421 -CD-DE-16-( 5 AC=2CE=827 5 ◆题型3利用垂径定理求同心圆问题 9.如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，己知 内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是() 小雪 A.5米 B.15米 C.40米 D.50米 【答案】D 【详解】解：根据同心圆的半径可知， 两圆上两点最远的距离为25+20=45（米）， 两圆上两点最近的距离为25-20=5（米）， 8/34 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴两人的距离不可能是50米 10.如图，正方形ABCD的边长为2V3,点0在正方形的内部，以O为圆心，2为半径的圆经过点D和 C,与BC边交于点E,在正方形ABCD内的圆弧上取一点F,使得CE=EF,连接并延长EF和AB边交于 点G,则EG-AG的值为 AG 【答案】2 【详解】如图，连接OC,OD,OE,OF,过O作OH⊥CD于H, A G B ,四边形ABCD是正方形， :CD=BC=AB=2W3,∠BCD=∠B=90°， :点C,D在O0上，半径为2，OH⊥CD,OC=OD, .DII-CD-3. .cos∠ODH= DH 3 OD2 .∠0DH=30°， .∠CED=60°， .0C=0E, :.△OCE是等边三角形，∠COE=60°， .CE=OC=2,BE=BC-CE=23-2. .EF=CE=OE=OF ∴.aEOF是等边三角形，∠OEF=60°， ∴.∠BEG=60°，EF=2, 9134 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在RIBEG中，am∠BEG=B E,cos∠BEG= BE EG ∴.tan60°= BG 2W3- =V5,c0s600=2W5-21 EG 2 .BG=6-23,EG=4V3-4, .AG=AB-BG=43-6. .EG-AG=2」 11.如图，半径为3W5和5的两个圆都以0为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，若CD=8,则 AB= 【答案】12 【详解】解：如图所示，过点O作OH⊥CD于点H,连接OD,OB, DH=CH=CD=4,AB=2BH, 2 在Rt&ODH中，由勾股定理得OH=VOD2-DH2=V52-42=3, 在Rt△OBH中，由勾股定理得BH=VOB2-OH=35-32=6, ∴.AB=2BH=12, 故答案为：12. 12.如图，以点0为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C,D两点，AB=8,CD=6, (1)直接写出BD的长为」 10134 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长. 【答案】(1)1 (2)3V2 【详解】(1)解：如图所示，过点O作OE⊥AB于点E,连接OA,OB,OC,OD, C 、E2 0 根据垂径定理得，点E为线段AB和CD的中点， .DE-CD-3BE-4B-4. .BD=BE-DE=4-3=1, 故答案为：1： (2)解：如图所示，过点O作OE⊥AB于点E,连接OA,OB,OC,OD, C 、9E 结合(1)得， 根据勾股定理得OE=VOB2-BE2=√25-16=3， ...OD=OE2+DE2=9+9=32 .小圆的半径长为3V2 ◆题型4垂径定理的推论 13.如图，A,B,C,D是⊙0上的四个点，BC=DC,∠A=25°，则∠D的度数是() D A.250 B.40° C.60° D.65° 11/34 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【详解】解：设OC与BD交于点E,如图所示： :BC=DC,∠A=25°， ∴∠C0D=2∠A=50°， :BC=DC,OC为半径， :.OC⊥BD, .∠0ED=90°， .∠D=90°-50°=40° 14.如图，△ABC内接于⊙O,D是AC上一点，且OD⊥AC于点E.若∠ADE=50°，则∠B的度数为 () A.85 B.80° C.75 D.70° 【答案】B 【详解】解：如图，连接CD, D E :OD⊥AC于点E. ∴.AE=CE, ∴OD垂直平分AC, AD=CD」 :.△ACD是等腰三角形， .∠ADE=∠CDE=50°」 12134 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ADC=∠ADE+∠CDE=100° :四边形ABCD内接于⊙O 、.∠B=180°-∠ADC=80° 15.如图，在平面直角坐标系中，已知A(-3,0),D(3,0),B(0,),且点B,C在AD上.若∠BAC=15°， 则BC的长为 D左 5π5 【答案】66 【详解】解：点A,D的坐标分别是(3,0)，(3,0)， ∴OA=OD, ∴OB垂直平分AD, ∴圆心在y轴上. 如图，设AD所在圆的圆心为M,连接MA,MC. D 设⊙M的半径为r, 在Rt△AOM中，OA+OM2=AM2,即32+(-1=r2,解得r=5. ∠BAC=15°， ∴.∠BMC=2∠BAC=30° 30π×5_5π :.BC的长为180=6， 16.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，⊙0是△ABC外接圆，点D是圆外一点，DB是⊙0的切线.连接 DO,DO与AB交于点E. 13/34 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 R D 0 (1)求证：∠DBA=∠ACB: (2)若D0⊥AB,BC=2,DE=4,求O0的半径. 【答案】(1)证明：连接OB,如图所示， B D 是 的切线， ·DB⊙O OB⊥DB, ∠DB0=90°， .∠DBA+∠ABO=90°. ..OB=OA, .∠ABO=∠BAO, ∠ABC=90°， ∴.∠BAO+∠ACB=90°， ∴.∠ABO+∠ACB=90°. .∠DBA=∠ACB (2)v5 【详解】(1)略 (2)解：：D0⊥AB,且经过⊙0 :BE=AB, .OA=OC, 1 OE=5BC=。×2=1 2 :DO⊥AB ∴.∠BEO=∠BED=90°， 设⊙0半径OB=r,则在Rt△BEO中，BE2=B02-OE2=r2-1, ∴.在RtADBE中，DB2=BE2+DE2=r2-1+16=r2+15 14/34 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(1)问可知，∠DB0=90°， 在Rt△DB0中，DB2=0D2-0B2=(4+1)}-r2=25-r2 .2+15=25-r2, .r2=5, :r=5或r=-5(舍去). .⊙0半径为V5 ◆题型5垂径定理的实际应用 17.日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形.己知 AC=BD=5cm,AC⊥CD,垂足为C,BD⊥CD,垂足为D,CD=I6cm,⊙O的半径r=10cm,则 圆盘离桌面CD最近的距离是 ●O 图1 图2 【答案】lcm 【详解】 ●O B G D 解：连结AB、OA,过点O作OG⊥CD于G、交AB于E、交⊙O于F, :AC⊥CD、BD⊥CD ∴AC∥BD AC=BD, ∴四边形ABDC是矩形， AB∥CD,AB=CD=16, 15/34 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OG⊥CD, .OG⊥AB,EG∥AC,EG=AC=5, 48=0-0-×16=8, 在直角三角形OAE中，由勾股定理得：OE=VOA2-AE2=V102-82=6, ∴.0G=OE+EG=6+5=11, .OF=OA=10 .FG=0G-OF=11-10=1(cm) 18.如图是一个管道的横截面，圆心0到水面AB的距离OD是3，水面宽AB=6.求这个管道横截面的半 径. 0 D 5☑B 【答案】32 【详解】解：如图，连接OA, D C二B .·AB=6,OD⊥AB .AD=3 OD=3, ∴.△OAD是等腰直角三角形， .在RtaA0D中，A0=√AD2+OD2=V32+32=3V2. ∴.这个管道横截面的半径为32 19.有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画.如图1，大观河上的这座圆弧形 16/34 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拱桥建于上世纪70年代.图2是拱桥的示意图，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米 A 图1 图2 (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，是否要采取 紧急措施？ 【答案】(1)34米 (2)不需要采取紧急措施 【详解】(1)解：连接OA, B B 由题意得：4D=4B=30米，O0=-18米， 在RaAD0中，有r2=302+(-18,解得r=34米： (2)解：连接OA'. OE=OP-PE=30米， ∴.在Rt△AE0中，AE=√AO-OE2=16(米)， .AB=32米. AB=32>30 ·不需要采取紧急措施。 20.《九章算术》是中国古代数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问 题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述 如下：如图，AB是⊙0的直径，弦CD⊥AB于点E,EB=1寸，CD=10寸，求直径AB的长. 17/34 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 九章算术 D 【答案】26寸 【详解】解：连接OC,设OB=OC=r寸. A 是直径， :AB⊥CDAB .EC=ED=。CD=5寸. 在RtCEC0中，则有2=(-)2+52， 解得r=13, .AB=2r=26寸. 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E.若AB=8,OE=3,则⊙0的半径长为() ↑0 E B D A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】D 【详解】解：连接OA 18/34 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C 是 的直径， D .CD⊙0O CD⊥AB 1 六AE=AB .AB=8. ..AE=4. OE=3,CD⊥AB, ..OA=AE2+OE2=42+32=5 2.如下图所示，A,C为⊙0上两点，且AC=OA=2,弦BC⊥OA于D点，则弦BC的长为() D A A.5 B.3 c.25 D.4 【答案】C 【详解】解：AC=OA=2,OC=OA, ∴.△OAC是等边三角形， ∴.∠C0D=60°， BC⊥OA, .∠OCD=30° 1 ∴OD=5OC=1. 2 在Rt△ODC中，根据勾股定理得CD=VOC2-OD2=√3， :BC⊥OA :BC=2CD=23 3.如图，AB为⊙O的直径，BC=BD,∠CDB=24,则∠ACD的度数为() 19/34 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.24° B.660 C.72° D.48° 【答案】B 【详解】解：，AB为⊙O的直径，BC=BD, AB⊥CD .∠CAB+∠ACD=90°， BC=BC, ·∠CAB=∠CDB=24°， :∠ACD=90°-∠CAB=66° 故选：B 二、填空题 4.所学即所用，所用即所得，周末邓紫展同学利用所学测算如图①所示的厨房锅盖直径，图②是其截面 图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为A,B,锅盖直径为4Ocm,锅盖最低点C到AB的距离是 8cm,则AB=】 cm A B 图① 图② 【答案】32 【详解】解：如图，锅盖的圆心为O,OC与AB交于点D,连接OA, B 20134 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由题意知0A=0C=×40=20(cm), CD=8cm'OC⊥AB' :0D=0C-CD=12(cm),∠AD0=90°. ∴在Rta4OD中，AD=VOP-OD2=16(cm), :.AB=2AD=32(cm) 5.如图，两个同心圆，大圆半径为5cm,小圆的半径为4cm,若大圆的弦AB与小圆有两个公共点，则 AB的取值范围是 【答案】6cm<AB≤10cm 【详解】解：设圆心为O,大圆的弦AB与小圆相交，如图. B 当AB是大圆直径时，AB的值最大， 大圆半径为5， ∴最大值为AB=2OA=10 当AB与小圆相切时，AB最小 设切点为C,连接OA,OB,OC, 则OC⊥AB, :∠AC0=90,AC=BC=)AB, :小圆的半径为4， .AC=VOA2-OC2=3, ∴AB=2AC=6 ,大圆的弦AB与小圆有两个公共点，即相交， ∴6<AB≤10 故答案：6cm<AB≤10cm. 21/34 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆的中点，且BC=6cm,点E是AC上的一个动点，连接BE,过 点C作CH⊥BE于点H,连接AH,在点E的运动过程中，AH长度的最小值是 【答案】(3v5-3列cm 【详解】解：连接OC,取BC的中点M,连接AM,过M作MN⊥AB于N, CH⊥BE .∠CHB=90° 又：点E是AC上的一个动点， :.H是以M为圆心，以BC为直径的圆上OC上的动点， 当A,H,M三点共线时，AH长度最小，最小值为AM-MH的值， 点C是半圆的中点， OC⊥AB, .∠B0C=90°， ..BO=OC, .∠0BC=∠0CB=45°， ...BC2 OC2 +OB2 =20B2, ∴.OB=OC= 2Bc=3.2cm. .AB=20B=6v2cm, M是BC的中点， .BC-3cm. :MN⊥AB, 22/34 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠MNB=90°， ∠0BC=45°， ∠OBC=∠OCB=45°， .NB=MN, .MB2 NB2+MN2=2NB2. ∴.NB=MW= MB-35 2 cm, 4W=AB-NB=6N2_32_92 2 cm. ∴.AM=VAN2+MW2 92,32 2 2 .:AM-MH =(3V5-3)cm :4H长度的最小值是(35-3cm, 故答案为：(3W5-3列cm 7.如图，AB为圆0的直径，BC为切线，AC与圆0交于点D'AB=4' AD= 7,则cD的长为 连接CO并延长交圆O于点E,点F为点E下方圆O上一点，且AE=EF,连接FD,则FD的长 为 D B 【答案】 65 9 【详解】解：如图，连接BD,连接AF,交CE于点G,过A作AM⊥DF于点M, 23/34 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B ,AB为圆O的直径， ∴∠ADB=90° 87 2 .BD=AB2-AD2 4v21 7 7 ∠ABD+∠BAD=90° ,BC为圆O的切线， .AB⊥BC ∴.∠ABC=90°，即LABD+∠CBD=90°， ∴.∠BAD=∠CBD ∴.tan∠BAD=tan∠CBD BD CD .AD BD' 4V21 7 CD 8万4W21' 7 7 .CD=6 7, ∴.BC=VBD2+CD =25, ∴.tan∠BOC BC-25-5, OB 2 ∴.∠B0C=∠AOG=60°， .AE EF, .OE⊥AF, AG=GF,∠AG0=90°， 24/34 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴AG=OAsin∠AOG=2× 2 ∴AF=2V3」 ,∠ABD=∠AFD, ∴cos∠ABD=cos∠AFD,sin∠ABD=Sin∠AFD, BD FM AD AM AB-AF AB AF 4v21 87 ..7 FM 4 25’ 4=25 .FM 7 AM=421 ∴.DM=VAD2-AM2 8√7 2 421_4万 7 7 7 .FD=FM+DM= 6√7,4√7107 7 7 67107 故答案为： 7, 7 三、解答题 8.如图，在圆心O的同侧有圆内接四边形ABCD,AB>CD,AB∥CD.点E在BD上，且OE⊥AB, 线段OE、AD的延长线交于点F,连结CE、OB, D (1)求证：CE=DE: (2)求证：∠F=∠OBE: BE 1 OE 3)若AF=2,求EF的值. 【答案】(1) 25/34 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：，AB∥CD,OE⊥AB, OE⊥CD .OE为CD的垂线平分线， .'CE=DE. (2) 证明：如图，连接OA,OD,设OF与⊙0相交于G, G OE⊥AB, ∴.G为AB中点， ∴BG=AG, .∠AOG=∠BOG: :∠D4B=∠B0D=(∠B0G+∠D0G).∠DBA=A0D. ∠FDB=∠B1D+∠DBA=(∠B0G+∠D0G)+∠A0D=∠B0G+∠D0G+∠a0D)=A0B=∠GOB, 即∠FDB=∠GOB. 又∠DEF=∠OEB, .aDEF∽aOEB. ∴.∠F=∠OBE. 1 (3)3 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：连结OA, 26/34 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 由(2)知∠F=∠OBE. OE⊥AB, ..AG=BG .∠AOF=∠EOB. .△AOF∽△EOB, .BE OE OB 1 ·FAOA0F2' 记OA=OB=r, 1 :0E=2,0F=2 ..EF= 1 r I 0E-2 ·EF3 3· 2 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，弧、圆心角、圆周角的关系，相似三角形的判定与性质，线段 垂线平分线的性质.熟练掌握相关性质是解题的关键 9.如图1，摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上旋转，可以从 高处俯瞰四周景色.如图2，该摩天轮的半径为40米，摩天轮的轴点O距离地面的高度为45米，摩天轮 逆时针匀速旋转，每6分钟转一圈，且摩天轮上点P的起始位置在最低点处. 27/34 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P 地面水平线 图1 图2 (1)经过分钟，点P首次到达最高点； (2)第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高吗？请说明理由： (3)(i)画出点P高度h/T关于运动时间t/min的大致图象，并说明理由； ()摩天轮在旋转一周的过程中有m分钟距离地面不低于65米，写出“m"的值或“求m的思路”，（可 用含t的式子表示) 【答案】(1)3 (2)第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高，理由如下： ·摩天轮逆时针匀速旋转，每6分钟转一圈， ∴.摩天轮每分钟旋转360°÷6=60° ∴第4分钟时，点P旋转了60°×4=240°：第8分钟时，点P旋转了60°×8=480°，如图所示： P P P 地面水平线 .∠P0P=360°-240°=120°，∠P0P=480°-360°=120°， ∴∠POP=∠E,OP ∴∠POA=∠P0A, 又：0=B0, :.PB LOA, :平行于地面水平线， ∴第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高。 28/34 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)(i)当t=0时，h=45-40=5m: 当t=1.5时，即点P在x轴正半轴上， .h=45m: 当t=3时，点P到达最高点， ∴.h=45+40=85m, 当t=4.5时，即点P在x轴负半轴上， .h=45m: 当t=6时，点P回到起始最低点， ∴.h=5m: 可列出如下表格： t/min 0 1.5 3 4.5 6 h/m 5 45 85 5 根据表格，在坐标系中描出对应的点，用一条平滑的曲线连接起来，即可得到大致图象，如图所示： y米 9 8 6 40 30 20 10 0123456x :当摩天轮开始转第二圈时，点P会重复第一圈的过程， ∴点P距离地面的高度会呈现周期性变化， ∴.点P高度h/r关于运动时间t/min的大致图象会重复0≤t≤6的这个图象. (i)由(i)可得：当1.5<t<3或3<t<4.5时，点P距离地面的高度才有可能是65米， 设地面水平线为MN,过点P作PDLy轴，PC⊥MN, 当1.5<t<3时，∠D0P=180°-60°，如图所示： 29/34 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 珠 Dh. 、P M 地面水平线 C :.OD=cos∠D0P×OP=40×cos(180°-601)」 :PC=45+0D=45+40×c0s(180°-60r), .45+40×c0s(180°-601)=65 cos0s0-60r）-2 .180°-60°=60°，解得：t=2 当3<t<4.5时，∠D0P=60°-180°，如图所示： .-D M C 地面水平线 :.OD=cos∠D0P×OP=40×cos(60°-180)， :PC=45+0D=45+40×cos(601°-180)， :.45+40×cos(60°-180)=65 :.c0s(60°-180)=2 1 601°-180°=60°，解得：t=4: .当2≤t≤4时，h≥65， .m=4-2=2min, 【详解】(1)解：，点P的起始位置在最低点处， 点P首次到达最高点需要转半圈， 30/34 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,摩天轮转一圈需要6分钟， .点P首次到达最高点需要3分钟. (2)略 (3)略 10.已知△ABC内接于⊙0，AB=AC,E是弧AC的中点，连结OE,交AC于点D,射线AE交BC的延 长线于点F, D 备用图 (1)如图1， ①求证：AC=CF; ②若OA=5,AB=6,求BC的长： (2)若直线OD与直线BC交于点G,且BG=CF,求∠ABC的度数. 【答案】(1) ①证明：：AB=AC, .AB=AC, .OA⊥BC, ∠F+∠0AF=90°， :E是弧AC的中点， .OD⊥AC, ∠CAF+∠OEA=90°， ..OA=OE, ∠OAF=∠OEA, .∠F=∠CAF, ..AC=CF: ②9.6 (2)36°或72 31/34 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)①略 ②解：设BC与OA交于点H,连接OB,如图， E D H G C OA⊥BC .BH=CH-BC. 0A=5, ∴OB=OA=5, 设OH=x,则AH=5-x, OB2-OH2=AB2 AH2=BH2, :52-x2=62-(5-x, .x=1.4, 0H=1.4, BH=VOB2-0H=4.8, BC=2BH=9.6」 (2)解：①点G在线段BC上时，连接AG,如图， E .AC=CF ∠F=∠CAF, 设∠F=∠CAF=a, ∴∠ACB=∠F+∠CAF=2a, :E是弧AC的中点， OD⊥AC,AD=DC, 32/34 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.OE为AC的垂直平分线， ..GA=GC, .∠GAC=∠GCA=2a, ∠AGB=∠GAC+∠GCA=4a, BG=CF,AC=CF,AB=AC, ∴.BA=BG, .∠BAG=∠BGA=4a, .AB=AC, ∠B=∠ACB=2a, :∠B+∠BAG+∠BGA=180°， ∴.2a+4a+4a=180°， a=18°， .∠ABC=2a=36°； ②点G在线段CB的延长线上时，连接AG,如图， D F .AC=CF .∠F=∠CAF, 设∠F=LCAF=x, .∠ACB=∠F+∠CAF=2x, :E是弧AC的中点， OD⊥AC,AD=DC, ∴.OE为AC的垂直平分线， ..GA=GC ·∠GAC=∠GCA=2x, .AB=AC, .∠ABC=∠ACB=2x, .BG=CF,AC=CF,AB=AC, .BA=BG, 33/34 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAG=∠BGA, ∠BAG+∠BGA=∠ABC=2x, .∠BAG=LBGA=x, :∠AGC+∠CAG+∠GCA=180°， .x+2x+2x=180°， x=36° ∠ABC=72°. 综上，∠ABC的度数为36°或72， 34/34