专题08 解直角三角形及其应用（专项训练）数学新教材青岛版九年级上册

**基本信息** 以“解直角三角形”为核心，通过基础计算、非直角转化、构造应用三级题型，结合仰角俯角等实际情境，构建“概念-转化-应用”逻辑链，培养几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解直角三角形|3题型12题|含直角三角形计算、非直角转化、构造直角三角形求边长面积|从直接应用三角函数到通过作高转化非直角三角形，再到不规则图形构造，层层递进| |解直角三角形的应用|3题型12题|涵盖仰角俯角、方位角、坡度坡比等高频实际问题|将解直角三角形方法迁移到现实情境，通过抽象模型培养应用意识与数据观念|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08解直角三角形及其应用 常考题型精准突破 ●考点一解直角三角形●— ◆题型1解直角三角形的相关计算 1.B 【详解】解：：B=4C,∠4=120，得<C-1804=30r 2 :ED⊥AC, ∴∠EDC=90°， RIADEC中，DC=DE tan300-6, :点D为AC中点， 故AC=12 2.3√6-32 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°， ∴.∠ABC=90°-60°=30° 在RtABCD中，∠D=90°，∠CBD=45°， ∠BCD=90°-45°=45°. ~点E在AB,CD上， .∠EBC=∠ABC=30°，∠ECB=∠BCD=45° 过点E作EF⊥BC于点F.设EF=x. B 在RtAEFC中，∠EFC=90°，∠ECB=45° ..CF=EF=x,CE=EF2+CF2=2x. 在Rt△EFB中，∠EFB=90°，∠EBC=30°， 1119 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BF= EF =3x an30 .BC=CF+BF=6, .x+V3x=6 解海g杀1=3认6-小35-3 6 CE=V2x=2(3W5-3=36-3V2 16.1 3.155 【详解】解：如图，延长AE交BC于点G, D A B 2---->G ,E是边CD上靠近点D的三等分点， DE 1 EC2' .BC∥AD ∴.△ADE∽△GCE GCGEC2 AE AD DE 1 ..CG=2AD,EG=2AE BC=2AD .BG=4AD .AD∥BG ∴.△ADF∽AGBF DF AD 1 BFBG4 .BD=4 :BF=4DB=16 5 5 :AB⊥BC.BC∥AD 2119 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ABC=∠BAD=90° AB=2AD,BG=2AB. AD AB 1 AB-BG2 .△ADBAGAB .∠G=∠ABD .∠ABD+∠DBG=∠G+∠DBG=90° ·.∠BFG=90°，即AG⊥BD ∴.tan∠ABD=tan∠ABF AD AF 1 ·.ABBF2 AF-1BF-8 2 5 在RtAABD中，AB=2AD .BD=AD2+AB2 =5AD=4 AD=45 5 在Rt△ABG中，AB=2AD,BG=4AD ∴.AG=V5AB=2V5AD=8 EG=2AE 六AB4G-号 3 ·EF=AE-AF=88_16 3515 4.V2+1 【详解】解：如图，作Rt△ABC,使∠C=90°，∠ABC=45°，再延长CB到点D,使BD=BA,连接AD, D B 则∠D=∠BAD, 又'∠ABC=∠BAD+∠D, 3119 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠D-4c=25, 设AC=t,则BC=t,AB=√2t, :BD =2t :.CD=BC+BD=(+1t, 在R△IDC,m25=mD=-2+业.E+l. AC t ◆题型2解非直角三角形 5.A 【详解】解：过点作AD⊥BC,垂足为D, A B 在△ABC中，∠A=88°，AB=6. ∠B=180°-88°-42°=50°， 在Ra4DB中，sin50= AB' .AD=6sin50°， ,点A到BC的距离为6sin50°， 故选：A. 6.9+3V3/3V3+9 【详解】解：如图所示，作AD⊥BC于D, D C 设AD=x, 1 AD tanC= 3CD .CD=3x, ∠ABC=30°，AB=6, 4119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 cs∠ABC=BD AB' 即5BD 12=6 解得：BD=3V3, 在。4DB中，AD=VAB-BD-V6-B=3, 即：AD=x=3, .CD=3x=9, :BC=BD+DC=33+9, 故答案为：9+3V3 7.2<AB<8 【详解】解：如图，作△ABC的高CD,BE, E 是锐角三角形， B·△ABC .CD,BE在△ABC的内部， .AB>AD,AC>AE. 在Rt△ACD中，∠A=60°，AC=4, AD=AC.cosZA=4× 2， 2 AB>2, AB=AE AC 4 =8 又 cos2A cos∠AI 2 2<AB<8. 故答案为：2<AB<8」 8.(1) 证明：如图2，过点A作AD⊥BC于点D, 5119 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a D 图2 在RtABD中，AD=c.sinB, 在RtAACD中，AD=b·sinC, .'c.sinB=b.sinC. b sinB sinC: (2)50W3m 【详解】(1)略 (2)解：∠BAC=67,∠B=53° .∠C=60° 在△ABC中， AC AB 又：sinBsinC' 80_AB 即0.83， 2 ∴.AB=50W3m ◆题型3构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 9.9 【详解】解：设直角三角形中较短直角边为a,则较长的直角边为a+3, S=a+3+a+3)x2a-4×分×axa+3)-2a2+6a,$=(a+3+a-4分xaxa+3)-2+6u+9, 1 S2-S1=9, 故答案为：9. 10.3+1 【详解】解：如图，延长AB、DC相交于点E,过点A作AF⊥CD于点F, 6119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B BC=CD,∠BCD=90°， .∠CDB=∠CBD=45°， .∠ABD=∠BCD=90°，∠DAB=60°， ∴.∠ADB=30° .∠ADE=30°+45°=75°， .∠DAF=90°-75°=15°， .∠FAB=60°-15°=45°， :,△AFE,△BCD,△BCE是等腰直角三角形， 设AB=a,则AD=2a,BD=BE=√5a,AE=AB+BE=(N5+la, CE-BE= 2 2 2 ∴FC=EF-EC= (6+2)a√6a2 a, 22 √6+√2 tan∠ACD=AF 2=5+1, FC √2 a 2 故答案为：V3+1. 【点睛】本题考查解直角三角形.正确的添加辅助线，构造直角三角形，熟记直角三角形的边角关系，是 解题的关键。 11.20 【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D,过点B作水平线的垂线，垂足为点E, 7119 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B : D C 水平线 由题意得：AB=3×10=30(m),∠ACE=75,∠BCE=30,AB1CE, ∴.∠ACB=∠ACE-∠BCE=45°，∠ABC=∠BCE=30°， 在AHBD中，4D-方AB=15n,BD=B.es∠AC-15N5n 在RtACD中，CD=D =15m, tan∠ACB .BC=BD+CD=15V3+15)m. 在RCE中，BE-8C-15y店+1520m. 即这架无人机的飞行高度大约是20m, 故答案为：20 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键. 12.4 【详解】解：如图所示，过点B作BD⊥AC于点D, D B ”AB=3,sinA=BD2 AB3' BD=2, 24CxBD= .S.ABC= *4×2=4 —·考点二解直角三角形的应用· 8119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型1仰角俯角问题 13.D 【详解】解：如图，过A作水平线OC的垂线，垂足为C,过B作BD⊥CO于D,过A作AE⊥BD于E, B》 ∴.∠AED=∠EDC=∠ACD=90°. ∴四边形AEDC为矩形， :.AC=DE, .∠A0C=a,A0=24, .'AC=40.sina=24sina, .∠BOD=B,B0=24,∠BD0=90°， .BD=BO.sin B=24sin B .BE BD-DE BD-AC =24sin B-24sin a 14.C 【详解】解：如图，过A作AE⊥BD于E, A40° 根据题意， 得AC⊥CD,BD⊥CD,∠BAE=40°，CD=52m,AC=10m ∴四边形ACDE是矩形， .'AE=CD=52m,DE=AC=10m, 在RIABE中，tan∠BAE=B AE :.BE=AE·tan∠BAE=52tan40m, BD=BE+DE =(52tan 40+10)m. 9119 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即灵霄塔的高度是(52tan40°+10)m】 15.天舟三号从A处到B处的平均速度约为293米/秒 【详解】解：由题意可得：∠APD=30°，∠BPD=45°，AP=6千米，∠BDP=90°， 在RtAAPD中， :∠APD=30°，AP=6千米，∠ADP=90°， PD cos∠APD=os30°=PA' 六AD=号4P=3千米，PD=P4xs30e=6x5=35(千米)， 在RtABPD中， ”∠BPD=450,PD=3N3千米，∠BDP=90, tan∠BPD=tan45°=BD PD' .BD=PDtan45°=35（千米）， .AB=BD-AD=3V3-3=5.196-3=2.196(千米)=2196米， 则天舟三号从4处到B处的平均速度约为：2196÷7.5=293（米/秒）， 答：天舟三号从A处到B处的平均速度约为293米/秒. 16.AD≈37.4m 【详解】解：过点A作AE⊥CD于E,如图所示： 139.8o 26.6° ---dE 777777777777 地面 .∠ABC=∠BCD=∠AEC=∠AED=90°， ∴，四边形ABCE为矩形， ∴.CE=AB=14.4m, ERa4Cg甲，C4g=2669,亚CE144 -tan26.6°-0.5 =28.8(m), 在RA4DE甲，D4E=3989,D证288 ≈37.4(m). c0s39.8°0.77 10/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型2方位角问题 17.A 【详解】解：过点B作BM⊥AC于点M, M 北 B 西 平东 .∠CMB=∠BMA=90°，BM=200m :当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上，10s后，动车车头到达C处，恰好位于B处的 西北方向上， .∠ABM=60°，∠CBM=45°， ∴CM=BM.tan45°=200m,AM=BM.tan60°=200W3m, :CA=CM+AM=200+2005(m), 这列动车的平均车速 200+2005=201+5)(m/s). 10 18. 28.2 【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D, 北 DP B 22 设CD=x海里， 在RtABCD中，灯塔C在B港的东北方向， .∠CBD=45 ,BD=CD=X海里，BC=。=√2x海里 sin45° 在RiAACD中，∠A=22,AD=AB+BD=(30+x)海里， 11/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 tan A=CD AD· .tan22°= x 30+x 即0.40≈x 30+x 解得x≈20 .BC=√2x≈1.41×20=28.2（海里）. 故灯塔C与B港之间的距离约为28.2海里. 19.该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离约为22海里 【详解】解：由题意，得AB=20×3=60海里，∠CAB=90°-60°=30°，∠ABC=90°-45°=45°， 过点C作CD⊥AB于点D, 北 45 B ,∴.∠ADC=∠BDC=90° 在R4CD中，AD=CD =3CD tan30° 在RtACDB中，∠ABC=45°， .BD=CD :AB=60海里， ∴V3CD+CD=60, 解得CD≈22海里. 答：该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离约为22海里， 20.(1)A,C的距离约为30海里 (2)缉私艇所用时间是2小时 【详解】(1)解：在△ABC中，∠B=37°，∠BAC=53°」 .∠ACB=180°-37°-53°=90°」 在Rt△ABC中，cos∠BAC=4C AB 12/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :4C=AB-c0s5350x2-30(海里）， 5 ∴.A,C的距离约为30海里： (2)解：延长DC交AB于点M,由题意得CM⊥AB, 37° M D 53 Q 76° 在R△AMC中，CM=AC-sin53P=30x24c海里)， MM=AC.cos53°≈30×-18（海里）， 在Rt△AMD中，tan76°≈4. .DM=AM.tan76°≈18×4=72（海里）， .CD=DM-CM=72-24=48(海里)， 48 .24 2(小时)， 答：缉私艇所用时间是2小时. ◆题型3坡度坡比问题 21.A 【详解】解：∠ACB=90°，坡度i为1：1.2， 4C、1 BC1.2' .:BC=60cm, .AC=50cm. 22.2V3 【详解】解：根据题意可知∠BAC=30°，BC=V3m,BC⊥AC, 在Rt△BC中，sin∠BAC=BC AB' sin30°= AB' 13/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :1-5 2AB' .AB=25, 即坡面AB的长度是2V3m」 23.小亮沿垂直方向上升了51.5米 【详解】解：如图，过点C作CF⊥AD,垂足为F,过点E作EG⊥BD,垂足为G, B E 5°d D 由题意得四边形CFDG是矩形， ..CF=DG 在直角三角形ACF和直角三角形BEG中， c、sin∠BEG=BG :sin∠A=C B· sinl5°=CF 100、si10°=BG 150’ ∴CF=100×sin15°≈100×0.26=26=DG、BG=150×sin10°≈150×0.17=25.5， .BD=BG+DG=26+25.5=51.5(米). 答：小亮沿垂直方向上升了51.5米 24.(1)该坡道不符合标准要求，理由如下： 在Rt△ABC中，an∠BAC=BC AC .tan140= C ≈0.25 4.8 解得BC≈1.2(m)」 1.2_1_5、1 而4.842020' 该坡道坡度大于国家标准，不符合标准要求； (2)小红设计的方案图符合标准，理由如下： 过点D作DG⊥BC于点G, 14/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D G E 图③ 由题意得，在RtEDF中，DF=0.8m,EF=16m, .tan∠DEF= DF_0.81 EF1620 ∴坡道ED符合标准 .∠F=∠C=∠DGC=90°， ∴.四边形DFCG是矩形， .CG=DF=0.8m,DG=CF=EF+CE=16+2=18(m), .BG=BC-CG=1.2-0.8=0.4(m), 六在R△BDG中，an∠BDG=BC-04-1<L DG1845201 坡道DB符合标准， 又，CF=18<20,满足地面要求， 小红设计的方案图符合标准。 【详解】(1)略 (2)略 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.B 二、填空题 2.3v5 3.68.3 4. 6W5 5 5.20v6 6.8 15/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 7. 【答案】(1) 射线BM为所求， A B (2)3W2+V6 【详解】(1)解：在△ABC中，∠A=75°，∠C=45°， .∠ABC=180°-∠A-∠C=60°， 又：sin∠MBC= 2’ .∠MBC=30°， .MB平分∠ABC, 如图，作∠ABC的角平分线BM交AC边于点M (2)过点M作MH⊥BC,垂足为H, A :∠MBC=30°，BM=2V6, :MH=BM.sin∠MBC=26x}=V6」 BH-BM-COs ZMBC=2x =32, .CH=_ H 6 =6, an∠Ctan45o ∴.BC=BH+CH=3v2+√6 8. 【详解】(1) 16119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A H 如图，过点A作AH⊥BC于H, ,AB=AC,AH⊥BC ∴BH=CH=4,∠B=∠C, ∴.tan∠B=tan∠C= AH 3 B=4 .AH=3,AB AC=AH2 +BH2 =3+4=5, “当点P在BC上时，点P到A的最短距离为3 (2)如图1中，∠APQ=∠B」 .PQ∥BC .△APQ∽△ABC ,PO将△ABC的面积分成上下4：5， SAAPC AP24 :.SABC AB=9 AP 2 AB3' :AP=10 Γ3 (3)∠APC=∠B+∠BAP=∠APQ+∠CPg,∠APQ=∠B, .∠BAP=∠CPQ ∠B=∠C, .△ABP∽△PCQ, AB BP :CP CO' 5 设BP=x'小8-x3 解得=3或x2=5 所以BP的长为3或5 17/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 【详解】(1)解：过点F作FG⊥EC于G, 450 0 60 30P G C E 依题意知FG∥DE,DF∥GE,∠FGE=90°， ∴四边形DEGF是矩形， .FG=DE, 在Rt△CDE中， DE=CE:tan∠DCE=6×tan30°=2√3（米）， ∴点F到地面的距离为2W3米； (2)解：斜坡CF的坡度i=1:1.5=FG:CG, .Rt△CFG中，CG=1.5FG=23x1.5=35(米)， :FD=EG=(3V5+6)米. .∠AFD=45°，∠ADF=90° .∠AFD=∠FAD=45°， ,AD=FD=3V3+6. 在Rt△BCE中，BE=CE·tan∠BCE=6×tan60°=6N3(米)， .AB=AD+DE-BE=3V5+6+2N3-63=6-V3≈4.3（米）. 答：宣传牌的高度约为4.3米. 10. 【详解】解：如图，过A作AD1P№，垂足为D,延长BC交P于点E. 18/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 斜坡 的坡度 ED AP i=5:12 .AD:DP=5:12」 设AD=5k,DP=12k, AP=V5k)}+(12k=13k, 又AP=26」 .k=2, .·.AD=10 由题意得∠BAC-76°，BC⊥AC,AC∥PQ tan76°=L=bL≈4，解得BC≈20 AC 5 AD⊥PQ,BC⊥AC, ∴.∠ADE=∠ACE=90°， :AC∥PQ、 .∠ACE+∠CED=180, 又：∠ACE=90°， ∴∠CED=90°， ∴四边形ADEC为矩形， ∴.AD=CE=10 .BE=BC+CE=20+10=30 ∴.建筑物顶部B到P2的距离为30.0m. 19/19 专题08 解直角三角形及其应用 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形 题型1解直角三角形的相关计算（重） 题型2解非直角三角形 题型3构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 考点二 解直角三角形的应用 题型1仰角俯角问题（高频） 题型2方位角问题 题型3坡度坡比问题（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形 ◆题型1解直角三角形的相关计算 1．如图，在中，，，中点为D，上点E满足，若，则的长为（     ） A． B．12 C． D．4 2．将一副三角尺按如图所示的位置放置，已知，与交于点，则线段的长为____________． 3．如图，在四边形中，且，，是边上靠近点的三等分点，，相交于点．若，则的长为_________． 4．新定义  如图，图中提供了一种求的方法．作，使，，再延长到点D，使，连接，即可得．如果设，则可得，则．用以上方法，则________． ◆题型2解非直角三角形 5．如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，则的长为___________． 7．在中，，．若是锐角三角形，则边长的取值范围是________． 8．阅读下列材料： (1)如图1，在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：； (2)如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求的长（结果保留根号．参考数据：，） ◆题型3构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 9．如图，将两直角边边长之差为3的四个全等直角三角形分别拼成一个长方形和一个正方形，中间空白部分面积分别记作，，则________． 10．如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为______． 11．如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，同时在地面C处分别测得A处的仰角为，B处的仰角为．则这架无人机的飞行高度大约是_______（，结果保留整数） 12．如图，在中，已知，，，求的面积． 考点二 解直角三角形的应用 ◆题型1仰角俯角问题 13．如图所示，“五一”期间小苏在瓯江口放风筝，已知风筝线长固定为24米，当风筝到达A点时，测得此时仰角为，n秒后，风筝到达B点，测得此时仰角为“”，测得风筝在这n秒内上升的高度为（     ）米 A． B． C． D． 14．为保护和研究河北文化遗产，某研学小组打算测量灵霄塔的高度．如图，嘉嘉在与塔相距的楼顶A处测得灵霄塔塔顶B的仰角为，已知楼高，那么，灵霄塔的高度是（     ） A． B． C． D． 15．北京时间2021年9月20日15时10分，长征七号遥四运载火箭搭载天舟三号货运飞船，在海南文昌航天发射场成功发射。当天22时08分，天舟三号成功对接于空间站天和核心舱后向端口，为即将发射的神舟十三号载人飞船送去可支持3名航天员6个月的在轨驻留物资、空间站备份设备、空间科学载荷等诸多货物。在某一时刻，天舟三号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角为，此时A、P两点的距离为6千米；它沿铅垂线上升7.5秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角为，求天舟三号从A处到B处的平均速度．（结果精确到，取，） 16．甲乙两栋垂直地面的楼房、，工作人员在A处测得C点俯角，测得D点仰角，已知，求的长．参考数据：，，，，， ◆题型2方位角问题 17．如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 18．如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为____________海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，） 19．近年来，为保护和修复海洋渔业资源，我国实施海洋伏季休渔制度．9月下旬，南海海域伏季休渔期结束后，渔民们奔赴南海开启新一轮的捕鱼事业．一艘渔船以每小时20海里的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东方向，3小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西方向，求该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离．（结果精确到整数，参考数据：，） 20．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为50海里，在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东的方向上，位于哨所B南偏东的方向上． (1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； (2)若观察哨所A发现走私船从C处以24海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，若缉私艇在D处恰好成功拦截，求缉私艇拦截走私船所用时间． （参考数据：，，，） ◆题型3坡度坡比问题 21．水坝是人类治水的重要工程，类型多样．图1为某重力坝模型，图2为其横断面示意图，已知背水坡的坡度i为，坝底的水平宽度为，则背水坡的铅直高度为（     ） A． B． C． D． 22．如图，河坝横断面迎水坡的坡角是，坝高，则坡面的长度是________m． 23．如图，小亮从A地出发去B地，先沿着坡角为的坡道向前走了100米到C地，再沿着水平方向走了一段距离到E地，最后沿着坡角为的坡道向前走了150米到B地，求小亮沿垂直方向上升了多少米？（图中所有点均在同一平面内，，．参考数据：，，，，，） 24．项目课题：设计无障碍坡道． 项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于．如图①是小红所在学校的无障碍坡道． 项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度米，坡角．为检测该坡道是否符合国家标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计． 任务： (1)如图②，根据已知数据，求出铅直高度的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由； (2)如图③，受地面条件限制，该坡道方向能用的水平宽度只有米．小红设计了一个“回转坡道”的方案示意图：在处安装支柱米，在处留米的通道，入口为点，经过两个坡道与再到达点，且米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说明理由：如果不符合，请提出修改建议．（参考数据：，，） 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知：如图，在中，是边上的高，为边的中点，，，．则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 2．如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则________． 3．如图，某海警船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西方向，海警船航行到B处时望见渔船D在南偏东方向，又航行了一小时到达C处，望见渔船D在南偏东方向，若海警船的速度为25海里/时，则A，B之间的距离为________海里．（，结果精确到0.1海里） 4．如图，在中，，点D在上，且，连接，过点A作．垂足为点F，点E为中点，连接EF，若，则的长为_____． 5．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西方向上，则灯塔C与码头B的距离是____海里．（结果保留根号） 6．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形．已知迎水坡面米，背水坡面米，，加固后拦水坝的横断面为梯形，加固后背水坡面的坡度为，则的长为________米． 三、解答题 7．在中，，． (1)求作射线，交边于点M，使．（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若线段长为，求边长． 8．如图1和图2，在中，，，，点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持 (1)当点在上时，求点与点的最短距离； (2)若点在上，且将的面积分成上下两部分时，求的长； (3)当在上，且，求的长； 9．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为，同时测得教学楼窗户D处的仰角为（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度的斜坡从C走到F处，此时正好与地面平行． (1)求点F到直线的距离（结果保留根号）； (2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为，求宣传牌的高度（结果精确到0.1米，，）． 10．如图，在坡顶的处的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物，某同学沿着坡度为的斜坡攀行米到达了点，点距建筑物底端为米，在坡顶处又测得该建筑物的顶端的仰角为，求建筑物顶部到的距离（精确到）．（参考数据：，，） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 解直角三角形及其应用 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形 题型1解直角三角形的相关计算（重） 题型2解非直角三角形 题型3构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 考点二 解直角三角形的应用 题型1仰角俯角问题（高频） 题型2方位角问题 题型3坡度坡比问题（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形 ◆题型1解直角三角形的相关计算 1．如图，在中，，，中点为D，上点E满足，若，则的长为（     ） A． B．12 C． D．4 【答案】B 【详解】解：，，得， ， ， 中，， 点D为中点， 故． 2．将一副三角尺按如图所示的位置放置，已知，与交于点，则线段的长为____________． 【答案】 【详解】解：在中，，， ． 在中，，， ． 点在，上， ，． 过点作于点．设． 在中，，， ，． 在中，，， ． ， ． 解得． ． 3．如图，在四边形中，且，，是边上靠近点的三等分点，，相交于点．若，则的长为_________． 【答案】/ 【详解】解：如图，延长交于点， ∵是边上靠近点的三等分点， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ 在中， ∴ ∵ ∴ ∴ 4．新定义  如图，图中提供了一种求的方法．作，使，，再延长到点D，使，连接，即可得．如果设，则可得，则．用以上方法，则________． 【答案】 【详解】解：如图，作，使，，再延长到点D，使，连接， 则， 又， ， 设，则，， ， ， 在中，． ◆题型2解非直角三角形 5．如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点作，垂足为D， 在中，， ， 在中，， ， ∴点A到的距离为． 故选：A． 6．如图，在中，，则的长为___________． 【答案】/ 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 7．在中，，．若是锐角三角形，则边长的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：如图，作的高，， 是锐角三角形， ，在的内部， ，， 在中，，， ， ， 又， ， 故答案为：． 8．阅读下列材料： (1)如图1，在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：； (2)如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求的长（结果保留根号．参考数据：，） 【答案】(1) 证明： 如图， 过点作于点， 在中， ， 在中， ， ∴， ； (2) 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 在中， 又∵， 即， ∴． ◆题型3构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 9．如图，将两直角边边长之差为3的四个全等直角三角形分别拼成一个长方形和一个正方形，中间空白部分面积分别记作，，则________． 【答案】9 【详解】解：设直角三角形中较短直角边为a，则较长的直角边为， ，， ， 故答案为：9． 10．如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为______． 【答案】 【详解】解：如图，延长、相交于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，是等腰直角三角形， 设，则，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，同时在地面C处分别测得A处的仰角为，B处的仰角为．则这架无人机的飞行高度大约是_______（，结果保留整数） 【答案】20 【详解】解：如图，过点作于点，过点作水平线的垂线，垂足为点， 由题意得：，， ， 在中，，， 在中，， ， 在中，， 即这架无人机的飞行高度大约是， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． 12．如图，在中，已知，，，求的面积． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，, ∴， ∴． 考点二 解直角三角形的应用 ◆题型1仰角俯角问题 13．如图所示，“五一”期间小苏在瓯江口放风筝，已知风筝线长固定为24米，当风筝到达A点时，测得此时仰角为，n秒后，风筝到达B点，测得此时仰角为“”，测得风筝在这n秒内上升的高度为（     ）米 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过作水平线的垂线，垂足为，过作于，过作于， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 14．为保护和研究河北文化遗产，某研学小组打算测量灵霄塔的高度．如图，嘉嘉在与塔相距的楼顶A处测得灵霄塔塔顶B的仰角为，已知楼高，那么，灵霄塔的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过A作于E， 根据题意，得，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 即灵霄塔的高度是. 15．北京时间2021年9月20日15时10分，长征七号遥四运载火箭搭载天舟三号货运飞船，在海南文昌航天发射场成功发射。当天22时08分，天舟三号成功对接于空间站天和核心舱后向端口，为即将发射的神舟十三号载人飞船送去可支持3名航天员6个月的在轨驻留物资、空间站备份设备、空间科学载荷等诸多货物。在某一时刻，天舟三号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角为，此时A、P两点的距离为6千米；它沿铅垂线上升7.5秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角为，求天舟三号从A处到B处的平均速度．（结果精确到，取，） 【答案】天舟三号从A处到B处的平均速度约为293米/秒 【详解】解：由题意可得：，，千米，， 在中， ∵，千米，， ∴， ∴千米，（千米）， 在中， ∵，千米，，， ∴（千米）， ∴（千米）米， 则天舟三号从处到处的平均速度约为：（米/秒）， 答：天舟三号从处到处的平均速度约为293米/秒． 16．甲乙两栋垂直地面的楼房、，工作人员在A处测得C点俯角，测得D点仰角，已知，求的长．参考数据：，，，，， 【答案】 【详解】解：过点A作于E，如图所示： ∴， ∴四边形为矩形， ， 在中，，， 在中，，． ◆题型2方位角问题 17．如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点作于点， ∴， 当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上， ，， ，， ， 这列动车的平均车速为． 18．如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为____________海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，） 【答案】 28.2 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点． 设海里， 在中， 灯塔在港的东北方向， ． 海里，海里． 在中，，海里． ， ． 即． 解得． （海里）． 故灯塔与港之间的距离约为海里． 19．近年来，为保护和修复海洋渔业资源，我国实施海洋伏季休渔制度．9月下旬，南海海域伏季休渔期结束后，渔民们奔赴南海开启新一轮的捕鱼事业．一艘渔船以每小时20海里的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东方向，3小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西方向，求该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离．（结果精确到整数，参考数据：，） 【答案】该渔船在航行过程中与小岛的最近距离约为22海里 【详解】解：由题意，得海里，，， 过点作于点， ， 在中，， 在中，， ． 海里， ， 解得海里． 答：该渔船在航行过程中与小岛的最近距离约为22海里． 20．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为50海里，在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东的方向上，位于哨所B南偏东的方向上． (1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； (2)若观察哨所A发现走私船从C处以24海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，若缉私艇在D处恰好成功拦截，求缉私艇拦截走私船所用时间． （参考数据：，，，） 【答案】(1)，C的距离约为30海里 (2)缉私艇所用时间是2小时 【详解】（1）解：在中，，， ， 在中，， （海里）， ，C的距离约为30海里； （2）解：延长交于点M，由题意得， 在中，（海里）， （海里）， 在中，， （海里）， （海里）， （小时）， 答：缉私艇所用时间是2小时． ◆题型3坡度坡比问题 21．水坝是人类治水的重要工程，类型多样．图1为某重力坝模型，图2为其横断面示意图，已知背水坡的坡度i为，坝底的水平宽度为，则背水坡的铅直高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，坡度i为， ， ， ． 22．如图，河坝横断面迎水坡的坡角是，坝高，则坡面的长度是________m． 【答案】 【详解】解：根据题意可知，，， 在中，， ， ， ， 即坡面的长度是． 23．如图，小亮从A地出发去B地，先沿着坡角为的坡道向前走了100米到C地，再沿着水平方向走了一段距离到E地，最后沿着坡角为的坡道向前走了150米到B地，求小亮沿垂直方向上升了多少米？（图中所有点均在同一平面内，，．参考数据：，，，，，） 【答案】小亮沿垂直方向上升了米 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得四边形是矩形， ， 在直角三角形和直角三角形中， 、， 、， 、， （米）． 答：小亮沿垂直方向上升了米． 24．项目课题：设计无障碍坡道． 项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于．如图①是小红所在学校的无障碍坡道． 项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度米，坡角．为检测该坡道是否符合国家标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计． 任务： (1)如图②，根据已知数据，求出铅直高度的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由； (2)如图③，受地面条件限制，该坡道方向能用的水平宽度只有米．小红设计了一个“回转坡道”的方案示意图：在处安装支柱米，在处留米的通道，入口为点，经过两个坡道与再到达点，且米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说明理由：如果不符合，请提出修改建议．（参考数据：，，） 【答案】(1)该坡道不符合标准要求，理由如下： 在中，， ∴, 解得， 而， ∴该坡道坡度大于国家标准，不符合标准要求； (2)小红设计的方案图符合标准，理由如下： 过点作于点， 由题意得，在中，，， ∴， ∴坡道符合标准； ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴坡道符合标准， 又∵，满足地面要求， ∴小红设计的方案图符合标准． 【详解】（1）略 （2）略 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知：如图，在中，是边上的高，为边的中点，，，．则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 2．如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则________． 【答案】 【详解】解：如图，过点作交延长线于，则， ，， ， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．如图，某海警船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西方向，海警船航行到B处时望见渔船D在南偏东方向，又航行了一小时到达C处，望见渔船D在南偏东方向，若海警船的速度为25海里/时，则A，B之间的距离为________海里．（，结果精确到0.1海里） 【答案】68.3 【详解】过点D作于H，则， 由题意可知A、B、C三点在同一条东西向直线上． 在A处望见D在南偏西， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 在B处望见D在南偏东， 同理，也是等腰直角三角形，． ∴， ∴． 已知海警船速度为25海里/时，从B航行1小时到C， ∴海里． ∵在C处望见D在南偏东， ∴， 在中，， 即． 又∵， ∴ ， 整理得， 解得． ， 代入， 得（海里）． 4．如图，在中，，点D在上，且，连接，过点A作．垂足为点F，点E为中点，连接EF，若，则的长为_____． 【答案】 【详解】解：在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，2， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西方向上，则灯塔C与码头B的距离是____海里．（结果保留根号） 【答案】 【详解】解：如图， 由题意可得，，，（海里）， ， ． 过点B作于点F，如图： 在中，， （海里）， 在中，， （海里）． 即灯塔C与码头B的距离是海里． 6．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形．已知迎水坡面米，背水坡面米，，加固后拦水坝的横断面为梯形，加固后背水坡面的坡度为，则的长为________米． 【答案】8 【详解】解：如图，过作交于点，过作交于点， 在中，（米）， ∵四边形是梯形， ∴四边形为矩形， （米）， 在中，由勾股定理得， （米）， 在中，（米）， ∴（米）， 三、解答题 7．在中，，． (1)求作射线，交边于点M，使．（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若线段长为，求边长． 【答案】(1) 射线为所求． (2) 【详解】（1）解：∵在中，，． ∴， 又∵， ∴， ∴平分， 如图，作的角平分线交边于点M； （2）过点M作，垂足为H， ∵，， ∴， ， ∴， ∴ 8．如图1和图2，在中，，，，点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持 (1)当点在上时，求点与点的最短距离； (2)若点在上，且将的面积分成上下两部分时，求的长； (3)当在上，且，求的长； 【答案】(1)3 (2) (3)3或5 【详解】（1） 如图，过点作于， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∴当点在上时，点到的最短距离为3 （2）如图1中，∵， ∴， ∴， ∵将的面积分成上下， ∴， ∴， ∴， （3）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，∴ 解得或 所以的长为3或5 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，利用分类讨论思想和特殊位置求长度是本题的关键． 9．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为，同时测得教学楼窗户D处的仰角为（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度的斜坡从C走到F处，此时正好与地面平行． (1)求点F到直线的距离（结果保留根号）； (2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为，求宣传牌的高度（结果精确到0.1米，，）． 【答案】(1)米 (2)4.3米 【详解】（1）解：过点作于， 依题意知，，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中， (米)， ∴点到地面的距离为米； （2）解：∵斜坡的坡度， ∴中，(米)， ∴米． ∵，， ∴， ∴． 在中，(米)， ∴(米)． 答：宣传牌的高度约为4.3米． 10．如图，在坡顶的处的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物，某同学沿着坡度为的斜坡攀行米到达了点，点距建筑物底端为米，在坡顶处又测得该建筑物的顶端的仰角为，求建筑物顶部到的距离（精确到）．（参考数据：，，） 【答案】 【详解】解：如图，过作，垂足为,延长交于点． 斜坡的坡度， ． 设，， ， 又， ， ． 由题意得，， ，解得． ，， ， ， , 又， ， 四边形为矩形， , ． 建筑物顶部到的距离为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $