专题07 锐角三角函数（专项训练）数学新教材青岛版九年级上册

**基本信息** 聚焦锐角三角函数核心考点，以题型分类构建从概念理解到综合应用的训练体系，强化数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |锐角三角函数|6题型（24题）|涵盖求三角函数值、已知值求边长、比较大小等，结合格点、坐标系、实际情境|从定义（对边/邻边/斜边）到性质（同角、互余关系），构建“概念-性质-应用”逻辑链| |特殊角三角函数值|3题型（14题）|包含混合运算、判断三角形形状、求角度，涉及30°/45°/60°计算|以特殊角值为桥梁，连接代数运算与几何判定，体现数学语言表达的精准性|

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07锐角三角函数 常考题型精准突破 ●考点一锐角三角函数 ◆题型1求角的三角函数值 1.A 【详解】解：如图，取格点M,连接BM,则∠AMB=90°， D A、B、C、D四个点均在格点上， ∴.tanA= 1 2.20.5 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1,AC=V3, 由勾股定理得：AB=√BC2+AC2=VP+(W3)}=V1+3=2, 根据锐角三角函数的定义可得：sin4=BC-{ AB2· 3.D 【详解】解：：点B(5,12),BC⊥x轴，垂足为C, 1/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 0 C OC=5,BC=12,∠0CB=90° 由勾股定理得OB=√52+12=13，故选项A错误： 根据锐角三角函数定义： sim0=BC、12 OB13,故选项B错误： COS0=OC5 OB13,故选项C错误； BC 12 tan 0C5,故选项D正确. 4.A 【详解】解：由题可得图， .在Rt△ABC中，∠C=90,BC=12,AC=9, ∴由勾股定理得AB=√AC2+BC2=V92+122=√225=15， 根据余弦定义可得cosA=4C=93 AB1551 ◆题型2已知三角函数值求边长 5.c 【详解】解：如图， 2/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ”∠C=90°， tanA=BC、3 AC4 ∴设BC=3x,AC=4x :AB=10,由勾股定理，AC2+BC2=AB2, .(3x)+(4x)=102 解得x=-2(舍)或x=2, .BC=3x=6」 故选：C. 6.C 【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D, D ..AB=AC=6, .'BC=2BD. .'CosB=BD2 AB 3 .BD=4, .BC=8 7.A 【详解】解：，在Rt△ABC中，∠C=90°， .sin A=BC AB· ”AB=15’ sin4=4 Γ5 BC 4 .155’ 3/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :Bc=15×g12, 5 故选：A 8.A 【详解】解：：AC表示的是地面，BC表示的是图书馆， .AC⊥BC, △ABC为直角三角形， .BC=ACtan25°=32tan25°（米）. 故选：A. ◆题型3已知角度比较三角函数值的大小 9.B 【详解】解：如图， A B >C 在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=a,则LA=90°-a, ∴.cosC=cosa= BC H,snA=sim9o°a)光 .cosa=sin(90°-a). :.cos43°=sin(90°-43）=sin47°，cos60°=sin(90°-60）)=sin30° ,在0°<<90°范围内，正弦函数值随角度增大而增大，且29°<30°<45°<47°， .sin29°<sin30°<sin45°<sin47°， 即sin29°<cos60°<sin45°<cos43° 故选：B 10.D 【详解】解：30°<40<45， .tan30°<tan40°<tan45°， 5 即 <tan40°<1. 故选：D. 4/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.A 【详解】解：因为三角函数值与对应边的比值有关，所以各边的长度都扩大5倍后，锐角A的各三角函数 值没有变化， 故选：A. 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握三角函数值的大小只与角的大小是解题的关键。 12.> 【详解】解：在锐角三角函数中，正切值随角度的增加而增加， 35>22°， .tan35°>tan22°： 故答案为：>. ◆题型4根据三角函数值判断锐角的取值范围 13.A 【详解】解：“a是锐角，且sim30° 2,又：当a为锐角时，sina随角度的增大而增大， ∴由sina>2可得a>30, ,锐角满足a<90°， ∴.30°<a<90° 14.D 1 【详解】解~2c0s60 ,sin80°=cosl0°， 1 :由2cos<sin80°可得cos60°<cosa<c0s10° 在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小， .10°<a<60°， 故选：D 【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值及余弦函数的性质比较角度大小，熟练掌握特殊角的三角函数 值性质是解决问题的关键. 15.C 1 【详解】解：：cos60° 2,cos450=V2 2 5/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 岭 当2<cosa<2时，45°<a<60 只有C在范围内， 故选：C 16.-1<m<1 【详解】解：因为为锐角， 所以0<cosa<1, 即0<1m<1 2 解不等式0<1-m ，得：m<1 1-m1,得m>' 解不等式 所以m的取值范围是-1<m<1. 故答案为：-1<m<1. ◆题型5利用同角三角函数关系求值 17.C 【详解】解：根据锐角三角函数的定义可知，∠B的大小确定后，∠B的三角函数值与边长无关，固定不变， .Rt△ABC的边长扩大两倍，cotB的值不变， 故选：C. 【点睛】此题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的性质是解题的关键. 8.号 【详解】解：sina= 3, 是锐角， .'cosa=v1-sin2a 3 3 3 sina 3 ∴.tana= cosa√6 2 故答案为： v② 2 6/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【点睛】本题考查三角函数，解题的关键是掌握正弦函数、余弦函数、正切函数之间的关系. 19.58°/58度 【详解】解：，tana.tan32°=l, .a+32°=90°， .a=58 故答案为：58°」 【点睛】本题考查了互为余角的三角函数的关系，掌握“互为余角的两个角的正切相乘等于1”是解题的关 键. 20.(1)28cm (2)21cm (3)12个 【详解】(1)解：，AB=CD=35cm, ∴.在RtA CDE中，CE=CD-sin53°=35×0.8=28cm. (2)解：在RtA CDE中，ED=CD-cos53°=35x0.6=21cm (3) y E 解：如图，∠DFG=∠CDE=53°， 已知BG=60cm,ED=21cm, 设每个档案盒厚度为xcm, 则DG=-DF.sin53°=0.8x, 有7x+21+0.8x=60 解得x=5】 60:5=12(个)， ◆题型6互余两角三角函数的关系 21.B 7/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：(sinA)+(cosA)}=1, 故选B 【点睛】本题考查锐角三角函数的性质，熟练掌握正弦函数与余弦函数的平方和等于1的性质是解题关键 1 22.3 BC 1 【详解】解：.sinA= AB 3' .'cos B= BC 1 AB 3 1 故答案为：3： 23. 5 【详解】解：如图，∠B=90°， 'sina=5 5 BC5 AC=5’ .∠C+a=90°， .90°-a=∠C, 即cos(90°-a)=cosC-BC-5 AC 5 5 故答案为： 5 1 24.5 【详解】解：，∠C=90°， 8114 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠A和∠B互余， cotB=tand=I 1 故答案为：5· ●考点二特殊的三角函数值●一 ◆题型1特殊角三角函数值的混合运算 25.V2 12反+2=2. 【详解】解：原式=互+22+2 十 26.(2- 2 (2)1 【详解】(1)解：(2sin30)+lcos30°-1， 1+1 2 23 2: (2)解：9tan230°-2V3sin60°+V2cos45°， 2 2 =9x兮5x5+1, =3-3+1, =1. 3 27.(1) (2)3V5-1 9114 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：2sin30°-3tan45°+cos60° =2×-3×1+。 `2 1 =1-3+ 2 (2)解：2sin60°+4cos60°.tan60°-2cos245° -2*545-2 2 2 =V3+25-1 =3V3-1. 28.(1)5-V3 a明 (3)1 c0s45 【详解】(1)解：sin45 +2sin60,tan60°-1 tan30+tan45 -1+2x 3x5-5+1 =1+3-V5+1 =5-5: (2)解：sin45°.cos45°+4tan30°，sin60° 22,4x5 +4× 22 32 2 5 2 (3)解：c0s60°-2sin2450+名am260°-sin30e 3 2 1 1 -1+2- 2 2 10/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =1. ◆题型2由特殊角的三角函数值判断三角形形状 29.D 【详解】解：~(tanB-V3)2sinA-V3)=0, am8-5=0或2sin4-5=0:即an8=5或血4= 2 ∠B=60°或∠A=60°， △ABC有一个角是60° 30.等边 【详解]解：在。Bc中，∠4'∠B部是锐角，血4： 2’tanB=V3, .∠A=60°，∠B=60°， .∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-60°=60°， .aABC的三个内角都是60°， 因此△ABC是等边三角形. 31.等腰直角 【详解】解：由cosA- 2 +(1-tanB}=0可得 cosA =0,1-tan B=0, 即cosA= √2 2,tan B=1, 解得：∠A=45°，∠B=45°，则∠C=90°， ∴△ABC为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角。 32.直角三角形 【详解】解：：sm4- 2 sin 4- 2=0,cosB-5 =0 2 sin 4=3 2,cosB= 2, 11/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠A,∠B为锐角， ∴.∠A=60°，∠B=30°， .∠C=180°-∠A-∠B=90°. ∴△ABC是直角三角形. ◆题型3根据特殊角三角函数值求角的度数 33.B 【详解】解：：c0s45°= 2’a 为锐角， .a-10°=45°. .a=55」 34.A 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C为直角， .tan B=4C=2 3 BC6 3 .∠B=30° 35.105 【详解】解析： sina- 2 +(tanB-l)}2=0, ∴.sina= 3 2 tan B=1' .a=60°， B=45° 则0+B=60°+45°=105° 故答案为：105 36.105 【详解】解：am4-川+(-si血驴=0， ∴.tanA-1=0’2 -sin B=0. 1 .tan4=1'sin= :∠A、∠B为锐角， ∴∠A=45°，∠B=30°， 12/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠C=180°-∠A-∠B=105°， 故答案为：105 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.D 2.D 3.C 4.C 5.A 6.B 二、填空题 7 7. 4 40 8.8或24 9 三、解答题 10. 【f解】d)解，cms60号sn4545m30 +2x2+5 X 222 3 1.1 221 =2 (2)解：sin'60°-2sin60°+1-1-tan60 =9-21-1- 及51-5-0 13/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3-5+1-3+1 -25 24 (3)解：2cos245°+tan60°-2sin30°cos30° -2x3y+5-2x5x5 22 1* 2· 14/14 专题07 锐角三角函数 常考题型·精准突破 考点一 锐角三角函数 题型1求角的三角函数值（重） 题型2已知三角函数值求边长 题型3已知角度比较三角函数值的大小 题型4根据三角函数值判断锐角的取值范围 题型5利用同角三角函数关系求值 题型6互余两角三角函数的关系 考点二 特殊角的三角函数值 题型1特殊角三角函数值的混合运算（高频） 题型2由特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型3根据特殊角三角函数值求角的度数 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 锐角三角函数 ◆题型1求角的三角函数值 1．如图，已知A、B、C、D四个点均在格点上，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 2．在中，，，，那么的值是________． 3．在平面直角坐标系中有一点，过点B作x轴的垂线，垂足为C，连接，设射线与x轴正半轴的夹角为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 4．在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． ◆题型2已知三角函数值求边长 5．在中，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 6．如图，在中，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D． 7．在中，，则的长为（   ） A．12 B．10 C．9 D．8 8．学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已知彩旗绳与地面形成角（即），彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则的长度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 ◆题型3已知角度比较三角函数值的大小 9．以下四个三角函数值中，最大的是（   ） A． B． C． D． 10．若，则的正切值h的范围是（   ） A． B． C． D． 11．在中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（    ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定 12．_____（填“或”）． ◆题型4根据三角函数值判断锐角的取值范围 13．已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．已知，则锐角的取值范围是（ 　） A． B． C． D． 15．若锐角满足，则锐角的度数可能为（   ） A． B． C． D． 16．若为锐角，且，则的取值范围是______． ◆题型5利用同角三角函数关系求值 17．的边长扩大两倍，那么的值（    ） A．变大原来的两倍； B．小为原来的一半； C．不变； D．不能确定． 18．已知，是锐角，则________. 19．如果，那么________． 20．如图，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点在书架底部，顶点靠在书架右侧，顶点靠在档案盒上，若书架内侧长为，，档案盒长度．（参考数据：，，） (1)求点到书架底部距离的长度； (2)求长度； (3)求出该书架中最多能放几个这样的档案盒． ◆题型6互余两角三角函数的关系 21．在RtΔABC中，若∠C=90°，cosA=，则sinA的值为（     ） A． B． C． D． 22．已知，如图，在中，，若，则______． 23．已知锐角满足，则______． 24．已知中，，，则________． 考点二 特殊的三角函数值 ◆题型1特殊角三角函数值的混合运算 25．计算： 26．计算 (1)； (2)． 27．计算： (1)． (2)． 28．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． ◆题型2由特殊角的三角函数值判断三角形形状 29．在中，，均为锐角，且，则一定是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．有一个角是的三角形 30．在中，、都是锐角，，，则是______三角形． 31．在中，若，，都是锐角，则是___________三角形． 32．在中，若（其中，为锐角），则的形状是___________． ◆题型3根据特殊角三角函数值求角的度数 33．已知锐角满足，则锐角的度数是（     ） A． B． C． D． 34．在中，为直角，，，则（     ） A． B． C． D． 35．已知a，β均为锐角，且满足，则_______°． 36．在中，、为锐角，且，则____． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．在中，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．下列式子中，不成立的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，梯子（长度不变）和地面所成的锐角为．关于的正切值与梯子的倾斜程度的关系，下列叙述正确的是（   ） A．的值越大，梯子越缓 B．的值越小，梯子越陡 C．的值越大，梯子越陡 D．梯子的倾斜程度与的正切值无关 4．下列说法中，正确的是（   ） A． B．若，则 C．若为锐角，，则 D．在中，锐角的两个邻边都扩大5倍，则也扩大5倍 5．如图，在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形ABCD中，，，将沿AC折叠到的位置，交AD于点E，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．__；若，则锐角__． 8．已知在中，，，过点A作边上的高，垂足为点D，且，则的面积为______． 9．如图，，分别是中，边上的高，，，则__________________． 三、解答题 10．计算： (1)； (2)； (3)． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 锐角三角函数 常考题型·精准突破 考点一 锐角三角函数 题型1求角的三角函数值（重） 题型2已知三角函数值求边长 题型3已知角度比较三角函数值的大小 题型4根据三角函数值判断锐角的取值范围 题型5利用同角三角函数关系求值 题型6互余两角三角函数的关系 考点二 特殊角的三角函数值 题型1特殊角三角函数值的混合运算（高频） 题型2由特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型3根据特殊角三角函数值求角的度数 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 锐角三角函数 ◆题型1求角的三角函数值 1．如图，已知A、B、C、D四个点均在格点上，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，取格点M，连接，则， ∵A、B、C、D四个点均在格点上， ∴． 2．在中，，，，那么的值是________． 【答案】/ 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 根据锐角三角函数的定义可得：． 3．在平面直角坐标系中有一点，过点B作x轴的垂线，垂足为C，连接，设射线与x轴正半轴的夹角为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 点，轴，垂足为， ∴ ，， 由勾股定理得 ，故选项A错误； 根据锐角三角函数定义： ，故选项B错误； ，故选项C错误； ，故选项D正确． 4．在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题可得图， ∵在中，，，， ∴由勾股定理得 ， 根据余弦定义可得 ． ◆题型2已知三角函数值求边长 5．在中，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：如图， ∵，， ∴ 设，， ∵，由勾股定理，， ∴， 解得（舍）或， ∴． 故选：C． 6．如图，在中，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】C 【详解】解：过点A作于点D， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 7．在中，，则的长为（   ） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A 8．学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已知彩旗绳与地面形成角（即），彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则的长度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：表示的是地面，表示的是图书馆， ， 为直角三角形， （米）. 故选：A. ◆题型3已知角度比较三角函数值的大小 9．以下四个三角函数值中，最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， 在中，，则， ∴， ∴， ∴，， ∵在范围内，正弦函数值随角度增大而增大，且， ∴， 即． 故选：B． 10．若，则的正切值h的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， 即 故选：D． 11．在中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（    ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定 【答案】A 【详解】解：因为三角函数值与对应边的比值有关，所以各边的长度都扩大5倍后，锐角A的各三角函数值没有变化， 故选：A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握三角函数值的大小只与角的大小是解题的关键． 12．_____（填“或”）． 【答案】 【详解】解：在锐角三角函数中，正切值随角度的增加而增加， ， ； 故答案为：． ◆题型4根据三角函数值判断锐角的取值范围 13．已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是锐角，且，又∵当为锐角时，随角度的增大而增大， ∴由可得， ∵锐角满足， ∴． 14．已知，则锐角的取值范围是（ 　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，， 由可得， 在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小， ， 故选：D． 【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值及余弦函数的性质比较角度大小，熟练掌握特殊角的三角函数值性质是解决问题的关键． 15．若锐角满足，则锐角的度数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ， ∴当时，． 只有C在范围内， 故选：C． 16．若为锐角，且，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：因为为锐角， 所以， 即． 解不等式，得：． 解不等式，得． 所以m的取值范围是． 故答案为：． ◆题型5利用同角三角函数关系求值 17．的边长扩大两倍，那么的值（    ） A．变大原来的两倍； B．小为原来的一半； C．不变； D．不能确定． 【答案】C 【详解】解：根据锐角三角函数的定义可知，的大小确定后，的三角函数值与边长无关，固定不变， ∴的边长扩大两倍，的值不变， 故选：C. 【点睛】此题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的性质是解题的关键． 18．已知，是锐角，则________. 【答案】 【详解】解：，是锐角， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角函数，解题的关键是掌握正弦函数、余弦函数、正切函数之间的关系． 19．如果，那么________． 【答案】/58度 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了互为余角的三角函数的关系，掌握“互为余角的两个角的正切相乘等于1”是解题的关键． 20．如图，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点在书架底部，顶点靠在书架右侧，顶点靠在档案盒上，若书架内侧长为，，档案盒长度．（参考数据：，，） (1)求点到书架底部距离的长度； (2)求长度； (3)求出该书架中最多能放几个这样的档案盒． 【答案】(1) (2) (3)12个 【详解】（1）解：∵AB＝CD＝35cm， ∴在RtCDE中，CE＝CD·sin53°＝35×0.8＝28cm． （2）解：在RtCDE中，ED＝CD·cos53°＝35×0.6＝21cm． （3） 解：如图，∠DFG＝∠CDE＝53°， 已知BG＝60cm，ED＝21cm， 设每个档案盒厚度为x cm， 则DG＝DF·sin53°＝0.8 x， 有7x＋21＋0.8 x＝60 解得x＝5． 60÷5＝12（个）． 【点睛】本题重点考查三角函数，理解题意、熟练运用相关知识点是解题的关键． ◆题型6互余两角三角函数的关系 21．在RtΔABC中，若∠C=90°，cosA=，则sinA的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， 故选B ． 【点睛】本题考查锐角三角函数的性质，熟练掌握正弦函数与余弦函数的平方和等于1的性质是解题关键． 22．已知，如图，在中，，若，则______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 23．已知锐角满足，则______． 【答案】 【详解】解：如图，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 24．已知中，，，则________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴和互余， ∴． 故答案为：． 考点二 特殊的三角函数值 ◆题型1特殊角三角函数值的混合运算 25．计算： 【答案】 【详解】解：原式． 26．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 27．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 28．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． ◆题型2由特殊角的三角函数值判断三角形形状 29．在中，，均为锐角，且，则一定是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．有一个角是的三角形 【答案】D 【详解】解：， 或，即或， 或， 有一个角是． 30．在中，、都是锐角，，，则是______三角形． 【答案】等边 【详解】解：在中，，都是锐角，，， ，， ， 的三个内角都是， 因此是等边三角形． 31．在中，若，，都是锐角，则是___________三角形． 【答案】等腰直角 【详解】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 32．在中，若（其中，为锐角），则的形状是___________． 【答案】直角三角形 【详解】解：∵， ∴，， ，， ，为锐角， ，， ， 是直角三角形． ◆题型3根据特殊角三角函数值求角的度数 33．已知锐角满足，则锐角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，为锐角， ∴， ∴． 34．在中，为直角，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在中，为直角， ∴， ． 35．已知a，β均为锐角，且满足，则_______°． 【答案】105 【详解】解析：∵， ∴ ，， ∴，， 则． 故答案为： 36．在中，、为锐角，且，则____． 【答案】 【详解】解：， ，， ，， 、为锐角， ，， ， 故答案为： 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．在中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图： ∵在中，，， ∴设，， 由勾股定理得：， 在中， ． 故选：D． 2．下列式子中，不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，A中式子成立，故不符合题意； 如图， ∵， ∴ ∴B中式子成立，故不符合题意； ∵， ∴ ∴C中式子成立，故不符合题意； ∵， ∴，D中式子不成立，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，互余两角三角函数的关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确的计算． 3．如图，梯子（长度不变）和地面所成的锐角为．关于的正切值与梯子的倾斜程度的关系，下列叙述正确的是（   ） A．的值越大，梯子越缓 B．的值越小，梯子越陡 C．的值越大，梯子越陡 D．梯子的倾斜程度与的正切值无关 【答案】C 【详解】解：根据锐角三角函数的变化规律，知的值越大，越大，梯子越陡． A、的值越大，梯子越陡，原说法错误，不符合题意； B、的值越小，梯子越缓，原说法错误，不符合题意； C、的值越大，梯子越陡，说法正确，符合题意； D、梯子的倾斜程度与的正切值有关，原说法错误，不符合题意； 故选： C． 4．下列说法中，正确的是（   ） A． B．若，则 C．若为锐角，，则 D．在中，锐角的两个邻边都扩大5倍，则也扩大5倍 【答案】C 【详解】解：A、三角函数的度数不能直接相加，A错误； B、α为锐角时，，所以当时，，B错误； C、，设对边为，邻边为，则斜边为，所以，C正确； D、在中，等于角A的邻边与斜边的比值，当两边都扩大5倍时，另外一条直角边也扩大了5倍，比值不变，所以不变，D错误． 故选：C． 5．如图，在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示： 在中，，，则设， 由勾股定理可得， 则， 故选：A． 6．如图，在矩形ABCD中，，，将沿AC折叠到的位置，交AD于点E，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， 由折叠的性质可得， ，即， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，即， ． 二、填空题 7．__；若，则锐角__． 【答案】 40 【详解】解： ； ，为锐角， ， ， 故答案为：，40． 8．已知在中，，，过点A作边上的高，垂足为点D，且，则的面积为______． 【答案】8或24 【详解】解：当是锐角三角形时，如图1， ，， ， ， ， ； 当是钝角三角形时，如图2， ，， ， ， ， ， 综上，的面积为8或24． 9．如图，，分别是中，边上的高，，，则__________________． 【答案】 【详解】解：，分别是中，边上的高， ， ，， ， ，，， ∴， ， ． 三、解答题 10．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $