第29章 三角初步（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材沪教版九年级上册

**基本信息** 2026-2027学年九年级上册数学第29章“三角初步·基础通关”单元卷，以90分钟100分的题量，覆盖三角函数定义、解直角三角形及应用，结合智能机器人、收割机等科技情境，适配单元复习，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/18|三角函数性质、解直角三角形|如第5题探测器俯角问题，体现几何直观| |填空题|12/24|特殊角计算、网格面积、函数旋转|第17题裂缝采样，融合量感与运算能力| |解答题|8/58|作图、综合应用（机器人爬坡、收割机拨禾轮）|第26题收割机情境，培养模型意识与应用能力|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第29章 三角初步·基础通关 建议用时：90分钟，满分：100分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．在中，， 各边都扩大5倍， 则锐角A的三角函数值（     ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定 2．在中，为直角，，，则（     ） A． B． C． D． 3．如图，中，，则的面积是（    ） A． B．12 C．14 D．21 4．如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（    ） A． B． C． D． 5．如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（     ）（其中，计算结果精确到） A． B． C． D． 6．如图，人字梯、的长都为2米．当时，人字梯顶端离地面的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 C．两个钝角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．计算：_________. 8．在中，，若，则_____． 9．在中，若，为锐角，且，的形状是___________三角形． 10．在中，若两直角边a，b满足，则三角形中最小的角的正切值是________． 11．如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为____________________． 12．如图，在中，，，点D是上一点，且，，则的长为______ 13．直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是______． 14．已知在中，，，过点A作边上的高，垂足为点D，且，则的面积为______． 15．如图，在中，，，，点O是边的中点，点P是边上一动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转，使点O的对应点D落在边上，连接，若为直角三角形，则的长为______． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A．将直线绕点A逆时针旋转得到直线，设直线与y轴的交点为B，则______． 17．如图，一辆高为0.54米的智能摇杆车驶入夹角为的裂缝进行采样，则智能车无法采样的距离为___________．（注：，，） 18．如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔的高度．具体过程如下：如图2，将无人机上升至距水平地面的处，测得龟山电视塔顶端的仰角为，底端的俯角为，则龟山电视塔的高度约是_________（结果取整数，参考数据：，，）． 三、解答题（本大题共8小题，第19~25每小题7分，第26题9分，共58分） 19． 解答下列各题∶ (1)化简求值∶ (2)在中，，化简． 20．如图．在中，于点D，若． (1)求的长； (2)求的值． 21．如图，在中， (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作，使得是以为底的等腰三角形，且点D在延长线上．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，已知：，求的底边上的高及的值． 22．如图，在中，，是边的延长线上一点，是边上一点，且． （1）求证：； （2）作于点，并连结．若，，求的面积． 23．如图，已知矩形中，E是的中点，于点F，连接交于点G． (1)若，求的长； (2)若，求的值； 24．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． (1)在图①中以线段为边画，使点C在格点上，且； (2)如图②中以线段为边画，； (3)如图③中以线段为边画，使，． 25．近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广泛．某台机器人能轻松爬上坡角不超过的斜坡．如图，坡角为的斜坡长，铅直高度长，．该机器人一定能爬上斜坡吗？请判断并说明理由． （参考数据：，） 26．2026年夏，我国多地冬小麦丰收．为助力“科学收粮，颗粒归仓”，青玄若梦数学“综合与实践”活动小组开展收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究活动，部分内容已记录如下： 活动主题 收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究 活动准备 1．查阅有关资料； 2．准备皮尺、测角仪等测量工具． 采集信息 收割机的前端装置包含拨禾轮、支撑臂和割台等，拨禾轮的侧面是正五边形．图1是收割机前端部分装置侧面示意图： 1．点是拨禾轮中心，是拨禾轮支撑臂； 2．，，； 3．，，； 4．收割作业前，． 设计方案 为减少小麦漏收情况，收割作业时需要将拨禾轮下降，使拨禾轮最低点与割台之间的垂直距离保持在之间． 确定方案：绕点旋转拨禾轮支撑臂，将拨禾轮下降，使． 图2是拨禾轮下降后部分装置侧面示意图： 1．，，点，，在一条直线上，； 2．，，的长度保持不变． 根据以上信息，解决下列问题（图中所有点在同一平面内，参考数据：，，，）： (1)求图1中的长； (2)求图2中的长，并判断小组所设计的方案是否可行． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第29章 三角初步·基础通关 建议用时：90分钟，满分：100分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．在中，， 各边都扩大5倍， 则锐角A的三角函数值（     ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数，根据锐角的度数确定，锐角的三角函数值为定值，即可得出结果． 【详解】解：由题意，可知，各边都扩大5倍，锐角A的度数不变， ∴锐角A的三角函数值不变； 故选A． 2．在中，为直角，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，然后利用特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：在中，为直角， ∴， ． 3．如图，中，，则的面积是（    ） A． B．12 C．14 D．21 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的知识，作出，求得相关线段的长度是解决问题的关键． 根据已知作出三角形的高线，进而得出，，，的长，即可得出三角形的面积． 【详解】解：过点作， ∵中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ 故选C． 4．如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形的应用．利用三角函数的定义分别求得，，，利用新钢架减少用钢，代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵等边，于点D，长， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴新钢架减少用钢 ， 故选：D． 5．如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（     ）（其中，计算结果精确到） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据俯角的定义及平行线的性质得出 ，在 中，利用正弦函数的定义 即可求出的长，最后代入近似值计算即可． 【详解】解：由题意可知，水平视线与地面平行， 在 中，，， ， ． 6．如图，人字梯、的长都为2米．当时，人字梯顶端离地面的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：由题意可知，则为直角三角形， 在中，，，， ， ． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．计算：_________. 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂和特殊角的三角函数值，由负整数指数幂和特殊角的三角函数值进行化简，即可求出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 8．在中，，若，则_____． 【答案】30 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，灵活运用特殊角的三角函数值求角度是解题的关键． 由，则，即，再根据特殊角的三角函数值即可解答． 【详解】解：∵， ∴． ∵在中，， ∴， ∴． 故答案为30． 9．在中，若，为锐角，且，的形状是___________三角形． 【答案】等边 【分析】先根据非负数的性质得到，再根据特殊角三角函数值求出的度数，然后根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ，， ， 的形状是等边三角形． 10．在中，若两直角边a，b满足，则三角形中最小的角的正切值是________． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质及正切的定义．根据非负数的性质求出的值，根据根据大角对大边，小角对小边，得到最小的角，利用正切的定义解答即可． 【详解】解：∵两直角边a，b满足， ∴，即， ∴， ∵， ∴三角形中最小的角为， ∴， 故答案为：． 11．如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为____________________． 【答案】 【分析】设，证明，可求得，根据的面积为，得到，求得，解方程得，根据勾股定理可得，从而可得的值． 【详解】解：如图，在图中标注，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为，网格图中每个小正方形的面积都是， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，，（舍去）， ∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握以上性质． 12．如图，在中，，，点D是上一点，且，，则的长为______ 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，解一元二次方程．作的外接圆，作的直径，作于点，利用圆周角定理求得，证明四边形是矩形，推出，利用垂径定理结合圆周角定理求得，求得，证明，利用相似三角形的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：作的外接圆，作的直径，作于点，连接，，，如图， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 整理得， 解得(负值已舍)， 故答案为：． 13．直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是______． 【答案】 【分析】根据题意可求得与坐标轴的交点A和点B，可得，结合旋转得到，则，求得，即得点C坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式． 【详解】解：依题意画出旋转前的函数图象和旋转后的函数图象，如图所示∶    设与y轴的交点为点B， 令，得；令，即， ∴， ， ∴，， 即 ∵直线绕点A逆时针旋转，得到直线， ∴，， ∴， 则点， 设直线的解析式为，则 ，解得， 那么，直线的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点、直线的旋转、解直角三角形以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是找到旋转后对应的直角边长． 14．已知在中，，，过点A作边上的高，垂足为点D，且，则的面积为______． 【答案】8或24 【分析】根据题意可知，这个要分情况讨论，讨论高是在内部还是外部，根据正切值和面积计算即可． 【详解】解：当是锐角三角形时，如图1， ，， ， ， ， ； 当是钝角三角形时，如图2， ，， ， ， ， ， 综上，的面积为8或24． 15．如图，在中，，，，点O是边的中点，点P是边上一动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转，使点O的对应点D落在边上，连接，若为直角三角形，则的长为______． 【答案】或3 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识点，先利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，当时，如图1，过P点作于E点，于F点，计算，再根据旋转的性质得到，则利用等腰三角形的性质得到，接着证明四边形为矩形，得出，然后在中利用含30度角的直角三角形三边的关系可求出的长；当时，如图2，过P点作于E点，在中，先求出，则，接着证明四边形为矩形得到，然后计算即可，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵点O是边的中点， ∴， 当时，如图1，过P点作于E点，于F点， 在中， ∵， ∴， ∵线段绕点P顺时针旋转，使点O的对应点D落在边上， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴； 当时，如图2，过P点作于E点， 在中， ∵， ∴， ∵线段绕点P顺时针旋转，使点O的对应点D落在边上， ∴ ， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 综上所述，的长为或3． 故答案为：或3． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A．将直线绕点A逆时针旋转得到直线，设直线与y轴的交点为B，则______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形，令直线与轴交于点，求出得出，再结合旋转的性质可得，最后解直角三角形即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：令直线与轴交于点， ∵直线：， ∴当时，，即， 当时，，解得，即， ∴， ∴， ∵将直线绕点A逆时针旋转得到直线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17．如图，一辆高为0.54米的智能摇杆车驶入夹角为的裂缝进行采样，则智能车无法采样的距离为___________．（注：，，） 【答案】米 【分析】利用正切函数定义即可解答． 【详解】解：由题意可知，为直角三角形，且，，米， 在中，， （米）， 即智能车无法采样的距离为 2 米． 18．如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔的高度．具体过程如下：如图2，将无人机上升至距水平地面的处，测得龟山电视塔顶端的仰角为，底端的俯角为，则龟山电视塔的高度约是_________（结果取整数，参考数据：，，）． 【答案】 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点作，垂足为， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ， 龟山电视塔的高度约为． 三、解答题（本大题共8小题，第19~25每小题7分，第26题9分，共58分） 19． 解答下列各题∶ (1)化简求值∶ (2)在中，，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，二次根式化简，熟练掌握三角函数定义，是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值，进行求解即可； （2）根据，再根据二次根式性质进行化简即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵中，， ∴，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∴ ， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 综上分析可知：． 20．如图．在中，于点D，若． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确求出的长是解题的关键． （1）直接在中根据正切的定义求解即可； （2）先求出的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵在中，， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 21．如图，在中， (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作，使得是以为底的等腰三角形，且点D在延长线上．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，已知：，求的底边上的高及的值． 【答案】(1) 如图所示： ； (2)边上的高为， 【分析】（1）作得垂直平分线与得延长线交于点D，连接即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，设，根据勾股定理及线段的和差得出，，，建立方程求解即可得出，运用等面积法求出边上的高，然后根据正弦的概念即可得出答案． 本题考查了作垂直平分线、等腰三角形的性质、勾股定理以及求一个角的正弦值，熟练掌握性质定理和概念是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵是以为底的等腰三角形， ， 设， ， ，，， ， 解得 即， 即， 则边上的高， 则边上的高， ， 故答案为：． 22．如图，在中，，是边的延长线上一点，是边上一点，且． （1）求证：； （2）作于点，并连结．若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）的面积是 【分析】（1）由可知，结合，判定即可得证． （2）过点作于点，由等腰三角形三线合一知，， 由条件，进一步得到，再由，得到，求得,得到，结合代入求解，即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， 即， ， ， ． （2）解：如图，过点作于点， ， ，， 又∵， ，即， ， ， ， ， ， ，则， 由（1）得， ， ， 的面积是． 【点睛】本题考查三角形的相似性质和判定，锐角三角函数，两直线平行判定等相关知识点，牢记知识点是解题关键． 23．如图，已知矩形中，E是的中点，于点F，连接交于点G． (1)若，求的长； (2)若，求的值； 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定由性质、正方形的判定与性质、三角函数定义、三角形面积等知识，熟练掌握菱形的判定由性质、正方形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键． （1）证明，得出，即可得出答案； （2）延长交的延长线于H，连接、，证明，得出，证出，得出，证明四边形是菱形，得出，，，得出，求出，得出，求出，得出，由等腰三角形的性质得出，即可得出答案； 【详解】（1）解：∵E是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：延长交的延长线于H，连接、，如图2所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 24．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． (1)在图①中以线段为边画，使点C在格点上，且； (2)如图②中以线段为边画，； (3)如图③中以线段为边画，使，． 【答案】(1)如图：即为所求； (2)如图：即为所求； (3)如图：即为所求； 【分析】本题考查作图应用与设计作图，正切的定义，解题的关键是掌握网格的特征，作出符合条件的图形． （1）取格点，连接，，使为等腰直角三角形，此时，故为所求； （2）取格点，连接交格线于，连接，是等腰直角三角形，可得，，得出，，所以，故即为所求； （3）取格点，，，连接，交的延长线于点，连接， 可得，即，四边形是平行四边形，且其面积等于9，所以的面积等于，故即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 25．近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广泛．某台机器人能轻松爬上坡角不超过的斜坡．如图，坡角为的斜坡长，铅直高度长，．该机器人一定能爬上斜坡吗？请判断并说明理由． （参考数据：，） 【答案】一定能，理由如下： 在中，，， ， ， ， 该机器人一定能爬上斜坡． 【分析】根据正弦函数的定义计算，求出，与比较，结合题意即可得出结论． 【详解】略 26．2026年夏，我国多地冬小麦丰收．为助力“科学收粮，颗粒归仓”，青玄若梦数学“综合与实践”活动小组开展收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究活动，部分内容已记录如下： 活动主题 收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究 活动准备 1．查阅有关资料； 2．准备皮尺、测角仪等测量工具． 采集信息 收割机的前端装置包含拨禾轮、支撑臂和割台等，拨禾轮的侧面是正五边形．图1是收割机前端部分装置侧面示意图： 1．点是拨禾轮中心，是拨禾轮支撑臂； 2．，，； 3．，，； 4．收割作业前，． 设计方案 为减少小麦漏收情况，收割作业时需要将拨禾轮下降，使拨禾轮最低点与割台之间的垂直距离保持在之间． 确定方案：绕点旋转拨禾轮支撑臂，将拨禾轮下降，使． 图2是拨禾轮下降后部分装置侧面示意图： 1．，，点，，在一条直线上，； 2．，，的长度保持不变． 根据以上信息，解决下列问题（图中所有点在同一平面内，参考数据：，，，）： (1)求图1中的长； (2)求图2中的长，并判断小组所设计的方案是否可行． 【答案】(1) (2)，小组所设计的方案可行 【分析】（1）解得出，根据题意得四边形是矩形，进而求得的长； （2）解得出，进而求得的长，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， 在中， 依题意，四边形是矩形， ∴ （2）解：在中， ∴ 依题意，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴小组所设计的方案可行． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第29章 三角初步·基础通关 建议用时：90分钟，满分：100分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．在中，， 各边都扩大5倍， 则锐角A的三角函数值（     ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定 2．在中，为直角，，，则（     ） A． B． C． D． 3．如图，中，，则的面积是（    ） A． B．12 C．14 D．21 4．如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（    ） A． B． C． D． 5．如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（     ）（其中，计算结果精确到） A． B． C． D． 6．如图，人字梯、的长都为2米．当时，人字梯顶端离地面的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．计算：_________. 8．在中，，若，则_____． 9．在中，若，为锐角，且，的形状是___________三角形． 10．在中，若两直角边a，b满足，则三角形中最小的角的正切值是________． 11．如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为____________________． 12．如图，在中，，，点D是上一点，且，，则的长为______ 13．直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是______． 14．已知在中，，，过点A作边上的高，垂足为点D，且，则的面积为______． 15．如图，在中，，，，点O是边的中点，点P是边上一动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转，使点O的对应点D落在边上，连接，若为直角三角形，则的长为______． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A．将直线绕点A逆时针旋转得到直线，设直线与y轴的交点为B，则______． 17．如图，一辆高为0.54米的智能摇杆车驶入夹角为的裂缝进行采样，则智能车无法采样的距离为___________．（注：，，） 18．如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔的高度．具体过程如下：如图2，将无人机上升至距水平地面的处，测得龟山电视塔顶端的仰角为，底端的俯角为，则龟山电视塔的高度约是_________（结果取整数，参考数据：，，）． 三、解答题（本大题共8小题，第19~25每小题7分，第26题9分，共58分） 19． 解答下列各题∶ (1)化简求值∶ (2)在中，，化简． 20．如图．在中，于点D，若． (1)求的长； (2)求的值． 21．如图，在中， (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作，使得是以为底的等腰三角形，且点D在延长线上．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，已知：，求的底边上的高及的值． 22．如图，在中，，是边的延长线上一点，是边上一点，且． （1）求证：； （2）作于点，并连结．若，，求的面积． 23．如图，已知矩形中，E是的中点，于点F，连接交于点G． (1)若，求的长； (2)若，求的值； 24．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． (1)在图①中以线段为边画，使点C在格点上，且； (2)如图②中以线段为边画，； (3)如图③中以线段为边画，使，． 25．近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广泛．某台机器人能轻松爬上坡角不超过的斜坡．如图，坡角为的斜坡长，铅直高度长，．该机器人一定能爬上斜坡吗？请判断并说明理由． （参考数据：，） 26．2026年夏，我国多地冬小麦丰收．为助力“科学收粮，颗粒归仓”，青玄若梦数学“综合与实践”活动小组开展收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究活动，部分内容已记录如下： 活动主题 收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究 活动准备 1．查阅有关资料； 2．准备皮尺、测角仪等测量工具． 采集信息 收割机的前端装置包含拨禾轮、支撑臂和割台等，拨禾轮的侧面是正五边形．图1是收割机前端部分装置侧面示意图： 1．点是拨禾轮中心，是拨禾轮支撑臂； 2．，，； 3．，，； 4．收割作业前，． 设计方案 为减少小麦漏收情况，收割作业时需要将拨禾轮下降，使拨禾轮最低点与割台之间的垂直距离保持在之间． 确定方案：绕点旋转拨禾轮支撑臂，将拨禾轮下降，使． 图2是拨禾轮下降后部分装置侧面示意图： 1．，，点，，在一条直线上，； 2．，，的长度保持不变． 根据以上信息，解决下列问题（图中所有点在同一平面内，参考数据：，，，）： (1)求图1中的长； (2)求图2中的长，并判断小组所设计的方案是否可行． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第29章三角初步·基础通关（参考答案） 一、 选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 题号 1 2 3 4 6 答案 A D A 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7.-2 8.30 9.等边 5 10.12 6-2 11.4 -1+V5 12.2 13.y=5x-5 14.8或24 4. 15.3或3 16.25 17.2米 18.221 三、解答题（本大题共8小题，第1925每小题7分，第26题9分，共58分） 19 tan60°-tan45°sin45° 【详解】(1)解：sin60°+c0s30°cos45° sin30° 2 5-12,1 3,5应+2 222 -51-1+ 3 1分 1/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 3 -1-51+ 1 3 2 5,1 + 32.….2分 (2)解：△ABC中，∠C=90°， ..sin A=BC AB, CosA=4C AB' sin24+cos24= BC 4C)2 BC2+AC2 AB AB AB2, 根据勾股定理得：AB2=BC2+AC2, sin2 4+cos2 4= BC2+AC2 AB2 AB2 4B2=1 v1-2cos Asin A =sin2 4+cos2 4-2cos Asin A =V(sin 4-cos 4)2 =sin A-cosA …2分 当0°<∠A<45°时，sinA<cosA,则 sin A-cos A cos A-sin A 当∠A=45°时，sin4=c0sA,则simA-cosA=0 当45°<∠A<90°时，sinA>cosA,则 sin A-cos A=sin A-cos A 2/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 cosA-sinA(0°<∠A<45) 1-2cos Asin A=0(24=45) 综上分析可知： 2 sinA-cosA(45°<∠A<90） 分 20. 【详解】(1)解：，AD⊥BC, ∠ADC=90°， :在Rt△4DC中，anC=AD=2, CD CD=)4D=)x4=2 1 1 2 2 ….3分 (2)解：由(1)得CD=2, .BD=BC-CD=6-2=4, 在RtABD 中，由勾股定理得： AB=AD2+BD2=4V2 COs B= BD 4 AB422.…4分 21」 【详解】(1) 3分 B (2)解：△ACD是以AC为底的等腰三角形， :AD=CD, 设BD=x, :AB=3,BC=4 CD=BC2+BD=+x AD=AB+BD=3+x AC=AB2+BC2=5 3/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3+x=√42+x2 7 解得x= 6 即BD=? 6 72 25 6 66 6 2分 则o号0xC 21C×AC边上的高， AD×CB10 则AC边上的高 AC3· 1 sin∠DCB= = CD2525,…2分 6 7 故答案为：25· 22. 【详解】(1)证明：AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB 即∠ABD=∠ECB, ,∠EBC=∠D .△BCD∽△DBA. CE BC ABBD· …3分 (2)解：如图，过点A作AD⊥BC于点O, E D.AB=AC 4/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B0=C0=2, ∠1=5∠BAC. 1 又：sin5∠BAC= 3’ sin☑ 0C1 3,即AC3,…2分 AC=6」 .AB=6, :EG⊥BC, :.AO//EG, .∠1=∠2， m22-,测则Bc-396. 4 由(1)得CE·BD=AB.BA=24, 3W2 EG·BD=24 .4 EG·BD=16N2 ∴.AEBD 的面积是 V2 …2分 23. 【详解】(1)解：E是BC的中点， ∴.BC=2BE=4, :四边形ABCD是矩形， .AD=BC=4,∠B=90,AD∥BC, .∠AEB=∠DAF, ,DF⊥AE, ∴.∠AFD=90°=∠B. .△ABE△DFA,…2分 AEBE AD AF, .AE·AF=AD.BE=4×2=8;1分 5/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：延长DF交CB的延长线于H,连接DE、AH,如图2所示： A H B 图2 :四边形ABCD是矩形， AD∥BC,AD=BC,∠BCD=90°， .△ADG ACHG. AD_AG_2 ∴.CHCG3, E是BC的中点， ∴.BE=CE=BH, .'EH BC=AD, ∴.四边形ADEH是平行四边形， DF⊥AE, ∴.四边形ADEH是菱形， DF=HF,∠AEH=∠AED,DE=AD=EH=BC, CE-DE …2分 在RLACDE中，sin∠CDE=CE- .∠CDE=30° ∴.∠CED=90°-30°=60° ∴.∠AEH=∠AED=60°， ,DF⊥AE, ∴.∠FDE=30°=∠CDE, .FE=CE. 6/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠FCE=∠CFE= ∠AEH=30° 2 Cos∠FCE= 5 2分 24. 【答案】(I)如图：△ABC即为所求： B 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 2分 (2)如图：△ABD即为所求； D K 2分 (3)如图：△ABE即为所求； B 3分 25 【答案】一定能，理由如下：2分 BC4.7 在Rt△ABC中，∠C=90,sin∠A= =0.47 AB 10 sin28°≈0.47， ∠A≈28°，…3分 7/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 28°<35°， .该机器人一定能爬上斜坡AB.2分 26. 【详解】(1)解：，∠AOC=113 LA0B=180°-∠A0C=67°，2分 在RtAAOB中，B0=AO.cos AOB≈80×0.39=31.2cm 依题意，四边形ABCD是矩形， AD=BC=B0+OC=31.2+90=121.2cm.. .2分 (2)解：在Rt△AOE中，E0=AO.cos AOE≈80×0.54=43.2cm EC=0C-0E=90-43.2=46.8cm 2分 依题意，四边形AFCE是矩形， ∴.AF=EC=46.8cm. NF=AF-AN=46.8-40=6.8cm, 5<6.8<10, 小组所设计的方案可行.…3分 8/8