专题05 一元二次方程根与系数的关系（题型专练）数学新教材人教版九年级上册

专题05 一元二次方程根与系数的关系 （题型突破·举一反三） 题型01 利用根的判别式判断根的情况 题型02 韦达定理的基础公式 题型03 已知根求原方程 题型04 常见对称式求值 题型05 已知对称式的值求参数 题型06 已知方程的根为整数求参数 题型07 已知根的正负求参数 ▌题型01 利用根的判别式判断根的情况 解题思路 1. 化一般式：把方程整理成 的形式； 1. 定系数：写出 、、（注意连同符号一起取）；同时确认 ； 1. 算判别式：计算 的值或表达式； 1. 判符号下结论：按 的正负零对照表得出根的情况。 【例1】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程的实数根的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．0或1个 D．1或2个 【变式1-1】（2022·河南安阳·模拟预测）k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．必有实根 B．有两个不相等的实根 C．无实根 D．不能确定根的情况 【变式1-2】（21-22九年级上·山东青岛·期中）关于的方程，则方程根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．无法确定 【变式1-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于x的方程．求证：无论m为何值，方程总有实数根． ▌题型02 韦达定理的基础公式 核心知识点 适用条件： 已知方程有实数根（ ），求两根的和与积 核心公式： ， 解题思路 1. 化一般式，确认 ； 1. 验证有实根：计算 ，说明 （若题目已给出"有两根"，可直接用）； 1. 写和与积：按公式写出两根之和与两根之积； 1. 代入计算：按题目要求求值。 【例2】（26-27九年级上·天津河西·开学考试）已知，是方程的两个实数根，则的值为__________． 【变式2-1】（26-27九年级上·北京东城·开学考试）设，是方程的两实数根，则____________． 【变式2-2】（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两根，且，求的值． 【变式2-3】（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）设，是关于的一元二次方程的两根． (1)当时，求及的值； (2)求证：． 【变式2-4】（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）在复习一元二次方程（）时，在有实数根的前提下，阳仔同学总结了根与系数的关系：若一元二次方程的两个实数根为，，则，． 根据以上知识点完成下列问题： (1)方程的两根为与，则 ， ． (2)已知：、是方程的两个实数根，求的值. ▌题型03 已知根求原方程 解题思路 情形一：已知两根，构造方程 1. 求两根和 、两根积 ； 1. 代入 ； 1. 展开整理，得原方程。 情形二：已知一根，求另一根与参数 1. 把已知根代入原方程，解出参数； 1. 参数回代得完整方程； 1. 用韦达定理（或直接解方程）求出另一根； 1. 用"两根和、两根积"检验结果。 【例3】（17-18九年级上·河北唐山·阶段检测）甲、乙两个同学分别解一道二次项系数是1的一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为和5，乙把常数项看错了，解得两根为2和2，则原方程是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（2019·安徽合肥·一模）甲、乙两同学分别解同一个二次系数为1的一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程的两根为﹣2和3，乙把常数看错了，解得两根为1+和1﹣，则原方程是_____． 【变式3-2】（19-20九年级上·山东青岛·阶段检测）若关于的一元二次方程的两根分别和，则________，________． ▌题型04 常见对称式求值 核心知识点 目标式 变形式 【例4】（25-26九年级下·重庆·开学考试）关于的多项式，其中系数和均为自然数，且． ①当时，满足条件的多项式共有9种； ②当是二次三项式，，则多项式有最小值为； ③当是二次三项式，且．方程有解，当取最小值时，方程的两根满足； 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4-1】（2022·山东枣庄·模拟预测）已知一元二次方程的两根为、，则_____． 【变式4-2】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）若方程的两个根分别是，则的值为________． 【变式4-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）设是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【变式4-4】（2022·四川眉山·模拟预测）已知一元二次方程的两根为、，则_____． 【变式4-5】（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． ▌题型05 已知对称式的值求参数 解题思路 1. 化一般式，写出含参数的 与 ； 1. 变形对称式：把题目给的对称式化为含"和"与"积"的表达式； 1. 列方程：令表达式 已知值，解出参数； 1. 回代检验：把参数代回原方程，验证 （这一步常常"刷掉"一个答案）。 【例5】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，则m的值为________． 【变式5-1】（2022·山东潍坊·模拟预测）已知关于x的方程的两实数根为，，若，则____________． 【变式5-2】（25-26八年级下·福建福州·期末）已知关于的一元二次方程，若方程的两个实数根为，，且，求k的值． 【变式5-3】（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【变式5-4】（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，求m的值． ▌题型06 已知方程的根为整数求参数 解题思路 路径一：能因式分解时（首选） 1. 尝试把方程左边分解成两个整系数一次式之积； 1. 让每个因式为 得两根； 1. 对参数按"根为整数"逐个讨论、回代检验。 路径二：不易分解时（用判别式） 1. 写出含参数的 ； 1. 由 缩小参数范围； 1. 再要求 是完全平方数（两根为有理数，整系数下即为整数根的前提）； 1. 在范围内逐一枚举、回代验证。 路径三：分离参数法（有整数根型） 1. 把参数单独解出来，表示成含 的式子； 1. 利用 取整数、参数取整数的条件讨论整除关系； 1. 逐一求出候选值并检验。 【例6】（21-22八年级下·安徽合肥·期末）若方程的两个实数根都是整数，则整数p值为________． 【变式6-1】（25-26九年级上·重庆·期中）已知关于的方程的根都是整数，且满足等式，则满足条件的所有整数的和是_____． 【变式6-2】（2021·江苏南京·二模）已知，关于的方程根都是整数；若为整数，则的值为______． 【变式6-3】（2021·湖北十堰·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值． ▌题型07 已知根的正负求参数 核心知识点 两根情形 充要条件 两根都是正数 且 且 两根都是负数 且 且 两根异号（一正一负） （此时 自动成立） 一正一负且正根绝对值较大 且 两根异号且负根绝对值较大 且 【例7】（24-25九年级上·四川资阳·阶段检测）已知t为实数，关于的方程有两个非负实数根，且，则的值是________． 【变式7-1】（19-20九年级上·四川自贡·期末）已知k为非负实数，关于x的方程x2﹣（k+1）x+k＝0和kx2﹣（k+2）x+k＝0． （1）试证：前一个方程必有两个非负实数根； （2）当k取何值时，上述两个方程有一个相同的实数根． 【变式7-2】（25-26九年级上·四川泸州·期中）已知：关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程两根均为正数，求的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元二次方程根与系数的关系 （题型突破·举一反三） 题型01 利用根的判别式判断根的情况 题型02 韦达定理的基础公式 题型03 已知根求原方程 题型04 常见对称式求值 题型05 已知对称式的值求参数 题型06 已知方程的根为整数求参数 题型07 已知根的正负求参数 ▌题型01 利用根的判别式判断根的情况 解题思路 1. 化一般式：把方程整理成 的形式； 1. 定系数：写出 、、（注意连同符号一起取）；同时确认 ； 1. 算判别式：计算 的值或表达式； 1. 判符号下结论：按 的正负零对照表得出根的情况。 【例1】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程的实数根的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．0或1个 D．1或2个 【答案】B 【分析】先由一次函数图象不经过第二象限得出a的取值范围，结合一元二次方程二次项系数不为0的条件确定，再通过根的判别式判断实根个数． 【详解】解：∵直线不经过第二象限， ． ∵方程是一元二次方程， ． ． ． ∴该方程有2个不相等的实数根． 【变式1-1】（2022·河南安阳·模拟预测）k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．必有实根 B．有两个不相等的实根 C．无实根 D．不能确定根的情况 【答案】A 【分析】计算根的判别式，配方后判断其取值范围，即可确定方程根的情况． 【详解】解：一元二次方程为， ，，， ． 为实数， ，即． 方程必有实根． 【变式1-2】（21-22九年级上·山东青岛·期中）关于的方程，则方程根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】计算方程的根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况，利用判别式 时方程有实数根的性质解题. 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中 ，，， ∴ ； ∴方程有两个实数根. 【变式1-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于x的方程．求证：无论m为何值，方程总有实数根． 【答案】证明：当时，方程为， 此时方程有解，解为； 当时，， 此时方程有实数根． 综上所述，不论m为何值时，方程总有实数根． 【分析】分两种情况：当时或当时，分别进行证明即可． 【详解】略 ▌题型02 韦达定理的基础公式 核心知识点 适用条件： 已知方程有实数根（ ），求两根的和与积 核心公式： ， 解题思路 1. 化一般式，确认 ； 1. 验证有实根：计算 ，说明 （若题目已给出"有两根"，可直接用）； 1. 写和与积：按公式写出两根之和与两根之积； 1. 代入计算：按题目要求求值。 【例2】（26-27九年级上·天津河西·开学考试）已知，是方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴． 【变式2-1】（26-27九年级上·北京东城·开学考试）设，是方程的两实数根，则____________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入所求式子计算即可． 【详解】解：，是方程的两实数根 根据根与系数的关系可得，， ∴ ． 【变式2-2】（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】(1)证明：在一元二次方程中，，，， ∴根的判别式， ∵无论取何实数，， ∴，即， ∴ 方程总有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）计算方程的根的判别式，证明其恒大于0即可得证； （2）利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，代入已知等式求解的值． 【详解】（1）略； （2）解：∵、是方程的两根， ∴由根与系数的关系得：，， 将上述两式代入得：， 整理得：， 解得． 【变式2-3】（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）设，是关于的一元二次方程的两根． (1)当时，求及的值； (2)求证：． 【答案】(1)，； (2)证明：∵， ∴ ； ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据根与系数的关系求出和的值即可； （2）根据根与系数的关系进行证明即可. 【详解】（1）解：∵，是关于的一元二次方程的两根， ∴， ∵， ∴，， ∴； （2）略 【变式2-4】（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）在复习一元二次方程（）时，在有实数根的前提下，阳仔同学总结了根与系数的关系：若一元二次方程的两个实数根为，，则，． 根据以上知识点完成下列问题： (1)方程的两根为与，则 ， ． (2)已知：、是方程的两个实数根，求的值. 【答案】(1)5，3 (2) 【分析】（1）直接根据根与系数的关系得到两根和与两根积； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再展开所求代数式，整体代入计算结果. 【详解】（1）解：∵方程的两根为与， ∴，； （2）解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ . ▌题型03 已知根求原方程 解题思路 情形一：已知两根，构造方程 1. 求两根和 、两根积 ； 1. 代入 ； 1. 展开整理，得原方程。 情形二：已知一根，求另一根与参数 1. 把已知根代入原方程，解出参数； 1. 参数回代得完整方程； 1. 用韦达定理（或直接解方程）求出另一根； 1. 用"两根和、两根积"检验结果。 【例3】（17-18九年级上·河北唐山·阶段检测）甲、乙两个同学分别解一道二次项系数是1的一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为和5，乙把常数项看错了，解得两根为2和2，则原方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，牢记根与系数的关系是解决此类问题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系：可得常数项为，一次项系数为，进而即可得到答案． 【详解】解：由题意得：甲的常数项是对的，所以常数项为：， 乙的一次项系数是对的，所以是一次项系数为：， 原方程是， 故选B． 【变式3-1】（2019·安徽合肥·一模）甲、乙两同学分别解同一个二次系数为1的一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程的两根为﹣2和3，乙把常数看错了，解得两根为1+和1﹣，则原方程是_____． 【答案】x2﹣2x﹣6＝0． 【分析】先设这个方程的两根是α、β，由于甲把一次项系数看错了，而解得方程的两根为﹣2和3，则有αβ＝＝﹣6，乙把常数项看错了，解得两根为1+ 和1﹣，则有α+β＝﹣＝2，令a＝1，那么关于α、β的一元二次方程可求． 【详解】解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得 α+β＝﹣＝2，αβ＝＝﹣6， 令a＝1，那么关于α、β的一元二次方程是x2﹣2x﹣6＝0． 故答案为x2﹣2x﹣6＝0． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，若x1、x2是方程ax2+bx+c＝0的两根，则有x1+x2＝﹣，x1x2＝． 【变式3-2】（19-20九年级上·山东青岛·阶段检测）若关于的一元二次方程的两根分别和，则________，________． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系，然后进行二次根式的运算即可解出． 【详解】解：根据题意可得，（ ）＋（ ）＝－p， ∴（ ）×（ ）＝q， ∴p＝－10，q＝22 故答案为－10，22． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是本题解题的关键． ▌题型04 常见对称式求值 核心知识点 目标式 变形式 【例4】（25-26九年级下·重庆·开学考试）关于的多项式，其中系数和均为自然数，且． ①当时，满足条件的多项式共有9种； ②当是二次三项式，，则多项式有最小值为； ③当是二次三项式，且．方程有解，当取最小值时，方程的两根满足； 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据多项式的概念，一元二次方程的判别式，根与系数的关系，二次函数的最值，通过枚举所有符合条件的情况，逐个判断即可得到结果． 【详解】解：①当时，按项数枚举所有情况 当时，仅，此时是单项式，不符合题意，舍去； 当时，， ∵， ∴，（此时是单项式，不符合题意，舍去）；，；，；，，共3种； 当时，， ∵， ∴，，；，，；，，；，，，共4种； 当时，， ∵， ∴，，，，共1种； 当时，最小和为，无符合条件的情况； ∴ 总共有种，故①错误； 判断②：A是二次三项式，故，且， ∴，，；，，， ∵二次多项式， ∴当时，二次多项式取最小值，最小值为， 当，，时，；当，，时，，都不等于，故②错误； 判断③：A是二次三项式，，方程有解，故，满足， 当时，，此时，不符合题意，舍去； 当时，，此时，不符合题意，舍去； 当时，，此时，不符合题意，舍去； 当时，，此时， ∴， ∴， 又是自然数， ∴，符合条件， 此时， ∴， ， ∴≠，故③错误； 综上，三个说法都错误，正确个数为0． 【变式4-1】（2022·山东枣庄·模拟预测）已知一元二次方程的两根为、，则_____． 【答案】 【详解】解：一元二次方程的两根为、， ，， ． 【变式4-2】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）若方程的两个根分别是，则的值为________． 【答案】 【分析】一元二次方程的两个根为，，则，．根据一元二次方程根与系数的关系即可求得答案． 【详解】解：∵方程的两个根分别为，， ∴，， ∴． 【变式4-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）设是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求解． （2）根据完全平方公式变形，即可求解． （3）先进行分式的加法计算，再代入求值． 【详解】（1）解：∵，是一元二次方程的两个根 ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴． 【变式4-4】（2022·四川眉山·模拟预测）已知一元二次方程的两根为、，则_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到方程两根之和、两根之积的值，再代入算式化简计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为、， ∴， ∴ = = = =． 【变式4-5】（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系可用m表示出已知等式，可求得m的值． 【详解】（1）解：原方程有两个实数根， ，即． 解得． （2）解：且， 即． ， ． ▌题型05 已知对称式的值求参数 解题思路 1. 化一般式，写出含参数的 与 ； 1. 变形对称式：把题目给的对称式化为含"和"与"积"的表达式； 1. 列方程：令表达式 已知值，解出参数； 1. 回代检验：把参数代回原方程，验证 （这一步常常"刷掉"一个答案）。 【例5】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，则m的值为________． 【答案】 【分析】先由方程有两个不相等实数根得判别式大于0，确定的取值范围，再利用根与系数的关系将转化为关于的方程，求解后根据的范围检验得到最终结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴判别式，化简得， 解得， 根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴，代入得， 整理为， 解得或， ∵， ∴舍去，得． 【变式5-1】（2022·山东潍坊·模拟预测）已知关于x的方程的两实数根为，，若，则____________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到与，再由分式方程求解即可． 【详解】解：关于x的方程的两实数根为，， 则， ，， ． 即，解得． 经检验，是原方程的解． 【变式5-2】（25-26八年级下·福建福州·期末）已知关于的一元二次方程，若方程的两个实数根为，，且，求k的值． 【答案】或 【分析】根据题意可得，，故，又因为，得到，解方程即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 解得或， ∵，即方称恒有解， ∴的值为或． 【变式5-3】（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式列不等式求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴，， ∴， 解得，， 由（1）可知：， ∴． 【变式5-4】（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，求m的值． 【答案】 【分析】首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系可以求得方程的根的和与积，将，转化为关于m的方程，求出m的值并检验． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：或， 由判别式大于零，得， 解得， ∴． ▌题型06 已知方程的根为整数求参数 解题思路 路径一：能因式分解时（首选） 1. 尝试把方程左边分解成两个整系数一次式之积； 1. 让每个因式为 得两根； 1. 对参数按"根为整数"逐个讨论、回代检验。 路径二：不易分解时（用判别式） 1. 写出含参数的 ； 1. 由 缩小参数范围； 1. 再要求 是完全平方数（两根为有理数，整系数下即为整数根的前提）； 1. 在范围内逐一枚举、回代验证。 路径三：分离参数法（有整数根型） 1. 把参数单独解出来，表示成含 的式子； 1. 利用 取整数、参数取整数的条件讨论整除关系； 1. 逐一求出候选值并检验。 【例6】（21-22八年级下·安徽合肥·期末）若方程的两个实数根都是整数，则整数p值为________． 【答案】8或−4 【分析】由根与系数的关系可得，，那么，再由整数的性质即可求解． 【详解】解：设方程的两个实数根分别为，（假设）， 则，． ∴， ∵方程的两个实数根都是整数， ∴，或，， 解得，或，， ∴p＝−（−2−6）＝8或p＝−（4＋0）＝−4． 故整数p值为8或−4． 故答案为：8或−4． 【点睛】此题考查了一元二次方程的整数根，一元二次方程中根与系数的关系，因式分解，抓住关系式是解题的关键． 【变式6-1】（25-26九年级上·重庆·期中）已知关于的方程的根都是整数，且满足等式，则满足条件的所有整数的和是_____． 【答案】2 【分析】本题考查解一元一次方程，一元二次方程的解，根与系数的关系，二次根式，掌握知识点是解题的关键． 首先由等式可得，即．再考虑方程的根均为整数，分（一次方程）和（二次方程）讨论，利用根与系数的关系确定整数的值，并结合筛选． 【详解】解：由，得，即． 当时，方程为，根，为整数，符合条件． 当时，方程为二次方程，设整数根为，由根与系数的关系： ， ． 令，则， ， ． 因为整数，故为整数，即为的约数：；同时为整数，即为的约数：． 所以为，对应为． 结合，得． 验证： 时，方程，根，为整数； 时，方程，根，为整数； 时，方程即，根或，为整数． 综上，满足条件的整数为， 其和为． 故答案为：2． 【变式6-2】（2021·江苏南京·二模）已知，关于的方程根都是整数；若为整数，则的值为______． 【答案】-1，0，1 【分析】分情况讨论：当时方程为一元一次方程，求解看根是否为整数；当时利用韦达定理表示出、，即可求解． 【详解】解：当时，方程为，此时解为，符合题意； 当时，， ∴，， ∵和k均为整数， ∴或1， 综上所述，k的值为-1，0，1， 故答案为：-1，0，1． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 【变式6-3】（2021·湖北十堰·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值． 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）直接利用根的判别式即可求解； （2）根据韦达定理可得，，得到，根据两个根和m都是整数，进行分类讨论即可求解． 【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）设该方程的两个根为、， ∵该方程的两个根都是符号相同的整数， ∴，， ∴， ∴m的值为1或2， 当时，方程两个根为、； 当时，方程两个根与不是整数； ∴m的值为1． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、韦达定理，掌握上述知识点是解题的关键． ▌题型07 已知根的正负求参数 核心知识点 两根情形 充要条件 两根都是正数 且 且 两根都是负数 且 且 两根异号（一正一负） （此时 自动成立） 一正一负且正根绝对值较大 且 两根异号且负根绝对值较大 且 【例7】（24-25九年级上·四川资阳·阶段检测）已知t为实数，关于的方程有两个非负实数根，且，则的值是________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据原方程有两个非负实数根，得，，可得t的取值范围，再将展开整理，然后代入即可计算． 【详解】∵方程有两个非负数实数根a，b， ∴，， 解得． 由， 得， 即， ∴， 整理，得， 解得． ∵， ∴． 故答案为：5． 【变式7-1】（19-20九年级上·四川自贡·期末）已知k为非负实数，关于x的方程x2﹣（k+1）x+k＝0和kx2﹣（k+2）x+k＝0． （1）试证：前一个方程必有两个非负实数根； （2）当k取何值时，上述两个方程有一个相同的实数根． 【答案】 （1）证明：x2﹣（k+1）x+k＝0， △＝[﹣（k+1）]2﹣4k＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0， 即方程关于x的方程x2﹣（k+1）x+k＝0一定有两个实数根； 设方程的两根为x1，x2， 则根据根与系数的关系得：x1+x2＝k+1，x1•x2＝k， ∵k为非负实数， ∴x1+x2＝k+1＞0，x1•x2＝k≥0， ∵由x1•x2＝k≥0得出方程有同号两个根或有一个根为0； ∴由x1+x2＝k+1＞0，x1•x2＝k≥0得出方程有两个正实数根或有一个根为0， 所以方程x2﹣（k+1）x+k＝0必有两个非负实数根； （2）当k＝2或0或时，述两个方程有一个相同的实数根． 【分析】（1）先根据根的判别式求解，再根据根与系数的关系求解即可；（2）先求出第一个方程的两个根，再分类求出即可． 【详解】（1）略 （2）x2﹣（k+1）x+k＝0， △＝[﹣（k+1）]2﹣4k＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0， 方程的根为， 即方程的根为k和1； 当相同的根是k时，把x＝k代入方程kx2﹣（k+2）x+k＝0得：k3﹣（k+2）k+k＝0， 解得：k＝0或k＝或k＝， ∵k为非负实数， ∴k＝舍去； 当相同的根是1时，把x＝1代入方程kx2﹣（k+2）x+k＝0得：k﹣（k+2）+k＝0， 解得：k＝2； 所以当k＝2或0或时，上述两个方程有一个相同的实数根． 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记根的判别式和根与系数的关系是解（1）的关键，能够分类讨论是解（2）的关键． 【变式7-2】（25-26九年级上·四川泸州·期中）已知：关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程两根均为正数，求的取值范围． 【答案】(1) 证明：在方程中， ，，， ， 方程总有两个实数根； (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系． （1）通过计算判别式证明其非负，即，从而证明方程总有两个实数根； （2）利用韦达定理，根据两根均为正数的条件列不等式求解． 【详解】（1）略 （2）设方程的两根为和， 根据韦达定理，，， 方程两根均为正数， 且， 即且， 解，得 ， 解，得， 的取值范围为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $