专题04 判别式、根与系数的关系及含参数问题（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦判别式与根与系数关系的综合应用，通过分级题型构建从基础判断到参数综合及新定义问题的逻辑训练体系，培养推理意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型|5类（含期末/中考真题）|基础判断（重）、参数求解（高频）、代数式求值（高频）、综合应用（难）、新定义（难）|以判别式（根的存在性）为基础，根与系数关系为拓展，形成“概念-应用-综合”递进链条| |综合攻坚|3类（选择/填空/解答）|融合实际情境与数学抽象，强化跨知识点综合应用|通过变式训练深化参数问题处理方法，体现从数学思维到数学语言表达的转化|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04判别式、根与系数的关系及含参数问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1根据判别式判断一元二次方程根的情况（重） 题型2根据一元二次方程根的情况求参数（高频） 题型3利用根与系数的关系求代数式的值（高频） 题型4判别式和根与系数的关系的综合问题（难） 题型5判别式和根与系数的关系的新定义型问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1根据判别式判断一元二次方程根的情况 1.A 2.C 3.A ◆题型2根据一元二次方程根的情况求参数 4.1 5.a<2 6k>- 4且k≠0 ◆题型3利用根与系数的关系求代数式的值 7.-20 8.19 14 9. 【答案】()2 1/14 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 (24 3)2 【详解】(1)解：，，2是方程2x2-7x+2=0的两根， 7 21 x+名=2x=2 7 1+1-+五=2=7 名612 五+ (2)解：x1x =+x好 x x2 =_5+广-2x5 xx2 g-2 49-2= 1 4 7 (3)解：xx2=1>0,+x2= >0 ∴.x1>0x2>0」 =五+2.+ Vxx2x =+五]+2 （xx2 41 49 +2= 4 4 2+ 497 +42： ◆题型4判别式和根与系数的关系的综合问题 10 2/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)m<9 (2)m=8 【详解】(1)解：已知一元二次方程为x2-6x+m=0,方程有两个不相等的实数根， .△=(-6)2-4×1×m=36-4m>0, 解得m<9: (2)解：对于一元二次方程x2-6x+m=0, 由根与系数的关系可得+x2=6,xx2=m, x=2x2 .2x2+x3=6. 解得x2=2, x=2×2=4 ∴.m=4×2=8 11. 【答笑】s (2)k=-1 【详解】(1)解：关于x的一元二次方程x+(2k-)x+k2-1=0有两个实数根， .△≥0. 即△=(2k-1)2-4×1×(k2-1)20, 展开整理得-4k+520, 朝阳衣≤： (2)解：由一元二次方程根与系数的关系可得x+x2=-(2k-1)=1-2k,xx,=k2-1, x+龙2=3-xx2, 代入得1-2k=3-(k2-1). 整理得k2-2k-3=0, 解得k1=3,k3=-1. ≤3 4 k=3不符合题意，舍去， 3/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k=-1. 12. 【答案】(1)证明：△=(k+3)2-4k =k2+6k+9-4k =k2+2k+9 =(k+1)+8, :(k+1)2≥0 .△=(k+1)+8>0. ∴方程总有两个不相等的实数根. (2)k=-4 (2)解：x2+(k+3)x+k=0 由根与系数的关系可得，名，+X2=-《+3=-k-3,x,=k 1 x+x2-3xx3=13, .-k-3-3k=13, 解得k=-4. ◆题型5判别式和根与系数的关系的新定义型问题 13. 【详解】(1)解：①解方程x2+2x=0得x=0,x2=-2 :0-（-2)=2,符合“美丽方程”定义， ∴①是“美丽方程”： ②解方程x2-4x+4=0得x=3=2, :2-2=0≠2，不符合定义， ∴②不是“美丽方程”： ③解方程x2+4x+3=0得x=-1,x2=-3」 :(-1)-(-3)=2,符合定义， ∴③是“美丽方程”. 综上可知，是“美丽方程”的是①③. 4/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：解方程x+2)(x+m)=0得=-2,32=-n. 该方程是“美丽方程”， ∴(-2)-(-n=2,即n-2=2, .n-2=2或n-2=-2, 解得n=4或n=0. (3)c=3a,理由： 设方程ax2+4ax+c=0(a≠0)的两个根为，x2, 方程为“美丽方程”， k-x=2, 两边平方得(x-x)=4。 由一元二次方程根与系数的关系得：x+x2= =4，=8 a a (-x)=(x+x)-4x, (4-49=4, 4c=4, 整理得16- a 化简得c=3a,即a,c满足的数量关系为c=3a。 14 【详解】(1)解：△=[-2(k-1)]-4(k-)=4k2-8k+4-42+4=-8歇+8. :原方程有两个不相等的实数根， .-8k+8>0,解得k<1, 由根与系数的关系，x+x2=2(k-),xx2=k2-1, X1+2=X2, :.12(k-1)=2-1,化简得k2-2k+1=0,或k2+2k-3=0, ∴k=1或k=-3, 又k<1, k=-3: (2)①证明：，P是方程的根， 5/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .2=a+1,B2=B+1, .Sn-2+S1=a0-2+B-2+a-+Bm-1=a"-21+a)+B"-21+f), 因为a2=a+1,B2=B+1. 所以原式=a-2.a2+Bm-2.B2=am+B=Sn ②a,B是方程x2-x-1=0的两根， a+B=1,a0=-1, S,=a2+B2=(a+B2-2aB=1+2=3: 由①知：S,=S6+S =S+S4+S4+S3 =S4+S,+2S4+S =3S4+2S, =3(S3+S2)+2S =5S,+3S2 =5(S2+S)+3S2 =5S,+8S2 =5(a+B)+8(a2+B2） =29 15. 【答案】(1)① 0=号 (3)x2-V13x+3=0 【详解】(1)解：①x2-x=0 解得：x=1或x32=0, x-x=1-0=1, ①是“差根方程”： ②x2-4x-5=0 解得：七=5，x2=-1, x-x=5-(-1以=61， 6/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.②不是“差根方程”： (2)解：方程x2+2ar=0 因式分解得：x(x+2a)=0 解得：x=0,x2=-2a 方程x2+2ar=0是“差根方程”， ∴l0-(-2a=1, ∴2a=1, .2a=1或2a=-1 1 解得：a=2或a=2: (3)解：设AB=、AC=x, "△ABC是直角三角形，斜边BC的长为V厅， .AB2+AC2=BC2, x2+x号=7， x、x2是“差根方程”的两个实数根， k-x=1, (-x}=1, x2+x号-2xx2=1, .7-2xx2=1, x2=3, (:+x2)}=X2+x+2x2=7+2×3=13, :、x2是三角形的边长，均为正数， x+x2=3】 方程二次项系数为1， 所求差根方程为x2-3x+3=0. 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.C 2.A 3.A 二、填空题 4.9 5.a<1且a≠0 6.2028 三、解答题 7. 【答案】(1)a>-1且a≠0 (3a=-8 9 【详解】(1)解：关于x的一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根， .△=(-2)-4a×(-1)=4+4a>0且a≠0， .a>-l且a≠0. (2)解：设方程的两个不相等的实数根为x,x2, ,方程的一个根是另一个根的两倍， 不妨设x=2x2, -22 x+x2=- a a' 2 .2x2+x2= a .x323a' 2 4 .x=2x2= 3a 5=1 81 9a=-a 8/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得a二、8 经检验，a=-8 9是该分式方程的解. 8. 【答案】(1)证明：方程为一元二次方程，故a-3≠0即a≠3， 判别式△=(a-2)2-4(a-3)x1=a2-4a+4-4a+12=a2-8a+16=(a-4}≥0， 方程总有两个实数根. (2)解：由求根公式得 x=（a-2)±ya-4ya-2±(a-4) 2(a-3) 2(a-3) 2(a-3) 计算得420引1，名 1 a-3 1 两根均为整数，六。一3为整数， a-3=±1， 解得a=4或a=2. 9. 【答案】(1)m≤2且m≠1 m09@月 5 【详解】(1)解：~(m-)x-2x+1=0是关于x的一元二次方程， ∴m-1≠0，则m≠1， ~关于x的一元二次方程(m-1)r-2x+1=0有两个实数根， .△=(-2)}-4(m-1)≥0，解得m≤2， 综上所述，m的取值范围是m≤2且m≠1； (2)解：当m=-2时，-3x2-2x+1=0,整理得3x2+2x-1=0, :a,b是一元二次方程3x2+2x-1=0的两个实数根， b=53a2+2a-1=0, a+b=-2 9/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0+8-e+-2w-(-2-g号-gg-9 @-3a2-a+b=-(a2+2a)+(a+b)=-1+号}= 10. 【答案】()ks29 8 a-月 【详解】(1)解：：方程x2-5x+2k-1=0有两个实数根， .△=（-5-4(2k-1)20, .25-8k+4≥0， :s29 Γ8： (2)解：x是关于x的方程x2-5x+2k-1=0的两个实数根， 七+x3=5,xx2=2k-1. .x2+x22=17」 x2+x32=(x+x)2-2x53=17, 52-2(2k-1)=17, .2k-1=4, 即k 11. 【答案】(1)见解析 (2)m=-10 【详解】(1)证明：判别式为 △=(m+3)2-4m=m2+6m+9-4m=m2+2m+9=(m+1)+8>0, 则无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根： (2)解：由韦达定理得x+2=-m-3,xx2=m, 由于+x2-xx3=17, 则-m-3-m=17, 10/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得m=-10, 因此m的值为-10. 12. 【答案】(1)解：在方程x2+(2m+)x+m-2=0中，a=1,c=m-2, 方程①的“换位方程”为(m-2)x2+(2m+1)x+1=0 (2)当m≠2时，对于方程①及其“换位方程”均有 △=(2m+1)2-4(m-2)=4m2+9>0, .方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根， (3)解：方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根， .x2+(2m+1)x+m-2=0,(m-2)x2+(2m+1)x+1=0. ∴.(m-3)x6+3-m=0, .(m-3(号-1)=0， 当m=3时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意， .x2-1=0 解得：=1或=1， 当=-1时，代入方程①得，（-)2-(2m+)+m-2=0, 解得：m=-2: 当，=1时，代入方程①得，P+(2m+1)+m-2=0, 解得：m=0. 13. 51 【答案】（①）2,2 (2)k=0或k=2 【详解】(1)解：a=2,b=-5,c=-1, 1 .x+x2= 2=- 2 51 故答案为：22 (2)解：，方程的两个实数根为，x2, 11/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 +5=2k+山x5三)-2 x+x3=2xx2+5, 2*1=2-2小45， 即：K2-2k=0, k(k-2)=0 解得：k=0或k=2, △=[-(2+-4-2=2k+4k+9>0, ∴.所求k值均符合题意 14. 【答案】(1)是 (2)-8 (3)证明过程见详解 (4)h=3.c=V3或6=2，c5 2 【详解】解：(1)，3×6=18，V18=3W2≠12,3×12=36，V36=6,6×12=72,√72=6√2≠3， .3、6、12是“组合平方数”： 故答案为：是： (2)如果-2、n、4是“组合平方数”， 当√-2n=4时， 解得，n=-8: 当-2×4=V-8时，被开方数小于0，不符合题意，舍去： 当√4n=-2时，由算术平方根是大于等于0的数得到不符合题意，舍去： 故答案为：-8； (3)证明：已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)有实数根， 1 :设p(p为有理数，且p≠0)为该方程的两根之和，p为该方程的两根之积，方程的两个根分别用 X,x2表示， 12/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b c1 .X+X3=-2=p,xx3=二= ap’ b a 1 2=一p,则bp' a a c :b a' ..bc=a2, a>0,a2>0, .bc>0, bc=a, abc是“组合平方数”： (4)当a=1时，abc(bc≠1)是“组合平方数”，即lbc(bc≠)是“组合平方数”， ∴当Vb=c时，b>0,b=c2,c>0, .b2+2b=15, 整理得，b2+2b-15=0,则(b+5)b-3)=0, 解得，6=-5（不符合题意，舍去），b=3, .3=c2, ∴c=±V3(负值舍去)，即c=5, 13、5是“组合平方数”： 当e=b时，c>0,c=b,b>0, .c+2c2=15, 整理得，2c2+c-15=0,则(c+3)(2c-5)=0, 解得，6=36不符合题燕，金去)，6， 6=+V10 (负值舍去)，即6= 2 ..1vi0 5 、22是“组合平方数”： bc≠1， 13/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .Vbc=1不符合题意： 综上所述，63c=5或b=c 2,cs 21 14/14 专题04 判别式、根与系数的关系及含参数问题 常考题型·精准突破 题型1 根据判别式判断一元二次方程根的情况（重） 题型2 根据一元二次方程根的情况求参数（高频） 题型3 利用根与系数的关系求代数式的值（高频） 题型4 判别式和根与系数的关系的综合问题（难） 题型5 判别式和根与系数的关系的新定义型问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．（25-26八年级下·山西大同·期末）关于x的一元二次方程的根的情况（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【详解】解：对于一元二次方程， 可得，，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根. 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）关于的一元二次方程中，，则该方程的根的情况是（     ） A．两实数根之和为1 B．两实数根之积为1 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】C 【分析】先计算根的判别式，结合判断判别式的符号，即可确定方程根的情况，即可得出答案． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ∴， ， ，即， 该方程没有实数根． 3．（2026·四川内江·中考真题）对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题目给出的新定义，将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． ◆题型2 根据一元二次方程根的情况求参数 4．（25-26八年级下·浙江台州·期末）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，结合一元二次方程根的判别式求解参数的值． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ． 方程有两个相等的实数根， ， 变形得， 解得或， 又， ． 5．（25-26八年级下·吉林·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，题目已明确方程为一元二次方程，二次项系数不为0，根据方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解： 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 整理得， 解得． 6．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为____________________． 【答案】且 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程 ∴． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴．其中，，， 代入得：， 展开得， 化简得， 解得． 综上，k的取值范围为且． ◆题型3 利用根与系数的关系求代数式的值 7．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求代数式因式分解后整体代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的两个实数根， 由根与系数的关系可得，， ． 8．（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知m、n是方程的两个根，代数式的值为________；的值为________． 【答案】 【分析】对于第一空 ，根据单项式乘以多项式的运算法则和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，根据方程的解的定义推出，再由可得答案；对于第二空，由根与系数的关系得到，再根据完全平方公式的变形求解即可． 【详解】解： ， ∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴； ∵m、n是方程的两个根， ∴， ∴ ． 9．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）设，为方程的两根，试求下列各式的值； (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积的值，再将所求代数式通分后代值计算即可． （2）将所求代数式通分后代值计算即可． （3）先对所求式子平方，结合第二问结果计算后再开方得到最终结果． 【详解】（1）解：∵是方程的两根， ∴， ∴． （2）解： ． （3）解：∵， ， ∴ ， ． ◆题型4 判别式和根与系数的关系的综合问题 10．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两根为，，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“方程有两个不相等的实数根”可知判别式,列不等式即可求出的取值范围； （2）利用根与系数的关系得到两根之和，结合已知，求出两根的值，再通过两根之积求出的值． 【详解】（1）解：已知一元二次方程为 ,方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：对于一元二次方程 ， 由根与系数的关系可得 ，， ∵， ∴， 解得 ， ∴， ∴． 11．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求k的取值范围； (2)若，满足，求实数k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程有两个实数根，得判别式，解不等式即可得到的取值范围； （2）先根据根与系数的关系用表示和，再代入已知等式得到关于的方程，结合（1）中的范围筛选出符合条件的值即可； 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 即， 展开整理得， 解得； （2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得，， ， 代入得， 整理得， 解得， ，， 不符合题意，舍去， ． 12．（25-26八年级下·安徽六安·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】(1)证明： ， ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）计算出根的判别式，再利用完全平方公式变形可得，因此方程总有两个不相等的实数根； （2）由根与系数的关系，用表示和，代入解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：， 由根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， 解得． ◆题型5 判别式和根与系数的关系的新定义型问题 13．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2)或 (3)，理由： 设方程（）的两个根为，， 方程为“美丽方程”， ， 两边平方得． 由一元二次方程根与系数的关系得：，． ， ， 整理得， 化简得，即，满足的数量关系为． 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义列方程求解； （3）设方程（）的两个根为，，利用两根差的条件结合根与系数的关系推导和的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，． ，符合“美丽方程”定义， ①是“美丽方程”； ②解方程得． ，不符合定义， ②不是“美丽方程”； ③解方程得，． ，符合定义， ③是“美丽方程”． 综上可知，是“美丽方程”的是①③． （2）解：解方程得，． 该方程是“美丽方程”， ，即， ∴或， 解得或． （3）略． 14．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 【答案】(1) (2)①证明：，是方程的根， ∴，， ∴， 因为，， 所以原式 ②； 【分析】（1）先计算根的判别式，根据原方程有两个不相等的实数根，得出不等式，解不等式，得出，根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知可得或，解一元二次方程，即可求解． （2）①由，是方程的根得到，，结合的定义进行证明； ②根据根与系数的关系写出、的值，运用完全平方公式变形求得的值，利用①中的结论求得的值． 【详解】（1）解：． 原方程有两个不相等的实数根， ，解得， 由根与系数的关系，，， ， ，化简得，或， 或， 又， ； （2）①略 ②，是方程的两根， ，， ； 由①知： ． 15．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数为1的方程即可． 【详解】（1）解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）关于的一元二次方程根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】通过计算判别式并判断其符号即可确定方程根的情况即可 【详解】解：对于一元二次方程， 其中，，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 因此方程无实数根 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若一元二次方程的两根为，，则有，，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 3．（2026·河南商丘·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】解：根据题意，得， ∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故选：A． 二、填空题 4．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）定义新运算，对于任意实数m、n有，则方程的根的判别式的值为__________． 【答案】9 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟练根的判别式是解题关键．根据题意得出方程是，再根据根的判别式公式求解即可． 【详解】解：根据题意， 则， 故答案为：9． 5．（25-26九年级下·北京西城·开学考试）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】 且 【分析】先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式建立不等式，联立求解即可得到的取值范围； 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴根据一元二次方程根的判别式， 即：， 解得：， 实数的取值范围是且． 6．（25-26九年级下·山东淄博·期末）已知，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到，，，代入所求代数式进行解答即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，， ∴，， ∴ 三、解答题 7．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求a的取值范围． (2)若方程的一个根是另一个根的两倍，求a的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的定义及根的判别式列出不等式，求解即可； （2）设方程的两个不相等的实数根为，，则，，可求出，，根据列出关于a的方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 且． （2）解：设方程的两个不相等的实数根为，， ∵方程的一个根是另一个根的两倍， ∴不妨设， ， ∴， ， ∴， ， ， 解得， 经检验，是该分式方程的解． 8．（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知关于 的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个根均为整数，求整数 的值． 【答案】(1)证明：方程为一元二次方程，故即， 判别式， 方程总有两个实数根． (2)或 【分析】（1）证明即可； （2）根据求根公式，表示出两个根，利用整数的性质，求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：由求根公式得      计算得，， 两根均为整数，为整数， ， 解得或 ． 9．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求的取值范围； (2)当时， ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)且 (2)①；② 【分析】（1）由一元二次方程定义及根与判别式关系求解即可； （2）由一元二次方程根与系数关系及根的定义得到相关等式，对所求代数式恒等变形后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：是关于的一元二次方程， ，则， 关于的一元二次方程有两个实数根， ，解得， 综上所述，的取值范围是且； （2）解：当时，，整理得， ，是一元二次方程的两个实数根， ， ①； ②． 10．（25-26九年级上·广东江门·期中）设是关于x的方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系． （1）根据题意可知，方程有两个实数根，则有，从而求出k的取值范围；（2）因为是关于x的方程的两个实数根，所以，，再由，可得，从而求得k的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是关于x的方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 11．（25-26九年级上·江西新余·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根． (2)若，是原方程的两根，且．求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的解、根与系数的关系，熟练掌握利用判别式判断方程解的情况、根与系数的关系是解题的关键． （1）通过计算判别式，方程总有两个不相等的实数根进行证明即可； （2）由韦达定理得，，代入，求出m的值即可． 【详解】（1）证明：判别式为 ， 则无论取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由韦达定理得，， 由于， 则， 解得， 因此m的值为． 12．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 【答案】(1) (2)当时，对于方程①及其“换位方程”均有 ， ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根． (3)或，或 【分析】（1）根据“换位方程”的定义解答即可； （2）根据一元二次方程根的判别式得出，即可得出结论； （3）把分别代入方程①及其“换位方程”可得，根据时两方程相同得出，解方程得出或，分别代入方程①求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：在方程中，，， ∴方程①的“换位方程”为． （2）解：略 （3）解：∵方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根， ∴，， ， ∴， 当时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意， ∴ 解得：或， 当时，代入方程①得，， 解得：； 当时，代入方程①得，， 解得：． 13．（25-26九年级上·广东韶关·期末）【阅读材料】若关于的一元二次方程（）的两根为，，则，．这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)【材料理解】一元二次方程的两根为，，则_______，_______； (2)【类比运用】已知关于的一元二次方程．若方程的两个实数根为，，满足，求的值． 【答案】(1) ， (2) 或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，关键是熟练应用知识点解题； （1）根据根与系数的关系求解即可； （2）根据根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵方程的两个实数根为，， ∴， ∵， ∴， 即：， ， 解得：或， ∵， ∴所求值均符合题意． 14．（25-26八年级上·上海普陀·期末）【阅读理解】如果三个实数中有两个数乘积的算术平方根等于第三个数，那么我们把这三个实数称为“组合平方数”． （1）3、6、12_____“组合平方数”；（填“是”或“不是”） （2）如果、n、4是“组合平方数”，那么_____； 【问题探究】在学习一元二次方程时，我们知道一元二次方程的根的情况是由系数确定的． 已知关于的一元二次方程（）有实数根，请回答下列问题． （3）设为有理数，且）为该方程的两根之和，为该方程的两根之积．求证：是“组合平方数”； （4）当时，是“组合平方数”，且．求和的值． 【答案】（1）是 （2） （3）证明过程见详解 （4）或 【分析】本题主要考查算术平方根的运用，理解题意，正确列式计算是关键． （1）根据“组合平方数”的定义，分类计算即可求解； （2）根据“组合平方数”的定义，结合算术平方根中被开方数的特点，算术平方根的结果，分类计算即可求解； （3）分别用含的式子表示出，结合“组合平方数”的定义计算即可； （4）根据“组合平方数”的定义，分类讨论即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴3、6、12是“组合平方数”； 故答案为：是； （2）如果、n、4是“组合平方数”， ∴当时， 解得，； 当时，被开方数小于0，不符合题意，舍去； 当时，由算术平方根是大于等于0的数得到不符合题意，舍去； 故答案为：； （3）证明：已知关于的一元二次方程（）有实数根， ∵设为有理数，且）为该方程的两根之和，为该方程的两根之积，方程的两个根分别用表示， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是“组合平方数”； （4）当时，是“组合平方数”，即是“组合平方数”， ∴当时，，，， ∴， 整理得，，则， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， ∴（负值舍去），即， ∴是“组合平方数”； 当时，，， ∴， 整理得，，则， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， ∴（负值舍去），即， ∴是“组合平方数”； ∵， ∴不符合题意； 综上所述，或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04判别式、根与系数的关系及含参数问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1根据判别式判断一元二次方程根的情况（重） 题型2根据一元二次方程根的情况求参数（高频） 题型3利用根与系数的关系求代数式的值（高频） 题型4判别式和根与系数的关系的综合问题（难） 题型5判别式和根与系数的关系的新定义型问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1根据判别式判断一元二次方程根的情况 1.(25-26八年级下山西大同期末)关于x的一元二次方程2x2+V3x-1=0的根的情况() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断 2.(25-26八年级下浙江绍兴期末)关于x的一元二次方程x2-x+k+1=0中，k>0,则该方程的根的情 况是() A.两实数根之和为1 B.两实数根之积为1 C.没有实数根 D.有两个不相等的实数根 3.(2026四川内江中考真题)对于实数a、b,定义运算“☆”如下：a☆b=ab2-ab,例如： 3☆2=3×2-3×2=6，则方程2☆x=3的根的情况为() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D,无法确定 ◆题型2根据一元二次方程根的情况求参数 4.(25-26八年级下浙江台州期末)已知关于x的一元二次方程x2-2+1=0有两个相等的实数根，则 k= 1/6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26八年级下·吉林·期末)已知关于x的一元二次方程2x2-4x+a=0有两个不相等的实数根，则4的 取值范围是 6.(25-26八年级下山东泰安期末)若关于x的一元二次方程x-(2k+)x+k=0有两个不相等的实数 根，则k的取值范围为。 ◆题型3利用根与系数的关系求代数式的值 7.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末)设，是关于x的一元二次方程x2-x-20=0的两个实数根， 则xx2+x的值为 8.(25-26八年级下·北京阶段检测)已知m、n是方程x2-2x-5=0的两个根，代数式 3m(m-1)-(m-3)(m+3)-m的值为 ;m2+n2的值为. 9.(25-26八年级下浙江金华阶段检测)设x,x2为方程2x2-7x+2=0的两根，试求下列各式的值： 11 2+ ②X 2+、 3)xV ◆题型4判别式和根与系数的关系的综合问题 10.(25-26八年级下·江苏苏州期末)已知关于x的一元二次方程x2-6x+m=0. (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围： (2)若方程的两根为X,x2,且，=2x,求m的值. 11.(25-26八年级下北京期末)已知关于x的一元二次方程x+(2k-)x+2-1=0的两个实数根分别为 X1,X2. (I)求k的取值范围； (2)若x,x2满足x+x3=3-xx2,求实数k的值 12,(25-26八年级下安徽六安期末)己知关于x的一元二次方程x+(k+3)x+k=0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根： 216 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若x、3是方程的两根，且+x-3x=13,求k的值. ◆题型5判别式和根与系数的关系的新定义型问题 13.(25-26八年级下江苏苏州期末)定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c均为 常数，a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”. (1)下列方程中，是“美丽方程”的是 (填序号). ①x2+2x=0;②x2-4x+4=0;③x2+4x+3=0 (②)若(x+2)(x+n)=0是“美丽方程”，求n的值. (3)若一元二次方程ax2+4a+c=0(a,c均为常数，a≠0)为“美丽方程”，请写出a、c满足的数量 关系，并说明理由。 14.(25-26九年级上安徽芜湖期中)若，x2是一元二次方程ar'+br+c=0(a≠0)的两根，则有 +5=-6 。,由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这 个关系称为一元二次方程根与系数的关系。 (山已知关于x的一元二次方程x-2(k-1)x+k-1=0的两个不相等的实数根分别为x,x,且满足： X1+X2=XX2,求k的值： (②)若a,B是方程x2-x-1=0的两根，记=a+B,S,=a2+B,…,S,=a”+B, ①当n为不小于3的整数时，证明：Sm2+S1=S: ②计算S2,S,的值 15.(25-26八年级下·广东深圳期末)已知关于x的一元二次方程a2+bx+c=0有两个实数根x,x, 若满足：一x=1,则此类方程叫做“差根方程”.根据“差根方程”的定义，解决下列问题： ()下列是“差根方程”的是 一；（填写序号） ①x2-x=0;②x2-4x-5=0 (2)已知关于x的方程x2+2axr=0是“差根方程”，求a的值. (3)已知△ABC是直角三角形，斜边BC的长为√7，若△ABC的两边AB、AC的长是一个二次项系数为1的 “差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程” 316 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.(2026内蒙古通辽·模拟预测)关于x的一元二次方程2x2-6x+k2+6=0根的情况为() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 2.(25-26八年级下浙江杭州期末)已知x,x2是一元二次方程x2-5x-8=0的两个根，则+x2-xx2 的值为() A.13 B.-13 C.3 D.-3 .(2026河南商丘模拟预测)已知关于的一元二次方程子+(m-1)x+㎡=0有两个相等的实数根。 则m的值是() A. B.4 c D.2 二、填空题 4.(25-26九年级上甘肃张掖阶段检测)定义新运算，对于任意实数m、n有m☆n=mn-m-n,则方程 2x☆(x+)=0的根的判别式的值为 5.(25-26九年级下·北京西城开学考试)若关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根， 则实数a的取值范围是 6.(25-26九年级下山东淄博期末)已知m,n是方程x2-2026x+1=0的两个实数根，则 (m2-2025m+2)(n2-2025n+2)的值为 三、解答题 7.(25-26八年级下·安徽马鞍山期末)已知关于x的一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根， (1)求a的取值范围， (2)若方程的一个根是另一个根的两倍，求a的值. 8.(25-26八年级下北京阶段检测)已知关于x的一元二次方程(a-3)x2-(a-2)x+1=0 (1)求证：方程总有两个实数根： (2)若方程的两个根均为整数，求整数a的值. 9.(25-26八年级下安徽毫州期末)已知a,b是关于x的一元二次方程(m-l)r2-2x+1=0的两个实数 416 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根 (1)求m的取值范围： (2)当m=-2时， ①求a2+b2的值： ②求-3a2-a+b的值. 10.(25-26九年级上广东江门期中)设x2是关于x的方程x2-5x+2k-1=0的两个实数根. (1)求k的取值范围： (2)若x2+x2=17,求k的值. 11.(25-26九年级上江西新余阶段检测)已知关于x的一元二次方程x+(m+3)x+m=0. (1)求证：无论取何值时，原方程总有两个不相等的实数根. (2)若x,戈是原方程的两根，且￥+为3-2=17.求m的值. 12.(25-26八年级下·湖南长沙期末)定义：方程ax2+bx+c=0(ac≠0)与方程cx2+bx+a=0互为 “换位方程”.如一元二次方程2x2-3x-1=0的“换位方程”是-x2-3x+2=0.已知关于x的一元二次 方程①：x2+(2m+)x+m-2=0,其中m≠2. (1)写出方程①的“换位方程”： (2)求证：当m≠2时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根： (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根x,求这个公共根及m的值. 13.(25-26九年级上：广东韶关期末)【阅读材料】若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 丙根为5与：则+与=台，西=台，这就是一元一次方程根与系数的关系。根据上述材料，结合你 所学的知识，完成下列问题： ()【材料理解】一元二次方程2x2-5x-1=0的两根为X,龙，则x+3=一，x为=一 ②【类比运用】已知关于x的一元二次方程-(2k+)x+号-2=0.若方程的两个实数根为5，为：满 足￥+5=2x2+5,求k的值. 14.(25-26八年级上：上海普陀·期末)【阅读理解】如果三个实数中有两个数乘积的算术平方根等于第三 个数，那么我们把这三个实数称为“组合平方数”· (1)3、6、12“组合平方数”；（填“是”或“不是”） (2)如果-2、n、4是“组合平方数”，那么n=一 516 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【问题探究】在学习一元二次方程时，我们知道一元二次方程2+r+c=0(a≠0)的根的情况是由系数 a、bc确定的， 已知关于x的一元二次方程ax+br+c=0(a>0)有实数根，请回答下列问题. (3)设pp为有理数，且p≠0)为该方程的两根之和，p为该方程的两根之积.求证：a、人c是 “组合平方数”： (4)当a=1时，a6c(bc≠)是“组合平方数”，且b2+2c2=15.求b和c的值. 616