2.5.1椭圆的标准方程（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆的定义及标准方程，通过行星轨道等生活实例和细绳画椭圆的动手实操导入，从圆的定义自然过渡到椭圆，搭建从直观到抽象的学习支架。 其亮点在于融合数学抽象、直观想象与逻辑推理，通过动手实验理解定义条件，结合特例推导标准方程培养运算能力。典型例题（如用定义法求轨迹方程）与小结“一个定义、两个方程”系统梳理知识，助力学生掌握方法，教师教学更高效。

第二章 平面解析几何 2.5.1椭圆的标准方程 2.5椭圆及其方程 【新教材】人教B版·高二选修第一册 学 习 目 标 1 2 理解椭圆的精准定义，明确椭圆定义中“平面内”“两个定点（焦点）”“距离之和为定值（2a）”以及“定值大于两焦点间距”的核心限定条件，能准确辨析定义的适用范围。 掌握椭圆两种标准方程的形式，熟练推导焦点在x轴、y轴上的椭圆标准方程，清晰区分两种方程的结构特征、参数关系（）及焦点位置。 能够运用定义法、待定系数法求解椭圆的标准方程，已知方程快速确定椭圆的焦点坐标、长半轴、短半轴等基本量，解决基础的椭圆求值问题。 聚焦数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算四大核心素养，通过椭圆模型抽象、图形与方程互化、公式推导运算，落实高二解析几何学业质量要求。 生活与科技中的椭圆图形 行星运行轨道、椭圆形操场、椭圆拱桥、光盘外轮廓、人造卫星轨道等， 这些图形是我们学过的圆吗？它和圆有什么区别？ 观察发现，圆是到定点距离为定值的点的轨迹，而这类图形是“扁圆”的封闭曲线，这些是本节课研究对象——椭圆。 动手实操 同学们动手实验：取一段定长细绳，将两端固定在平面内两个不同定点上，用笔尖拉紧细绳缓慢移动，观察笔尖画出的曲线。操作过程中设置递进问题： （1）笔尖移动过程中，什么量始终不变？ （2）若细绳长度等于两定点间距，会画出什么图形？（3）若细绳长度小于两定点间距，能否画出图形？ （细绳总长，即动点到两定点距离之和恒定） （线段） （无轨迹） 目标一：椭圆的定义 椭圆演示 知识讲解 互动探究 新课引入 椭圆给人的印象是 "压扁的圆" 如图所示，在平的画板上取两个定点 和 ，在这两个点上都钉上一个图钉，将一条长度大于 的细绳的两端固定在两个图钉上，用笔尖把细绳拉紧，并使笔尖在画板上慢慢移动一周，则画出的图形是一个椭圆． 6 椭圆定义 知识讲解 互动探究 新课引入 事实上：如果 是平面内的两个定点，a 是一个常数，且 2a ，则平面内2a 的动点 P 的轨迹称为椭圆，其中，两个定点 称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离 称为椭圆的焦距．另外，椭圆也可以通过用平面截圆锥面得到，因此椭圆是一种圆锥曲线． 7 下列命题是真命题的是______(将所有真命题的序号都填上)。 ①已知定点(-1,0), (1,0)，则满足的点P的轨迹为椭圆； ②已知定点 (-2,0), (2,0)，则满足=4的点P的轨迹为线段； ③到定点 (-3,0), (3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆； ④若点P到定点 (-4,0), (4,0)的距离之和等于点M(5,3)到定点 (-4,0), (4,0)的距离之和，则点P的轨迹为椭圆。 对点体验 解 ①因为,所以点的轨迹不存在; ②因为,所以点的轨迹为线段;③到定点距离相等的点的轨迹为线段的垂直平分线(轴);④因为点到定点的距离之和为,且,所以点的轨迹为椭圆。 特别提醒 点评 根据定义判断动点的轨迹是否为椭圆,务必要考虑椭圆的定义所满足的条件,即动点到两个定点的距离之和大于两个定点间的距离。(1)对限制条件“常数(大于的理解: ①当动点P满足时,动点P的轨迹为椭圆; ②当动点P满足时,动点P的轨迹为以为两端点的线段; ③当动点P满足常数 时,动点P的轨迹不存在。 (2)定义的双向运用: 一方面,符合定义中条件的动点的轨迹为椭圆;另一方面,椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数)。 目标二 ：椭圆的方程 特例铺路 知识讲解 互动探究 新课引入 思考: 设 是平面内的两个定点8, 证明平面上满 10 的动点 P 有无数多个, 并求 P 的轨迹方程. 不难想到, 可以通过坐标法来探讨上述满足条件的 P 点是否存在。 建系 以 所在直线为 x 轴, 线段 的垂直平分线为 y 轴坐标系 xOy, 设点 设椭圆的焦点分别(-4,0), (4,0). 设 P 的坐标为 (x,y), 列式 因为 , 而且 所以 ①, 11 特例铺路 知识讲解 互动探究 新课引入 思考: 设 是平面内的两个定点8, 证明平面上满 10 的动点 P 有无数多个, 并求 P 的轨迹方程. 化简 当 时, , 此时由 ① 得 , 整理得 , ②整理得 ③,将 ③ 式平方再整理得 ④当 时, 由 ① 可知 , 即 , 此时 ④ 也成立. 验证 可以验证, 如果 的坐标 满足 ④ 式, 则可得.不难看出, 方程 ④ 有无穷多组实数解, 这说明坐标满足 10 的点有无数多个, 而且 P 的轨迹方程为 ④ 式 12 推广 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地, 如果椭圆的焦点为 和 , 焦距为 , 而且椭圆上的动点 满足, 其中 . 则以 所在直线为 轴, 线段 的垂直平分线为 轴, 建立平面直角坐标系, 如图所示. 此时, 椭圆的焦点分别为 , .设 P(x,y) 是椭圆上任意一点, 13 推广 知识讲解 互动探究 新课引入 将 ⑦ 式平方, 再整理⑧, 当 x=0 时,由 ⑤ 可,此时 ⑧ 也成立.因为 a> 所以 且 b>0, 则 ⑧ 式可化为 =1 (a>b>0) ⑨. 可以验证, 方程 ⑨ 就是椭圆的方程, 通 常称为焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程. 思考: 设椭圆的焦点为 和，焦距为 2c，而且椭圆上的动点 P 满足2a，其中 a>c>0. 所在直线为 y 轴，线段 的垂直平分线为 x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示. 此时: (1) 椭圆焦点的坐标分别是什么? (2) 能否通过 ⑨ 式来得到此时椭圆方程的形式? 14 推广 知识讲解 互动探究 新课引入 此时椭圆的焦点是 ，，而且只要将方程 ⑨ 中的 与 互换，就可以得到椭圆的方程为 ⑩，其中. 这个方程通常称为焦点在 轴上的椭圆的标准方程. 由上可以看出，椭圆的标准方程由 以及焦点的位置确定，其中 . 如不特别声明，以后总认为椭圆有相应的 值以及 值，其中. 而且谈到椭圆的标准方程时，指的总是 ⑨⑩ 这两种形式之一 15 椭圆的标准方程 知识讲解 互动探究 新课引入 椭圆的标准方程 图像 椭圆焦点的位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上 焦点坐标 ， ， 焦距 异同点 相同点： 大小、形状都相同，都有 ，， 的关系都满足 。<br>不同点： 位置和焦点坐标不同 相同点： 大小、形状都相同，都有 ，， 的关系都满足 。<br>不同点： 位置和焦点坐标不同 16 知识剖析 方程的形式:左边是方。右边是1.点在x轴上⇔标准方程中含的分母比较大;椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2的分母较大。因此由椭圆的标圆的焦点位置的依据是方程中简记为“焦点位置看分母,焦点随着大的跑。 目标三 ：典型例题 题型1 椭圆定义的应用 例1 已知 B,C 是平面内的两个定点，=8，且平面内 AB 长等于 18，求这个三角形的顶点 A 的轨迹方程． 典例分析 牛刀小试 分析: 由 ABC 的周长等于 18 且 8，可知点 A定点的距离之和总是等于 10，因此点 A 一定在以 B,C为焦点的椭圆上。 解: 以 所在的直线为 轴, 线段 的垂直平分线为 轴, 建立平面直角坐标系 , 如图所示 由由 8, 可知 B(-4,0),C(4,0). 又因为 18,所以 10, 从而点 A 在以 B,C 为焦点的椭圆上, 而且这个椭圆上的点与两焦点的距离之和 2a=10, 又焦距 2c=8, 因此a=5,c=4.从而 =9 题型1 椭圆定义的应用 例1 已知 B,C 是平面内的两个定点，=8，且平面内 AB 长等于 18，求这个三角形的顶点 A 的轨迹方程． 典例分析 牛刀小试 分析: 由 ABC 的周长等于 18 且 8，可知点 A定点的距离之和总是等于 10，因此点 A 一定在以 B,C为焦点的椭圆上。 因此点 的坐标必须满足 , 再注意到因为是三角形, 所以 三点不能共线, 因此可知点 的轨迹方程为 . 题型2 求椭圆标准方程 例2 分别求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1) 两个焦点分别(-3,0), (3,0), 椭圆上的点 P 到两离之和等于 8; (2) 两个焦点分别是 (0,-4), (0,4) , 并且椭圆经过点 典例分析 牛刀小试 解: (1)由已知得 , 因此 . 又因为 , 所以 , 因为椭圆的焦点在 轴上, 所以所求椭圆的 方程为 . 题型2 求椭圆标准方程 例2 分别求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1) 两个焦点分别(-3,0), (3,0), 椭圆上的点 P 到两离之和等于 8; (2) 两个焦点分别是 (0,-4), (0,4) , 并且椭圆经过点 典例分析 牛刀小试 (2) 因为椭圆的焦点在 轴上，设它的标准方程为.由已知得 又因为 ，所以 . 因为点 在椭圆上，所以 ， 即 .从而有 ，解得 或 （舍去）. 因此 ，从而所求椭圆的标准方程为 . 题型2 求椭圆标准方程 例3 已知椭圆经过点和点,求椭圆的标准方程。 典例分析 牛刀小试 答 当椭圆的焦点在轴上时, 设椭圆的标准方程为。 因为点和点在椭圆上, 所以 所以 因为,所以不符合题意,即焦点在轴上的椭圆不存在。 解答本题可设出椭圆的标准方程,再确定相应系数,要注意对焦点位置的讨论。 题型2 求椭圆标准方程 例3 已知椭圆经过点和点,求椭圆的标准方程。 典例分析 牛刀小试 当椭圆的焦点在轴上时,设椭圆的标准方程为。 因为点和点在椭圆上, 所以 所以 满足 题意,故所求的椭圆的标准方程为 。 解答本题可设出椭圆的标准方程,再确定相应系数,要注意对焦点位置的讨论。 题型2 求椭圆标准方程 例4 求与椭圆 有相同的焦点,且经过 点 的椭圆的标准方程。 典例分析 牛刀小试 方法一:由已知可得椭圆 的 焦点为 , 则所求椭圆的焦点 坐标为 。由椭圆的定义可 得 故所求椭圆的标准方程为 。 题型2 求椭圆标准方程 例4 求与椭圆 有相同的焦点,且经过 点 的椭圆的标准方程。 典例分析 牛刀小试 方法二: 由焦点在 轴上, 设所求椭圆的标 准方程为 , 由已知得 , 则 。① 将已知点 代入, 得 。② 由①②解得 故所求椭圆的标准方程为 。 题型2 求椭圆标准方程 例4 求与椭圆 有相同的焦点,且经过 点 的椭圆的标准方程。 典例分析 牛刀小试 方法三: 由题意可以设所求椭圆方程为 , 将已知点代入, 得 , 解得 或 (舍去)。故所求椭圆的标准方程为 。 共焦点的椭圆系方程 (1)求椭圆有公共焦点的椭 圆系方程为 ; (2)与椭圆有公共焦点的椭 圆系方程为 。 题型3 应用方程求参 例5 已知方程 。 若方程表示焦点在 轴上的椭圆, 求实 数 的取值范围; 若方程表示焦点在 轴上的椭圆, 求实 数 的取值范围; 若方程表示焦点在坐标轴上的椭圆, 求 实数 的取值范围 典例分析 牛刀小试 答(1)依题意,有m+9>0, m+9>25-m, 25-m>0, 解得8< m<25。 (2)依题意,有m+9>0, 解得-9< m<8。 m+9<25-m, 得8>m>-9, (3)依题意,有25-m>0, 解得-9< m+9≠25-m, m<25,且m≠8,故实数m的取值范围是 (-9,8) U (8,25)。 (1)由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标或求参 数的值(或其取值范围)。 ①求椭圆的焦点坐标时，若方程不是标准方程，应先将其化为标准方程，确定 的值和焦点所在的坐标轴，再利用关系式 求出 ，即可写出焦点坐标。 ②已知方程求参数的值(或其取值范围)时，需注意：对于方程 ，当 时，方程表示焦点在 轴上的椭圆；当 时，方程表示焦点在 轴上的椭圆。特别地，当 时，方程表示圆心在原点的圆。若已知方程的形式不是标准方程，需先进行转化。 目标四：针对训练 举一反三 1.已知椭圆 的焦点为 ，.过点 的直线与 交于 两点.若 的周长为 ，则椭圆 的标准方程为( ) A. B. C. D. 答案：C 解析:由题设,椭圆焦点在 轴上,若所求椭圆方程为 ， 因为 的周长为 ，则 ，故 ，而 ，则 ，所以椭圆方程为 . 举一反三 2.已知椭圆 的左焦点为 ，则 ( ) A.9 B.4 C.3 D.2 答案：C 解析：由椭圆 的左焦点为 ，可知 .因为 ，所以 .故选C. 举一反三 3.“”是“方程 表示椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D .既不充分也不必要条件 答案：B 解析：∵方程 表示椭圆，∴ 解得 或 .故“”是“方程 表示椭圆”的必要不充分条件. 举一反三 4.已知椭圆 的左焦点为 ， 为 上一动点，定点 ，则 的最大值为( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：因为 ，所以点 在椭圆内部.记椭圆 的右焦点为 ，则 .连接 ，如图所示，由题得 ，点 在椭圆 上，所以 ，，则 ，当点 是 的延长线与椭圆 的交点时，取等号，所以 的最大值为 . 举一反三 5.若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是______. 答案： 或 . 解析：∵方程 表示焦点在 轴上的椭圆，∴ ，∴ 或 .故答案为 或 . 6.已知椭圆 ，点 与椭圆 的焦点不重合.若 关于椭圆 的焦点的对称点分别为 ，线段 的中点在椭圆 上，则 ______. 答案：12 解析：如图，不妨设 分别为椭圆 的左、右焦点，点 关于 的对称点为 ，点 关于 的对称点为 .设线段 的中点为 ，连接 ，则由 是 的中点，可知 . 同理可得 ，∴ .根据椭圆的定义得 ，∴ . 目标五：小结 学海拾贝 本节课我们完成了椭圆从几何直观到代数表达的完整探究，核心内容可总结为“一个定义、两个方程、一套方法、一组关系”： 一个核心定义： 平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，两定点为焦点，两焦点间距为2c，动点距离和为2a（a>c>0）。 学海拾贝 2. 两种标准方程： 焦点在x轴上：=1(a>b>0)； 焦点在y轴上：=1(a>b>0)。 口诀：焦点看分母，谁大焦点在谁轴。 3. 一组核心关系： 椭圆中恒满足，其中a为长半轴长，b为短半轴长，c为半焦距。 4. 一套通用方法：求曲线标准方程四步法——建系、设点、列式、化简；求椭圆方程常用定义法和待定系数法。 学海拾贝 5、思想方法总结： 全程运用数形结合思想实现几何图形与代数方程的互化，用分类讨论思想区分两种焦点位置的椭圆方程，是后续学习双曲线、抛物线的基础范式。 6、易错提醒： 牢记椭圆定义的限定条件（定值大于两焦点间距），区分a、b、c的大小关系与等量关系，避免焦点位置判断错误。 【新教材】人教B版·高二选修第一册 感谢聆听! $