2.5.1椭圆的标准方程 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆的定义及标准方程，从生活中椭圆形象（如图2-5-1）入手，对比圆的定义提出问题，引导学生抽象椭圆特征，以坐标法推导为支架衔接圆到椭圆的知识脉络。 其亮点在于通过“尝试与发现”活动（如用日常物品做椭圆、辨析定义条件）培养数学抽象和直观想象素养，推导从特殊到一般，结合表格对比标准方程，例题与训练强化数学运算。学生提升探究能力，教师可直接使用结构化教学资源。

2.5.1椭圆的标准方程 高中数学人教B版(2019)选择性必修一 主讲人： 1 1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界中的作用. 2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、 标准方程． 椭圆定义的应用及求椭圆的标准方程． 椭圆标准方程的推导． 1.通过椭圆概念的引入和椭圆标准方程的推导培养数学抽象素养和直观想象素养.2.通过椭圆标准方程的求解培养数学运算素养． 课标解读 素养目标 教学重点 教学难点 2 在日常生活与学习中可以见到很多有关椭圆的形象，如图2-5-1（1）（2）所示。 我们还知道圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的特征是：任意一点到圆心的距离都等于半径，那么，你能说说到底什么是椭圆吗？椭圆上任意一点的特征是什么？ 情景与问题 3 知识点一、椭圆的定义 如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a__>__|F1F2|，则平面内满足________________的动点P的轨迹称为椭圆。 其中，两个定点F1，F2称为椭圆的________，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的________． |PF1|＋|PF2|＝2a 焦点 焦距 4 想一想： (1)对定义中限制条件“两个定点F1，F2”，如果重合，点的轨迹是什么? 尝试与发现1 你能用日常生活中的物品做出一个椭圆吗？ 椭圆定义中的两个定点F1，F2是指不重合的两点，当F1与F2重合时，相应点的轨迹是圆． 5 条件 结论 2a＞|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a＜|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在 想一想： (2)定义中为什么要限制条件“2a>|F1F2|”？ 6 坐标法探求椭圆的标准方程 尝试与发现2 设F1，F2是平面内两个定点，证明|F1F2|=8，证明平面上满足|PF1|+|PF2|=10的动点P有无数多个,并求P的轨迹方程. 以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xoy，设椭圆的焦点分别是F1(-4,0),F2(4,0). 设点p(x,y)，因为|PF1|+|PF2|=10，而且 所以 ① 当x≠0时， 因此，由 可知 ① 7 整理得  +整理得  将式平方，再整理得 ④ 当x=0时，由可知 ，即 ，此时④也成立. 可以验证，如果P的坐标(x,y)满足④，则可得|PF1|+|PF2|=10， 不难看出，方程④有无穷多组实数解，这说明坐标满足|PF1|+|PF2|=10的点有无数多个，而且P的轨迹方程为④式. 8 尝试与发现3 一般的，如果椭圆的两个焦点为F1和F2，焦距为2c，而且椭圆上的动点P满足|PF1|+|PF2|=2a,其中a>c>0.以F1F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图2-5-3所示.求P的轨迹方程. 由已知设椭圆的焦点分别是F1(-c,0),F2(c,0). 设点p(x,y)，因为|PF1|+|PF2|2a，因为 所以 ⑤ 当x≠0时， 因此，由⑤ 可知 9 整理得 整理得 将 式平方，再整理得 当x=0时，由 可知 ，此时 也成立. 因为a>c>0,所以a2-c2>0,设a2-c2=b2且b>0,则 式可以化为 ⑥ ⑤+⑥ ⑦ ⑦ ⑧ ⑤ ⑧ ⑧ ⑨ 10 尝试与发现4 设椭圆的两个焦点为F1和F2，焦距为2c，而且椭圆上的动点P满足 |PF1|+|PF2|=2a,其中a>c>0.以F1F2所在的直线为y轴，线段F1F2的垂 直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图2-5-4所示. 此时：求P的轨迹方程 (1)椭圆焦点的坐标分别是什么？ (2)能否通过⑨式来得到此时椭圆方程形式？ (1)椭圆的焦点分别是F1(0，-c),F2(0，c) (2)只要将方程⑨中的x与y互换，就可以得到椭圆的标准方程 11 知识点二　椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形 焦距 |F1F2|＝______ 焦点坐标 ____________ ____________ a，b，c的关系 _______________ 2c (±c，0) (0，±c) a2＝b2＋c2 12 例 1(教材)分别求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点分别是F1（-3,0）,F2（3,0）椭圆上的点P到两焦点的距离之和等于8； 解：（1）由已知得2a=8，因此a=4.又因为c= 3 所以b2=a2-c2=42-32=7 因为椭圆的焦点在x轴上, 所以所求椭圆的标准方程为 13 例 1(教材)(2)两个焦点分别是F1（0,-4）,F2（0,4）并且椭圆经过点 解：（2）因为椭圆点在y轴上, 设它的标准方程为 由已知得c= 4 又因为c2=a2-b2,所以a2=b2+16 因为点 在椭圆上， 所以 即 从而有 解得b2=4或b2=-12（舍） 因此a2=4+16=20, 从而所求椭圆的标准方程为 14 例2(教材)已知B,C是平面内两个定点，|BC|=8，且平面内△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程. 解：以BC所在的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xo y如图2-5-5所示。 由|BC|=8，可知B(-4,0),C(4,0).又因为|AB|+|AC|+|BC|=18,所以|AB|+|AC|=10.从而点A在以B,C为焦点的椭圆上，而且这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a=10。又焦距2c=8 ,因此a=5,c=4.从而b2=a2-c2=25-16=9, 因此点A的坐标必须满足 再注意到因为是三角形，所以A,B,C三点不能共线， 因此可知点A的轨迹方程为 15 1．椭圆 的焦距为(　　) A．2 B．3 C． D．4 巩固训练 解析：由椭圆方程可知焦距2c＝ ＝4.故选D. 2．椭圆 的一个焦点是(0，－1)，那么k＝________． 解析：因为椭圆 的一个焦点是(0，－1)，所以c2＝k－2＝1，解得k＝3. 16 解析：若n>m>0，则 表示焦点在y轴上的椭圆，若 表示焦点在y轴上的椭圆，则n>m>0，所以“n>m>0”是“方程 表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件．故选C. 3．“n>m>0”是“方程 表示焦点在y轴上的椭圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17 4．(多选)与椭圆 有公共焦点的椭圆是(　　) A. B. C. D. 解析：与椭圆 有公共焦点的椭圆系方程为 (λ>－16)．对比各选项可知，当λ＝－2时，得 ；当λ＝5时，得 ；当λ＝－9时，得 .故选BCD. 18 5．已知F1，F2为椭圆 的两个焦点，P为椭圆上一点，3|PF2|＝5|PF1|，则△PF1F2的面积为________． 解析：由 ，得a＝4，c＝2，即|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，|F1F2|＝4，又3|PF2|＝5|PF1|，则|PF1|＝3，|PF2|＝5，所以△PF1F2为直角三角形，∠PF1F2＝90°，所以S△PF1F2＝ |PF1|·|F1F2|＝ ×3×4＝6. 19 本节要点回顾 1.椭圆的定义． 2.椭圆的标准方程． 3.求椭圆的标准方程． 易错提醒 求动点轨迹方程时，注意扣点问题． 20 感谢观看！ 21 📐 椭圆定义演示 |PF₁| + |PF₂| = 绳长（常数）  ·  拖动焦点 或 调节绳长 探索椭圆 ⏸ 静止 |PF₁| + |PF₂| = 380.0 🧵 绳长 380 ▶ 播放 ↺ 重置 🐢 🐇 |PF₁| = 0.0 |PF₂| = 0.0 和 = 0.0 ｜ 绳长 = 380.0 $