第2章 2.5.2 第1课时 椭圆的几何性质（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件聚焦椭圆的几何性质，涵盖范围、对称性、顶点、离心率及标准方程求解，通过类比直线与圆的方程研究方法导入，以问题引导观察椭圆特征，用表格梳理焦点位置不同的性质，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动数学眼光观察图形，通过方程推导与几何推理培养数学思维，用表格和规范步骤强化数学语言表达。如离心率结合三角形边角关系推导，跟踪训练分类讨论焦点位置，助力学生提升直观想象与逻辑推理能力，教师可直接用系统例题与分层训练提高教学效率。

第1课时 椭圆的几何性质 第二章　2.5.2　椭圆的几何性质 <<< 1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆的标准方程中a，b，c的几何意义. 2.会用椭圆的几何意义解决相关问题. 学习目标 类比利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质，我们可以利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括范围、形状、大小、对称性和特殊点等. 导 语 一、椭圆的几何性质 二、由几何性质求标准方程 课时对点练 三、椭圆的离心率 随堂演练 内容索引 椭圆的几何性质 一 提示　范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b； 对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点； 顶点：A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b). 观察椭圆＝1(a>b>0)的形状，你 能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 问题1 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 __________________ ____________________ 图形     焦点 _____________________ ______________________ 焦距 |F1F2|＝____ ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0) F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 2c 知识梳理 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 对称性 对称轴： ，对称中心：________ 范围 x∈ ，y∈________ x∈ ，y∈________ 顶点 ________________________________________________ ________________________________________________ 轴长 长轴长|A1A2|＝ ，短轴长|B1B2|＝___ x轴和y轴 (0，0) [－a，a] [－b，b] [－b，b] [－a，a] A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 2a 2b (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上. (2)中心O既是长轴中点又是短轴中点，也是F1F2的中点. (3)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点. (4)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. 注 意 点 <<< 9 提示　利用离心率e＝来刻画椭圆的扁平程度. 如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝，记e＝，则0<e<1，e越大， ∠BF2O越小，椭圆越扁；e越小，∠BF2O越大，椭圆越接近于圆. 观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？这个定量对椭圆的形状有何影响？ 问题2 一般地，椭圆的半焦距与半长轴长之比e＝ 称为椭圆的离心率，e∈ . 当e越趋近于1时，椭圆越 . 当e越趋近于0时，椭圆越接近于 . (0，1) 扁 圆 知识梳理 e＝. 注 意 点 <<< 12 　求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标和焦点坐标： (1)＝1； 例 1 由椭圆方程知，a＝，b＝，c＝＝1， 所以椭圆的长轴长为2，短轴长为2， 顶点坐标为(－，0)，(，0)，(0，－)，(0，)， 焦点坐标为(－1，0)，(1，0). 解 13 (2)4x2＋y2＝16. 椭圆方程可变形为＝1， 所以a＝4，b＝2，c＝＝2， 所以椭圆的长轴长为8，短轴长为4，离心率为， 顶点坐标为(－2，0)，(2，0)，(0，－4)，(0，4)， 焦点坐标为(0，－2)，(0，2). 解 14 　(课本例1)求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率： (1)＝1； 例 1 由36>24可知这个椭圆的焦点在x轴上，且a2＝36，b2＝24，因此长轴长2a＝12，半短轴长b＝2. 又因为c2＝a2－b2＝36－24＝12，即c＝2. 因此，椭圆的焦点坐标为(－2，0)，(2，0). 离心率e＝. 解 15 (2)8x2＋3y2＝24. 已知椭圆的方程可化为＝1， 由8>3可知这个椭圆的焦点在y轴上，且a2＝8，b2＝3， 因此长轴长2a＝4，半短轴长b＝. 又因为c2＝a2－b2＝8－3＝5，即c＝. 因此，椭圆的焦点坐标为(0，－)，(0，). 离心率e＝. 解 16 用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式. (2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质. 反 思 感 悟 17 　已知椭圆C1：＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短 轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上. (1)求椭圆C1的半长轴长、半短轴长、焦点坐标及离心率； 跟踪训练 1 由椭圆C1：＝1，可得其半长轴长为10，半短轴长为8， 焦点坐标为(6，0)，(－6，0)，离心率e＝. 解 18 (2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质. 椭圆C2：＝1.几何性质如下： ①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10； ②对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点； ③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)， 短轴端点(－8，0)，(8，0)； ④焦点：(0，6)，(0，－6)，焦距为12； ⑤离心率：e＝. 解 19 二 由几何性质求标准方程 求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8； 例 2 由题意知，2c＝8，c＝4， ∴e＝，∴a＝8， 从而b2＝a2－c2＝48， ∴椭圆的标准方程是＝1. 解 21 (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为； 由已知得 ∴从而b2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为＝1或＝1. 解 22 (3)长轴长是短轴长的3倍，且过点(3，0). 依题意得a＝3b， 若点(3，0)为长轴端点，则a＝3，b＝1， 椭圆方程为＋y2＝1， 若点(3，0)为短轴端点，则b＝3，a＝9， 椭圆的方程为＝1， 综上，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＝1. 解 23 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是 反 思 感 悟 24 已根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)； 跟踪训练 2 25 当焦点在x轴上时， 设椭圆方程为＝1(a>b>0). 依题意有解得 ∴椭圆的标准方程为＝1. 同理可求出当焦点在y轴上时， 椭圆的标准方程为＝1. 故所求椭圆的标准方程为＝1或＝1. 解 26 (2)与椭圆9x2＋4y2＝36焦点相同且短轴长为2； 椭圆9x2＋4y2＝36的方程可化为＝1， 焦点坐标为(0，±)，即c＝， 又短轴长为2，∴2b＝2，∴b＝1，即a2＝b2＋c2＝6， 故所求的椭圆方程为x2＋＝1. 解 27 (3)过点M(1，2)，且与椭圆＝1的离心率相同. 设所求椭圆方程为＝k1(k1>0)或＝k2(k2>0)， 将点M的坐标代入可得＝k1 或＝k2，解得k1＝，k2＝， 故， 即所求椭圆的标准方程为＝1或＝1. 解 28 椭圆的离心率 三 设椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C 上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为　　　. 例 3 30 方法一　由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝. 方法二　由PF2⊥F1F2可知点P的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝. 又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|， 故2c＝·(a2－c2)＝2ac， 等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e， 解得e＝或e＝－(舍去). 解析 31 若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率. 延伸探究 如图，在△PF1F2中， ∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°， ∴∠F1PF2＝60°， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，m＋n＝2a， 则在△PF1F2中，有， ∴， ∴e＝. 解 32 (课本例2)已知椭圆C的焦点为F1，F2，短轴的一个端点为B，且△BF1F2是一个等边三角形，求椭圆C的离心率. 例 3 因为|BF1|＝|BF2|＝a，|F1F2|＝2c，所以依据题意可知a＝2c， 从而有e＝. 解 33 求椭圆离心率及取值范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解. (2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围. 反 思 感 悟 34 设e是椭圆＝1的离心率，且e∈，则实数k的取 值范围是 A.(0，3) B. C.(0，3)∪ D.(0，2) 跟踪训练 3 √ 当k>4时，c2＝k－4， 由条件知<<1，解得k>； 当0<k<4时，c2＝4－k， 由条件知<<1，解得0<k<3，综上知选C. 解析 35 1.知识清单： (1)椭圆的简单几何性质. (2)由椭圆的简单几何性质求椭圆方程. (3)椭圆的离心率. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：(1)焦点位置不确定时应讨论焦点在x轴上和y轴上两种情况. (2)对含有a，c的齐次方程或不等式，不会转化为关于离心率e的方程或不等式求解. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.椭圆4x2＋49y2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是 A.7，2， B.14，4， C.7，2， D.14，4， √ 将椭圆方程化为标准形式＝1， 其中b＝2，a＝7，c＝3. 所以长轴长、短轴长、离心率依次为14，4，. 解析 1 2 3 4 2.已知椭圆的离心率为，焦点是(－3，0)和(3，0)，则该椭圆的方程为 A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 √ 由题意知c＝3，，则a＝6， ∴b2＝a2－c2＝27，∴椭圆的方程为＝1. 解析 1 2 3 4 3.已知椭圆＝1(a>b>0)的一个短轴端点与两个焦点构成的三角形的内切圆半径为，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. √ 由题设，焦点三角形的周长为2(a＋c)，面积为bc， 又其内切圆半径为， 所以bc＝××2(a＋c)＝⇒2c＝a⇒e＝. 解析 4.若椭圆C：＝1的一个焦点坐标为(0，1)，则C的长轴长为 　　　. 2 ∵椭圆的一个焦点坐标为(0，1)， ∴m2－1－m＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1， 由于＝1表示的是椭圆，则m>1，∴m＝2， 则椭圆方程为＝1， ∴a＝，2a＝2. 故长轴长为2. 解析 1 2 3 4 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A A B B AB (2，4] 题号 11 12 13 14 　15 答案 AC C C ＝1 　B 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 椭圆方程可化为＝1，m>0. ∵m－>0，∴m>， ∴a2＝m，b2＝，c＝＝. 由e＝， ∴m＝1.∴椭圆的标准方程为x2＋＝1， 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴a＝1，b＝，c＝. ∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1， 焦点坐标为， 四个顶点的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)若∠F1AB＝90°， 则△AOF2为等腰直角三角形， 所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c. 所以a＝c，e＝. (2)由题意知A(0，b)，F2(1，0)， 设B(x，y)，由＝2， 解得x＝，y＝－. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 代入＝1，得＝1， 即＝1，解得a2＝3， 又c2＝1，所以b2＝2， 所以椭圆的方程为＝1. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4， 得|AF1|＝3，|F1B|＝1. 因为△ABF2的周长为16， 所以由椭圆定义可得4a＝16， |AF1|＋|AF2|＝2a＝8，故|AF2|＝8－3＝5. (2)设|F1B|＝k，k>0，则|AF1|＝3k，|AB|＝4k. 由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k. 在△ABF2中，由余弦定理可得 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B， 即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)(2a－k)， 化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0， 故a＝3k. 于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k. 因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2， 可得F1A⊥F2A， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故△AF1F2为等腰直角三角形. 从而c＝a， 所以椭圆E的离心率e＝. 基础巩固 1.椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为 A. B.2 C. D.4 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 椭圆x2＋my2＝1的标准形式为x2＋＝1. 因为焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍， 所以＝2，所以m＝. 解析 2.已知椭圆＝1(a>b>0)有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的 焦点坐标是 A.(±，0) B.(0，±) C.(±，0) D.(0，±) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在x＋2y＝2中，由y＝0得x＝2，由x＝0得y＝1，则该直线交x轴于点(2，0)，交y轴于点(0，1)， 依题意得a＝2，b＝1，则c＝，显然，椭圆焦点在x轴上， 所以椭圆的焦点坐标是(±，0). 解析 3.焦点在x轴上，半长轴长与半短轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为 A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意得c＝2， a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，从而解得a＝6，b＝4. ∴椭圆的方程为＝1. 解析 4.曲线＝1与＝1(0<k<9)的关系是 A.有相等的焦距，相同的焦点 B.有相等的焦距，不同的焦点 C.有不等的焦距，不同的焦点 D.以上都不对 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 曲线＝1的焦距为2c＝8，而曲线＝1(0<k<9)表示的椭 圆的焦距也是8，但焦点所在的坐标轴不同. 解析 5.已知椭圆＝1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，且|OA|＝ |OB|(O为坐标原点)，则该椭圆的离心率为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意可知a＝b，即， 所以该椭圆的离心率e＝. 解析 6.(多选)若椭圆＝1的离心率为，则k的值为 A. B.－3 C.3 D. √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若焦点在x轴上， 则＝1－，∴k＝； 若焦点在y轴上，则，∴k＝－3. 解析 7.已知椭圆的半短轴长为1，离心率0<e≤，则长轴长的取值范围为 　　　　. ∵e＝，b＝1，0<e≤， ∴≤， 则1<a≤2，∴2<2a≤4， 即长轴长的取值范围是(2，4]. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2，4] 8.在平面直角坐标系中，椭圆＝1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e＝　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，切线PA，PB互相垂直， 又半径OA垂直于PA， 所以△OAP是等腰直角三角形，a. 解得，则离心率e＝. 解析 9.已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴长、焦点坐标、顶点坐标. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 椭圆方程可化为＝1，m>0. ∵m－>0，∴m>， ∴a2＝m，b2＝，c＝＝. 由e＝， ∴m＝1.∴椭圆的标准方程为x2＋＝1， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴a＝1，b＝，c＝. ∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1， 焦点坐标为， 四个顶点的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，. 解 10.如图，已知椭圆＝1(a>b>0)，F1，F2分别为 椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B. (1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率； 若∠F1AB＝90°， 则△AOF2为等腰直角三角形， 所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c. 所以a＝c，e＝. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的标准方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知A(0，b)，F2(1，0)， 设B(x，y)，由＝2， 解得x＝，y＝－. 代入＝1，得＝1， 即＝1，解得a2＝3， 又c2＝1，所以b2＝2， 所以椭圆的方程为＝1. 解 11.(多选)若椭圆绕其对称中心旋转90°，所得新椭圆的两个顶点恰好是旋转前椭圆的两个焦点，就称该椭圆为“对称椭圆”.下列方程所表示的椭圆是“对称椭圆”的有 A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 因为新椭圆的两个顶点恰好是旋转前椭圆的两个焦点， 所以2b＝2c，即b＝c， 对于A，a2＝6，b2＝3，则c2＝a2－b2＝3，所以b＝c，所以A正确； 对于B，a2＝12，b2＝8，则c2＝a2－b2＝4，所以b≠c，所以B错误； 对于C，a2＝10，b2＝5，则c2＝a2－b2＝5，所以b＝c，所以C正确； 对于D，a2＝5，b2＝3，则c2＝a2－b2＝2，所以b≠c，所以D错误. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.椭圆＝1(a>b>0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝5|PF2|，则此椭圆离心率的取值范围是 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知|PF1|＋|PF2|＝2a， |PF1|＝5|PF2|，则|PF1|＝，|PF2|＝， ∵|PF1|－|PF2|≤|F1F2|， ∴≤2c，e≥. 又e<1，∴椭圆离心率的取值范围是. 解析 13.如图，过点P分别作平面α，β，γ截圆柱得到椭圆C1，C2，C3.其中，椭圆C1，C3所在的平面分别与上底面、下底面所成的锐二面角相等，设椭圆C1，C2，C3的离心率分别为e1，e2，e3，它们的大小关系为 A.e1>e2>e3 B.e1＝e2>e3 C.e1＝e3>e2 D.e2>e1＝e3 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设椭圆C1，C2，C3的长轴长分别为2a1，2a2，2a3， 短轴长分别为2b1，2b2，2b3，焦距分别为2c1，2c2，2c3， 由题意得a1＝a3>a2，b1＝b2＝b3， 则e1＝， e2＝，e3＝， 由a1＝a3>a2，b1＝b2＝b3得，<，故e1＝e3>e2. 方法二　根据椭圆的扁平程度确定离心率，离心率越大，椭圆越扁，离心率越小，椭圆越圆，由此可得e1＝e3>e2. 解析 14.焦点在y轴上且中心为原点的椭圆C2与椭圆C1：＋y2＝1的离心率相同，且C1，C2在第一象限内公共点的横坐标为1，则C2的方程为 　　 　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 椭圆C1中，a＝，c＝＝1， 故椭圆C1的离心率为， 在＋y2＝1中，令x＝1，得y＝±， 故C1，C2在第一象限内公共点的坐标为， 设C2：＝1(a1>b1>0)， 将＝1， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又， 故C2的方程为＝1. 解析 15.已知F1，F2分别是椭圆E：＝1(a>b>0)的左、右焦点，O是坐标原点，P是椭圆E上一点，PF1与y轴交于点M.若|OP|＝|OF1|，|MF1|＝， 则椭圆E的离心率为 A.或 B.或 C.或 D.或 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接PF2(图略)， 由|OP|＝|OF1|，得|OP|＝|F1F2|， 则PF1⊥PF2，易得△PF1F2∽△OF1M， 则，即， 解得|PF1|＝， 则|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－， 因为PF1⊥PF2，所以， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即＝4c2， 整理得72c4－85a2c2＋25a4＝0， 则72e4－85e2＋25＝0，解得e2＝或e2＝， 故e＝或e＝. 解析 16.设F1，F2分别是椭圆E：＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直 线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|. (1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4， 得|AF1|＝3，|F1B|＝1. 因为△ABF2的周长为16， 所以由椭圆定义可得4a＝16， |AF1|＋|AF2|＝2a＝8，故|AF2|＝8－3＝5. 解 (2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设|F1B|＝k，k>0，则|AF1|＝3k，|AB|＝4k. 由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k. 在△ABF2中，由余弦定理可得 |AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B， 即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)(2a－k)， 化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k. 于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k. 因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 可得F1A⊥F2A， 故△AF1F2为等腰直角三角形. 从而c＝a， 所以椭圆E的离心率e＝. 解 第二章　2.5.2　椭圆的几何性质 <<< $