第一章集合与常用逻辑用语单元试卷（基础） -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 《集合与常用逻辑用语综合训练基础版》适配高中数学单元复习，全面覆盖集合运算、命题否定、充要条件等核心知识点，通过基础巩固与综合应用梯度设计，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|命题否定、子集个数、集合关系|基础概念辨析，如第1题全称命题否定| |多选|3/18|集合性质、充要条件判断|多维度考查逻辑思维，如第10题充要条件辨析| |填空|3/15|命题真假、补集运算|简洁考查知识应用，如第14题子集个数与方程结合| |解答|5/77|集合运算、充要条件应用、不等式恒成立|综合问题设计，如第18题结合命题真假与集合关系，培养数学表达|

第一章 集合与常用逻辑用语综合训练基础版 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题的否定是（ ） A． B． C． D． 2．集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 3．已知集合，且，则实数的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 4．不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 6．设a，b是实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 8．已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中，正确的是（     ） A．的近似值的全体构成一个集合 B． C．在整数集中，若，则 D．若，则且 10．下列各题中，是的充要条件的有（   ） A．：关于的方程有唯一解 B．：两个三角形相似；：两个三角形三边成比例 C．； D．是一元二次方程的一个根； 11．下列命题正确的是（    ） A．设，则“是“”的既不充分也不必要条件 B．“关于的不等式恒成立”的一个充分不必要条件是“” C．真包含于 D．命题“，”为假命题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，如果是假命题，是真命题，则实数的取值范围是_________，若是真命题，是假命题，则实数的取值范围是______. 13．设全集，且，若，则________. 14．若集合只有2个子集，则a的取值集合是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知集合. (1)求； (2)求 16．已知集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)设命题p：，命题q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 17．设全集，集合. (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围. 18．已知命题，，集合为命题为真命题时实数的取值集合．集合． (1)求集合； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 19．设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 试卷第2页（共3页） 试卷第3页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第一章 集合与常用逻辑用语综合训练基础版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C C D A B A BCD ABD 题号 11 答案 BC 1．A 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是. 故选：A. 2．D 【分析】先用列举法写出集合，得出元素个数，再利用公式计算其子集个数. 【详解】由已知得集合，共有3个元素，所以其子集个数为. 故选：D. 3．C 【分析】由或求得并代入集合检验． 【详解】因为，所以分为以下两种情况讨论． ①或， 当时，集合，满足题意； 当时，集合，不满足集合元素的互异性，故舍去． ②，此时集合，不满足集合元素的互异性，故舍去． 综上所述，． 故选：C． 4．C 【分析】本题首先可将不等式恒成立转化为函数恒成立，然后分为、两种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果. 【详解】因为不等式对于任意的恒成立， 所以函数对于任意的恒成立， 当时，函数，满足题意； 当时，结合二次函数性质易知，，解得， 综上所述，实数的取值范围是， 故选：C. 【点睛】易错点睛：本题考查利用二次函数性质解不等式，在解题时要特别注意这种情况，考查判别式的应用，考查计算能力，是中档题. 5．D 【详解】根据充分不必要条件的定义，可知区间是区间的真子集， 则有且等号不能同时成立，解得. 故实数的取值范围是. 6．A 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，得，则， 取，满足，而，即不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7．B 【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解. 【详解】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 8．A 【分析】利用列举法表示集合，再结合包含关系求出集合的个数. 【详解】依题意，，由，知， 因此集合可视为集合与集合的子集的并集，又的子集有个， 所以集合C的个数为8. 故选：A 9．BCD 【分析】结合集合的基本性质、集合间的关系、整数集的性质及子集定义的否定的对应概念逐一判断即可. 【详解】对于A，“的近似值”没有明确的精度标准，不能构成集合，故A错误； 对于B，集合，集合，显然，故B正确； 对于C，整数的相反数仍然是整数，因此若，则，故C正确； 对于D，的定义是“对任意，都有”，其否定即为“且”，也就是的等价表述，故D正确. 10．ABD 【分析】根据充分条件和必要条件的定义对选项逐一分析即可. 【详解】对于A：当时，方程无解，当时，方程有唯一解， 故是的充分必要条件；故A正确； 对于B：两个三角形相似与两个三角形三边成比例可以互相推导， 故是的充要条件；故B正确； 对于C：，则或，故不是的充要条件.故C错误； 对于D：将1代入方程，可得， 反之，若，则， 代入方程，可得， 解得或，所以是一元二次方程的一个根， 故是的充要条件.故D正确. 11．BC 【详解】A选项，当时，若，则，所以是的不充分条件， 反之，若，则必然成立， 所以是的必要条件，则是的必要不充分条件，所以A选项错误； B选项，关于的不等式恒成立等价于，解得：， 所以是不等式恒成立的充分不必要条件，所以B选项正确； C选项，设集合，集合， ，当时，为奇数， ，当时，为奇数或偶数， 所以真包含于，所以C选项正确； D选项，不妨设，由， 所以恒成立，则，为真命题，所以D选项错误. 12． 【详解】，是假命题，是真命题， ， 解得， 即实数的取值范围是； 是真命题，是假命题， ， 解得，无解； 即实数的取值范围是. 13．4 【分析】根据补集概念得到，故1，4是方程的两根，由韦达定理求出答案. 【详解】，故， 即1，4是方程的两根，由根与系数的关系可得. 故答案为：4 14． 【分析】由子集个数判断集合只有一个元素，分和讨论即可求解. 【详解】因为集合只有两个子集，所以集合只有一个元素， 当时，方程的解为，符合题意； 当时，，解得，所以实数取值集合为. 故答案为： 15．(1) (2)或 【分析】（1）由交集、并集运算即可求解； （2）由交并补的混合运算即可求解. 【详解】（1）由条件可得：； （2）或 所以或 16．(1) (2)． 【分析】（1）由推出，对集合是否为分类讨论，求解即得； （2）由是成立的必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即得． 【详解】（1）由，可得， 因为，， ①当时，，解得，符合题意； ②当时，则，解得， 综上所述，．故实数a的取值范围为． （2）由题意可得，是的充分不必要条件，故B是A的真子集， 又，， 则（等号不能同时取到），解得，故实数a的取值范围是． 17．(1)； (2) 【分析】（1）利用并集，补集与并集的概念求解； （2）由得，分为与两种情况讨论，列出不等式求解. 【详解】（1）因为，所以，又， 所以； 因为或， 所以. （2）因为，所以. 若，即，可得，符合题意； 若，则，无解， 综上，的取值范围是. 18．(1) (2) (3) 或 【分析】 （1）根据存在性命题为真的条件，结合二次函数判别式大于0求解集合； （2）将代入对应方程求出的可能值，再验证交集是否符合要求； （3）由得，分为空集、非空两类，结合判别式和韦达定理求解的范围. 【详解】（1）命题为真，即存在使得成立， 二次函数开口向上，故需判别式， 所以 ，解得，因此集合； （2）由得， 将代入对应方程得： ， 化简得，解得或， 当时，方程为，根为、， 此时，，不符合条件，舍去； 当时，方程为，根为、， 此时，，符合条件， 综上，； （3）由得，即中所有元素均为负实数，分两类讨论： ① 当时，方程无实根， 判别式 解得，符合条件； ② 当时，方程有实根，需满足，且两根均为负， 由韦达定理得： ，分别解得、、或， 所以， 综合两类情况，实数的取值范围是或. 19．(1)或 (2)或 【分析】（1）分和两种情况讨论求范围即可； （2）命题为真命题得到，然后分为真命题，为假命题和为假命题，为真命题两种情况讨论. 【详解】（1）为真命题时， 当时，，成立； 当时，，解得. 所以时，为真命题， 所以若为假命题，实数的范围为或. （2）若命题为真命题，则，所以，解得， 设，， 当为真命题，为假命题时，的范围为； 当为假命题，为真命题时，的范围为， 综上可得或， 所以的范围为或. 答案第6页（共7页） 答案第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $