第一章集合与常用逻辑用语单元试卷（提高）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 《集合与常用逻辑用语》高一数学单元提高卷，满分150分，覆盖集合运算、逻辑用语等核心知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查数学抽象与逻辑推理能力，适配单元复习提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|充分条件、集合关系、元素个数|结合集合间关系考查充分条件判断，如第1题| |多选题|3/18|集合相等、充要条件|多选项辨析集合性质，如第11题判断充要条件| |填空题|3/15|集合运算、容斥原理|第14题以员工参赛为情境考容斥原理，体现应用意识| |解答题|5/77|新定义集合、性质证明|第18题结合抽屉原理探究集合性质，第19题证明奇数属于集合，培养逻辑推理与数学表达|

《集合与常用逻辑用语》单元测试（提高卷） 高一 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟。 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若“”是“”成立的充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．设集合，集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．设，，则的元素个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 4．下列说法错误的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．或 C．已知，，且，则 D．集合，或中有无数个元素 5．设，是两个实数，命题：“，中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 6．已知全集，，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．已知，集合有8个子集，则的一个值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．如果四个互不相等的正整数m、n、p、q满足，则的最大值为（   ） A．40 B．48 C．50 D．52 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题列出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的是（    ） A． B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．若用列举法表示集合，则集合可以表示为 10．设集合，，则（    ） A． B． C．若集合，则 D．若集合，则 11．（多选）下列各题中，是的充要条件的有（   ） A．：关于的方程有唯一解 B．：两个三角形相似；：两个三角形三边成比例 C．； D．是一元二次方程的一个根； 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．集合，集合，若，则实数m的取值范围是______． 13．已知，且集合与集合表示同一个集合，则实数__________. 14．为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15． （13分） 设集合，. (1)若，求a的取值范围; (2)若，求a的取值范围 16． （15分） 对集合，定义集合，记为有限集合的元素个数． (1)若，求； (2)给定集合的子集，求集合的元素个数； 17． （17分） 已知集合，集合． (1)当时，求，； (2)若：是：的必要条件，求的取值范围． 18． （17分） 设是正整数，是的非空子集(至少有两个元素)，如果对于中的任意两个元素，，都有，则称集合具有性质. (1)试判断集合和是否具有性质，并说明理由. (2)若，证明：A不可能具有性质. (3)若，且具有性质和，求中元素个数的最大值. 19． （17分） 已知集合， (1)求证：任何奇数都是中的元素； (2)判断偶数是否为的元素？请说明理由； (3)求证：属于的两个元素之积仍属于； (4)试求中第个正整数． 《集合与常用逻辑用语》单元测试（提高卷）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A A B D A C AD ACD 题号 11 答案 ABD 1．A 【详解】设，， 则由题意得，所以，解得． 2．D 【详解】若，则，解得， 因此当时，的取值范围为 3．A 【详解】若，则，即,所以． 若，当时，，即； 当时，由及，得， 从而，即，所以． 因此，故，其元素个数为0． 4．A 【分析】逐一分析各选项中集合的表示、运算及性质是否符合定义，判断出错误选项. 【详解】对于A：对于，若取，则是偶数，故A错误； 对于B，集合的补集为，但不存在同时等于2和的实数， 因此该补集为空集，原集合即为全体实数集，故B正确； 对于C：由，可分两种情况讨论： ① 若且，由得，两边同除以得，即； ② 若且，由得，两边同除以得，即； 两种情况均得，故C正确； 对于D：集合表示平面直角坐标系中轴、轴上所有点的集合， 因为坐标轴上的点有无数个，因此该集合的元素个数为无数个，故D正确. 5．B 【分析】根据充分不必要条件的定义结合选项逐项判断. 【详解】对于选项A，当时，满足，但命题不成立； 即由不能推出命题：“，中至少有一个数大于”成立， 所以不是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分条件，A错误； 对于选项C，D，当时，满足，，但命题不成立. 即由不能推出命题：“，中至少有一个数大于”成立， 由不能推出命题：“，中至少有一个数大于”成立， 所以不是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分条件，C错误； 不是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分条件，D错误； 对于选项B，当时，若，都小于等于，则，与矛盾， 所以由可推出命题“，中至少有一个数大于”成立， 若命题“，中至少有一个数大于”成立， 例如，此时，此时不成立， 故由命题“，中至少有一个数大于”成立不能推出， 所以是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件. 6．D 【详解】因为，所以，，所以，故A正确； 对于任意，则，又，所以，所以，故B正确； 若，则，又，则，则， 与矛盾，所以，同理，，故，故C正确； 若时，可得不成立，故D错误. 7．A 【分析】根据已知条件得出集合中元素的个数，从而得出的因数个数，即可求出的值． 【详解】由题意得集合中有8个子集， 又，集合中有三个元素，即有三个正因数， 而在正整数中，恰有3个正因数的数是质数的平方， 设为质数，则，此时正因数为， ，，则或3， 的值可以为4或9，故A正确． 故选：A． 8．C 【分析】通过9的整数因子有，确定构成的集合，即可求解. 【详解】因为9的整数因子有， 由题意互不相等， 所以构成的集合只能是， 即构成的集合是， 要使得取得最大值， 则， 此时， 故选：C 9．AD 【分析】根据集合相等的定义，空集的定义，以及集合的表示方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，根据集合相等的定义，可得集合，所以A正确； 对于B，空集是没有任何元素的集合，集合是含有元素的单元素集合， 所以与不是同一个集合，所以B错误； 对于C，集合，集合， 所以集合与集合不是同一个集合，所以C错误； 对于D，由方程组，解得，所以集合可以表示为，所以D正确. 10．ACD 【详解】集合是模3余1的整数， 是模3余2的整数，则，故A正确； 3的倍数既不属于集合，又不属于集合，故，故B错误； 对任意，，满足集合的元素特征， 则，故C正确； 对任意，，满足集合的元素特征， 则，故D正确． 11．ABD 【分析】根据充分条件和必要条件的定义对选项逐一分析即可. 【详解】对于A：当时，方程无解，当时，方程有唯一解， 故是的充分必要条件；故A正确； 对于B：两个三角形相似与两个三角形三边成比例可以互相推导， 故是的充要条件；故B正确； 对于C：，则或，故不是的充要条件.故C错误； 对于D：将1代入方程，可得， 反之，若，则， 代入方程，可得， 解得或，所以是一元二次方程的一个根， 故是的充要条件.故D正确. 12． 【分析】可先求解时参数的取值范围，再取其补集得到时的范围. 【详解】先求解的情况： 当集合为空集时，则， 解得，此时. 当集合非空时，需满足，若， 分析可得在右侧，即，解得. 综上，时，或， ∴ 时，的取值范围是. 13．1 【分析】通过集合相等的性质分类讨论求解. 【详解】显然， ①若，则解得，此时，不满足集合中元素的互异性； ②若，则，则，，时即可满足集合中元素的互异性，满足题意； ③若，则，则或可解得或. 经检验这两种情况均不满足集合中元素的互异性. 综上可知，. 14．10 【分析】根据题意画出韦恩图，利用容斥原理列式即可求解. 【详解】设三项比赛都参加的员工为人，结合已知条件可知，只参加乒乓球、网球比赛的员工为人， 只参加羽毛球、乒乓球比赛的员工为人，只参加羽毛球、网球比赛的员工为人， 只参加乒乓球比赛的员工为人，只参加网球比赛的员工为人，只参加羽毛球比赛的员工为人， 如图所示： 故，解得， 故这三项比赛都参加的员工人数是10. 故答案为：10 15．(1) (2)或 【分析】（1）由可知，进而得到，结合韦达定理运算求解； （2）由可知,分别讨论或或或四种情况a的取值情况，取并集即可. 【详解】（1）由题意可知：， 因为，则，可知， 即方程的两根为， 则，解得， 所以. （2）因为，则，可知或或或， 若，由（1）可知； 若或，则，解得， 把代入方程为，解得，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为或. 16．(1) (2)4 【分析】（1）根据题干中给出的新定义可知，集合表示两集合的并集元素去掉两集合的交集元素，由此得到新集合； （2）根据新定义集合所给的定义方法及组合数公式对集合元素个数进行判断． 【详解】（1）因为， 故； （2）因为，， 设，则，因为， 故符合条件的的个数为． 17．(1)， (2) 【分析】（1）根据题目条件，求出集合，再根据集合的运算，求出结果即可； （2）根据必要条件和集合的关系，判断集合的包含关系，进而根据包含关系分类讨论，求出参数范围. 【详解】（1）当时，，则， 可知或，则. （2）若：是：的必要条件，则， 当时，可得，解得，此时符合条件， 当时，可得，解得， 综上所述，当是：的必要条件时，. 18．(1) 当时，因为存在，满足，与对于A中的任意两个元素x，y，都有，相矛盾，所以集合B不具有性质； 当时，对于集合中任意两元素之差的绝对值共有以下种情形： 因为这种情形都满足，所以集合C具有性质； (2) 将集合中的元素分为如下11个集合: ， 要从集合中选取12个元素，由于前9个集合中，每个集合中的2个元素之差的绝对值等于3，不满足题意，所以前9个集合中，每个集合最多选1个元素，而最后2个集合中各只有1个元素，就算必选，也才只有11个元素，而题意中要选12个元素，所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，这样就存在两个元素之差的绝对值等于3，不满足题意，所以A不可能具有性质； (3)110个 【分析】(1)利用举反例和列举全部来判断即可； (2)利用抽屉原理，把相差的数两两一组，然后再去选数，由于只分了个抽屉，但要选个元素，则必有一个是选到相差为的个数，从而找到矛盾，可得问题得证； (3)利用抽屉原理，按连续个自然数为一个抽屉，只需要研究一个抽屉最多可以选几个元素满足题意，最后可确定元素个数的最大值，并举例说明. 【详解】（1）略 （2）略 （3）先说明连续11项中集合A中最多选取5项，以为例. 按相差7来构造抽屉，按相差来分类研究： ①5，6，7同时选，因为具有性质和，所以选5则不选1，9，选6则不选2，10，选7则不选3，11，则只剩4，8可选，由于，所以只能选其中1个数，此时只能选5，6，7，4或5，6，7，8共4个元素，故中属于集合A的元素不超过5个. ②5，6，7中选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又中只能选1个元素，3，8可以选(4与8不能同时选)，若选，最多全选，也才是5个元素，故中属于集合A的元素不超过5个. 若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，故中属于集合A的元素不超过5个. 若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又中只能选1个元素，4，9可以选，故中属于集合A的元素不超过5个. ③5，6，7中选0个或只选1个，又四个集合每个集合至多选1个元素，故中属于集合A的元素不超过5个. 由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A的元素至多只有5个，如取， 因为，则把每11个连续自然数分组，前21组每组至多选取5项. 从232开始，最后10个数至多选取5项，故集合A的元素最多有个. 给出如下选取方法:从中选取，然后在这5个数的基础上每次累加11，构造21次.此时集合A中的元素为，共有110个元素，经检验可得该集合符合要求.故集合A中的元素最多有110个. 19．(1)任意奇数可表示为，，因此可知任何奇数都是集合中的元素． (2)，且同是奇数或同是偶数， 所以集合中的元素是奇数，或者是的倍数. 一定是偶数，但不是的倍数，所以数字不是集合中的元素. (3)不妨任意取，则， 所以 ， 由得，，所以. 即属于集合的两个元素之积仍属于集合. (4) 【分析】⑴由任意奇数，可证； ⑵由可知集合中的元素是奇数，或者是的倍数，分析的特点可证； ⑶取，则，计算，并结合完全平方公式可得； ⑷由集合中的元素是奇数，或者是的倍数，分析可得中第个正整数． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）因为相邻的个整数中必有两个奇数和一个的倍数，由（2）知这个数中有个是集合的元素. 因为，所以中第个正整数是． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $