07-第五章 二次函数-3 二次函数的应用-课时2 图形面积问题-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（北师大版·新教材）

这是一份初中数学九年级上册期末复习课件，聚焦第五章二次函数的应用（图形面积问题），包含刷基础和刷提升两部分，精选近5年多省市期中、质检真题，提供详细解析和思路分析，为学生构建从知识点理解到综合应用的学习支架。 资料特色突出核心素养培养，通过矩形花园改造、临时换衣间设计等真实情境问题，引导学生用数学眼光观察现实世界，抽象数量关系，通过设变量、列二次函数、配方求最值的解题过程，发展数学思维（推理与运算能力），以规范的数学语言表达问题解决过程，强化模型意识，丰富的分层例题和真题能帮助学生提升解题能力，也为教师教学提供优质资源支持，助力九年级学生应对升学考试，巩固核心知识。

数 学 九年级上册 BS 1 2 3 第五章 二次函数 4 3 二次函数的应用 课时2 图形面积问题 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点 利用二次函数解决几何图形的面积最值问题 （第1题图） 1.【2026安徽六安期中】如图是一个长、宽 的矩形花园， 现要将它的长缩短，宽增加 ，则修改后花园的最大面积为 ( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意知修改后花园的面积为 ， 当时，修改后花园的面积取得最大值，最大值为. 故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 （第2题图） 2.【2025辽宁沈阳质检】用总长度为 的不锈钢材料制作成如 图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与， 平 行，则矩形框架 的最大面积为( ) A A. B. C. D. 【解析】设,矩形框架的面积为，则 ， ， 当时， 取得最 大值,为4, 矩形框架的最大面积为 .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 （第3题图） 3.【2025广东广州期中】如图，在中， ， ，.动点从点出发，沿边向点 以 的速度运动（不与点重合），同时动点从点 出发，沿 边向点以的速度运动（不与点重合）.当四边形 的面积最小时，运动的时间为( ) B A. B. C. D. 【解析】设运动时间为，四边形的面积为，则 ， ，， ， 即， 当 时， 有最小值,为12， 当四边形的面积最小时,运动的时间为 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 （第4题图） 4.【2026北京大兴区调研】如图，四边形是一块边长为 的正方形铁板，在边上选取一点，分别以和 为边截取 两块相邻的正方形板材，设的长为，当 的值为___时，截 取的两块板材的面积和最小. 1 【解析】，， . 设截取的两块板材的面积和为 .根据题意得 ， 当时， 有最 小值，最小值为2，故答案为1. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 5.【2026浙江杭州期中】如图是小关设计的风筝草图 ，其中风 筝的两根龙骨和互相垂直，垂足为，若他计划用长为 的 毛竹制作风筝的龙骨（不计损耗），且要求，则当 的长 为____时，四边形 的面积最大，此时的最大面积是_______ . 40 1 200 【解析】设，则.根据题意得 ，解得 .设四边形的面积为,则 ， ， 二次函数图象开 口向下，抛物线的对称轴为直线,且在对称轴左侧，随 的增大而增大. ，时，有最大值，.故答案为40， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 思路分析 根据题意列不等式并求解出的长度范围，再列出四边形 的面积表达式， 并根据二次函数的图象和性质确定最大面积及 的长. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 6.【2026广西贺州期中】【综合与实践】在海边洗浴时，往往因没有合适的地方 更换衣服而尴尬.小明妈妈买来一块长、宽 的加厚不透明的布料，用来围成 一个无盖的长方体形状的临时换衣间（如图（1），地面是长方形，布料接头部分 忽略不计），小明发现高 的换衣间空间大小取决于所围空间的地面的面积，而 地面的面积会随长方形地面的一边长的变化而变化.设临时换衣间的长方形地面的 一边长为，临时换衣间地面面积为 ，请你帮小明解决以下问题： 图（1） 图（2） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 （1）求出与 之间的函数关系式. 【解】由题意得，长方形地面的另一边长为 ，则 . （2） 为何值时，临时换衣间的地面面积最大？最大面积是多少？ 【解】由（1）得， . ， 当时，有最大值，为，故当 时，临时换衣间的地面面 积最大，最大面积是 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 14 （3）如图（2），小明发现离洗浴地不远处有一栋长、高 的建筑外墙.若 利用部分墙体，你能帮小明设计地面面积更大的临时换衣间吗？若能，请结合具 体数据进行说明. 【解】能.假设长方形地面与建筑外墙平行的一边长为 ，则与建筑外墙垂直的 一边长为 ， . ， 当时，有最大值，为， 当长方形地面的长为 ，宽为 时，地面面积最大. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 提升 1.【2026天津滨海新区质检，中】如图，有一块矩形空地 ， 学校规划在其中间的一块四边形空地 上种花，其余的四块 三角形空地上铺设草坪，其中点，，，分别在边 ， D A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 ，，上，且.已知， ，有下列 结论：①铺设草坪的面积可以是.②种花的面积的最大值为. 的长有两个不同的值满足种花的面积为 .其中，正确结论有( ) 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 16 【解析】由题意易得， , ,,.设 ，则 ， .根据题意得 ，方程整理得 ，解得 ，， 铺设草坪的面积可以是 ,故①正确.设种 花的面积为 ，则 ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 17 当时， 有最大值，最大值为450，故②正确.根据题意得 ，解得，， 的长有两个不同的值满足种花 的面积为 ，故③正确.故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2.【2026河北沧州质检，中】九年级16班计划 在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长 的围栏（全部用完，不计损耗），准备围成一 C A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.面积都一样 【解析】方案1：如图（1），设米，则 米，则菜 园面积为， 当 时，菜 园面积最大，为8平方米. 边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、 等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案（如图），最佳方案是( ) 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 19 方案2：如图（2），过点作于，则 .由题意知 米.， 当米，即 是等腰直角三角形时，的面积最大为 （平方米）. 方案3：半圆的半径为米， 半圆的面积为 （平方米） ， 方案3的菜园面积最大， 在这三种方案中，最佳方案是方案3.故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 20 （第3题图） 3.【2026江西赣州质检，中】如图，在矩形 中， ，，动点从点出发向终点运动，连接 ， 以为边在上方作正方形，在点 运动的过程中，阴 影部分面积的最小值为____. 15 【解析】设 四边形为矩形， ， ， 当 时，阴影 部分的面积有最小值，为15，故答案为15. ， ， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 21 思路分析 设.用含的代数式分别表示和，进而可得出关于 的函 数表达式，利用二次函数的性质即可求解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 4.【2026陕西西安调研，中】在一块三角形钢板 中裁出一个面积最大的三角 形，裁剪方案如图所示，顶点在边上，顶点，分别在边， 上，已知 ，，，则当三角形的面积最大时， 的长为___. 3 （第4题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 【解析】过点作于点，交于点， 易得 ，.，， .在 中，.设，则 ， ， ， ， 当时， 有最 大值，此时 .故答案为3. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 24 5.【2026广东珠海期中，中】课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备 将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大. 初三（1）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横 截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大.为此，他们对水槽的横截面进行了如 下探索： 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 25 图（1） （1）方案①： 把它折成横截面为直角三角 形的水槽（如图（1））. 若 ，设 厘米，该水槽的 横截面面积为平方厘米，请你写出与 之 间的函数关系式（不必写出 的取值范围）， 【解】由题意得 厘米， ， 当时， 取得 最大值，最大值为1 800. 并求出当取何值时， 的值最大，最大值又是多少. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 26 图（2） 方案②： 把它折成横截面为等腰梯形的水槽 （如图（2））. 若 ，请你求出该水槽的横截面面积的 最大值，并与方案①中的 的最大值比较大小. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 27 【解】如图，过点作于，过点作于 . 在等腰梯形中， , . 设厘米，等腰梯形的面积为 平方厘米，则 厘米. 又 ， 厘米， 厘米， 厘米， , 当时，有最大值， . ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 28 （2）假如你是该兴趣小组中的成员，通过两个方案的研究，你能得出什么结论？ 【解】由（1）的结果大致可推断出折的边数越多，横截面面积越大，因此折的边 数无限多，即折的图形为半圆时，横截面面积最大. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 29 $