06-第五章 二次函数-3 二次函数的应用-课时1 抛物线形问题-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（北师大版·新教材）

这是一份初中数学九年级上册的期末复习课件，聚焦第五章二次函数，包含“刷基础”“刷提升”“刷素养”三个模块。通过确定函数表达式、抛物线形问题等知识点讲解，结合隧道截面、拱桥水位等实例解析，搭建从基础到综合应用的学习支架，支持学生系统掌握二次函数知识。 资料特色突出核心素养培养，以抛物线形喷水池、篮球投篮等现实情境问题为载体，引导学生用数学眼光观察实际现象，通过交点式、顶点式等表达式确定方法发展推理能力，借助WPS编辑和超链接跳转提升教学便捷性。能帮助学生强化知识应用能力，为教师提供分层教学资源，助力九年级学生应对升学考试。

数 学 九年级上册 BS 1 2 3 第五章 二次函数 4 3 二次函数的应用 课时1 抛物线形问题 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 确定二次函数表达式 1.已知二次函数图象的顶点是，且经过点 ，则二次函数的表达式是 ___________________. 【解析】设二次函数的表达式为 其图象经过点 ，，解得, 二次函数的表达式是 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 2.【2025山东东营期中】二次函数的图象如图所示，与 轴交点坐 标为，与轴交点坐标为，对称轴为直线 ，则其 表达式为_________________. 【解析】 二次函数的图象与轴交点坐标为 ，对称轴为直 线， 与轴另一个交点坐标为 .设二次函数的表达式 为，把代入得，，解得， ， 其表达式为 ，故答案 为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 关键点拨 根据题目给定的交点坐标，用“交点式”表示二次函数的表达式是解题关键. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 3.【2025新疆乌鲁木齐期中】如图，隧道的截面由部分抛物线 和长方形构成.长方形的长为，宽为 ，抛物线的最高点 与路面的距离为，过的中点 建立如图所示的平面 直角坐标系,则该抛物线的函数表达式为_______________. 【解析】由题意可得，点的坐标为，点的坐标为 .设此抛物线的表 达式为，将代入,得，解得， 此 抛物线的表达式为，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 4.【2025甘肃平凉期中】已知二次函数中，函数与自变量 的部 分对应值如下表： … 0 1 2 4 … … 10 1 1 25 … （1）求这个二次函数的表达式； 【解】 把，，代入,得 解得 所以抛物线的表达式为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 （2）写出这个二次函数图象的顶点坐标. 【解】 ，所 以抛物线的顶点坐标为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 知识点2 抛物线形问题 5.【2026辽宁大连质检】如图（1）是一座抛物线形拱桥，按如图（2）所示方式 建立平面直角坐标系，在正常水位时水面宽米，拱顶 到水面的距离为9 米，当水位上升5米时，水面宽 为( ) D 图（1） 图（2） A.10米 B.15米 C.18米 D.20米 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 【解析】由题可知点的坐标为，设抛物线表达式为 ，则 ，解得， 抛物线表达式为 .当水位上升5米时，水 面所在直线为，令，解得， 水面宽 为 （米）.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 14 6.【2026湖北咸宁质检】如图，要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水 管 ，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距 离为处达到最高，高度为，若水管高度为 ，要使水柱落地处在水池内， 水池半径至少应为___ . 4 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的表达式为 .由题意可知抛物线的顶点坐标为 ， 抛物线与轴的交点坐标为 ， ，解得， 抛物线的表达式为 .当时，，解得 （负根已舍 去）， 水池半径至少应为 ，故答案为4. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 7.【2026广东广州期中】某校初三年级的一场篮球比赛中， 队员甲正在投篮，已知球出手时距地面 ，球出手后沿 一条抛物线运动，当球飞行的水平距离为 时达到最大高 度 ，建立如图所示的平面直角坐标系（图中所有点均在 同一竖直平面内）. （1）抛物线的顶点坐标为______； 【解析】根据题意得，抛物线的顶点坐标为，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 （2）求出抛物线的表达式； 【解】根据题意得，球出手时所在位置的坐标为 ，设抛物线的表达式为 ， 将代入可得，解得 ， 抛物线表达式为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 （3）若队员甲与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面 ，问此球能否准确投中？ 【解】根据题意得，篮圈中心的坐标为 . 将代入抛物线表达式得，左边右边， 此球能准确投中. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 提升 （第1题图） 1.【2026山西临汾质检，中】随着自动化设备的普及，许多 家庭庭院也引入了自动喷灌系统.如图，喷灌器喷水点 到地 面的高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为 时 达到最大高度 ，且水柱刚好落在庭院围墙与地面的交 界线上的点 处（图中所有点均在同一竖直平面内）.若喷灌 D A. B. C. D. 器喷出的水柱呈抛物线形，则喷灌器与围墙之间的距离 为 ( ) 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 20 【解析】如图，建立平面直角坐标系.由题意得抛物线顶点坐标为 ，设抛 物线的表达式为 点 在抛物线上， ，解得，.当 时，，解得， （不符合题意，舍去）， .故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 21 2.［中］已知抛物线经过点和，且与轴交于点，若 ,则这 条抛物线的表达式是_______________________________. 或 【解析】设抛物线的表达式为，点坐标为 或.把代入,得，解得 ，此时抛物 线的表达式为，即；把 代入 ，得，解得 ，此时抛物线的表达式为 ，即.综上，抛物线的表达式为 或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 思路分析 已知抛物线与轴的交点坐标，则可设交点式，再由 得 到点坐标为或，然后把和分别代入 可求出对应的 的值，从而可得抛物线表达式. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 （第3题图） 3.【2025北京丰台区质检，中】如图，一条抛物线与 轴相交 于，两点（点在点的左侧），其顶点在线段 上移动， 点，的坐标分别为，，点 的横坐标的最大 值为4，则点 的横坐标的最小值为____. 【解析】由题意可知，当图象顶点在点处时，点 的 横坐标为最大值4， 可设此时抛物线的表达式为.把点 的坐标 代入得，解得.当图象顶点在点处时，点 的横 坐标最小，此时抛物线的表达式为,令 ，则 ,解得或1, 点的横坐标的最小值为.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 24 关键点拨 解题关键是由题意得到当图象顶点在点处时，点的横坐标最大；当图象顶点 在点处时，点 的横坐标最小. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 25 4.【2025浙江台州期末，中】图（1）是一座三拱悬索桥，图（2）是其抛物线形 桥拱的示意图，三条抛物线的形状相同，分别交于桥墩点，, 位于同一水 平线处.从桥头点处的碑文得知桥面长为270米，小张从桥头点 出发走到桥 尾点 过程中的微信步数（步长视为定值）统计如下表： 计数位置 点 点 点 点 点 点 步数/步 0 140 180 360 400 540 根据上述数据信息得小张的步长为_____米，中间两桥墩的距离 _____米. 0.5 108 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 26 【解析】根据题意得小张的步长为（米）.以点为原点， 所在直线为 轴，步长为单位长度建立平面直角坐标系，如图所示，则， ， .设段抛物线的表达式为.将 代入得 ，， 段抛物线的表达式为 三条抛物线的形状相同，的中点坐标为, 设 段抛物线的表达式为.将 代入得 ，， 段抛物线的表达式为 .令 ，解得 ，即点的横坐标为162，由对称性知点 的横坐标为378， （步），（米）.故答案为 ，108. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 27 刷有所得 先确定抛物线经过的点，再根据点的坐标求得抛物线表达式. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 刷素养 走向重高 5.核心素养 应用意识 【2025湖南益阳质检，较难】某农场有一个花卉大棚，其 横截面顶部为抛物线形，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体 上 （墙体足够长），， 均为支架，相关数据如图（1）所示（单位：米），其 中支架米， 米，两种支架各用了200根. 为增加棚内空间，农场决定将图（1）中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架 的长度变化情况如图（2）所示，调整后与上升相同的高度，即 ,其横 截面顶部仍为抛物线形，若增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），经费预算 为40 000元.以为原点，和所在的直线分别为轴和 轴建立平面直角坐标系. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 29 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 30 （1）求出改造前的抛物线的函数表达式； 【解】如图（1）. 图（1） 由题意可知，， .设改造前的抛物线的函数表达式为 ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 31 解得 改造前的抛物线的函数表达式为 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 （2）求出改造前大棚的最大高度； 【解】， 当时， 取得最大值 ， 改造前大棚的最大高度为 米. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 33 （3）在经费预算内，求出 的最大值. 图（2） 【解】 改造前的抛物线的函数表达式为 ， 当 时， ，. ， ，， 改造后抛物线对称轴为直线 ， 设改造后抛物线表达式为 ,把 代入得,, .如图（2）， 当时，，当 时， ，， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 34 ， ，解得 . ， 当时， 取最大值，最大 值为， 的最大值为2米. 思路分析 根据已知条件设改造后抛物线表达式为 ,进而表示出 ，的坐标,得到关于的不等式，进而得到 的最大值. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 $