12-第五章 二次函数-大招专题5 二次函数中的最值问题-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（北师大版·新教材）

这是一份初中数学九年级上册的期末复习课件，以二次函数最值问题为核心，构建“母题学大招—子题练变式—大招解读”的学习支架，涵盖几何定理法、代数法、铅垂法等解题方法及实例解析。 资料特色融合核心素养，通过将军饮马模型培养几何直观，构造二次函数求最值提升运算能力，铅垂法面积计算强化模型意识，助力学生掌握中考难点，为教师提供系统教学资源，帮助九年级学生应对升学考试重点。

数 学 九年级上册 BS 1 2 3 第五章 二次函数 4 大招专 题5 二次函数中的最值问题 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招16 几何定理法求线段之和（差）最值 1.［中］如图，已知抛物线过点，，其对称轴为直线 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 （1）求该抛物线的表达式. 【解】 抛物线过点，，且它的对称轴为直线， 抛物线与 轴的另一个交点的坐标为 . 设抛物线表达式为 . 把代入，得，解得， 此抛物线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 （2）若点是抛物线对称轴上的一点，且点 在第一象限. ①当的面积为15时，求点 的坐标； 图（1） 【解】如图（1），点是抛物线对称轴上的一点，且点 在第一象 限， 设，直线的表达式为，则 ，解 得， 直线的表达式为 . 设直线与抛物线对称轴交于点，则， . ，，解得或 （舍去）， 点的坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 ②在①的条件下，是抛物线上的动点，当取得最大值时，求点 的坐标. 【解】设直线的表达式为.把，代入得 解得 直线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 图（2） 如图（2），当的值最大时，点，， 在同一条直线上. 是抛物线上的动点， 联立得 解得（舍去）， . 关键点拨 当,,共线时, 的值最大. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 大招解读 几何定理法求线段之和（差）最值 （1）线段之差最大问题：当两定点和动点共线时，线段之差最大，所以动点在两 定点所在的直线上，求解时可过两定点作直线. （2）线段之和（周长）最小问题：这类问题一般是将军饮马中“两定点，定线上 一动点”，求解时作对称点，将求和的两条线段转化到一条线段上. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 子题练变式 两点之间线段最短 2.［中］如图，抛物线与轴交于，两点，与 轴交于点，，，连接和 . （1）求抛物线的表达式. 【解】 ，，，.将 ， 代入，得解得 抛物线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 （2）点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求点 的坐标. 【解】由可知，抛物线对称轴为直线 .由抛物线的对称性可 知，点与点 关于对称轴对称. 如图，设交对称轴于点,连接,则 . 由两点之间线段最短可知，此时最小，而 的长度是定 值，故此时的周长取得最小值.由 可知，点 的坐标为 . 设直线的表达式为，将点代入，得 ， 直线的表达式为，当时，， 点的坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 14 思路分析 设交对称轴于点，由抛物线的对称性可知 ,由两点之间线 段最短可知，此时有最小值，而的长度是定值，故此时 的周长 取得最小值，求出直线 的表达式，即可得到答案. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 母题学大招17 代数法求线段最值 3.［中］如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点 的坐 标为 . （1）求点 的坐标； 【解】 点在抛物线上，， ， 令，得，解得或， 点的坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 16 （2）若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线 距离的最大值. 【解】由（1）知， . 过作于点，作轴于点,交于点 ，如图. ，，， 是等腰直角三角形， . 轴，， 是等腰直角三角 形， 易得， 当取最大值时， 取最大值. 设直线的表达式为，将代入得 ， ， 直线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 17 设，则 ， . ， 当时，取得最大值,为 ， ， 点到直线距离的最大值为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 大招解读 代数法求线段最值 解决二次函数图象中求平行于坐标轴的线段最值问题时，常用代数法：设出动点 坐标，利用坐标表示出线段长度，构造二次函数，利用二次函数的性质求最值. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 子题练变式 4.【2026湖北武汉调研，较难】如图（1），已知抛物线 经 过轴正半轴上一点和轴负半轴上一点，且 . 图（1） 图（2） 图（3） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 （1）求抛物线 的表达式. 【解】，，, . 把，代入,得解得 抛物线 的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 （2）将抛物线平移，使其顶点与重合得到抛物线 ，如图（2）所示，设 抛物线上有任意一点，过作轴于点，则 轴正半轴上是否存在一定点 使得线段恒成立？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，则说明理由. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 【解】存在. 将抛物线平移，使其顶点与重合得到抛物线， 抛物线 的表达式为.设，， ， . 当时，， ，整理得 . 点使得线段恒成立，，，.故 轴正半轴 上存在一定点使得线段恒成立，且 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 （3）在（2）的基础上，设过点的直线分别交抛物线于， 两点，如图（3） 所示，请求出 的最小值. 【解】如图，作轴于，轴于 .由（2）可知，抛物 线的表达式为,设， ，由 （2）可知，， ， . 设直线的表达式为，把，, 代入，得 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 解得 直线的表达式为 . 直线经过，，， . ， 的最小值是 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 母题学大招18 铅垂法巧求面积最值 5.［中］如图，抛物线,,为常数， 经过 点，， . （1）求抛物线的表达式. 【解】 设.把代入，得 ， 解得， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 （2）连接,点在直线下方的抛物线上,求出的面积最大时点 的坐标. 【解】如图，连接,,过点作轴于点，交于点 . 由,,易得直线的表达式为 . 设，则 ， ，， 当 时，最大，此时 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 大招解读 铅垂法巧求面积最值 铅垂法是一种求三角形面积的特殊方法，主要解决的是斜三角形面积问题.具体公 式为三角形面积等于水平宽和铅垂高乘积的一半.三角形的水平宽指的是两个顶点 之间的水平距离，而铅垂高是指从一个顶点到对边的铅垂高度. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 结论证明 证明:如图, . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 子题练变式 6.【2026山东滨州期末，中】如图（1），二次函数的图象与 轴 交于点、点，点是该函数图象与轴的交点，且，连接， . 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 （1）求二次函数的表达式，并判断 的形状； 【解】 点是函数的图象与轴的交点，且， 点 的 坐标为 . 函数的图象过点和， 解得 令，则，解得，， 点 的坐标为 ，，， ， ， 是直角三角形. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 （2）若是此二次函数图象上第一象限内的点（如图（2）），设点横坐标为 ， 求四边形的面积最大时 的值. 【解】设直线的表达式为，, 解得 .过点作轴交于点，则点 的纵坐标为 ，点的纵坐标为 ， ， ， 当时， 最大，最大值为8. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 关键点拨 过点作轴交于点，列出四边形的面积关于 的函数表 达式是解本题的关键. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 $