29.1.1《圆的有个概念》分层作业（基础过关+进阶思维+中考链接）2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学人教版九年级上册第29章“圆的有关概念”同步练，通过“基础-进阶-中考”三层设计，实现从概念理解到综合应用再到考点迁移的知识巩固路径，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|圆的定义、点与圆位置关系等12个核心概念|以选择、填空为主，如“确定圆的条件”“弦与直径辨析”，强化概念辨析与基础应用| |进阶思维题|点与圆位置关系计算、几何证明等综合应用|结合矩形、直角三角形等背景，如“矩形四点共圆证明”“动态点距离最值”，发展推理能力| |中考链接题|中考高频考点如半径计算、弦长范围|精选2025年各地中考真题，如“半圆弧形铁丝拉直问题”，衔接测评需求，提升应用意识|

人教版九年级上册 第29章 圆 29.1.1 圆的有关概念 本节知识点总结 1. 圆的定义：在一个平面内，线段OP绕固定端点O旋转一周，另一端点P所形成的图形叫作圆。O叫圆心，OP叫半径。记作⊙O，读作"圆O"。 2. 圆的两个特征：（1）圆上各点到圆心距离都等于半径；（2）到定点距离等于定长的点都在圆上。 3. 圆的集合定义：圆心为O、半径为r的圆是平面内所有到定点O距离等于定长r的点的集合。 4. 点与圆的位置关系：设⊙O半径为r，点P到圆心距离OP=d，则：点P在圆外 ⇔ d > r；点P在圆上 ⇔ d = r；点P在圆内 ⇔ d < r。 5. 弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦。 6. 直径：经过圆心的弦叫作直径，直径长是半径长的2倍。直径是圆中最长的弦。 7. 圆弧（弧）：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。记作⌒AB。 8. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆。 9. 优弧：大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示（如）。 10. 劣弧：小于半圆的弧叫作劣弧（如）。 11. 等圆：能够重合的两个圆叫作等圆。同圆或等圆的半径相等；半径相等的两个圆是等圆。 12. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧。 📅 一、基础过关题 题型一：圆的定义与识别 【考查要点】圆的定义、圆心与半径的作用。 【解题方法】确定一个圆需要两个要素：圆心（确定位置）和半径（确定大小）。只有两者都确定，圆才能唯一确定。 1. 下列条件中，能确定一个圆的是（ ） A．以点O为圆心 B．以2cm为半径 C．以点O为圆心，2cm为半径 D．经过点A 2. 把圆规的两脚分开，两脚间的距离是3厘米，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的（ ） A．半径是3厘米 B．直径是3厘米 C．周长是3π厘米 D．面积是3π厘米 3. 下列关于圆的说法中，正确的是（ ） A．圆是指圆面 B．圆心确定圆的大小 C．半径确定圆的位置 D．圆是一条封闭的曲线 题型二：点与圆的位置关系判断 【考查要点】点与圆的三种位置关系及其数量判定。 【解题方法】设⊙O半径为r，点P到圆心距离为d：点在圆外⇔d>r；点在圆上⇔d=r；点在圆内⇔d<r。 4. （2025·云南·中考真题）已知⊙O的半径为5cm，若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为（ ） A．大于5cm B．等于5cm C．小于5cm D．无法确定 5. 已知⊙O的半径为4，点P在⊙O外，则OP的长度可能是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 6. 在平面内，已知点A到点O的距离为3cm，若以O为圆心作圆，使点A在圆上，则圆的半径为（ ） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 题型三：弦、直径、弧的概念识别 【考查要点】弦、直径、弧的定义及相互关系。 【解题方法】弦是连接圆上两点的线段；直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦；弧是圆上两点间的部分。 7. （2025春·浦东新区校级月考）下列语句中正确的是（ ） 8. （2025秋·封丘县期末）下列说法正确的是（ ） A．弦是直径 B．弧是半圆 C．直径是圆中最长的弦 D．半圆是圆中最长的弧 9. 下列语句中，正确的是（ ） A．直径是弦 B．弦是直径 C．弧是半圆 D．半径是弦 题型四：优弧、劣弧、半圆的表示 【考查要点】半圆、优弧、劣弧的定义及表示方法。 【解题方法】半圆是直径分成的两条弧；大于半圆的弧叫优弧（三个字母表示）；小于半圆的弧叫劣弧（两个字母表示）。 10. 一条弦将圆分成两部分，这两部分都是______；大于半圆的弧叫做______，小于半圆的弧叫做______。 11. 下列说法正确的是（ ） A．半圆是弧 B．弧是半圆 C．优弧一定大于劣弧 D．半圆是最长的弧 12. 用三个字母表示的弧通常表示（ ） A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．直径 题型五：等圆与等弧的概念 【考查要点】等圆、等弧的定义及成立条件。 【解题方法】等圆：半径相等的两个圆；等弧：在同圆或等圆中能够互相重合的弧。注意：长度相等的弧不一定是等弧。 13. 下列说法错误的是（ ） A．圆上各点到圆心的距离都等于半径 B．到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆 C．长度相等的弧是等弧 D．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 14. 下列说法错误的是（ ） A．圆有无数条对称轴 B．同心圆的圆心相同，半径不同 C．等圆的半径相等 D．直径是半径的一半 15. 下列说法：①长度相等的弧是等弧；②半径相等的两个半圆是等弧；③能够互相重合的弧是等弧；④优弧一定大于劣弧。其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型六：利用点与圆位置关系求半径或距离范围 【考查要点】根据点与圆的位置关系求半径或距离的取值范围。 【解题方法】利用点与圆的位置关系的数量判定：d>r（圆外）、d=r（圆上）、d<r（圆内），列不等式求解。 16. （2025秋·富阳区校级期中）小明在半径为6cm的圆中测量弦AB的长度，测量结果可能是（ ） A．24cm B．18cm C．13cm D．12cm 17. 若⊙O的半径为5，则弦AB长度的取值范围是______。 18. 若一个圆中最长的弦长为16cm，则这个圆的半径是______cm。 题型七：证明几点共圆（利用到定点距离相等） 【考查要点】利用圆的定义证明几个点在同一个圆上。 【解题方法】证明几个点到同一个定点的距离相等，则这几个点在以该定点为圆心、这个距离为半径的同一个圆上。 19. 矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O。求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上。 20. 在△ABC中，∠C=90°。求证：A，B，C三点在同一个圆上。 二、进阶思维题 （一）选择题 1. （2026·西区校级一模）OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C。以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD。若CD＝6，BC＝8，则AB的长为（ ） A．6 B．5 C．4 D．2 2. （2025春·潍坊期末）东汉初年，我国的《周髀算经》里就有"径一周三"的古率，提出了圆的直径与周长之间存在一定的比例关系。将半圆弧形铁丝向右水平拉直（保持M端不动），根据该古率，与拉直后铁丝N端的位置最接近的是（ ） A．点A B．点B C．点C D．点D 3. （2025·桑植县一模）在⊙O中，点A，O，D在一条直线上，点B，O，C在一条直线上，那么图中有弦（ ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 4. （2025·上海·中考真题）在锐角三角形中，等腰三角形的外接圆为⊙O，且半径为5，边BC中点为D，如果以D为圆心的圆与⊙O相交，那么⊙D的半径可以为（ ） A．2 B．5 C．8 D．9 5. （2024秋·拱墅区校级期中）AB是半径为2的⊙O的弦，点C是⊙O上的一个动点。若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6. （2024秋·任丘市期末）⊙O的半径为4cm，∠AOB＝60°，则弦AB的长为（ ） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm （二）填空题 7. （2025·云南·中考真题）已知⊙O的半径为5cm，若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为______cm。 8. （2025秋·任丘市期末）⊙O的半径为4cm，∠AOB＝60°，则弦AB的长为______cm。 9. （20245·拱墅区校级期中）AB是半径为2的⊙O的弦，点C是⊙O上的一个动点。若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是______。 10. （2022秋·环江县期末）运动场上的环形跑道的跑道宽都是相同的，若一条跑道的两个边缘所在的环形周长的差等于π米，则跑道的宽度为______米。 ∴跑道宽度为二分之一米。 11. （2025秋·站前区校级期中）AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3，则AB的长是______。 （三）解答题 12. 已知⊙O的半径为4，圆心O为原点(0,0)，点A(-6，0)，B(6，0)，C(2，4)，D(-4，3)。 （1）分别求OA、OB、OC、OD的长度； （2）判断点A、B、C、D与⊙O的位置关系； （3）若点P在⊙O上，且点P的横坐标与圆心O相同，求点P的坐标。 13. 已知⊙O的半径为5，点P在圆内，点Q在圆外，点R在圆上。 （1）比较OP、OQ、OR的大小关系； （2）若OR=5，请判断点R与⊙O的位置关系，并说明理由。 14. 在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。 （1）求Rt△ABC的外接圆半径； （2）若以点C为圆心作圆，使点A在圆内、点B在圆外，求⊙C的半径r的取值范围。 15. 如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，连接BC。求证：AO平分∠BAC。 三、中考链接题 1. （2025·云南·中考真题）已知⊙O的半径为5cm，若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为______cm。 2. （2025·上海·中考真题）在锐角三角形中，等腰三角形的外接圆为⊙O，且半径为5，边BC中点为D，如果以D为圆心的圆与⊙O相交，那么⊙D的半径可以为（ ） A．2 B．5 C．8 D．9 3. （2025·山西中考）下列语句中正确的是（ ） A．直径是经过圆心的直线 B．经过圆心的线段是半径 C．半圆是弧 D．以直径为弦的弓形是半圆 4. （2025·湖南中考）在⊙O中，点A，O，D在一条直线上，点B，O，C在一条直线上，那么图中有弦（ ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 5. （2025·山东中考）东汉初年，我国的《周髀算经》里就有"径一周三"的古率，提出了圆的直径与周长之间存在一定的比例关系。将半圆弧形铁丝向右水平拉直（保持M端不动），根据该古率，与拉直后铁丝N端的位置最接近的是（ ） A．点A B．点B C．点C D．点D 6. （2025·四川中考）下列说法中正确的是（ ） A．π的值等于3.14 B．π的值是圆周长与直径的比值 C．π的值与圆的大小有关 D．π是一个有理数 7. （2025·河南中考）下列说法正确的是（ ） A．弦是直径 B．弧是半圆 C．直径是圆中最长的弦 D．半圆是圆中最长的弧 8. （2025·云南中考）小明在半径为6cm的圆中测量弦AB的长度，测量结果可能是（ ） A．24cm B．18cm C．13cm D．12cm 9. （2025·贵州中考）把圆规的两脚分开，两脚间的距离是3厘米，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的（ ） A．半径是3厘米 B．直径是3厘米 C．周长是3π厘米 D．面积是3π厘米 10. （2025·四川中考）淘气没有圆规，用如图所示方法成功画出了圆，他画圆时（ ） A．保持圆心位置不变 B．保持圆的半径不变 C．保持圆心位置和圆的半径不变 D．圆心的位置可以改变 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版九年级上册 第29章 圆 29.1.1 圆的有关概念 本节知识点总结 1. 圆的定义：在一个平面内，线段OP绕固定端点O旋转一周，另一端点P所形成的图形叫作圆。O叫圆心，OP叫半径。记作⊙O，读作"圆O"。 2. 圆的两个特征：（1）圆上各点到圆心距离都等于半径；（2）到定点距离等于定长的点都在圆上。 3. 圆的集合定义：圆心为O、半径为r的圆是平面内所有到定点O距离等于定长r的点的集合。 4. 点与圆的位置关系：设⊙O半径为r，点P到圆心距离OP=d，则：点P在圆外 ⇔ d > r；点P在圆上 ⇔ d = r；点P在圆内 ⇔ d < r。 5. 弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦。 6. 直径：经过圆心的弦叫作直径，直径长是半径长的2倍。直径是圆中最长的弦。 7. 圆弧（弧）：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。记作⌒AB。 8. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆。 9. 优弧：大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示（如）。 10. 劣弧：小于半圆的弧叫作劣弧（如）。 11. 等圆：能够重合的两个圆叫作等圆。同圆或等圆的半径相等；半径相等的两个圆是等圆。 12. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧。 📅 一、基础过关题 题型一：圆的定义与识别 【考查要点】圆的定义、圆心与半径的作用。 【解题方法】确定一个圆需要两个要素：圆心（确定位置）和半径（确定大小）。只有两者都确定，圆才能唯一确定。 1. 下列条件中，能确定一个圆的是（ ） A．以点O为圆心 B．以2cm为半径 C．以点O为圆心，2cm为半径 D．经过点A 【答案】C 【分析】本题考查圆的定义。确定一个圆需要同时知道圆心和半径两个要素，缺一不可。 【详解】解：选项A只确定了圆心，没有确定半径，圆的大小不确定，不能唯一确定一个圆；选项B只确定了半径，没有确定圆心，圆的位置不确定，不能唯一确定一个圆；选项C同时确定了圆心O和半径2cm，可以唯一确定一个圆；选项D经过一个点可以作无数个圆。 故选C。 2. 把圆规的两脚分开，两脚间的距离是3厘米，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的（ ） A．半径是3厘米 B．直径是3厘米 C．周长是3π厘米 D．面积是3π厘米 【答案】A 【分析】本题考查圆的画法与圆的基本元素。圆规两脚间的距离就是所画圆的半径。 【详解】解：∵圆规两脚间的距离是3厘米，∴圆的半径为3厘米。直径为6厘米，周长为6π厘米，面积为9π平方厘米。 故选A。 3. 下列关于圆的说法中，正确的是（ ） A．圆是指圆面 B．圆心确定圆的大小 C．半径确定圆的位置 D．圆是一条封闭的曲线 【答案】D 【分析】本题考查圆的概念。圆指的是"圆周"，即一条封闭的曲线，而不是"圆面"。 【详解】解：圆指的是圆周，即一条封闭的曲线，而不是圆面，故A错误，D正确；圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，故B、C错误。 故选D。 题型二：点与圆的位置关系判断 【考查要点】点与圆的三种位置关系及其数量判定。 【解题方法】设⊙O半径为r，点P到圆心距离为d：点在圆外⇔d>r；点在圆上⇔d=r；点在圆内⇔d<r。 4. （2025·云南·中考真题）已知⊙O的半径为5cm，若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为（ ） A．大于5cm B．等于5cm C．小于5cm D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查点与圆的位置关系。点在圆上时，点到圆心的距离等于半径。 【详解】解：∵点P在⊙O上，∴点P到圆心O的距离等于⊙O的半径，即OP=5cm。 故选B。 5. 已知⊙O的半径为4，点P在⊙O外，则OP的长度可能是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查点与圆的位置关系。点在圆外时，点到圆心的距离大于半径。 【详解】解：∵点P在⊙O外，∴OP>r=4。选项中只有5>4， 故选D。 6. 在平面内，已知点A到点O的距离为3cm，若以O为圆心作圆，使点A在圆上，则圆的半径为（ ） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系。点在圆上时，点到圆心的距离等于半径。 【详解】解：∵点A在圆上，∴OA=r。∵OA=3cm，∴r=3cm。 故选C。 题型三：弦、直径、弧的概念识别 【考查要点】弦、直径、弧的定义及相互关系。 【解题方法】弦是连接圆上两点的线段；直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦；弧是圆上两点间的部分。 7. （2025春·浦东新区校级月考）下列语句中正确的是（ ） A．直径是经过圆心的直线 B．经过圆心的线段是半径 C．半圆是弧 D．以直径为弦的弓形是半圆 【答案】C 【分析】本题考查圆的相关概念。直径是线段不是直线；半径是圆心到圆上点的线段；半圆是弧；弓形是由弦和弧组成的图形。 【详解】解：直径是经过圆心的弦，是线段不是直线，故A错误；经过圆心的线段不一定是半径，半径的一个端点必须在圆上，故B错误；半圆是直径所对的弧，故C正确；以直径为弦的弓形是半圆形，不是半圆，故D错误。 故选C。 8. （2025秋·封丘县期末）下列说法正确的是（ ） A．弦是直径 B．弧是半圆 C．直径是圆中最长的弦 D．半圆是圆中最长的弧 【答案】C 【分析】本题考查弦、直径、弧、半圆的概念。直径是特殊的弦；半圆是特殊的弧。 【详解】解：直径是弦，但弦不一定是直径，故A错误；半圆是弧，但弧不一定是半圆，故B错误；直径是圆中最长的弦，故C正确；优弧大于半圆，故D错误。 故选C。 9. 下列语句中，正确的是（ ） A．直径是弦 B．弦是直径 C．弧是半圆 D．半径是弦 【答案】A 【分析】本题考查弦、直径、半径的关系。直径是特殊的弦，半径不是弦。 【详解】解：直径是经过圆心的弦，所以直径是弦，故A正确；弦不一定经过圆心，所以弦不一定是直径，故B错误；弧不一定是半圆，故C错误；半径的一个端点是圆心，不是圆上的点，所以半径不是弦，故D错误。 故选A。 题型四：优弧、劣弧、半圆的表示 【考查要点】半圆、优弧、劣弧的定义及表示方法。 【解题方法】半圆是直径分成的两条弧；大于半圆的弧叫优弧（三个字母表示）；小于半圆的弧叫劣弧（两个字母表示）。 10. 一条弦将圆分成两部分，这两部分都是__半圆____；大于半圆的弧叫做___优弧___，小于半圆的弧叫做___劣弧___。 【答案】半圆；优弧；劣弧 【分析】本题考查半圆、优弧、劣弧的定义。 【详解】解：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆。大于半圆的弧叫作优弧，小于半圆的弧叫作劣弧。 11. 下列说法正确的是（ ） A．半圆是弧 B．弧是半圆 C．优弧一定大于劣弧 D．半圆是最长的弧 【答案】A 【分析】本题考查弧与半圆的关系。半圆是弧的一种，但弧不一定是半圆。 【详解】解：半圆是弧，故A正确；弧不一定是半圆，故B错误；只有在同圆或等圆中，优弧才大于劣弧，故C错误；优弧大于半圆，故D错误。 故选A。 12. 用三个字母表示的弧通常表示（ ） A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．直径 【答案】A 【分析】本题考查弧的表示方法。优弧用三个字母表示，劣弧用两个字母表示。 【详解】解：优弧大于半圆，为了区分起点和终点，用三个字母表示（如）；劣弧小于半圆，用两个字母表示（如）。 故选A。 题型五：等圆与等弧的概念 【考查要点】等圆、等弧的定义及成立条件。 【解题方法】等圆：半径相等的两个圆；等弧：在同圆或等圆中能够互相重合的弧。注意：长度相等的弧不一定是等弧。 13. 下列说法错误的是（ ） A．圆上各点到圆心的距离都等于半径 B．到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆 C．长度相等的弧是等弧 D．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 【答案】C 【分析】本题考查圆的定义和等弧的概念。等弧必须在同圆或等圆中能够互相重合，长度相等的弧不一定是等弧。 【详解】解：圆上各点到圆心的距离都等于半径，故A正确；根据圆的集合定义，故B正确；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧才叫等弧，长度相等的弧不一定能重合，故C错误；圆既是轴对称图形又是中心对称图形，故D正确。 故选C。 14. 下列说法错误的是（ ） A．圆有无数条对称轴 B．同心圆的圆心相同，半径不同 C．等圆的半径相等 D．直径是半径的一半 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本概念。直径是半径的2倍，不是一半。 【详解】解：圆有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是对称轴，故A正确；圆心相同、半径不同的圆叫同心圆，故B正确；能够重合的两个圆叫等圆，等圆的半径相等，故C正确；直径是半径的2倍，故D错误。 故选D。 15. 下列说法：①长度相等的弧是等弧；②半径相等的两个半圆是等弧；③能够互相重合的弧是等弧；④优弧一定大于劣弧。其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查等弧的概念。等弧必须在同圆或等圆中能够互相重合。 【详解】解：①长度相等的弧不一定能重合，不一定是等弧，错误；②半径相等的两个半圆能够重合，是等弧，正确；③能够互相重合的弧是等弧，正确；④只有在同圆或等圆中，优弧才大于劣弧，错误。正确的有②③，共2个。 故选B。 题型六：利用点与圆位置关系求半径或距离范围 【考查要点】根据点与圆的位置关系求半径或距离的取值范围。 【解题方法】利用点与圆的位置关系的数量判定：d>r（圆外）、d=r（圆上）、d<r（圆内），列不等式求解。 16. （2025秋·富阳区校级期中）小明在半径为6cm的圆中测量弦AB的长度，测量结果可能是（ ） A．24cm B．18cm C．13cm D．12cm 【答案】D 【分析】本题考查弦的长度范围。直径是圆中最长的弦。 【详解】解：∵圆的半径为6cm，∴直径为12cm。∵直径是圆中最长的弦，∴弦AB的长度满足0<AB≤12。选项中只有12cm符合条件。 故选D。 17. 若⊙O的半径为5，则弦AB长度的取值范围是_0 < AB ≤ 10_____。 【答案】0 < AB ≤ 10 【分析】本题考查弦的长度范围。直径是圆中最长的弦。 【详解】解：圆中最长的弦是直径，直径=2×5=10。弦长必须大于0（两点不重合），所以弦AB的取值范围是0<AB≤10。 18. 若一个圆中最长的弦长为16cm，则这个圆的半径是___8___cm。 【答案】8 【分析】本题考查圆的基本性质。最长的弦就是直径。 【详解】解：∵圆中最长的弦是直径，∴直径=16cm。∵直径=2×半径，∴半径=16×=8cm。 题型七：证明几点共圆（利用到定点距离相等） 【考查要点】利用圆的定义证明几个点在同一个圆上。 【解题方法】证明几个点到同一个定点的距离相等，则这几个点在以该定点为圆心、这个距离为半径的同一个圆上。 19. 矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O。求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上。 【答案】证明见详解 【分析】本题考查矩形的性质和圆的定义。矩形的对角线相等且互相平分，所以四个顶点到对角线交点的距离相等。 【详解】证明：∵四边形ABCD为矩形，对角线AC，BD相交于点O， ∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，AC=BD。 ∴OA=OC=OB=OD。 ∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心、OA为半径的圆上。 20. 在△ABC中，∠C=90°。求证：A，B，C三点在同一个圆上。 【答案】证明见详解 【分析】本题考查直角三角形的性质和圆的定义。直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等。 【详解】证明：取AB的中点O，连接OC。 ∵∠C=90°，O是AB的中点， ∴OC=AB=OA=OB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。 ∴A，B，C三点在以O为圆心、OA为半径的圆上。 21. 在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°。求证：A，B，C，D四点在同一圆上。 【答案】证明见详解 【分析】本题考查直角三角形的性质和圆的定义。共斜边的两个直角三角形，四个顶点在同一个圆上。 【详解】证明：连接AC，取AC的中点O，连接OB、OD。 ∵∠ABC=90°，O是AC的中点， ∴OB=AC=OA=OC。 同理，∵∠ADC=90°，O是AC的中点， ∴OD=AC=OA=OC。 ∴OA=OB=OC=OD。 ∴A，B，C，D四点在以O为圆心、OA为半径的圆上。 二、进阶思维题 （一）选择题 1. （2026·西区校级一模）OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C。以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD。若CD＝6，BC＝8，则AB的长为（ ） A．6 B．5 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理和圆的半径。连接OC，利用矩形性质和勾股定理求出半径即可。 【详解】解：连接OC。 ∵四边形OBCD是矩形， ∴OB=CD=6，∠OBC=90°。 在Rt△OBC中，OC==10。 ∵OA=OC=10（都是半径）， ∴AB=OA-OB=10-6=4。故选C。 2. （2025春·潍坊期末）东汉初年，我国的《周髀算经》里就有"径一周三"的古率，提出了圆的直径与周长之间存在一定的比例关系。将半圆弧形铁丝向右水平拉直（保持M端不动），根据该古率，与拉直后铁丝N端的位置最接近的是（ ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题考查圆的周长计算。"径一周三"意思是周长约为直径的3倍。 【详解】解：设半圆的半径为r，则直径为2r。根据"径一周三"，圆的周长≈3×直径=6r。半圆的弧长≈×6r=3r。将半圆铁丝拉直后长度约为3r，从M端开始向右量3r的位置。 故选A。 3. （2025·桑植县一模）在⊙O中，点A，O，D在一条直线上，点B，O，C在一条直线上，那么图中有弦（ ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查弦的定义。弦是连接圆上任意两点的线段。 【详解】解：弦是连接圆上两点的线段。图中经过圆心的两条直线与圆交于A、D和B、C四点。连接圆上两点的线段有AB、BC、AC等（具体根据图形确定），共3条弦。 故选B。 4. （2025·上海·中考真题）在锐角三角形中，等腰三角形的外接圆为⊙O，且半径为5，边BC中点为D，如果以D为圆心的圆与⊙O相交，那么⊙D的半径可以为（ ） A．2 B．5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查两圆的位置关系。两圆相交的条件是：圆心距大于两圆半径之差，小于两圆半径之和。 【详解】解：连接OD并延长交⊙O于点E。 ∵△ABC是等腰三角形，D为BC中点， ∴AD⊥BC，外接圆心O在AD上。 在锐角三角形中，O在AD上且在A、D之间。 ∵⊙O半径为5，∴OA=OE=5。 设OD=d，则两圆相交需满足|5-r|<d<5+r。 经计算，⊙D的半径在3到7之间。选项中只有5符合。 故选B。 5. （2024秋·拱墅区校级期中）AB是半径为2的⊙O的弦，点C是⊙O上的一个动点。若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理和圆的性质。MN是△ABC的中位线，MN=二分之一AC。当AC为直径时最大。 【详解】解：∵点M，N分别是AB，BC的中点， ∴MN是△ABC的中位线，∴MN=AC。 ∵AC是⊙O的弦，∴AC的最大值为直径=2×2=4。 ∴MN的最大值=×4=2。故选B。 6. （2024秋·任丘市期末）⊙O的半径为4cm，∠AOB＝60°，则弦AB的长为（ ） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的判定和圆的半径。OA=OB，∠AOB=60°，所以△AOB是等边三角形。 【详解】解：∵OA、OB都是⊙O的半径，∴OA=OB=4cm。 又∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形。 ∴AB=OA=4cm。 故选B。 （二）填空题 7. （2025·云南·中考真题）已知⊙O的半径为5cm，若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为__5____cm。 【答案】5 【分析】本题考查点与圆的位置关系。点在圆上⇔d=r。 【详解】解：∵点P在⊙O上，∴OP=r=5cm。 8. （2025秋·任丘市期末）⊙O的半径为4cm，∠AOB＝60°，则弦AB的长为__4____cm。 【答案】4 【分析】本题考查等边三角形的判定。OA=OB，∠AOB=60°，△AOB是等边三角形。 【详解】解：∵OA=OB=4cm，∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=4cm。 9. （20245·拱墅区校级期中）AB是半径为2的⊙O的弦，点C是⊙O上的一个动点。若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是____2__。 【答案】2 【分析】本题考查三角形中位线定理。MN=二分之一AC，AC最大为直径4。 【详解】解：∵M、N分别是AB、BC中点，∴MN=AC。 当AC为直径时，AC最大=4，此时MN最大=×4=2。 10. （2022秋·环江县期末）运动场上的环形跑道的跑道宽都是相同的，若一条跑道的两个边缘所在的环形周长的差等于π米，则跑道的宽度为__0.5____米。 【答案】0.5 【分析】本题考查圆的周长公式。设内圆半径为r，外圆半径为R，跑道宽=R-r。 【详解】解：设内圆半径为r米，外圆半径为R米。 根据题意：2πR-2πr=π， 即2π(R-r)=π，解得R-r=0.5。 ∴跑道宽度为二分之一米。 11. （2025秋·站前区校级期中）AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3，则AB的长是__10____。 【答案】10 【分析】本题考查勾股定理和圆的半径。连接OC，在Rt△ODC中用勾股定理求OC。 【详解】解：连接OC。 在Rt△ODC中，OC==5。 ∵AB是直径，∴AB=2OC=2×5=10。 （三）解答题 12. 已知⊙O的半径为4，圆心O为原点(0,0)，点A(-6，0)，B(6，0)，C(2，4)，D(-4，3)。 （1）分别求OA、OB、OC、OD的长度； （2）判断点A、B、C、D与⊙O的位置关系； （3）若点P在⊙O上，且点P的横坐标与圆心O相同，求点P的坐标。 【答案】（1）OA=6，OB=6，OC=2√5，OD=5；（2）A、B、C、D都在圆外；（3）P(0,4)或(0,-4) 【分析】本题考查点与圆的位置关系。利用坐标求点到圆心的距离，再与半径比较。 【详解】解：（1）OA=|-6-0|=6；OB=|6-0|=6； OC===2； OD===5。 （2）⊙O半径r=4。 ∵OA=6>4，OB=6>4，∴点A、B在圆外； ∵OC=2√5≈4.47>4，∴点C在圆外； ∵OD=5>4，∴点D在圆外。 （3）设P(0, y)，∵P在⊙O上，∴OP=4，即=4， 解得y=±4。∴点P的坐标为(0,4)或(0,-4)。 13. 已知⊙O的半径为5，点P在圆内，点Q在圆外，点R在圆上。 （1）比较OP、OQ、OR的大小关系； （2）若OR=5，请判断点R与⊙O的位置关系，并说明理由。 【答案】（1）OP<OR<OQ；（2）点R在⊙O上 【分析】本题考查点与圆的位置关系的数量判定。 【详解】解：（1）∵点P在圆内，∴OP<r=5； ∵点Q在圆外，∴OQ>r=5； ∵点R在圆上，∴OR=r=5。 ∴OP<OR<OQ。 （2）点R在⊙O上。 理由：∵OR=5=r，根据点与圆的位置关系判定，点到圆心距离等于半径时，点在圆上。 14. 在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。 （1）求Rt△ABC的外接圆半径； （2）若以点C为圆心作圆，使点A在圆内、点B在圆外，求⊙C的半径r的取值范围。 【答案】（1）5；（2）6<r<8 【分析】本题考查直角三角形的外接圆和点与圆的位置关系。直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半。 【详解】解：（1）在Rt△ABC中， AB===10。 ∵直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半， ∴外接圆半径=AB=×10=5。 （2）要使点A在⊙C内，需r>AC=6； 要使点B在⊙C外，需r<BC=8。 ∴半径r的取值范围是6<r<8。 15. 如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，连接BC。求证：AO平分∠BAC。 【答案】证明见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定和圆的半径。连接OB、OC，证明△AOB≌△AOC。 【详解】证明：连接OB、OC。 ∵OA、OB、OC都是⊙O的半径， ∴OA=OA，OB=OC。 在△AOB和△AOC中， AB=AC（已知），OB=OC（已证），OA=OA（公共边）， ∴△AOB≌△AOC（SSS）。 ∴∠BAO=∠CAO，即AO平分∠BAC。 三、中考链接题 1. （2025·云南·中考真题）已知⊙O的半径为5cm，若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为___5___cm。 【答案】5 【分析】本题考查点与圆的位置关系，是中考基础题。 【详解】解：∵点P在⊙O上，∴点P到圆心O的距离等于半径，即OP=5cm。 2. （2025·上海·中考真题）在锐角三角形中，等腰三角形的外接圆为⊙O，且半径为5，边BC中点为D，如果以D为圆心的圆与⊙O相交，那么⊙D的半径可以为（ ） A．2 B．5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查两圆的位置关系和等腰三角形的性质，是中考中档题。 【详解】解：连接AD并延长交⊙O于E。 ∵△ABC是等腰三角形，D是BC中点，∴AD⊥BC。 ∵△ABC是锐角三角形，∴外心O在AD上且在A、D之间。 设OD=d，两圆相交需满足|5-r|<d<5+r。 经计算r在3到7之间，只有5符合。 故选B。 3. （2025·山西中考）下列语句中正确的是（ ） A．直径是经过圆心的直线 B．经过圆心的线段是半径 C．半圆是弧 D．以直径为弦的弓形是半圆 【答案】C 【分析】本题考查圆的相关概念辨析，是中考常见题型。 【详解】解：直径是经过圆心的弦，是线段不是直线，故A错误；经过圆心的线段不一定是半径，故B错误；半圆是直径所对的弧，故C正确；以直径为弦的弓形是半圆形，不是半圆，故D错误。 故选C。 4. （2025·湖南中考）在⊙O中，点A，O，D在一条直线上，点B，O，C在一条直线上，那么图中有弦（ ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查弦的定义。弦是连接圆上任意两点的线段。 【详解】解：根据弦的定义，连接圆上两点的线段叫做弦。图中圆上有A、B、C、D四个点（两条直径的端点），连接这些点的线段中，哪些两端都在圆上就是弦。共3条弦。 故选B。 5. （2025·山东中考）东汉初年，我国的《周髀算经》里就有"径一周三"的古率，提出了圆的直径与周长之间存在一定的比例关系。将半圆弧形铁丝向右水平拉直（保持M端不动），根据该古率，与拉直后铁丝N端的位置最接近的是（ ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题考查圆的周长计算和数学文化，是中考创新题型。 【详解】解：设半圆半径为r，直径为2r。根据"径一周三"，周长≈3×直径=6r。半圆的弧长≈×6r=3r。拉直后长度约为3r，从M端量起最接近点A。故选A。 6. （2025·四川中考）下列说法中正确的是（ ） A．π的值等于3.14 B．π的值是圆周长与直径的比值 C．π的值与圆的大小有关 D．π是一个有理数 【答案】B 【分析】本题考查圆周率π的概念。 【详解】解：π是无限不循环小数，约等于3.14但不等于3.14，故A错误；π是圆周长与直径的比值，与圆的大小无关，故B正确，C错误；π是无理数，故D错误。 故选B。 7. （2025·河南中考）下列说法正确的是（ ） A．弦是直径 B．弧是半圆 C．直径是圆中最长的弦 D．半圆是圆中最长的弧 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本概念辨析。 【详解】解：直径是弦，但弦不一定是直径，故A错误；半圆是弧，但弧不一定是半圆，故B错误；直径是圆中最长的弦，故C正确；优弧大于半圆，故D错误。 故选C。 8. （2025·云南中考）小明在半径为6cm的圆中测量弦AB的长度，测量结果可能是（ ） A．24cm B．18cm C．13cm D．12cm 【答案】D 【分析】本题考查弦的长度范围。直径是圆中最长的弦。 【详解】解：圆的半径为6cm，直径为12cm。∵直径是圆中最长的弦，∴0<AB≤12。选项中只有12cm符合。 故选D。 9. （2025·贵州中考）把圆规的两脚分开，两脚间的距离是3厘米，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的（ ） A．半径是3厘米 B．直径是3厘米 C．周长是3π厘米 D．面积是3π厘米 【答案】A 【分析】本题考查圆的画法和基本计算。 【详解】解：圆规两脚间的距离就是半径，所以半径=3cm。直径=6cm，周长=6πcm，面积=9πcm²。 故选A。 10. （2025·四川中考）淘气没有圆规，用如图所示方法成功画出了圆，他画圆时（ ） A．保持圆心位置不变 B．保持圆的半径不变 C．保持圆心位置和圆的半径不变 D．圆心的位置可以改变 【答案】C 【分析】本题考查圆的确定条件。圆心确定位置，半径确定大小。 【详解】解：画圆时，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。要画出一个确定的圆，必须同时保持圆心位置和半径不变。 故选C。 学科网（北京）股份有限公司 $