第二十六章 二次函数 单元测试培优提升卷（人教版专用）2026-2027学年九年级数学上册

**基本信息** 2026-2027学年九年级上册数学第二十六章二次函数培优提升卷，立足单元复习，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合羽毛球运动路线、猕猴桃销售等生活情境，考查二次函数定义、图象性质、实际应用，发展几何直观、模型意识与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|二次函数定义、对称轴、图象平移与增减性|结合图象辨析，强化几何直观| |填空题|4/12|顶点坐标、方程根与函数关系、实际问题建模|开放型函数解析式设计，培养抽象能力| |解答题|6/64|待定系数法求解析式、与直线交点、利润最值问题|猕猴桃销售利润建模，突出模型意识与运算能力|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测(人教版专用) 第二十六章 二次函数 培优提升卷 建议用时：60分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是(    ) A. B. C. D. 2.二次函数的对称轴是(    ) A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3.对于抛物线，下列判断不正确的是(    ) A. 抛物线的开口向上 B. 是由抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，有最大值 4.函数的图象如图所示，关于的一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 以上都不对 5.在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 6.在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分如图所示，水平地面为轴，单位：，则下列说法不正确的是(    ) A. 出球点离点的距离是 B. 羽毛球横向飞出的最远距离是 C. 羽毛球运动中达到的最大高度为 D. 当羽毛球横向飞出时，可到达最高点 7.如图，抛物线与直线交于、两点，则不等式的解集为  (    ) A. B. C. 或 D. 8.已知二次函数，当时，函数的最大值为(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点： 函数图象的顶点在轴上 当时，随的增大而减小 该函数图象的形状与函数的图象相同． 已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数解析式：           ． 10.二次函数的部分图象如图所示，已知方程的一个根为，则方程的另一个根为          ． 11.飞机着陆后滑行的距离米与滑行时间秒的关系满足当滑行时间为秒时，滑行距离为米，则飞机从着陆到停止，滑行的时间是          秒 12.当时，函数的最大值与最小值之差为          ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 二次函数的图象经过点， 求，的值． 求二次函数图象与轴、轴的交点坐标． 14.本小题分 二次函数的图象与直线交于点． 求，的值； 写出二次函数的解析式，并指出取何值时，随的增大而增大； 指出抛物线的顶点坐标和对称轴． 15.本小题分 如图，已知抛物线的图象与轴交于点，顶点为． 试确定的值，并写出点的坐标． 试在轴上求一点，使得的周长取最小值． 16.本小题分 已知二次函数． 将化成的形式 在平面直角坐标系中画出此函数的图象 当时，结合图象，直接写出的取值范围． 17.本小题分 在平面直角坐标系中，已知抛物线． 当时，点和是抛物线上的两点，直接写出和的大小关系 如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求的取值范围． 18.本小题分 猕猴桃是西安的特色水果在销售旺季，某商场分批每周购进箱装猕猴桃，经统计分析发现，在一段时间内，猕猴桃的每周售价元箱与第周之间满足二次函数关系：；调查发现，第周时，售价为元箱；第周时，售价为元箱销售初期由于产量小售价逐渐上涨，销售中后期由于产量的增多售价逐渐下降． 求与之间的函数关系式，并求第周时，售价是多少． 若该段时间内每周猕猴桃的进价元箱与第周之间满足关系式，且平均每周销售箱，则该商场第几周销售猕猴桃获得的利润最大，最大利润为多少？ 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(人教版专用) 第二十六章 二次函数 培优提升卷 建议用时：60分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】考查二次函数定义：形如（为常数，）的整式函数叫二次函数。 【详解】 A：是一次函数，错误； B：，未说明，若不是二次函数，错误； C：，符合二次函数定义，正确； D：，含有分式，不是整式，不是二次函数，错误。 2.二次函数的对称轴是(    ) A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【分析】二次函数对称轴公式：。 【详解】 中，， 对称轴。 3.对于抛物线，下列判断不正确的是(    ) A. 抛物线的开口向上 B. 是由抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，有最大值 【答案】D 【分析】顶点式，决定开口，顶点，左加右减、上加下减平移规律。 【详解】， A：开口向上，正确； B：向右平移 2，向下平移 1 得到该抛物线，正确； C：开口向上，对称轴，，随增大而减小，正确； D：开口向上，时，取最小值，不是最大值，错误。 4.函数的图象如图所示，关于的一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 以上都不对 【答案】A 【分析】方程变形，转化抛物线与直线交点问题；，方程等价。 【详解】 整理：。 由图像，抛物线顶点纵坐标等于 4，直线和抛物线只有顶点一个交点，方程有两个相等实数根。 5.在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】 一次函数，二次函数，两个函数完全相同；两函数都过，交于 y 轴同一点。 【详解】 ，两个函数都得到，因此一次、二次函数图像交于轴上同一点，结合符号判断，选 A。 6.在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分如图所示，水平地面为轴，单位：，则下列说法不正确的是(    ) A. 出球点离点的距离是 B. 羽毛球横向飞出的最远距离是 C. 羽毛球运动中达到的最大高度为 D. 当羽毛球横向飞出时，可到达最高点 【答案】B 【分析】 实际抛物线应用，求与坐标轴交点、顶点坐标。解析式。 【详解】 A：，，出球点离原点距离，正确； B：令，，，解得，飞出最远距离，不是 3m，错误； C：对称轴，代入，，最大高度，正确； D：对称轴，在此处到达最高点，正确。 7.如图，抛物线与直线交于、两点，则不等式的解集为  (    ) A. B. C. 或 D. 【答案】C 【分析】不等式变形；找抛物线在直线上方部分对应的范围。交点。 【详解】 移项：。 图像：抛物线在直线上方，对应或。 8.已知二次函数，当时，函数的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】 闭区间求二次函数最值；，对称轴，开口向上，最值在顶点或区间端点。 【详解】 ，对称轴，范围。 端点： ，； ，； 顶点，。 区间内最大值。 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点： 函数图象的顶点在轴上 当时，随的增大而减小 该函数图象的形状与函数的图象相同． 已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数解析式：           ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】顶点式；顶点轴上；，随增大减小，开口向下； 形状同，则。 【详解】 形状和相同，； 时随增大减小，开口向下，； 顶点在轴上，对称轴，顶点； 解析式。 10.二次函数的部分图象如图所示，已知方程的一个根为，则方程的另一个根为          ． 【答案】 【分析】抛物线轴对称性，对称轴；两根到对称轴距离相等。 【详解】 对称轴，一个根。 ，解得。 11.飞机着陆后滑行的距离米与滑行时间秒的关系满足当滑行时间为秒时，滑行距离为米，则飞机从着陆到停止，滑行的时间是          秒 【答案】 【分析】先代入求参数；飞机停止时滑行距离最大，在抛物线顶点处，求顶点横坐标。 【详解】 把代入 ，，得。 ；顶点秒。 12.当时，函数的最大值与最小值之差为          ． 【答案】 【分析】当，求最大、最小值，做差。 【详解】 ，对称轴在范围内。 ，； 端点，；。 最大值；差：。 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 二次函数的图象经过点， 求，的值． 求二次函数图象与轴、轴的交点坐标． 【答案】 (1)二次函数y=a+c(a0)的图象经过点A(1,-6),B(), 解得 (2)由(1)知,y=2-.令x=0,则y=2-8=-8, 二次函数y=2-8的图象与y轴的交点坐标为(0,-8). 令y=0,则2-8=0, 解得x=2,​​​​​​​ 二次函数y=2-8的图象与x轴的交点坐标为(),(-).  14.本小题分 二次函数的图象与直线交于点． 求，的值； 写出二次函数的解析式，并指出取何值时，随的增大而增大； 指出抛物线的顶点坐标和对称轴． 【答案】(1)解：二次函数的图象与直线交于点， 把代入， 得， 则. 把（1，1）代入中， 得， . (2). ，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小. (3)由可得，抛物线的顶点坐标为（0，0）， 对称轴为直线（或轴）.  15.本小题分 如图，已知抛物线的图象与轴交于点，顶点为． 试确定的值，并写出点的坐标． 试在轴上求一点，使得的周长取最小值． 【答案】 (1) 解:将A(0,-2)代入y=a-3, 得-2=a-. a=. 抛物线的解析式为y=-. B(1,-3).  (2)设点A关于x轴的对称点为C, C(). 设直线CB的解析式为y=mx+n,直线CB与x轴交于点P, 此时PAB的周长取最小值. 把C()和B(1,-3)代入y=mx+n, 得 解得 直线CB的解析式为y=-5x+. 令y=0,得-5x+2=0, x=. 点P的坐标为(,0).  16.本小题10分已知二次函数． 将化成的形式 在平面直角坐标系中画出此函数的图象 当时，结合图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)y=-1  (2)解：如图所示：   (3)-1y<3  17.本小题分 在平面直角坐标系中，已知抛物线． 当时，点和是抛物线上的两点，直接写出和的大小关系 如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求的取值范围． 【答案】 (1)，，对称轴。 ，到对称轴距离；距离。 开口向上，距离对称轴越远函数值越大，。 (2)，对称轴。 ，点到对称轴距离：。 题意：所有点都满足。 当，开口向上：要区间全部点到对称轴距离大于。对称轴，得。 当，开口向下：要区间全部点到对称轴距离大于；。 综上或。 18.本小题分 猕猴桃是西安的特色水果在销售旺季，某商场分批每周购进箱装猕猴桃，经统计分析发现，在一段时间内，猕猴桃的每周售价元箱与第周之间满足二次函数关系：；调查发现，第周时，售价为元箱；第周时，售价为元箱销售初期由于产量小售价逐渐上涨，销售中后期由于产量的增多售价逐渐下降． 求与之间的函数关系式，并求第周时，售价是多少． 若该段时间内每周猕猴桃的进价元箱与第周之间满足关系式，且平均每周销售箱，则该商场第几周销售猕猴桃获得的利润最大，最大利润为多少？ 【答案】 (1)解：把，代入，得 解得 . 当时，. 第4周时，售价为28元/箱. (2)解：设第周的总利润为元.由题意，得 ， 当时，取最大值1800. 该商场第3周销售猕猴桃获得的利润最大，最大利润为1800元. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $