第二十六章 二次函数（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学二次函数单元提升卷，全面覆盖顶点坐标、图像平移、性质应用等核心知识，结合母亲节义卖、乒乓球运动轨迹等真实情境，适配单元复习，助力提升数学建模与几何直观能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|图像平移（3题）、性质判断（5题）|通过表格数据（5题）、图像分析（6题）考查推理意识| |填空题|6/18|二次函数定义（11题）、最值（12题）|结合对称轴（14题）、交点问题（13题）强化抽象能力| |解答题|8/72|实际应用（20题）、动点问题（24题）|以乒乓球轨迹（21题）、正方形动态（24题）构建模型，体现应用意识与创新思维|

第二十六章 二次函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知二次函数，若点和在此函数图象上，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由解析式可得二次函数开口向上，对称轴为直线，图象上的点离对称轴的水平距离越近函数值越小，据此即可判断求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，图象上的点离对称轴的水平距离越近函数值越小， ∵， ∴， 故选：． 2．抛物线的图象开口向下，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D．m可取一切实数 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟知当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口（a为抛物线二次项的系数）是解题关键． 由抛物线开口向下，可知二次项系数，求解即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， 解得：， 故选：C． 3．抛物线的图象先向左平移2个单位，再向下平移6个单位后，所得的抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键，根据图象的平移规律“左减右加，上加下减”解答即可． 【详解】由抛物线的图象先向左平移2个单位， 得， 由向下平移6个单位， 得， 故选：B． 4．将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ） A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象的平移．根据函数图象平移规律“左加右减，上加下减”解答即可． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位可得到抛物线， 故选：D． 5．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 3 … y … 6 2 0 2 … 下列判断：①函数图象开口向上；②函数图象的顶点坐标是；③当时，；④在函数图象上有两点，，则．其中正确的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质，熟知待定系数法及二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据所给表格，利用待定系数法求出次二次函数的表达式，再结合二次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：由表格得，， 设解析式为， ∴， 解得：， ∴解析式为， ∵, ∴开口向上，故①正确 ∵， ∴顶点为：，故②错误， 当时，，故③正确， ∵对称轴为直线，且开口向上， ∴抛物线上距离对称轴越远的点，其函数值越大， ∵，且， ∴，故④正确， ∴正确的为①③④， 故选：C． 6．已知二次函数的图象如图所示，是方程的两根，且．则下列说法市确的是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点；根据抛物线与x轴的交点问题得到二次函数的图象与轴的交点坐标为，，然后利用图象中交点的横坐标的范围可对各选项进行判断． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为，， 由函数图象可得． 故选：B． 7．若二次函数的图象与轴有公共点，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，根据已知得出方程有两个实数根，即，求出不等式的解集即可． 【详解】解：函数的图象与轴有公共点， 方程有两个实数根，即， 解得：． 故选：C． 8．已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质及分类讨论思想是解题的关键． 由抛物线的表达式可得出抛物线的对称轴为y轴，与y轴的交点坐标为，再利用分类讨论的数学思想即可解答． 【详解】解：由题意可知：抛物线的对称轴为y轴， 当时，， 所以抛物线与y轴的交点坐标为， 当时，抛物线有最大值为0，则抛物线与线段没有交点； 当时， ∵抛物线与线段只有一个公共点， ∴当时，； 当时，，解得， ∴， 综上所述：． 故选：D． 9．已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： 有以下几个结论： … 0 1 2 3 … … 3 0 3 … ①抛物线的开口向上； ②抛物线的对称轴为直线； ③方程的根为0和； ④当时，的取值范围是或．其中正确的是（ ） A．①④ B．②④ C．①③ D．③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象和性质． 根据表格中的、的对应值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据二次函数的图形与性质求解可得． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 将、、代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为， 由知抛物线的开口向上，故①正确； 抛物线的对称轴为直线，故②错误； 当时，，解得或， 方程的根为0和2，故③错误； 当时，，由函数图像解得或，故④正确； 故选：A． 10．已知二次函数的图象经过点．如果，那么m的取值范围是（ ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求出图象与轴的交点坐标，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，当时，，解得：或， ∴当或时，， ∵二次函数的图象经过点，， ∴或； 故选C． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．函数是二次函数，则______． 【答案】1 【分析】根据二次函数的定义，即可解答． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，解得：， 故答案为：1． 12．函数的最大值是______． 【答案】1 【分析】本题考查求二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的顶点式，并会根据顶点式求最值． 根据二次函数顶点式易知其顶点坐标为，抛物线开口向下，可知当时，函数取最大值1． 【详解】解：∵， ∴此函数图形开口向下，顶点坐标为， 即当时，函数取最大值1． 故答案为：1． 13．若二次函数的图象与x轴有交点，则m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】由二次函数的图象与x轴有交点，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴， 解得，， 故答案为：． 14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，对称轴是直线，下面四个结论中：①；②当时，随的增大而增大；③点的坐标为；④若点在函数的图象上，则；其中正确的是______（只填写序号）． 【答案】①④ 【分析】观察到抛物线开口向下，则，因为抛物线对称轴是直线，所以当时，随的增大而减小，根据对称性得，所以，因为越靠近对称轴的所对应的函数值越大，所以．本题考查二次函数图与系数的关系，二次函数的性质，关键是利用函数的图象和性质解答． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 故①正确； 抛物线对称轴是直线，开口向下， 当时，随的增大而减小， 故②错误； ，对称轴是直线， ∴， ， 故③错误； 抛物线开口向下， ∴越靠近对称轴的所对应的函数值越大， ∵点在函数的图象上， ， ， 故④正确． 故答案为：①④． 15．二次函数的图象经过，，三点． 下面四个结论： ①抛物线开口向下； ②当时，取最小值； ③当时，一元二次方程必有两个不相等实根； ④直线经过点，，当时，的取值范围是． 所有正确结论的序号是___________． 【答案】②④ 【分析】将点的坐标代入抛物线表达式，求出抛物线的表达式为 画出函数图象，进而求解. 【详解】将点的坐标代入抛物线表达式得 ，解得 ， 故抛物线的表达式为 函数图象如下：   ，故抛物线开口向上，故①错误，不符合题意； ②抛物线开口向上，顶点为 ∴当时，y取最小值，故②正确，符合题意； ③∵函数的最小值为， 故时, 直线 和有一个或没有交点， 故一元二次方程 无解或有两个相等实根，故③错误，不符合题意； ④观察函数图象，直线经过点, 当 时，的取值范围是 故④正确，符合题意； 故答案为: ②④. 16．二次函数的图像如图所示，则_____0，_____0． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键．根据二次函数图像的开口方向可知，结合函数图像的对称轴，可得；根据该二次函数的图像与轴有两个交点，易得． 【详解】解：根据函数图像可知， 该函数图像开口向下， ∴， 又∵函数图像的对称轴， ∴， ∵该二次函数的图像与轴有两个交点， ∴当时，可得， 此时． 故答案为：，． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标、对称轴； (2)在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象． 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线 (2)见解析 【分析】（1）将解析式转化为顶点式即可得到结果； （2）求得抛物线与坐标轴的交点，进而根据顶点，对称轴以及坐标轴的交点坐标画出图形，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线； （2）根据 当时，， 当时，，解得： ∴抛物线与x轴交于点，， 图象如下： 18．（8分）已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标； (2)直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点，解题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次不等式间的关系． （1）抛物线转换成顶点式即可得顶点坐标，再分别求时的x值和时的y值，即可得抛物线与坐标轴的交点坐标； （2）根据函数图象知，时的范围即为抛物线位于轴下方部分对应的的范围，据此可得． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，，即， 解得：，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为，， 当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为； （2）解：抛物线图象如图： 由图象可得，当时，的范围即为抛物线位于轴下方部分对应的的范围：． 19．（8分）已知抛物线经过两点， (1)求b，c的值； (2)当时，求函数值y的取值范围； (3)当时，函数的函数值总大于函数的函数值，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； （2）依据题意，由（1）可得，抛物线为，从而当时，取最小值为，结合当时，；当时，，进而可以判断得解； （3）依据题意，由函数的图象为平行于的直线，从而结合图象，可以判断得解． 【详解】（1）解：抛物线经过两点 ∴ 解得： （2）由（1）可得，抛物线为， 当时，取最小值为． 又当时，；当时，， 当时，． （3）由题意，函数的图象为平行于的直线， 当时，函数的函数值总大于函数的函数值，故结合图象如下． 函数的图象过时，，． 当时，函数的函数值总大于函数的函数值，则． 20．（8分）“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．在义卖的过程中发现，这种文化衫每天的销售件数y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：．如果义卖这种文化衫每天的利润为（元），那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】售价28元时，最大利润为192元 【分析】本题考查了二次函数的应用．根据题意得出每天获得的利润，于是求出每天获得的利润最大时的销售价格． 【详解】解：根据题意得： ． ， 当时，利润最大元； 答：当销售单价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 21．（10分）乒乓球被誉为中国国球．年巴黎奥运会上，中国队展现了强大的竞技实力，包揽了乒乓球项目的五枚金牌，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．已知乒乓球台的长度为，一位运动员从球台边缘正上方击球高度为处，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．从击打乒乓球到第一次落到球台的过程中，乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得如下数据： 水平距离 竖直高度 (1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行路线形状的大致图象； (2)当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______； (3)乒乓球第一次落到球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．判断乒乓球再次落下时是否仍落在球台上，并说明理由． 【答案】(1)图见解析 (2)， (3)乒乓球再次落下时仍落在球台上，理由见解析 【分析】（1）依据题意，根据描点法描出各点并画出函数图象即可； （2）依据题意，根据二次函数图象的对称性可求得对称轴以及顶点坐标，根据表格数据可得当时，于是得解； （3）先用待定系数法求出二次函数解析式，然后求抛物线与轴的交点坐标，即可求出乒乓球再次落下时的落点坐标，然后将其与乒乓球台的长度相比较，即可得出结论． 【详解】（1）解：描出各点，并画出图象如下： （2）解：观察表格数据，可知当和时，函数值相等， 对称轴为直线，顶点坐标为， 抛物线开口向下， 当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是， 当时，， 当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是， 故答案为：，； （3）解：乒乓球再次落下时仍落在球台上，理由如下： 将代入函数关系式，得： ， 解得：或（因对称轴，故舍去）， 乒乓球第一次落到球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系， 令，则有： ， 解得：或（此为乒乓球第一次落到球桌时的落点坐标，故舍去）， ， 乒乓球再次落下时仍落在球台上． 22．（10分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的表达式； (2)求该二次函数的图象的顶点坐标； (3)当时，对于的每一个值，函数的值小于二次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式之间的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）配方成顶点式求解即可； （3）根据题意可知当时，恒成立，因此只需要满足n不大于，当时，的值即可． 【详解】（1）解：把点，代入中得： ， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：， ∴该二次函数的图象的顶点坐标为； （3）解：当时，则， 令， ∵函数开口向上，对称轴为直线， ∴当时，S随x增大而增大， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于二次函数的值， ∴当时，恒成立， 当时，， ∴． 23．（10分）定义：在平面直角坐标系中，当点在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“和谐点”． (1)如图，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“和谐点”的是 ； (2)点是反比例函数图象上的一个“和谐点”，则该函数图象上的另一个“和谐点”的坐标是 ，直线的表达式是 ； (3)已知点，是抛物线上的“和谐点”，直接写出点，的坐标 ， ． 【答案】(1) (2)， (3)，或， 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了一次函数，反比例函数，二次函数，理解坐标与图形性质，熟练掌握两点间的距离公式，理解新定义是解题的关键． （1）根据“和谐点”的定义判断这几个点是否在矩形的边上； （2）把代入求出解析式，再求于的交点即为； （3）根据“和谐点”的定义求出点，的坐标即可． 【详解】（1）解：矩形的顶点坐标分别是，，，， 当“和谐点”在或上时，“和谐点” 应满足且或， 当“和谐点”在或上时，“和谐点”应满足且或， 点是矩形的“和谐点”，点、不是矩形的“和谐点”， 故答案为： ； （2）解：点是反比例函数图象上的一个“和谐点”， 把代入得， ∴， “和谐点”的横坐标和纵坐标相等， “和谐点”都在的图象上，联立得：， 解得或， ， 直线的解析式为， 故答案为：，； （3）解：点，是抛物线上的“和谐点”， ， 即， 解得，， 当时，，当时，， ∴点，的坐标为，或，， 故答案为：，或，． 24．（10分）如图，边长为6的正方形中，E，F，G，H分别是，，，边上的动点，且，点E从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动（到达点时停止），设运动时间为t（单位：秒）． (1)①当运动停止时，t的值为______； ②设A，H之间的距离为y，则y与t满足______关系（选填“正比例函数”，“一次函数”，“二次函数”） (2)设四边形的面积为S， ①直接写出S的表达式______（用含有t的代数式表示），并写出t的取值范围______； ②S是否可以为20？若可以，请求出此时t的值，若不能，请通过计算说明理由． 【答案】(1)①；②一次函数 (2)①，；②S可以为20，此时或 【分析】本题考查正方形的判定与性质，二次函数与几何应用，勾股定理； （1）①当运动停止时，，代入计算即可； ②根据，可得，即满足一次函数关系； （2）①先证明四边形是正方形，再根据计算即可； ②令，解方程后判断即可． 【详解】（1）∵边长为6的正方形， ∴，， ∵点E从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动， ∴， ∴， ①当运动停止时，秒， 故答案为：； ②∵， ∴y与t满足一次函数关系， 故答案为：一次函数； （2）解：①∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴四边形是正方形， ∴， 整理得， ∵，， ∴， ∴， ∴S的表达式，t的取值范围， 故答案为：，； ②令得， 整理得， 解得或， ∵， ∴S可以为20，此时或． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知二次函数，若点和在此函数图象上，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 2．抛物线的图象开口向下，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D．m可取一切实数 3．抛物线的图象先向左平移2个单位，再向下平移6个单位后，所得的抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 4．将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ） A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位 5．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 3 … y … 6 2 0 2 … 下列判断：①函数图象开口向上；②函数图象的顶点坐标是；③当时，；④在函数图象上有两点，，则．其中正确的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 6．已知二次函数的图象如图所示，是方程的两根，且．则下列说法市确的是( ) A． B． C． D． 7．若二次函数的图象与轴有公共点，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： 有以下几个结论： … 0 1 2 3 … … 3 0 3 … ①抛物线的开口向上； ②抛物线的对称轴为直线； ③方程的根为0和； ④当时，的取值范围是或．其中正确的是（ ） A．①④ B．②④ C．①③ D．③④ 10．已知二次函数的图象经过点．如果，那么m的取值范围是（ ） A． B． C．或 D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．函数是二次函数，则______． 12．函数的最大值是______． 13．若二次函数的图象与x轴有交点，则m的取值范围是_________． 14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，对称轴是直线，下面四个结论中：①；②当时，随的增大而增大；③点的坐标为；④若点在函数的图象上，则；其中正确的是______（只填写序号）． 15．二次函数的图象经过，，三点． 下面四个结论： ①抛物线开口向下； ②当时，取最小值； ③当时，一元二次方程必有两个不相等实根； ④直线经过点，，当时，的取值范围是． 所有正确结论的序号是___________． 16．二次函数的图像如图所示，则_____0，_____0． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标、对称轴； (2)在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象． 18．（8分）已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标； (2)直接写出当时，自变量的取值范围． 19．（8分）已知抛物线经过两点， (1)求b，c的值； (2)当时，求函数值y的取值范围； (3)当时，函数的函数值总大于函数的函数值，直接写出n的取值范围． 20．（8分）“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．在义卖的过程中发现，这种文化衫每天的销售件数y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：．如果义卖这种文化衫每天的利润为（元），那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 21．（10分）乒乓球被誉为中国国球．年巴黎奥运会上，中国队展现了强大的竞技实力，包揽了乒乓球项目的五枚金牌，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．已知乒乓球台的长度为，一位运动员从球台边缘正上方击球高度为处，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．从击打乒乓球到第一次落到球台的过程中，乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得如下数据： 水平距离 竖直高度 (1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行路线形状的大致图象； (2)当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______； (3)乒乓球第一次落到球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．判断乒乓球再次落下时是否仍落在球台上，并说明理由． 22．（10分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的表达式； (2)求该二次函数的图象的顶点坐标； (3)当时，对于的每一个值，函数的值小于二次函数的值，直接写出的取值范围． 23．（10分）定义：在平面直角坐标系中，当点在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“和谐点”． (1)如图，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“和谐点”的是 ； (2)点是反比例函数图象上的一个“和谐点”，则该函数图象上的另一个“和谐点”的坐标是 ，直线的表达式是 ； (3)已知点，是抛物线上的“和谐点”，直接写出点，的坐标 ， ． 24．（10分）如图，边长为6的正方形中，E，F，G，H分别是，，，边上的动点，且，点E从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动（到达点时停止），设运动时间为t（单位：秒）． (1)①当运动停止时，t的值为______； ②设A，H之间的距离为y，则y与t满足______关系（选填“正比例函数”，“一次函数”，“二次函数”） (2)设四边形的面积为S， ①直接写出S的表达式______（用含有t的代数式表示），并写出t的取值范围______； ②S是否可以为20？若可以，请求出此时t的值，若不能，请通过计算说明理由． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．C 2．C 3．B 4．D 5．C 6．B 7．C 8．D 9．A 10．C 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．1 12．1 13． 14．①④ 15．②④ 16． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．(1)顶点坐标为，对称轴为直线 (2)见解析 【分析】（1）将解析式转化为顶点式即可得到结果； （2）求得抛物线与坐标轴的交点，进而根据顶点，对称轴以及坐标轴的交点坐标画出图形，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线； （2）根据 当时，， 当时，，解得： ∴抛物线与x轴交于点，， 图象如下： 18．(1)，，， (2) 【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点，解题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次不等式间的关系． （1）抛物线转换成顶点式即可得顶点坐标，再分别求时的x值和时的y值，即可得抛物线与坐标轴的交点坐标； （2）根据函数图象知，时的范围即为抛物线位于轴下方部分对应的的范围，据此可得． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，，即， 解得：，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为，， 当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为； （2）解：抛物线图象如图： 由图象可得，当时，的范围即为抛物线位于轴下方部分对应的的范围：． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； （2）依据题意，由（1）可得，抛物线为，从而当时，取最小值为，结合当时，；当时，，进而可以判断得解； （3）依据题意，由函数的图象为平行于的直线，从而结合图象，可以判断得解． 【详解】（1）解：抛物线经过两点 ∴ 解得： （2）由（1）可得，抛物线为， 当时，取最小值为． 又当时，；当时，， 当时，． （3）由题意，函数的图象为平行于的直线， 当时，函数的函数值总大于函数的函数值，故结合图象如下． 函数的图象过时，， ． 当时，函数的函数值总大于函数的函数值，则． 20．售价28元时，最大利润为192元 【分析】本题考查了二次函数的应用．根据题意得出每天获得的利润，于是求出每天获得的利润最大时的销售价格． 【详解】解：根据题意得： ． ， 当时，利润最大元； 答：当销售单价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 21．(1)图见解析 (2)， (3)乒乓球再次落下时仍落在球台上，理由见解析 【分析】（1）依据题意，根据描点法描出各点并画出函数图象即可； （2）依据题意，根据二次函数图象的对称性可求得对称轴以及顶点坐标，根据表格数据可得当时，于是得解； （3）先用待定系数法求出二次函数解析式，然后求抛物线与轴的交点坐标，即可求出乒乓球再次落下时的落点坐标，然后将其与乒乓球台的长度相比较，即可得出结论． 【详解】（1）解：描出各点，并画出图象如下： （2）解：观察表格数据，可知当和时，函数值相等， 对称轴为直线，顶点坐标为， 抛物线开口向下， 当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是， 当时，， 当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是， 故答案为：，； （3）解：乒乓球再次落下时仍落在球台上，理由如下： 将代入函数关系式，得： ， 解得：或（因对称轴，故舍去）， 乒乓球第一次落到球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系， 令，则有： ， 解得：或（此为乒乓球第一次落到球桌时的落点坐标，故舍去）， ， 乒乓球再次落下时仍落在球台上． 【点睛】本题主要考查了实际问题与二次函数，用描点法画函数图象，从表格中获取信息，二次函数的图象与性质，用待定系数法求二次函数解析式，直接开平方法解一元二次方程，求抛物线与轴的交点坐标，有理数大小比较等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质及用待定系数法求二次函数解析式并运用数形结合思想是解题的关键． 22．(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式之间的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）配方成顶点式求解即可； （3）根据题意可知当时，恒成立，因此只需要满足n不大于，当时，的值即可． 【详解】（1）解：把点，代入中得： ， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：， ∴该二次函数的图象的顶点坐标为； （3）解：当时，则， 令， ∵函数开口向上，对称轴为直线， ∴当时，S随x增大而增大， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于二次函数的值， ∴当时，恒成立， 当时，， ∴． 23．(1) (2)， (3)，或， 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了一次函数，反比例函数，二次函数，理解坐标与图形性质，熟练掌握两点间的距离公式，理解新定义是解题的关键． （1）根据“和谐点”的定义判断这几个点是否在矩形的边上； （2）把代入求出解析式，再求于的交点即为； （3）根据“和谐点”的定义求出点，的坐标即可． 【详解】（1）解：矩形的顶点坐标分别是，，，， 当“和谐点”在或上时，“和谐点” 应满足且或， 当“和谐点”在或上时，“和谐点”应满足且或， 点是矩形的“和谐点”，点、不是矩形的“和谐点”， 故答案为： ； （2）解：点是反比例函数图象上的一个“和谐点”， 把代入得， ∴， “和谐点”的横坐标和纵坐标相等， “和谐点”都在的图象上，联立得：， 解得或， ， 直线的解析式为， 故答案为：，； （3）解：点，是抛物线上的“和谐点”， ， 即， 解得，， 当时，，当时，， ∴点，的坐标为，或，， 故答案为：，或，． 24．(1)①；②一次函数 (2)①，；②S可以为20，此时或 【分析】本题考查正方形的判定与性质，二次函数与几何应用，勾股定理； （1）①当运动停止时，，代入计算即可； ②根据，可得，即满足一次函数关系； （2）①先证明四边形是正方形，再根据计算即可； ②令，解方程后判断即可． 【详解】（1）∵边长为6的正方形， ∴，， ∵点E从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动， ∴， ∴， ①当运动停止时，秒， 故答案为：； ②∵， ∴y与t满足一次函数关系， 故答案为：一次函数； （2）解：①∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴四边形是正方形， ∴， 整理得， ∵，， ∴， ∴， ∴S的表达式，t的取值范围， 故答案为：，； ②令得， 整理得， 解得或， ∵， ∴S可以为20，此时或． 2 / 9 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