第一单元全等三角形-将军饮马（同步练习）2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 苏科版八年级数学全等三角形同步练习，聚焦“将军饮马”问题，通过基础作图、性质应用到综合拓展的三阶分层设计，强化轴对称与最短路径知识，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|两点异侧/同侧最短路径作图|结合诗句情境，强调作图依据（两点之间线段最短）| |提升层|三角形周长最小值计算|融入等边三角形、垂直平分线性质，强化对称转化思想| |综合层|模型拓展与跨情境应用|设置坐标系、折叠等问题，培养空间观念与创新意识|

苏科版八年级数学上 第一单元 全等三角形-将军饮马 （同步练习） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．唐代诗人李颀的诗句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，引出一系列有趣的数学问题，通常称为将军饮马问题． (1)如图①，若点和点分别在直线的两侧，请作示意图，在直线上找点，使得有最小值，并写出作图依据； (2)如图②，若点和点分别在直线的同侧，请作示意图，在直线上找点，使得有最小值； (3)如图③，定点在内部，点，分别在射线，上，请作示意图，确定点，，使得的周长最小． 2．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀古从军行里的一句诗，由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图，若点和点分别在直线的两侧，请作出示意图，在直线上找到点，使得有最小值，并说明作图依据：________； (2)如图，若点和点在直线的同侧，请在直线上作出点，使得有最小值； (3)如图，已知，点在内部，，在射线和上分别确定点，，使的周长最小，并求出周长的最小值．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短周长用实线） 3．“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的A点出发，走到河旁边的C点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线同侧有两个定点A、B，在直线上存在点P，使得的值最小． (1)请在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形；（保留作图痕迹） (2)应用： ①如图2，已知，其内部有一点P，，在的两边分别有C、D两点（不同于点），使的周长最小，则周长的最小值为______． ②如图3，边长为a的等边中，是上的中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是多少？此时为多少度？ 4．综合与实践： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让李明想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从地出发到河边饮马，然后再到地军营视察，怎样走路径最短？ 可以转化为数学模型：如图1，，是直线同旁的两个定点．在直线上确定一点，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 已知：如图2，点A是锐角内部任意一点， 在的两边，上各取一点B，C，组成三角形，使的周长最小． (1)借助直角三角板在图2中找出符合条件的点B和C； (2)若（1）中的，，求的最小周长． 5．综合与实践 【阅读材料】唐朝诗人李欣的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马． 【问题提出】如题1图，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点B宿营，将军到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短，正是我们要探究的问题． (1)【问题探究】如题2图，直线的两侧分别有A、B两点，请你在直线上确定一个点，使最短． (2)【问题解决】上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如题3图，请你用尺规作图在直线上求出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） (3)【评价反思】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．若x轴上有两个动点（在N的左侧），且，则的最小值为多少． 6．八年级某班在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题：    (1)格点应用：如图2，边长为1的正方形网格内有两点、，直线与、的位置如图所示，点P是直线上一动点，则的最小值为 ，在网格内画出点P； (2)几何应用：如图3，在中，，边的垂直平分线交于点E，垂足为D．若，点P是直线上的动点，求的最小值． 7．【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图1，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点C饮马，再去河岸同侧的营地B开会，应该怎样走才能使路程最短？ (1)【分析问题】为了解决这个问题，数学小组的同学提出了四种确定河边饮马点C的方案．正确的方案是________（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是________． (2)【解决问题】如图2，在中，点B与点C关于直线m成轴对称，点P是直线m上的动点．若，，，求周长的最小值． (3)【类比探究】如图3，点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．请在图3上画图：使将军走过的路程最短，（尺规作图，保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线）并说明理由． 8．如图，、表示两条互相交叉的公路，点处是一个大型货物批发站，现在要在内部建一个货物中转站．要求货物中转站到公路、的距离相等，且，请用尺规作图法找到货物中转站的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 9．【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”． 【分析问题】 (1)如图1，为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案．正确的方案是____________（填序号）． 【解决问题】 (2)如图2，在中，点与点关于直线对称，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为____________． 【类比探究】 (3)如图3，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营． ①在图3上作图：使将军走过的路程最短．（保留作图痕迹） ②当将军走过的路程最短，且时，则____________． 10．问题解决 【提出问题】 唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图1，将军牵马从营地出发，先到河流边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 (1)为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是________（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是 ． 【解决问题】 (2)如图2，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【类比探究】 (3)如图3，点是内一定点，将军牵马从军营点出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营． ①在图3中作图：使将军走过的路程最短．（保留作图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，求的度数． 11．综合实践：数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题．转化是解决数学问题的一种策略．如图，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同侧有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． 小明的作法是：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 【活动一】 如图，为了证明点的位置即为所求，小明经探究发现，在直线l上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图中小明的证明； (2)如图，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图，已知，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【活动二】感悟方法，尝试应用 (4)如图6，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系________； ②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图6上标注点的位置，并求出的最小值________． 12．综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”． (1)【题型解决】如图①，小明将，两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线、如图②，小明作点关于直线的对称点，连结与直线交于点，点就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明．以下是说明过程： 如图③，在直线上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线对称， 直线是的垂直平分线． ________，________ ________＝________． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． (2)【模型应用】如图④，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为________． (3)【模型拓展】如图⑤，已知，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 13．综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图1，将军从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】 如图2，小明将两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线．作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线“异侧”线段距离问题解决． （1）小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是_____； 【模型应用】 （2）如图3，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，求周长的最小值； 【模型拓展】 （3）如图4，在中，，若，将折叠，使点恰好落在边上的点处，折痕为，点为上一动点，直接写出周长的最小值为_____． 14．综合与实践活动： 课本再现：如图1，“将军饮马问题”抽象出数学模型，直线同旁有两个定点，在直线上存在点，使得的值最小． “智慧小组”的做法是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，只需在直线上另外任取一点，连接．证明即可． (1)请完成图3中的证明； (2)类比应用： ①如图4，在等边中，是中点，是的平分线，是上的动点．若，求的最小值； ②如图5，在中，，，，，平分，点分别为上的动点，连接．求的最小值． 15．知识呈现 我们已经学习过“将军饮马”问题（如下图），在解决该类问题时，常常利用“旋转”、“构造全等”等方法． 请据此回答下面问题： (1)如图1，在中，，，点、分别为线段、上的动点，且． ①求证：； ②在点、运动过程中，求的最小值； (2)如图2，在中，，，是斜边上的中线，、为线段上的两个动点，且，求的最小值； (3)如图3，，在中，，，，点、分别为线段、上的动点，且，请直接写出的最小值． 16．综合与实践 【阅读材料】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马． 【问题提出】如题1图，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，将军到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短，正是我们要探究的问题． 【问题探究】（1）如题2图，直线的两侧分别有两点，请你在直线上确定一个点，使最短． 【问题解决】（2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如题3图，请你用尺规作图在直线上求出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【评价反思】 （3）如题4图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角，牧马人从地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．已知，请在备用图题5图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 17．【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 18．综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从地出发，到一条笔直的河边，饮马，然后到地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将，两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线，如图②，小明作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： (1)如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． ∵点B与点关于直线l对称， ∴直线l是的垂直平分线． ∴______，______， ∴______=______． ∵在中，， ∴，即最小． (2)“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线，“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线“异侧”线段距离问题解决，小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是______．请你完成上面填空． (3)【模型应用】如图④，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为______． (4)【模型拓展】如图⑤，在锐角中，，，，点是边上的一动点，点关于直线，的对称点分别是，，连接，则的最小值为______． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《苏科版八年级数学上 第一单元 全等三角形-将军饮马 （同步练习）》参考答案 1．(1)作图依据：两点之间线段最短 (2) (3) 【分析】（1）依据两点之间线段最短得出答案； （2）利用对称的性质即可得出结果； （3）分别作Q关于、的对称点C、D，连接，交、于点M、N，则的周长最小． 【详解】（1）解：连接，与直线l相交于点C，则有最小值． （2）解：作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求． （3）解：作法：①作点Q关于的对称点C， ②作点Q关于的对称点D， ③连接，分别交于点M，交于点N，则的周长最小． 2．(1)，两点之间线段最短 (2)如图，点即为所求 (3)，6 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型． （1）依据是两点之间线段最短得出答案； （2）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，点即为所求； （3）分别作关于、的对称点、，连接，交、于、，则的周长最小，进而根据轴对称的性质推出为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】（1）解：连接，与直线相交于一点，则有最小值．作图依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短； 图略； （2）略； （3）如图③， 作法：（Ⅰ）作关于的对称点， （Ⅱ）作点关于的对称点， （Ⅲ）连接，分别交于点M，交于N， 则的周长最小， 连接、， ∵点C和点Q关于对称， ∴，， 同理可得，，， ∴， ， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长． 3．(1)如图，点P即为所求． (2)①12；②周长的最小值是， 【分析】（1）根据轴对称的性质作出图形； （2）①分别作P关于、的对称点M、N，根据轴对称的性质得到的周长最小，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答； ②根据等边三角形的性质可得，，，据此得出，作点A关于的对称点M，连接交于，则，此时的值最小，此时，证明是等边三角形，再证明，得出，，最后得出周长的最小值，此时． 【详解】（1）略 （2）解：①分别作P关于、的对称点M、N，连接，交、于C、D，则的周长最小，连接、，如图： 由轴对称的性质可知，，，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长； ②连接，∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点E在射线上运动， 作点A关于的对称点M，连接交于，则， 此时的值最小，此时， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴周长的最小值是，此时点与重合，． 4．(1) 点B和C即为所求： (2)10 【分析】本题考查轴对称的最短路径问题，掌握作对称点构造将军饮马模型是解题的关键． （1）作点关于、的对称点，，连接交相交于，则点B，C即为所求； （2）根据对称性可得，，即可得到为等边三角形，然后根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）连接 ． 由对称性可知是的垂直平分线， ∴，   ∴为等腰三角形，， 同理可证得：是的垂直平分线，是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 连接，则， ∴， 由两点之间，线段最短可知，此时最小， ∴的周长最小值为． 5．(1) 如图，点即为所求； (2) 如图，点即为所求； (3)的最小值是 【分析】（1）连接与的交点即为点； （2）过点作的垂线，再截取相等线段得到对称点，连接与的交点即为点； （3）将点向左平移1个单位长度得到点，连接交轴于点，此时的值最小．可看成由平移得到的，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，将点向左平移1个单位长度得到点，连接交轴于点，此时的值最小． ，， 可看成由平移得到的， ， ， ， 的最小值是． 6．(1)，如图所示，点P即为所求，    (2)9 【分析】（1）作点B关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为所求，利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）根据等边对等角和三角形内角和定理可得；由线段垂直平分线的性质可得，则可推出，可得，；可证明，则当P、B、C三点共线时，有最小值，最小值为的长，即的最小值为9． 【详解】（1）解：如图所示，作点B关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为所求， 此时的最小值即为线段的长，即的最小值为； （2）解：∵在中，， ∴； ∵边的垂直平分线交于点E，垂足为D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，连接，则， ∴， ∴当P、B、C三点共线时，有最小值，最小值为的长，即的最小值为9．    【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理等等，正确理解题意确定线段之和取得最小值的情形是解题的关键． 7．(1)④，两点之间，线段最短； (2)11 (3) 解：如图，最短， 理由：过点P分别作的对称点，， 连接与交点即为点C，D． ，， 最短． 【分析】（1）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点，由对称轴的性质可得，，则，则的周长最小值转化为的值； （3）①过点分别作的对称点，连接与交点即为点，则此时最短． 【详解】（1）解：正确的方案是④， 因为由轴对称的性质可得， 所以当点三点共线时， 所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短； （2）解：过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点P， 由对称轴的性质可得：，， ，， 的周长最小值为： ； （3）略 8．如图，P点即为所求． 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，先作的平分线，然后连接，再作的垂直平分线，与相交于点P，则点P即为建中转站的位置． 【详解】解：由作图可知点在的平分线上， ∴点到公路、的距离相等， 又∵由作图可知点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴P点就是货物中转站的位置． 图略． 9．(1)④ (2)11 (3)①如图，点、即为所求 ②70 【分析】（1）经典将军饮马问题中，求直线上一点使最短的方法是：作其中一个点关于直线的对称点，连接对称点与另一个点，与直线的交点即为所求； （2）连接，根据轴对称得出，则的周长，得出最小值为的长度，即可解答； （3）①分别作点关于的对称点、点关于的对称点，连接，交于，交于，点、即为所求，此时最短； ②由对称性质可知：，，从而求出，在中，根据三角形内角和定理求出，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴的周长， 当点共线，且点位于之间时，最小，最小值为的长度， ∵，， ∴周长最小值为； （3）解：①略 ②如图， 由对称性质可知：，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 10．(1)④，两点之间，线段最短 (2) (3)①所作图形如下： ② 【分析】（1）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）连接，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）①过点P分别作，的对称点，，连接与，交点即为点C，D，则此时最短； ②由三角形内角和定理可得，由轴对称的性质可得，则，故，同理可得，再由三角形内角和定理求解． 【详解】（1）解：正确的方案是④， ∵由轴对称的性质可得， ∴当点B，C，三点共线时，， ∴此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短， （2）解：连接，如图所示： ∵点与点关于直线成轴对称， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴当点，C，三点共线时，有最小值， ∴周长的最小值为； （3）解：①略 ②∵，， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴． 11．(1)证明：由轴对称的性质可知，，， ， ， ，， ∴当、、三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求． (2)的周长最小值为， (3) (4)①；②如图：点F即为所求．， 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，则， ，可得即可证明结论； （2）如图，连接，则B是C关于m的对称点，当B、P、A三点共线时，即当P是m与的交点时，的周长最小；再利用垂直平分线的性质以及线段的和差即可解答； （3）如图，分别作关于、的对称点、，连接、、，当、、、四点共线时，的周长取最小值，再根据轴对称的性质解答即可． （4）①利用等腰三角形三线合一的性质求解即可；②如图：连接与的交点F即为所求；再利用等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解： 如图，连接， ∵是边的垂直平分线， ， 的周长为， 当且仅当、、三点共线时，等号成立， 即当是与的交点时，的周长最小，最小为， （3）解： 如图，分别作关于、的对称点、，连接、、，当、、、四点共线时，的周长取最小值， 根据对称性可知，，，， ， ， ， ， ，， ． （4）解：①在等边三角形中，是的中线， ，， ； ②如图：点F即为所求． 点为上一点 当点，，三点共线时，的值最小，即的长度 在等边三角形中，是的中线，点为边的中点， ． 12．(1)，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 (2)9 (3) 【分析】（1）利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． （2）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． （3）设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【详解】（1）解：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是“两点之间线段最短”，或“三角形两边之和大于第三边”； （2）解：如图，直线m与交于点D，连接 ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称，， ∴ ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． （3）解：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， ∴由轴对称的性质可得，，， ∴． 13．（1）两点之间，线段最短；（2）10；（3）20 【分析】（1）根据两点之间，线段最短即可求解； （2）根据题意知点关于直线的对称点为点，故当点和点重合时，的值最小，周长有最小值，求出的长度即可得到结论； （3）由折叠可知，根据的周长，判断出当、、三点共线时，的值最小，最小值为，再求得，，得到，即可求得周长的最小值． 【详解】（1）解：小明在说明这个问题的过程中，把在直线同侧的问题转化为在直线两侧，从而可利用“两点之间，线段最短”的问题加以解决， 故答案为：两点之间，线段最短； （2）解：如图所示，直线是边的垂直平分线，直线与交于点， ∴、关于直线对称， ∴当点和点重合时，的值最小，最小值为的长， ∵， ∴周长的最小值为； （3）解：由折叠的性质，得垂直平分， ∴， ∴的周长为， 当、、三点共线时，的值最小，最小值为， 在中，，， ∴由勾股定理得，， 由折叠可知，， ∴， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称性质、线段垂直平分线性质、三角形周长最值问题，垂线段最短，解答本题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 14．(1) 证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； (2)①6，② 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形三边关系，等边三角形的性质，垂线段最短等知识．熟练掌握轴对称的性质，等边三角形的性质，垂线段最短是解题的关键． （1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）①由题意知，是等边的对称轴，作关于的对称点，连接，，则的最小值是，然后求解作答即可； ②由题意知，是的对称轴，如图2，作关于的对称点，连接，作于，由题意知，当三点共线时，，当重合时，的值最小，为，根据计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵等边，是的平分线， ∴所在直线是等边的对称轴， 如图1，作关于的对称点，则点落在上，连接，， ∵是中点， ∴为的中点， ∵等边三角形， ∴为的平分线，， ∴， 由题意知，的最小值是， 故答案为：6； ②∵平分， ∴是的对称轴， 如图2，作关于的对称点， ∵平分， ∴落在上， 连接，作于， 由题意知，当三点共线时，， 当重合时，的值最小，为， ∵， ∴， 解得，， ∴的最小值为． 15．(1)证明：∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，等边三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，含角直角三角形的性质，灵活运用相应知识是解题的关键． （1）证明即可得结论； 过点作，使得，构造，可得，则，可得的最小值为，构造直角三角形即可求解； （2）延长到点，使得，构造，则，可得的最小值为，由是斜边上的中线可得的长即可求解； （3）在上截取，构造，可得，则，可得最小值为，构造直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：略 如图，过点作，使得，过点作交的延长线于点，连接，， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴当、、共线时，的最小值为， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． （2）解：如图，延长到点，使得，连接， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴当、、共线时，的最小值为， ∴的最小值为2． （3）解：如图，在上截取，过点作交延长线于点， 同理（1）可得， ∴， ∴， ∴当，，共线时，最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴最小值为． 16．（1）如图，点C即为所求； （2）如图，点C即为所求； （3）如图所示，整个过程所行的路程为． 【分析】本题考查了最短路径的实际应用，等边三角形的判定和性质；解题的关键是正确作图，正确找到对称点及最短路径线段． （1）直接连接交直线l于点C即可； （2）作A关于l的对称点，连接交l于点C即可； （3）分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求最短路径，结合题意易证为等边三角形，从而求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求的最短路径． 由题意，得， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ∴， ∴整个过程所行的路程为． 17．（1）④，两点之间线段最短； （2）11； （3）①如图，最短， ②70 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，两点之间线段最短等知识点． （1）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点，由对称轴的性质可得，，则，则的周长最小值转化为的值； （3）①过点分别作的对称点，连接与交点即为点，则此时最短； ②由三角形内角和定理可得，由轴对称的性质可得，则，故，同理可得，再由三角形内角和定理求解． 【详解】解：（1）正确的方案是④， 因为由轴对称的性质可得， 所以当点三点共线时， 所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点， 由对称轴的性质可得，， ∴， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：11； （3）①过点分别作的对称点，连接与交点即为点 则， ∴； ②如图： 因为， 所以， 由轴对称的性质可得， 因为， 所以， 所以， 同理可得， ∴ 故答案为：． 18．(1)，， (2)两点之间，线段最短 (3) (4) 【分析】本题考查轴对称性质、线段垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，等边三角形的性质与判定，垂线段最短． （1）利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，即可求解； （2）根据两点之间，线段最短即可求解； （3）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． （4）如图，连接，根据轴对称的性质结合题意，进而得出是等边三角形，则，根据垂线段最短，可知当时，取得最小值，进而根据等面积法即可求解． 【详解】（1）解：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． 故答案为：，，， （2）解：“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把，在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”的问题加以解决． 故答案为：两点之间，线段最短； （3）解：如图，直线与交于点， 直线垂直平分， 、关于直线对称， 当和重合时，的值最小，最小值等于的长， ，， 周长的最小值是． 故答案为：； （4）解：如图，连接， ∵点关于直线，的对称点分别是，， ∴，， ∵ ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴当取得最小值时，取得最小值 ∴当时，取得最小值， 又∵，， ∴的最小值为 ∴ 最小值为 故答案为：． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $