26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 同步讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质，以配方法转化一般式为顶点式为基础，衔接五点定形法画图象，进而探究系数a、b、c及判别式Δ对图象位置与形态的影响，构建从代数变形到几何直观的学习支架。 资料以典例与变式结合、分层训练为特色，通过“左同右异”口诀培养推理意识，五点定形法发展几何直观，三种形式转化强化模型意识。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生巩固提升，有效查漏补缺。

26.2.3二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 学习目标和重难点 1、掌握配方法，能将二次函数的一般式y=ax2+bx+c转化为顶点式 y=a(x−h)2+k，从而准确确定抛物线的顶点坐标与对称轴。 2、结合图象探究并归纳一般式抛物线的核心性质，理解系数a、b、c及判别式Δ对图象位置与形态的决定作用。 教学重点 1、熟练运用配方法将一般式化为顶点式，并据此求出对称轴和顶点坐标。 2、掌握抛物线的开口方向、增减性、最值等基本性质。 教学难点 1、配方法过程中的代数恒等变形及符号处理（尤其是提取二次项系数时的运算）。 2、深刻理解并灵活运用系数a、b与对称轴位置的关系（“左同右异”），以及c和Δ的几何意义。 教材◆核心知识 知识点1：二次函数图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线与坐标轴的交点， 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 方法归纳： 当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象 【针对训练】 1．已知二次函数的解析式，补充下表，并根据表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中，利用描点法画出这个二次函数的示意图． x … －3 －2 －1 0 1 … … 0 ___ ___ ___ 0 …    【答案】、、，图象见解析． 【分析】将、、分别代入二次函数解析式中，求出对应的y值，再利用描点、连线画出函数图象即可． 【详解】解：填表如下： x … －3 －2 －1 0 1 … … 0 －3 －4 －3 0 … 描点、连线，如图所示：    【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象，熟练掌握利用描点法画二次函数的图象是解题关键． 2．已知二次函数部分自变量与函数值的对应值如下表所示： … … … … (1)求二次函数解析式； (2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)当时，的取值范围是____________． 【答案】(1) (2)画图见详解 (3) 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）根据函数解析式，用描点法即可求解； （3）根据自变量的取值范围，结合图示，即可确定函数值的取值范围． 【详解】（1）解：当时，；当时，；当时，， ∴，解方程得， ∴二次函数解析式为． （2）解：二次函数解析式为，图像如图所示， 函数与轴的交点是，，与轴的交点是，对称轴为，符合题意． （3）解：当时，根据（2）中图示可知， 当时，；当当时，；当时，． ∴当时，． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，根据函数解析式画函数图形，根据函数自变量求函数取值范围，掌握待定系数法解二次函数解析式，函数图像的性质是解题的关键． 知识点2：二次函数的图象和性质 1．二次函数图象与性质 函数 二次函数(a、b、c为常数，a≠0) 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大。简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小。简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 方法归纳： 1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用． 2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 2. 图象的特征与a、b、c及的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 【针对训练】 1. 将二次函数化为的形式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，掌握将一般式转化为顶点式是解题的关键． 先提取二次项系数，再配一次项系数一半的平方，即可求解． 【详解】解：． 故选：D． 2. 将二次函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到二次函数的图象，则二次函数有（ ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，掌握平移规律，二次函数最值的计算方法是解题的关键． 先将二次函数化为顶点式，再根据平移规律“左加右减（横轴），上加下减（纵轴）”求出的解析式，由此即可求解． 【详解】解：， ∵将图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴， ∴顶点坐标为， ∴二次函数有最小值， 故选：． 3. 抛物线的图象如图，当x____________时，y0． 【答案】 【分析】由图观察得出y=0时所对的x的值，再根据开口方向，从而确定y0时，x的取值范围. 【详解】由图观察得出y=0时，x=1或x=3，又知开口向上，则 y0时，. 知识点3：二次函数三种形式之间的相互关系 二次函数的三种形式 ①一般式： 由定义可知，二次函数的一般式为 。 ②顶点式： 能直接看出二次函数的顶点坐标的函数解析式叫二次函数的顶点式。 即 。由顶点式可知二次函数的顶点坐标为 。 ③两点式（交点式）： 能直接得到二次函数与轴的交点坐标的二次函数解析式是二次函数的两点式，又叫做二次函数的交点式。即 。此时二次函数与轴的两个交点坐标分别为 与 。二次函数的对称轴为 。函数值相等的两个点一定关于 对称轴 对称。 ④二次函数的一般式转化为顶点式： 利用配方法将一般形式转化为顶点式，过程如下： ＝ →第一步：提 二次项系数 ； ＝ →第二步：配方：配 一次项系数 的一半的平方； ＝ →第三步：写成 完全平方 形式； ＝ →第四步：写成 顶点式 形式。 【针对训练】 1. 如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若与x轴的其中一个交点为，则由图象可知，与x轴的另一个交点坐标是________． 【答案】 【分析】设该二次函数图象与x轴的另一交点坐标为，根据二次函数图象与x轴的两个交点关于对称轴对称求解即可． 【详解】解：设该二次函数图象与x轴的另一交点坐标为， ∵该点与点关于对称轴对称， ∴， 解得， ∴该二次函数图象与x轴的另一交点坐标为． 2. 二次函数的图象经过．则当时，y的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由二次函数与x轴的两个交点的坐标得到对称轴，再根据对称性可得答案． 【详解】解：∵二次函数图象过和两个点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴当时的函数值与当时的函数值相等， ∵二次函数图象过点， ∴二次函数图象过点，即时，． 3. 已知二次函数图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 … … 1 1 … 根据以上信息回答下列问题： (1)二次函数图象的顶点坐标是_____，_____，_____． (2)求该二次函数的表达式． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了二次函数图象的对称性，待定系数法求解函数解析式． （1）由表格可得当和时的函数值相等，即可确定对称轴和顶点坐标，再由对称性求解值； （2）设顶点式，再代入一组的值即可求解抛物线的表达式． 【详解】（1）解：由表格可得顶点坐标为，对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为 ∴设解析式为， ∵当时，， ∴， 解得， ∴二次函数表达式为． 核心题型◆归纳 题型01 将一般式转化为顶点式 题型02 待定系数法求函数解析式 题型03 根据解析式判断二次函数的性质 题型04 根据二次函数的图像判断式子符号 题型05 函数图象的综合判断 题型06 比较抛物线上两点的函数值大小 题型07 二次函数代数最值问题 题型08 二次函数与将军饮马综合 题型09 二次函数平移问题 题型10 利用二次函数对称性求解 题型11 线段、周长存在性最值 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 题型解析◆精准备考 题型01 将一般式转化为顶点式 【典例1】将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查将一般式转化为顶点式，通过配方法将二次函数的一般式转换为顶点式即可. 【详解】解：， ； 故选A. 【变式1】老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（   ） A．只有丁 B．乙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁 【答案】D 【分析】本题考查了求二次函数的顶点坐标和配方法，解题的关键是掌握配方法化顶点式的方法． 观察每一项的变化，发现甲将老师给的式子中等式右边缩小两倍，到了丁处根据丙的式子得出了错误的顶点坐标． 【详解】解： ， ∴顶点坐标为， 根据题中过程可知从甲开始出错，按照此步骤下去到了丁处可得顶点应为， 所以错误的只有甲和丁． 故选：D． 题型02 待定系数法求函数解析式 【典例1】抛物线与x轴的两个交点为，，其形状和开口方向与抛物线相同，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，及用交点式求函数解析式，明确a决定抛物线的开口方向和形状是解题关键．根据题意可设抛物线的交点式，再由两抛物线形状及开口相同得到a相同，从而确定解析式即可． 【详解】解：由题意设抛物线的交点式为：， ∵该抛物线的形状和开口与相同， ∴， ∴抛物线的解析式为：， 整理得：， 故选：B． 【变式1】已知二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点，则这个二次函数的解析式为_________． 【答案】 【分析】已知二次函数的顶点坐标，可采用待定系数法设出抛物线的顶点式，代入顶点坐标后，将已知点代入解析式求出参数a的值，进而得到二次函数的解析式． 【详解】解：设此二次函数的解析式为， 将代入，得， 解得， 这个二次函数的解析式为． 题型03 根据解析式判断二次函数的性质 【典例1】对于抛物线，下列结论正确的是（   ） A．顶点坐标是 B．开口向下 C．当时，随的增大而增大 D．与轴没有交点 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点问题，掌握二次函数的图象和性质是解题关键．根据二次函数解析式，可得图象的开口方向，对称轴，以及顶点坐标，可判断A、B选项结论；根据二次函数的增减性可判断C选项；令，利用根的判别式，可判断D选项． 【详解】解：， 图象开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，A、B选项结论错误； 当时，随的增大而增大，C选项结论错误； 令，则， 此时， 图象与轴没有交点，D选项结论正确， 故选：D． 【变式1】已知函数（a是常数，且），下列结论正确的是（    ） A．当时，函数图象过点 B．不论a取何值，函数图象都经过点 C．函数图象与x轴必有两个交点 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与轴的交点问题，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵ 函数， 当时，， ∴ 不论取何值（），函数图象都经过点，故选项B正确． 当时，函数为， 代入，得， ∴ 图象不过点 ，故A错误． ∵， ∴， ∵ ，可能为正、负或零（例如时 ）， ∴ 图象与轴不一定有两个交点，故C错误． 抛物线的对称轴为， 若，当时，随的增大而减小； 若，当时，随增大而增大，故D错误； 故选B． 题型04 根据二次函数的图像判断式子符号 【典例1】二次函数的图象如图所示，其对称轴为有下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，因为抛物线开口向下，所以，因为抛物线与轴的交点坐标为，根据函数图象题意可知，因为抛物线的对称轴为，即，所以；根据函数图象可知，当时，，当时，；二次函数的图象与轴有两个交点，可得一元二次方程有两个不同的实数根；结合，，可求得． 【详解】因为抛物线开口向下，所以． 因为抛物线与轴的交点坐标为，根据函数图象题意可知． 因为抛物线的对称轴为，即，所以． 所以． 结论①错误． 根据函数图象可知，当时，，即． 结论②错误． 根据函数图象可知，当时，，可得，即． 结论③正确． 二次函数的图象与轴有两个交点，可得一元二次方程有两个不同的实数根，即根的判别式． 结论④正确． 由上述证明可知，，可得 ，即 ． 变形，得 ． 结论⑤正确． 综上所述，结论正确的为③④⑤，共个． 故选：B 【变式1】如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程有实数根．其中正确的结论个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】考查二次函数的图像和性质． 利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点在点和之间，则当时，，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线，即，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为得到，则可对③进行判断；由抛物线开口向下得，当时，，当x为任意实数时，，比较即可得结论． 【详解】解：①抛物线与轴的一个交点在点和之间，而抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间， 当时，， 即，所以①错误； ②抛物线的对称轴为直线，即， ， ， ，所以②正确； ③抛物线的顶点坐标为， ， ，所以③正确； ④抛物线开口向下， 当时，，当x为任意实数时，， ， ， ，所以④错误； 故选：B． 题型05 函数图象的综合判断 【典例1】已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据二次函数图象得出的符号，进而利用一次函数性质得出图象经过的象限． 【详解】解：抛物线开口向下得到， 对称轴在轴右侧，则，解得， 抛物线与轴交点在正半轴，则， ∴， ∴一次函数的图象过一、二、四象限，只有D选项符合要求． 【变式1】已知是不为0的常数，函数和函数在同一平面直角坐标系内的图象可以是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数图象和性质，正比例函数的图象是一条经过原点的直线，抛物线的对称轴是轴，顶点是原点，函数与抛物线的形状相同，分两种情况讨论： 和． 【详解】正比例函数的图象是一条经过原点的直线，抛物线的对称轴是轴，顶点是原点，函数与抛物线的形状相同． （Ⅰ）当时 直线经过第一、第三象限，随的增大而增大． 抛物线开口向上，把抛物线函数向下平移个单位长度即为函数图象． 综上所述，没有符合题意选项． （Ⅱ）当时 直线经过第二、第四象限，随的增大而减小． 抛物线开口向下，把抛物线函数向上平移个单位长度即为函数图象． 综上所述，选项D符合题意． 故选：D． 题型06 比较抛物线上两点的函数值大小 【典例1】二次函数上有两点，，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；通过求二次函数的对称轴，并利用开口向下的性质，比较两点到对称轴的距离，距离越近y值越大，然后问题可求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且， ∴抛物线开口向下，距离对称轴越近的点y值越大， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴点更接近对称轴， 【变式1】已知点、 在抛物线上，则与的大小关系是（  ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，把点代入解析式，然后比较大小即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵点、 在抛物线上， ∴，， ， ∴， 故选：A． ∴； 故选B． 题型07 二次函数代数最值问题 【典例1】已知二次函数，当时，二次函数的最小值为，则实数a的值为（　　） A．5或1 B．5或 C．或1 D．或 【答案】D 【分析】根据题意，得到二次函数的顶点坐标，以及当或时，，结合二次函数的图象，得到结果． 【详解】解：∵， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵当时， 即， ∴， ∴或， 即当或时，， ∴二次函数的图象如下： ∵当时，二次函数的最小值为， ∴或， 即实数a的值为或． 【变式1】已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ） A．或 B．或2 C． D． 【答案】C 【分析】本题二次函数开口向上，根据对称轴与给定区间的位置关系分三种情况讨论，利用二次函数的最值性质求解m，舍去不符合前提条件的解即可． 【详解】∵二次函数中，二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为，分三种情况讨论： 若对称轴在区间左侧，即，得， ∵在范围内，y随x增大而增大， ∴最小值在处，代入得，此情况不成立； 若对称轴在区间内，即，得， ∵开口向上，顶点为最小值点，将代入函数得： ， 令，得，整理得，解得， ∵， ∴，符合条件； 若对称轴在区间右侧，即，得， ∵在范围内，y随x增大而减小， ∴最小值在处，代入得，解得， ∵，不符合的前提，故舍去． 综上，只有符合条件，因此选C． 【详解】解：二次函数解析式为 ∵二次项系数 ∴抛物线开口向上，顶点坐标为． ∵ ∴当时，取得最小值． 当时，；当时，． 又∵取不到， ∴；顶点在的取值范围内， ∴． ∴． 故选：D． 题型08 二次函数与将军饮马综合 【典例1】如图，抛物线经过点，交轴于点，其对称轴为直线，若对称轴上有一点，使的值最小，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的对称轴，待定系数法求一次函数解析式等知识，根据二次函数的对称轴求出抛物线与x轴的另一交点，如图，设为C，根据对称性得到，进而得到当点M在线段上时，的值最小，然后根据待定系数法求直线解析式，最后把代入求解即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴点A关于直线的对称点为， 如图，设为点C，连接， ∴， ∴， ∴当点M在线段上时，的值最小， 设直线解析式为， 则， ∴， ∴， 当时，， ∴， 故选：B． 【变式1】如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，点，在该抛物线的对称轴上（点在点的上方），若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线，得对称轴是直线，得出点坐标为，将线段向上平移1个单位长度到的位置（此时点，重合），当点，，在一条直线时，有最小值，即有最小值，即线段的长，可得，，根据勾股定理得，即可求解. 【详解】解：． 抛物线的对称轴是直线． 点关于对称轴直线的对称点为． 当时，， 点坐标为， 将线段向上平移1个单位长度到的位置（此时点，重合），当点，，在一条直线时，有最小值，即有最小值，即线段的长， ，， ，即的最小值为． 故选B 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型09 二次函数平移问题 【典例1】将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的抛物线表达式为，则原抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”，将平移后的抛物线逆向平移即可得到原抛物线表达式，可先将平移后的抛物线化为顶点式再计算． 【详解】解：， 抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的抛物线表达式为， 原抛物线是平移后的抛物线先向上平移个单位，再向左平移个单位得到的， 原抛物线的表达式为， 整理得：， 原抛物线表达式为． 【变式1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度．得到的抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象的平移，先将原二次函数化为顶点式求出原顶点坐标，再根据点的平移规律计算平移后的顶点坐标即可． 【详解】解：∵二次函数为， ∴原抛物线顶点坐标为， ∵将图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∴平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， ∴所得抛物线的顶点坐标为． 故选：D． 题型10 利用二次函数对称性求解 【典例1】若二次函数的图象经过点，则方程的解为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的对称性．先根据二次函数的对称性求出二次函数图象与直线的另一个交点坐标，进而求出方程的解． 【详解】解：∵方程的解是二次函数与直线交点的横坐标， 已知其中一个交点为， 二次函数的对称轴为， 设另一个交点横坐标为， 由二次函数的对称性得， 解得， ∴方程的解为或， 故选：D． 【变式1】已知二次函数，当时， 取值范围是，且该二次函数的图象经过点两点，则的值可能是（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由不等式解集形式可知二次函数开口向下，对称轴为直线；再根据点M和N的纵坐标关系，结合开口方向，得出点N更靠近对称轴，从而建立关于d的不等式并求解范围，最后验证选项即可． 【详解】解：∵二次函数，当时，的取值范围是， ∴二次函数开口向下，且对称轴为直线， ∵点在函数图象上，且， ∴点N的纵坐标大于点M的纵坐标， 又∵抛物线开口向下， ∴点N到对称轴的距离小于点M到对称轴的距离， 即， 解得：， ∴d的值可能为（选项A），而4、、6均不在范围内， 故选A． 1．将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查将一般式转化为顶点式，通过配方法将二次函数的一般式转换为顶点式即可. 【详解】解：， ； 故选A. 2．已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】已知抛物线与轴交于两点，设交点式代入第三点求解更简便． 【详解】解：∵抛物线过点，， ∴设抛物线解析式为， 将代入解析式，得， 解得， ∴． 3．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而减小 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向下，选项A错误． ∵对称轴为， ∴对称轴是直线，选项B错误． 将代入抛物线解析式，得， ∴顶点坐标为，选项C错误． ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴时，随增大而减小， 又∵满足， ∴时，随增大而减小，选项D正确． 4．已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【分析】根据二次函数图象的对称轴位置判断b的符号，根据图象与y轴的交点位置判断c的符号，从而确定选项． 【详解】∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴当时，， 观察各选项，只有C选项满足条件． 5．已知某二次函数（）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据二次函数的图象性质逐一判断即可． 【详解】解：由图象可知：函数的图象开口向上、对称轴在y轴右侧， ，对称轴、且， 对称轴， ， ， 故①错误； 函数的对称轴为，函数和x轴的一个交点是， 另外一个交点为， 当时，， 故②错误； 函数的对称轴为， ， 故③正确； 由②③得，，， ， ，即， ， 故④正确， 综上所述，正确的有③④，共2个． 6．二次函数的最小值为___________． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】二次函数二次项系数大于0，开口向上，最小值为顶点的纵坐标，可通过配方计算得到． 【详解】解：， ∵， ∴当时，取得最小值，代入计算得最小值为． 7．将二次函数化为的形式是________． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【详解】解：． 8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象上有点，，，则，，的大小关系是____________．（请用“”符号连接） 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】根据题意判断出的符号，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，比较大小即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， ∵二次函数的图象对称轴为直线，在函数图象上， ∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，二次函数的图象上有点，，， ∵， ∴． 9．已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 【答案】 ①②④ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】根据二次函数的性质，逐个验证每个结论的正确性即可． 【详解】解：①：把代入，得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故①正确； ②：二次函数的对称轴为直线，故②正确； ③：∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故③错误； ④：∵抛物线开口向下，顶点在对称轴处，此时取最大值， ∴代入得，即函数最大值是，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②④． 10．求下列二次函数的最大值或最小值． (1)； (2)． 【答案】(1)最小值为 (2)最大值为6 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的最值、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【详解】（1）解： ， ∵， ∴没有最大值，只有最小值为； （2）解： ， ∵， ∴没有最小值，只有最大值为6． 11．二次函数图象与轴交于点，． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握解析式的求法、函数的最值及函数图象的交点是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）依据题意，由，进而结合求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数图象与轴交于点，， ∴把，代入解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为9； 又当时，； 当时，； 所以，当时，． 12．二次函数，用配方法化为的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题主要考查了二次函数的关系式， 利用配方法将二次函数一般式化为顶点式，再匹配对应选项即可． 【详解】解：∵， ∴正确选项为A． 故选：A． 13．已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 利用二次函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A、二次函数解析式中， ∴抛物线开口向上，该选项正确，不符合题意； B、 抛物线的对称轴为直线，该选项正确，不符合题意； C、抛物线的顶点坐标为，该选项错误，符合题意； D、当时，y随x的增大而减小，该选项正确，不符合题意； 故选：C． 14．二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题主要考查了二次函数系数与图象的关系．根据二次函数图象得出，，的取值范围可得结论． 【详解】解：由图象得： ∵抛物线开口向下， ∴； 又抛物线与轴的正半轴相交， ∴； 又抛物线对称轴在轴右侧， ∴， ∴， 故选：D． 15．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，解题的关键是掌握二次函数图象和性质． 根据解析式确定对称轴和抛物线的增减性，利用点到对称轴的距离确定函数值的大小即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴距离对称轴越远的点的纵坐标越大， ∵到对称轴的距离为； 到对称轴的距离为； 到对称轴的距离为； ∴， 故选：C． 16．二次函数（为常数，且）的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④图象过点．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象的知识；由抛物线的对称轴性质，可对③进行判断；利用抛物线的开口方向、对称轴位置、与y轴交点的位置，则可对①进行判断；结合当时，，可对②进行判断；最后根据抛物线的对称性计算，即可完成求解． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴，即③正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，即①正确； 根据图象，当时，， ∴将代入，得， 即②正确； ∵抛物线图象过点，对称轴为直线， ∴抛物线和x轴的另一个交点横坐标为， ∴抛物线图象过点，即④正确； 综上，正确的共有4个， 故选：D． 17．二次函数的最大值为__________． 【答案】0 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，先把二次函数的一般形式化成顶点式，再根据二次函数的图像和性质求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y取的最大值，最大值为：， 故答案为：0 18．已知抛物线过点，，，则这个抛物线的解析式为________． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，把点，，代入，利用待定系数法列方程组，解方程组可得抛物线的解析式． 【详解】解：∵抛物线过点，，， ∴， 解得， ∴这个抛物线的解析式为． 故答案为：． 19．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ①；②；③；④；⑤，（的实数） 其中正确的结论有______填序号 【答案】 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换的熟练运用．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为，能得到：，，， ∴， ∴， ∴①错误； ②当时，由图象知， 把代入解析式得：， ∴， ∴②错误； ③∵图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为， ∴，，， ∴， ∴ ∴③正确； ④由①②知且， ∴，④正确； ⑤∵时，最大值，时，， ∵的实数， ， ∴成立． ∴⑤正确． 故答案为：③④⑤． 20．二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】（1）利用待定系数法，将点代入到解析式中求解即可； （2）将二次函数一般式转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （3）根据二次函数的增减性求得在内函数的最大值与最小值，得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， ∴设二次函数解析式为， 又∵二次函数的图象经过， 将点代入中， 得，解得， ∴． （2）解：由（1）知，， ∴二次函数的顶点为． （3）解：∵二次函数的二次项系数为， ∴二次函数开口向下， 由（2）知，二次函数的对称轴为，且在内， ∴二次函数在顶点处取得最大值，最大值为， ∵二次函数开口向下 ∴二次函数上的点离对称轴越近函数值越大， ∵， ∴二次函数在处取得最小值， 将代入中，解得， ∴时，． 21．已知二次函数． (1)求此函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)填表，并画出此函数的图象； x … … y … … (3)若点和都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2) 解：列表如下： x … 0 … y … 3 0 0 3 … 函数图像如下所示： (3)或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、画y=ax²+bx+c的图象、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，画二次函数图像，图像法求自变量的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把抛物线解析式化为顶点式求解即可； （2）先列表，然后描点，最后连线即可； （3）根据函数图像求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为； （2）略 （3）解：由函数图像可知，当时，或． 22．在平面直角坐标系中，二次函数的对称轴为直线，且经过点． (1)当，时 ①直接写出这个二次函数的解析式为 ； ②在平面直角坐标系中画出抛物线； ③当时，直接写出的取值范围． (2)点，是抛物线上两点，当时，对于，总有，求的取值范围． 【答案】(1)①；②图象如图所示： ③ (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】（1）①根据题意得出，，即可确定函数解析式； ②列表，描点，画出图象即可； ③根据题意及函数图象，求出相应临界值即可得出结果； （2）根据题意得出需在点B及其对称点的外侧，得出相应不等式求解即可． 【详解】（1）解：①当，时，对称轴， ∴， 解得； ∵过点， ∴， ∴二次函数解析式为； ②列表如下： x 0 1 2 3 4 y 画图略； ③当时，当时取最小值， 时， 时， 故的取值范围为； （2）解：二次函数开口向上，对称轴为，，点关于对称轴的对称点为． 要使时总有， ∴需在点B及其对称点的外侧， 即， 解得， 结合， 的取值范围为． 23．如图正方形的边长为1， A、B、C三个顶点都在抛物线上，O点在原点，那么抛物线表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据正方形的性质求线段长 【分析】连接交于，根据正方形的性质得到，求出，，再利用待定系数法求解析式即可． 【详解】解：连接交于，如图所示： ∵正方形的边长为1， ∴，，，，B、C两点关于对称， ∴， ∴，， ∵ A、B、C三个顶点都在抛物线上，O点在原点，B、C两点关于对称， ∴为抛物线顶点， ∴设抛物线表达式为， 把代入可得， 解得， ∴抛物线表达式为， 故选：B． 24．已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】先将点代入二次函数解析式，得到与的关系，再结合二次函数的开口方向和对称性，逐一判断选项即可． 【详解】点在二次函数上 ， 将代入解析式得： ， 化简得， 即， 对选项A： 将代入解析式得， 把代入得： ， 移项得，故A错误； 对选项B： ， ， ，即，故B错误； 对选项C： 二次函数对称轴为， ，开口向上， 时取最小值，即是函数最小值， ，即，故C错误； 对选项D： ， ，二次函数在时，随增大而减小， ，当时，， 时的大于时的， 即， 得，故D正确． 25．已知二次函数（为常数），当时，该二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A．9 B． C．1 D．4 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】根据二次函数解析式得到二次函数图象开口向下，对称轴直线为，得到离对称轴越远值越小，则当时，二次函数取得最大值，当时，二次函数取得最小值，由此即可求解． 【详解】解：二次函数（为常数）， ∵， ∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，离对称轴越远值越小， ∵，则， ∴当时，二次函数取得最大值，最大值为， 当时，二次函数取得最小值，最小值为， ∴， 故选：D ． 26．若二次函数可以配成顶点式，则__________． 【答案】30 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数的一般式和顶点式，通过比较二次函数的一般式和顶点式的系数，建立等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 27．在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且），已知，和是抛物线上的两点，对于都有，则a的取值范围是_______． 【答案】或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】由进而得到抛物线的对称轴为，分类讨论，和，再根据增减性和对称性求解即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为， ①当时，，则在对称轴右侧，其关于对称轴对称点为， ∵开口向上，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∵当有， 可得， 解得； ②当时，，则在对称轴左侧，其关于对称轴对称点为， ∵开口向下，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∵当有， 可得或， ∴或 ， 解得； 综上，或． 28．已知直线交抛物线（常数）于点，，． (1)求抛物线的对称轴． (2)当抛物线最高点到直线的距离为9时， ①求的值； ②若点，是范围内抛物线上的两点，且，．当取得最大值时，记点向右平移3个单位后的点为，求线段的中点的坐标． 【答案】(1)； (2)①；②． 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）代入抛物线对称轴公式求解即可； （2）①利用抛物线最高点到直线的距离为这个条件结合抛物线顶点坐标与直线的表达式列出且可求出的值，联立抛物线和直线结合即可得到的值；②取得最大值，在内先让尽可能大，取顶点纵坐标时最大，再让尽可能小，从而可得到点，的坐标，由平移性质得到的坐标，再利用中点坐标公式求得线段的中点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为； （2）解：①直线过点，， 直线的表达式为， ， 该抛物线的顶点为， 抛物线最高点到直线的距离为， ，， ，即，解得或（舍去）， 抛物线为，直线为， 联立抛物线和直线得， 化简得，即， 解得，， ， ； ②取得最大值， 最大为当时，， ， 最小为当时，， ，， 点向右平移个单位后的点为， ，即， 线段的中点的坐标为，即． 29．已知点和在二次函数（，是常数，）的图象上． (1)当时，求和的值； (2)若二次函数的图象经过点且点不在坐标轴上，当时，求的取值范围； (3)用等式表示与之间的数量关系，并给予证明． 【答案】(1) (2) (3)解：； 证明：∵点和在二次函数， ∴， 得：， ∴， ∵点和在二次函数， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴. 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可得到答案； （2）先求出对称轴为，再根据图象经过点且点A不在坐标轴上，得到即可得到答案． （3）由点和在二次函数，可得，抛物线对称轴为直线，进一步证明即可. 【详解】（1）解：当时，图象经过点， ∴，解得． （2）解：∵函数图象过点和， ∴函数图象的对称轴为直线， ∵函数图象过点和， ∴根据函数图象的对称性可得， ∵， ∴． （3）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.3二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 学习目标和重难点 1、掌握配方法，能将二次函数的一般式y=ax2+bx+c转化为顶点式 y=a(x−h)2+k，从而准确确定抛物线的顶点坐标与对称轴。 2、结合图象探究并归纳一般式抛物线的核心性质，理解系数a、b、c及判别式Δ对图象位置与形态的决定作用。 教学重点 1、熟练运用配方法将一般式化为顶点式，并据此求出对称轴和顶点坐标。 2、掌握抛物线的开口方向、增减性、最值等基本性质。 教学难点 1、配方法过程中的代数恒等变形及符号处理（尤其是提取二次项系数时的运算）。 2、深刻理解并灵活运用系数a、b与对称轴位置的关系（“左同右异”），以及c和Δ的几何意义。 教材◆核心知识 知识点1：二次函数图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线与坐标轴的交点， 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 方法归纳： 当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象 【针对训练】 1．已知二次函数的解析式，补充下表，并根据表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中，利用描点法画出这个二次函数的示意图．    2．已知二次函数部分自变量与函数值的对应值如下表所示： (1)求二次函数解析式； (2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)当时，的取值范围是____________． 知识点2：二次函数的图象和性质 1．二次函数图象与性质 函数 二次函数(a、b、c为常数，a≠0) 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大。简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小。简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 方法归纳： 1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用． 2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 2. 图象的特征与a、b、c及的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 【针对训练】 1. 将二次函数化为的形式为（ ） A． B． C． D． 2. 将二次函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到二次函数的图象，则二次函数有（ ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值 3. 抛物线的图象如图，当x____________时，y0． 知识点3：二次函数三种形式之间的相互关系 二次函数的三种形式 ①一般式： 由定义可知，二次函数的一般式为 。 ②顶点式： 能直接看出二次函数的顶点坐标的函数解析式叫二次函数的顶点式。 即 。由顶点式可知二次函数的顶点坐标为 。 ③两点式（交点式）： 能直接得到二次函数与轴的交点坐标的二次函数解析式是二次函数的两点式，又叫做二次函数的交点式。即 。此时二次函数与轴的两个交点坐标分别为 与 。二次函数的对称轴为 。函数值相等的两个点一定关于 对称轴 对称。 ④二次函数的一般式转化为顶点式： 利用配方法将一般形式转化为顶点式，过程如下： ＝ →第一步：提 二次项系数 ； ＝ →第二步：配方：配 一次项系数 的一半的平方； ＝ →第三步：写成 完全平方 形式； ＝ →第四步：写成 顶点式 形式。 【针对训练】 1. 如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若与x轴的其中一个交点为，则由图象可知，与x轴的另一个交点坐标是________． 2. 二次函数的图象经过．则当时，y的值为（ ） A． B． C． D． 3. 已知二次函数图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 … … 1 1 … 根据以上信息回答下列问题： (1)二次函数图象的顶点坐标是_____，_____，_____． (2)求该二次函数的表达式． 核心题型◆归纳 题型01 将一般式转化为顶点式 题型02 待定系数法求函数解析式 题型03 根据解析式判断二次函数的性质 题型04 根据二次函数的图像判断式子符号 题型05 函数图象的综合判断 题型06 比较抛物线上两点的函数值大小 题型07 二次函数代数最值问题 题型08 二次函数与将军饮马综合 题型09 二次函数平移问题 题型10 利用二次函数对称性求解 题型11 线段、周长存在性最值 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 题型解析◆精准备考 题型01 将一般式转化为顶点式 【典例1】将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（   ） A．只有丁 B．乙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁 题型02 待定系数法求函数解析式 【典例1】抛物线与x轴的两个交点为，，其形状和开口方向与抛物线相同，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点，则这个二次函数的解析式为_________． 题型03 根据解析式判断二次函数的性质 【典例1】对于抛物线，下列结论正确的是（   ） A．顶点坐标是 B．开口向下 C．当时，随的增大而增大 D．与轴没有交点 【变式1】已知函数（a是常数，且），下列结论正确的是（    ） A．当时，函数图象过点 B．不论a取何值，函数图象都经过点 C．函数图象与x轴必有两个交点 D．当时，y随x的增大而减小 题型04 根据二次函数的图像判断式子符号 【典例1】二次函数的图象如图所示，其对称轴为有下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程有实数根．其中正确的结论个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型05 函数图象的综合判断 【典例1】已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知是不为0的常数，函数和函数在同一平面直角坐标系内的图象可以是（    ） A．B．C． D． 题型06 比较抛物线上两点的函数值大小 【典例1】二次函数上有两点，，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式1】已知点、 在抛物线上，则与的大小关系是（  ） A． B． C． D．无法确定 题型07 二次函数代数最值问题 【典例1】已知二次函数，当时，二次函数的最小值为，则实数a的值为（　　） A．5或1 B．5或 C．或1 D．或 【变式1】已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ） A．或 B．或2 C． D． 题型08 二次函数与将军饮马综合 【典例1】如图，抛物线经过点，交轴于点，其对称轴为直线，若对称轴上有一点，使的值最小，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，点，在该抛物线的对称轴上（点在点的上方），若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型09 二次函数平移问题 【典例1】将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的抛物线表达式为，则原抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度．得到的抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 题型10 利用二次函数对称性求解 【典例1】若二次函数的图象经过点，则方程的解为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1】已知二次函数，当时， 取值范围是，且该二次函数的图象经过点两点，则的值可能是（   ） A． B．4 C． D．6 题型11 线段、周长存在性最值 【典例1】如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．若为轴上一个动点，连接，则的最小值为_______． 【变式1】如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是_____． 1．将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 3．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而减小 4．已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A． B． C． D． 5．已知某二次函数（）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．二次函数的最小值为___________． 7．将二次函数化为的形式是________． 8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象上有点，，，则，，的大小关系是____________．（请用“”符号连接） 9．已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 10．求下列二次函数的最大值或最小值． (1)； (2)． 11．二次函数图象与轴交于点，． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 12．二次函数，用配方法化为的形式是（   ） A． B． C． D． 13．已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 14．二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 15．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 16．二次函数（为常数，且）的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④图象过点．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．二次函数的最大值为__________． 18．已知抛物线过点，，，则这个抛物线的解析式为________． 19．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ①；②；③；④；⑤，（的实数） 其中正确的结论有______填序号 20．二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 21．已知二次函数． (1)求此函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)填表，并画出此函数的图象； x … … y … … (3)若点和都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出的取值范围． 22．在平面直角坐标系中，二次函数的对称轴为直线，且经过点． (1)当，时 ①直接写出这个二次函数的解析式为 ； ②在平面直角坐标系中画出抛物线； ③当时，直接写出的取值范围． (2)点，是抛物线上两点，当时，对于，总有，求的取值范围． 23．如图正方形的边长为1， A、B、C三个顶点都在抛物线上，O点在原点，那么抛物线表达式为（    ） A． B． C． D． 24．已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 25．已知二次函数（为常数），当时，该二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A．9 B． C．1 D．4 26．若二次函数可以配成顶点式，则__________． 27．在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且），已知，和是抛物线上的两点，对于都有，则a的取值范围是_______． 28．已知直线交抛物线（常数）于点，，． (1)求抛物线的对称轴． (2)当抛物线最高点到直线的距离为9时， ①求的值； ②若点，是范围内抛物线上的两点，且，．当取得最大值时，记点向右平移3个单位后的点为，求线段的中点的坐标． 29．已知点和在二次函数（，是常数，）的图象上． (1)当时，求和的值； (2)若二次函数的图象经过点且点不在坐标轴上，当时，求的取值范围； (3)用等式表示与之间的数量关系，并给予证明． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $