26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 第1课时 教案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

教案：26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（第1课时）

一、核心素养目标

1. 逻辑推理

通过"具体例子配方→画出图象→观察性质→推广到一般形式"的探究过程，经历从特殊到一般的归纳推理。在推导对称轴和顶点坐标公式的过程中，理解代数变形的逻辑严密性，体会用字母表示数的一般化思想。

2. 数学运算

熟练掌握配方法的"提→配→化"三步操作，准确计算二次函数配方后的顶点式。能运用对称轴公式和顶点坐标公式快速确定抛物线的对称轴和顶点，培养准确、规范的代数运算能力。

3. 直观想象

通过描点法画二次函数的图象，直观感受抛物线的形状和位置。借助配方将一般式转化为顶点式后，能利用已有知识快速想象图象的开口方向、对称轴和顶点位置，建立"解析式→顶点式→图象"的直观对应关系。

4. 数学抽象

从和等具体函数的配方过程中，抽象出一般二次函数配方的通用步骤和对称轴、顶点坐标公式。理解一般式与顶点式之间的等价转化关系，建立二次函数表达式的统一认知框架。

二、教学重难点

教学重点

1. 掌握用配方法将二次函数化为顶点式的方法。

2. 会利用配方法或公式法确定抛物线的对称轴和顶点坐标，能描述其图象和性质。

3. 理解"提→配→化"三步法的操作要领，能准确、规范地完成配方过程。

教学难点

1. 配方过程中二次项系数a≠1时提取a后配方的技巧，特别是括号内常数项计算的准确性。

2. 理解并记忆对称轴公式和顶点坐标公式的推导过程，避免符号混淆。

3. 在一般式与顶点式之间灵活转换，准确判断二次函数的图象和性质，做到"见一般式即知图象特征"。

三、教学过程

环节一：回顾旧知（4分钟）

【教师活动】同学们，在前几节课中，我们学习了二次函数顶点式y=a(x-h)²+k的图象和性质。请同学们回忆一下，对于顶点式y=a(x-h)²+k，我们如何快速判断它的开口方向、对称轴和顶点坐标？

【学生活动】a>0时开口向上，a<0时开口向下。对称轴是直线x=h。顶点坐标是(h, k)。当a>0时，顶点是最低点，x=h时y有最小值k；当a<0时，顶点是最高点，x=h时y有最大值k。增减性根据a的符号和对称轴来判断：a>0时左降右升，a<0时左升右降。

 

【教师活动】非常好！看来大家对顶点式的性质掌握得很牢固。那么，请同学们思考一个问题：如果给你一个二次函数y=2x²-8x+7，它不是顶点式，你如何知道它的图象特征呢？我们能否把它变成顶点式的形式？这就需要用到一个重要的代数方法——配方法。

【过渡语】通过复习顶点式y=a(x-h)²+k的性质，唤醒学生已有的知识储备，为将一般式转化为顶点式做好铺垫。同时抛出问题"如何将一般式转化为顶点式"，激发学生的探究欲望，自然地引出本节课的核心内容——配方法。

【设计意图】以复习顶点式性质引入新课，既巩固了已有知识，又自然过渡到本节课的核心问题——如何将一般式y=ax²+bx+c转化为顶点式y=a(x-h)²+k。这个过渡指出了"配方"是沟通一般式与顶点式的桥梁，让学生明确本节课的研究方向。

环节二：配方探究——具体例子（10分钟）

一、配方：将y=x²-6x+21化为顶点式

【教师活动】请同学们看大屏幕上的二次函数y=x²-6x+21。我们的目标是将它化为y=a(x-h)²+k的形式。请同学们回忆一下，配方法的基本步骤是什么？

【学生活动】配方法的基本步骤是三步：第一步"提"，提出二次项系数；第二步"配"，括号内配成完全平方；第三步"化"，化成顶点式。

【教师活动】三步概括得非常准确！下面我们来具体操作。

第一步"提"：提取二次项系数。

第二步"配"：括号内配成完全平方。在括号内加上一次项系数一半的平方，同时括号外要减去相应的值，保持等式平衡。