第3章 圆（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 聚焦圆的核心知识，融合文化传承（折扇、筒车）与生活应用（音乐喷泉防护栏），适配初中数学第三章单元复习，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|圆周角定义、点与圆位置关系、正多边形性质|结合图形辨析基础概念，如第1题考查圆周角图形特征| |填空题|8/16|切线性质、正多边形中心角、垂径定理|融入文化情境，如第14题以筒车为背景考弦长计算| |解答题|11/68|切线证明、阴影面积、动态几何|综合考查推理与应用，如第26题正六边形与正方形结合求角度，第27题旋转动态问题提升创新思维|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第3章圆（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟试卷满分：100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1.下列图形中的角是圆周角的是() A B 2.下列说法正确的是() A.长度相等的弧是等弧 B.同弧所对的圆周角相等 C.经过半径外端的直线是圆的切线 D.正多边形是中心对称图形 3.已知⊙0的半径为10cm,点A为平面内一点，且0A=8cm,则点A与⊙0的位置关系是() A.点A在⊙0上B.点A在⊙0内C.点A在⊙0外 D.无法判断 4.如图，A、B、C是⊙0上的点，若∠A0B=60°，则∠ACB的度数为() B A.60° B.50° C.40° D.30° 5.在△ABC中，AB=5,AC=3,BC=4,那么△ABC的外接圆半径为() 5 A.5 B.3 C.2 D.2 6.如下图所示，A,C为⊙0上两点，且AC=OA=2,弦BC⊥OA于D点，则弦BC的长为() 118 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5 B.3 c25 D.4 7.如图，正五边形ARCDE内接于O0,P为8C 上的一点（点P不与点C重合），则∠CPD 的度数为 () B E D A.36° B.45° C.60° D.72° 8.折扇最早出现于我国南北朝时期，《南齐书》中说：“司徒褚渊入朝，以腰扇障日.”这里的“腰 扇”在《通鉴注》中的解释为折叠扇.如图，一折扇的骨柄长为21cm,折扇张开后为扇形，圆心角∠AOB 为120 B 则 的长为() 21cm 3π 7π A.7πcm B.14πcm C.4cm D.9cm 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.已知⊙0半径为6cm,圆心O到直线AB的距离为3cm,则直线与⊙O的位置关系是 10.己知正多边形一个内角的度数是150°，那么该正多边形中心角的度数是 11.如图，△ABC外接圆的圆心坐标为 218 函学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 7 6 5 B 4 C 3 2 01234567x 12.如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，∠CBE是它的一个外角，若∠CBE=100°，则∠D的度数 是 D E 13.如图，AB切⊙0于点B,OA交O0于点C,过点B作BD∥A0交OO于点D,连接CD.若 ∠DC0=25°，则∠A=—· D 14.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴 心O为圆心的⊙0，且圆心在水面上方.在某一时刻，⊙0被水面截得的弦AB长为6米，过点0作 OC⊥AB.⊙O C CD=1 ⊙0 ，交 .AB D 于点，交于点，水面下盛水桶的最大深度为1米（即 米)，则的半径 为 米 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 15.如图， △AB 中，MB=3,将△1BC绕点4逆时针旋转60°得到 △ABC AB 恰好经过点C则阴影 部分的面积为 B 16,如图，4AB是O0的直径，B1CD,CD=4W5,∠4CD=60,则00的半径长为 A B 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分， 27题11分。 17.已知⊙0的半径为4，点P到圆心0的距离为d,且d满足方程x2-4x+3=0,试判断点P与O0的位 置关系 18.如图，∠A=∠B,AB交OO于点C,D,OE是半径，且OE⊥AB于点F 418 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：AC=BD: (2)若CD=8,EF=3,求⊙O的半径. 19.图①、图②均是5×4的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点，其中A、 B、C均为格点.只用无刻度的直尺，分别在给定网格中按下列要求作图. B 图① 图② (I)在图①中，画出过点A、B、C的圆的圆心O: (2)在图②中，点D是圆上一点，画出弦DE,使DE∥BC. 20.将图中损坏的轮子复原，已知弧上三点A,B,C. 6 C (1)尺规作图找到该轮子的圆心O: (2)若△ABC是等腰三角形，底边BC=8cm,腰AB=5cm,求圆片的半径R, 21.如图，O0是△ABC的外接圆，AB为直径，点D在AB上，且AD=AC,延长CD交O0于点E,连 接OC,OE B (1)求证：∠A=∠BOE (2)若∠A=30°，AB=8,求CE的长. 22.如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏 现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 信息一：点O为喷泉中心，AB是喷泉边缘的一条弦，AB=8米，D是弦AB的中点，连接OD并延长，交 劣弧AB于点C,CD=2米」 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆.请根据以上信息解答 下列问题 图1 图2 (①)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（π取3，结果保留整数） 23.如图，已知AB是⊙O的直径，CD与OO相切于点C,过点B作BE⊥DC,交DC延长线于点E. (I)求证：BC是∠ABE的平分线； (2)若DC=8,⊙0的半径OA=6,求CE的长. 24.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=60°，∠ACB=50°.请解答下列问题： B (1)∠CAD的度数； (2)若AD=6,求图中阴影部分的面积. 6/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25.如图，AB是⊙0的直径，点C在⊙0上，过点C的直线与AB的延长线交于点P,∠COB=2LPCB B D (1)求证：PC是⊙O的切线： ②已知弦01B于B点.PC=35,PB=3.求CD长 26.如图，六边形ABCDEF是OO的内接正六边形，四边形EFGH是正方形，连接OE,OF,OG. G A F E D (1)求∠OGF的度数： ②取劣弧CD 的中点K,连接FK,在图中找出和FK等长的线段，并说明理由。 27.如图，CD=12,O为CD中点，点A在线段OC上（不与O、C重合），将OA绕点O顺时针旋转得 1G,交线段OD于点B,4010G,点B在MB OD OE 到扇形 (不与点B重合)上从A向B运动，连接、 CE CE OAG OF BE ,过点D作的平行线交扇形心于点F(距离点B近的交点)，连接，点P是F的中点. B D G 7/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)若A、B分别为CO、OD的中点，当点O,E、F共线时. ①求证：△OCE≌△ODF; ②求DF的最大值，并通过计算比较此时弦E的一半与BP 度的大小 (2)CE与扇形OAG所在圆相切，若△COE的外心在扇形OAG的内部，求OB的取值范围. 818学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第3章圆（高效培优单元自测·强化卷） (考试时间：120分钟试卷满分：100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 题号 2 6 6 7 8 答案 B B D D A B 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.相交 10.30° 11.(5,0) 12.100°/100度 13.40°140度 14.5 15.2 16.4 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分， 27题11分。 17. 【详解】解：，x2-4x+3=0, :(x-x-3)=0 ∴.x=1或x=3,即d=1或d=3, .⊙0的半径r=4, 当d=1时，d=1<4,点P在圆内；当d=3时，d=3<4,点P也在圆内. 点P在⊙0内.3分 18. 【详解】(1)证明：.∠A=∠B, .'.OA=OB 又：OE⊥AB于点F, 1/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AF BF. ,OE是⊙O的半径，OE⊥AB, ..CF=DF, .AF-CF BF-DF, .AC=BD;2分 (2)解：如图，连接OC, 万B E OE⊥AB,CD为⊙O的弦， CF-CD=4 0FC=90 C02=CF2+0F2, 设⊙O的半径是r, r2=42+(r-3)2 解得r25 6· 25 ⊙0的半径是6.5分 19. 【详解】(1)解：如图，点O即为所求， 2分 A 图① (2)解：连接BD交格线于点F,连接CF并延长交圆于点E,连接DE,则DE∥BC, 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图② 由圆的对称性可得：BC⊥MN,DE⊥MN, .DE∥BC.5分 20. 【详解】(1)解：如图所示：O即为所求的圆心. B 2分 (2)解：连接AO,OB,BC,BC交OA于D. B ,△ABC是等腰三角形，底边BC=8cm, .AB=AC, :AB=AC .OA⊥BC, .BD=4cm, AB=5cm, .AD=V52-42=3(cm) 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设圆片的半径为Rcm,在Rt△BOD中， OD=(R-3)cm R2=42+(R-3} 解得：R=25 m 6 25 :圆片的半径R为6cm.5分 21. 【详解】(I)证明：：AB是⊙0的直径，C为⊙0上一点， .∠ACB=90°， ∴.∠ACD=90°-∠BCE, .AD=AC, ∴.∠ACD=∠ADC, ,∠CAB+∠ACD+∠ADC=180°， ∠CAB+2(90°-∠BCE)=180° 即∠CAB+180°-2∠BCE=180° ∴.∠CAB=2∠BCD. .∠BOE=2∠BCE, .∠A=∠B0E.2分 (2)解：如图，连接OC, 由(1)可知∠BOE=∠A=30° .∠BOC=2∠A=60° .∠CAB=30° ∴.∠COE=∠BOC+∠BOE=90°， AB=8, 4/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .0C=0E=4, CE=VOC2+0E2=4√ .5分 22. 【详解】(1)解：连接OA,设喷泉的半径为r,则OA=OC=r, 图2 ∴.OD=OC-CD=r-2 D是弦AB的中点， OD1AB、 4D=14B-1x8-4. 2 2 ∴∠ODA=90°. 在RtAAOD中，OA=AD2+OD2 即=4+6-2 解得r=5, 喷泉的半径为5米；3分 (2)解：由题意得：R=5+1=6米， 则2×6×3÷1.5=24盏， 因此，大约需要安装24盏景观灯.6分 23. 【详解】(1)证明：，CD与OO相切于点C, :.OC L DC, :BE⊥DC, .BE∥OC, .∠EBC=∠OCB ..OC=OB, 5/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠OCB=∠OBC, .LEBC=∠OBC, 即BC是∠ABE的平分线；3分 (2)解：如图所示，过点C作CM⊥BD于M, :BC是∠ABE的平分线，BE⊥CE, .CE=CM, E A M .CD与⊙0相切于点C, .OC⊥DC, .∠OCD=90°， ..DC=8,OC=0A=6, :0D=Dc2+0C=v82+6=10 SADc0=xCDxOC-xODxCM 1 1 2 :.8×6=10×CM, 解得CM=4.8, 又：BC是∠ABE的平分线，且CM⊥AB,CE⊥BE, 即CE=CM=4.8.6分 24. 【详解】()解：AC=AC ∴.∠ADC=∠ABC=60°， ,AD是OO的直径， .∠ACD=90° ∠CAD=90°-LADC=30°，3分 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：如图，连接0C,过点0作O01AC于点Q, B :AD是⊙0的直径，AD=6, .OA=3, 在Rt△A00中，∠CAD=30°， 00-04=3, :0-0-0@-3 2, OQ⊥AC :4C=2A0=3V5 ,∠AOC=2∠ABC=120°， a8aea20xax33E转3z9目 360 4 3欢96 即阴影部分的面积 4.66分 25. 【详解】(1)证明：，OA=OC, ∴.∠A=∠ACO .∠COB=∠A+∠ACO .∠COB=2∠ACO, .∠COB=2∠PCB. .∠ACO=∠PCB. 7/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,AB是直径， .∠ACB=90° .∠AC0+∠OCB=90° .∠PCB+∠0OCB=90°，即∠OCP=90°， ∴OC⊥PC, .OC为⊙0的半径， .PC是⊙0的切线：3分 (2)解：设⊙0的半径为r,则OB=r,OP=r+3, 在Rt△PCO中，根据勾股定理得OC2+PC2=OP2, r2+33=+3). 解得r=3, .OC=3,OP=6, CEOP-0c.PC 2 :cE.3x36-36 6 2, CD⊥AB, CD=2CE=3 6分 26」 【详解】(1)解：，∠FOE为正六边形的中心角， .∠F0E=60° .EO=FO. ∴△EOF是等边三角形，又四边形EFGH是正方形， .OF=EF=FG. ∴.△OFG是等腰三角形. :∠EFG=90°，∠OFE=60°， .∠OFG=150° 8/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠0GF=2×(180°-150)=15° 4分 (2)解：GO与FK是等长的线段， 理由：连接OK,FK, CD :K是 的中点， .OK垂直平分CD 在正六边形ABCDEF中，∠CDE=120°，∠OED=60°， .∠CDE+∠OED=180°， .OE∥CD, ∴.∠EOK=90° .∠F0K=60°+90°=150°， OF=FG ∠FOK=∠GFO 在 和 。中， △OFK△FGO OK=FO AOFK≌△FGO(SAS) .FK=G010分 27. 【详解】(I)①证明：当点O,E,F共线时，∠EOC=∠FOD, .DF IICE, ∴.∠ECO=∠FD0. ..OE=OF, 9/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △OCE≌AODF(AAS) 3分 ② F⊥DF DF 依题意，当 时， 有最大值。 .OF⊥DF, .∠0FD=90°， ..DF IICE, ∴.∠CEO=∠OFD=90°， CD=12,O为CD中点， ∴.0D=0C=6, 又B为OD中点， 0B=0F-0D=3, 在R△0FD中，DF2=0D2-0F,即DF=OD-OF=35 在RtAOCE中，∠OEC=90°，A为OC中点，OC=6, :AE=0A=AC=)0C=3 2 小0E=OA=AE=3, 1AE=15, ∴，△OAE为等边三角形， :.∠COE=∠FOD=60°， .P为BF的中点， ∠BOP=30°， 30mx3->4E,7分 ·BP的长为180=2>21 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：，CE与扇形OAG所在圆相切， .OE⊥CE, 即∠CEO=90°， ∴.设点M为Rt△COE的外心，则M为OC的中点， B AM G CD=12,O为CD中点， ..OD=OC=6, O-oc3 .△COE的外心在扇形OAG的内部， .当点M在扇形内部时，OM<OB, .3<0B<6.11分 11/11 第3章 圆（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．下列图形中的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角的定义判断即可． 【详解】解：选项A和选项B中的角的顶点没有在圆上，选项D中的角的一边没有与圆相交，均不是圆周角， 选项C中的角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交，是圆周角． 故选C． 【点睛】本题考查圆周角的识别，解题的关键是掌握圆周角的定义，即：角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角． 2．下列说法正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．同弧所对的圆周角相等 C．经过半径外端的直线是圆的切线 D．正多边形是中心对称图形 【答案】B 【分析】本题考查圆的相关概念、圆周角定理、切线的判定及正多边形的对称性，需逐一分析各选项的正误． 【详解】解：∵等弧的定义是在同圆或等圆中，能够完全重合的弧，仅长度相等的弧不一定能重合，∴A选项错误． ∵圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等，∴B选项正确． ∵圆的切线判定定理是经过半径的外端且垂直于这条半径的直线才是圆的切线，仅经过半径的外端的直线不一定垂直于该半径，∴C选项错误． ∵只有边数为偶数的正多边形是中心对称图形，如正三角形不是中心对称图形，∴D选项错误． 故选：B． 3．已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【答案】B 【详解】的半径，点到圆心的距离， ． 点在内． 4．如图，A、B、C是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角定理得到，即可直接得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 5．在中，，，，那么的外接圆半径为（     ） A．5 B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，再利用直角三角形外接圆半径等于斜边一半计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴，则是直角三角形， ∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴的外接圆半径为． 6．如下图所示，为上两点，且，弦于D点，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理得出，由，知是等边三角形，，从而得出，再由勾股定理计算得出即可． 【详解】解： ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， ． 7．如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 8．折扇最早出现于我国南北朝时期，《南齐书》中说：“司徒褚渊入朝，以腰扇障日．”这里的“腰扇”在《通鉴注》中的解释为折叠扇．如图，一折扇的骨柄长为21cm，折扇张开后为扇形，圆心角为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的长． 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．已知半径为，圆心O到直线的距离为，则直线与的位置关系是________． 【答案】相交 【分析】根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系即可判断直线与圆位置关系． 【详解】解：∵半径为，圆心O到直线的距离为，， ∴圆心到直线的距离小于圆的半径，即直线与相交． 10．已知正多边形一个内角的度数是，那么该正多边形中心角的度数是_____． 【答案】 【分析】先利用内角与外角互为邻补角求出外角的度数，再根据多边形外角和定理求出正多边形的边数，最后根据正多边形中心角的性质计算中心角度数． 【详解】解：该正多边形的一个内角为， 该正多边形的一个外角为， 任意多边形的外角和为， 该正多边形的边数， 正多边形的中心角和为， 该正多边形的中心角为． 11．如图，外接圆的圆心坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，作线段、线段的垂直平分线相交于点，点即为外接圆的圆心，结合图象即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作线段、线段的垂直平分线相交于点， 由垂径定理可得，点即为外接圆的圆心， 由图象可得，点的坐标为， 故答案为：． 12．如图，四边形是的内接四边形，是它的一个外角，若，则的度数是___________． 【答案】/100度 【分析】本题考查了圆内接四边形，对角互补，据此即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∵四边形是的内接四边形， ∴ 故答案为： 13．如图，切于点B，交于点C，过点B作交于点D，连接．若，则______． 【答案】/度 【分析】连接，由切线的性质得，由，得，，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵切于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 14．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为6米，过点作，交于点，交于点，水面下盛水桶的最大深度为1米（即米），则的半径为____________米． 【答案】 【分析】由垂径定理可得的长，设的半径为，则可用含的式子表示，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：， 米， （米） ． 设的半径为米，则，． 在中，由勾股定理得， 即． 解得． 15．如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，恰好经过点．则阴影部分的面积为_______． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可知，则，结合图形可得阴影部分的面积等于扇形的面积，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：由旋转的性质得：，， ， ， ． ，， ． 16．如图，AB是的直径，，，，则的半径长为___________． 【答案】4 【分析】利用垂径定理平分弦，算出；利用直角三角形内角和、等边对等角逐步推导；依托直角三角形性质和勾股定理列方程，求解半径． 【详解】解：连接，设直径与弦交于垂足． 是直径，， 垂直平分， ． ， ， 在中，， ． ， ， ． 在中，，， ． 设半径，则． 由勾股定理：， 代入得： ， ． 的半径长为4． 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分，27题11分。 17．已知的半径为4，点P到圆心O的距离为d，且d满足方程，试判断点P与的位置关系． 【答案】点P在内 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，解一元二次方程，当时，点在圆上，当时，点在圆外，当时，点在圆内．掌握点到圆心的距离与圆的半径的关系是关键． 首先解方程，得或，即或．已知的半径，根据点与圆的位置关系判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或，即或， ∵的半径， ∴当时，，点P在圆内；当时，，点P也在圆内． ∴点P在内． 18．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：∵， ∴． 又∵于点， ∴． ∵是的半径，， ∴， ∴， ∴； (2)的半径是． 【分析】（1）根据等角对等边得到，根据三线合一得到，根据垂径定理得到，可知； （2）连接，根据垂径定理得到，，设的半径是，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， ∵，为的弦， ∴，， ∴， 设的半径是， ∴， 解得． ∴的半径是． 19．图①、图②均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点，其中A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定网格中按下列要求作图． (1)在图①中，画出过点A、B、C的圆的圆心O； (2)在图②中，点D是圆上一点，画出弦，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接与格线的交点，即为所求； （2）连接交格线于点，连接并延长交圆于点，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：连接交格线于点，连接并延长交圆于点，连接，则， 由圆的对称性可得：，， ∴． 20．将图中损坏的轮子复原，已知弧上三点A，B，C． (1)尺规作图找到该轮子的圆心O； (2)若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 【答案】(1) 解：如图所示： O即为所求的圆心． (2) 【分析】（1）分别作弦和的垂直平分线交点O为所求的圆心． （2）连接，，，交于D，结合等腰三角形的性质与勾股定理可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：连接，，，交于D． ∵是等腰三角形，底边， ， ， ， ， ， ， 设圆片的半径为，在中，， ， 解得：， 圆片的半径R为． 21．如图，是的外接圆，为直径，点D在上，且，延长交于点E，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的直径，为上一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，则，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，进而得到，再利用圆周角定理可得结论； （2）连接，利用（1）的结论和圆周角定理得到，，可得，然后利用勾股定理计算的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 由（1）可知， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息一：点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以为圆心，为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3，结果保留整数） 【答案】(1)5 (2)24 【分析】（1）连接，设喷泉的半径为，则、，由垂径定理可得、，再利用勾股定理得到，据此列方程求解即可； （2）由（1）可知米，利用圆的周长进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，设喷泉的半径为，则， ， 是弦的中点， 、， ， 在中，， 即， 解得， 喷泉的半径为5米； （2）解：由题意得：米， 则盏， 因此，大约需要安装24盏景观灯． 23．如图，已知是的直径，与相切于点C，过点B作，交延长线于点E． (1)求证：是的平分线； (2)若，的半径，求的长． 【答案】(1)证明：∵与相切于点C， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是的平分线； (2)4.8 【分析】（1）根据切线的性质得出，求出，求出，，求出，根据角平分线的定义得出即可； （2）过C作于M，根据勾股定理求出，根据三角形的面积求出，根据角平分线的性质得出，再求出答案即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，过点C作于M， ∵是的平分线，， ∴， ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵是的平分线，且， 即． 24．如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题： (1)的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用同弧所对圆周角相等得到，再由是的直径得，最后通过直角三角形两锐角互余计算出度数； （2）先根据直径长度得到圆半径，借助直角三角形性质与勾股定理、垂径定理求出底边和高，再依据圆周角定理得出，最后由算出阴影部分面积． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，过点作于点， ∵是的直径，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ 即阴影部分的面积为． 25．如图，是的直径，点C在上，过点C的直线与的延长线交于点P，． (1)求证：是的切线； (2)已知弦于E点，，，求长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）先证明，求出，即可得出是的切线； （2）设的半径为r，则，，根据勾股定理得出，求出，根据等积法求出，最后根据垂径定理求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为r，则，， 在中，根据勾股定理得， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 26．如图，六边形是的内接正六边形，四边形是正方形，连接，，． (1)求的度数； (2)取劣弧的中点，连接，在图中找出和等长的线段，并说明理由． 【答案】(1) (2)；见解析 【分析】（1）先求出，再证明是等边三角形，由等边三角形和正方形的性质得出是等腰三角形．，再由三角形内角和定理即可求出答案． （2）连接，，由垂径定理得出垂直平分，再证明，由平行线的性质得出，再证明，由全等三角形的性质即可得出． 【详解】（1）解：∵为正六边形的中心角， ∴． ∵， ∴是等边三角形，又四边形是正方形， ∴， ∴是等腰三角形． ∵，， ∴ ∴． （2）解：与是等长的线段， 理由：连接，， ∵是的中点， ∴垂直平分， 在正六边形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆的综合，等边三角形的判定和性质，垂径定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 27．如图，，O为中点，点A在线段上（不与O、C重合），将绕点O顺时针旋转得到扇形，交线段于点B，，点E在（不与点B重合）上从A向B运动，连接、，过点D作的平行线交扇形于点F（距离点B近的交点），连接，点P是的中点． (1)若A、B分别为、的中点，当点O，E、F共线时． ①求证：； ②求的最大值，并通过计算比较此时弦的一半与长度的大小． (2)与扇形所在圆相切，若的外心在扇形的内部，求的取值范围． 【答案】(1)①证明：当点O，E，F共线时，， ∵， ∴， ∵， ∴； ②的最大值为，的长 (2) 【分析】（1）①当点O，E，F共线时，，由平行线的性质可得，再利用即可证明；②依题意，当时，有最大值，则，求出，，再结合勾股定理即可得出的最大值，证明为等边三角形，得出，结合P为的中点，得出，再由弧长公式计算即可得出结果； （2）设点M为的外心，则M为的中点，再结合直角三角形的性质分析即可得出结果． 【详解】（1）略； 依题意，当时，有最大值． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，O为中点， ∴， 又∵B为中点， ∴， 在中，，即． 在中，，A为中点，， ∴， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵P为的中点， ∴， ∴的长为； （2）解：∵与扇形所在圆相切， ∴， 即， ∴设点M为的外心，则M为的中点， ∵，O为中点， ∴， ∴， ∵的外心在扇形的内部， ∴当点M在扇形内部时，， ∴． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $