专题01 圆中的最值（举一反三专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 以“模型建构-题型突破-素养提升”为主线，系统整合圆中最值五大核心模型，通过举一反三训练培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |经过定点的弦|2题型（4题/型）|直径最长弦、垂径最短弦|从具体弦长计算到隐定点问题，构建动态弦长范围判定框架| |定点定长隐圆|3题型（4题/型）|折叠/旋转/中线转化定长，“一箭穿心”求最值|以“一中同长”为核心，拓展图形变换中的隐圆轨迹判定| |定弦定角隐圆|2题型（4题/型）|显性/隐性定角定弦模型，外接圆半径公式|从定角定弦直接应用到复杂图形中边角关系转化| |隐圆隐切线|1题型（4题）|切线性质转化最值，动态点线位置关系分析|结合切线判定定理，构建隐圆切线的最值求解路径| |定角定高类|1题型（4题）|等腰三角形时底边最小，外接圆半径推导|通过定角定高模型，深化三角形面积与边长最值关系|

专题01 圆中的最值（举一反三专项训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 知定点求弦长最值（范围）】 1 【题型2 隐定点求弦长最值（范围）】 5 【题型3 利用折叠得定点定长】 9 【题型4 利用斜边上的中线/中位线找定长】 16 【题型5 利用旋转找定点定长】 21 【题型6 显性定弦定角型隐圆】 28 【题型7 隐性定弦定角型隐圆】 35 【题型8 隐圆隐切线】 41 【题型9 定角定高类最值】 47 知识点1 经过定点的弦 问题提出： M是半径为r的⨀O内一定点，OM=d（0<d<r），经过点M的弦EF=m，探究m的取值范围 模型建立： （1）经过点M的直径AB是最长的弦； （2）过点M作弦CD⊥AB，则弦CD最短 结论： 【题型1 知定点求弦长最值（范围）】 【例1】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条． 【答案】3 【分析】过点M作交于点A、B，连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，进而得到答案． 【详解】解：过点M作交于点A、B，连接， 则， 在中，， ∴， 则过点M的所有弦， ，且 ， 则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共3条． 【变式1-1】（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为____.最大值为____________. 【答案】 3 5 【详解】解：根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值， 此时，由垂径定理知，点M是AB的中点， 连接OA，AM=AB=4， 由勾股定理知，．， 则OM的最小值为3，最大值为5 故答案为：3，5. 【变式1-2】如图所示,点M是半径为5的内一点,且OM=3,在过点M的所有的弦中,弦长为整数的弦的条数为（　　 ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】如图，OM⊥AB，那么AB是过M的最短的弦，过M的最长的弦是圆的直径，首先根据垂径定理和勾股定理可以求出AB的长度，然后结合已知条件就可以求出弦长为整数的弦的条数． 【详解】如图,OM⊥AB,那么AB是过M的最短的弦,过M的最长的弦是圆的直径, 在Rt△AMO中,AM=AB，OA=5，OM=3， ∴AM=4， ∴AB=8， ∴过M所有O的弦中，最短的弦长度为8，最长的弦长度为10， ∴弦的长度可以分别为8、9、10， 当弦长为8、10时，过M点的弦分别为弦AB和过M点的直径，分别有一条； 而圆是轴对称图形，当弦长为9时，根据圆的对称性知，符合条件的弦应该有两条； ∴弦长为整数的弦的条数为4，一条长度8，一条长度为10，两条长度为9. 故选C. 【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理及推论，解决本题的关键是先求出圆中最长弦和最短弦的长度. 【变式1-3】如图，是的直径，点M是内的一定点，是内过点M的一条弦，连接，若的半径为4，，则的最大值为 _____． 【答案】 【分析】如图，连接，过点A作交于点H，根据圆周角定理得到，，则可判断，利用相似比得到，然后利用的最大值为，确定的最大值． 【详解】解：如图，连接，过点A作交于点H． ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为4， ∴， ∴， ∴当点H与点M重合时，有最大值， 即时，有最大值，最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了相似三角形的判定与性质． 【题型2 隐定点求弦长最值（范围）】 【例2】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心的圆过点，一直线过点与圆交于 、两点，则弦的长的最小值为________． 【答案】 【分析】运用勾股定理可求出OD，由条件可求出半径OB，由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题． 【详解】解：过点D作DH⊥x轴于点H， 则有OH=2，DH=3， ∴根据勾股定理得：， ∵点， ∴， ∴， ∵过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，如图所示， ∴由垂径定理及勾股定理可得：BC的最小值为 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，运用“过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短”这个经验是解决该选择题的关键． 【变式2-1】（25-26九年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点，直线与交于B，C两点，则弦BC的长的最小值为___________ 【答案】 【分析】连接OB，过点O作OD⊥BC于点D，根据直线y＝kx-3k+4必过点D（3，4），求出最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（0，），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案． 【详解】解：连接OB，过点O作OD⊥BC于点D， ∵直线y＝kx-3k+4必过点D（3，4）， ∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦， ∵点D的坐标是（3，4）， ∴OD＝5， ∵以原点O为圆心的圆过点A（0，）， ∴圆的半径为， ∴OB＝， ∴BD=， ∴BC的长的最小值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 【变式2-2】（第二十四章圆突破28圆中的最值（一）经过定点的弦）如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心的圆经过点，直线与相交于，两点，则图中阴影部分（与弦所围图形）周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线，得经过定点，连接，当时，弦最短，连接，，由垂径定理和勾股定理得，证明是等边三角形，然后由弧长公式即可求解． 【详解】解：∵直线， ∴经过定点， 连接，当时，弦最短，此时图中阴影部分的周长最小． 连接，，    ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴长为： ∴阴影部分周长的最小值为， 故选：． 【点睛】本题考查了垂径定理，等边三角形的判定与性质，弧长公式，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握知识点的应用是解题的关键 【变式2-3】（2026·江苏扬州·二模）如图在平面直角坐标系中，已知的半径为2，弦绕点O旋转一周扫过的区域记为W，若点在区域W内部（包含边界），弦长为m，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】设点P坐标为，如图，连接，当为直径时，m最大，最大值为4，当点P为即的中点时，，，，此时即最小，利用勾股定理求得此时的弦的长m的最小值即可求解． 【详解】解：设点P坐标为，如图，连接， 根据题意，当为直径时，m最大，最大值为4， 当点P为即的中点时，，，，此时即最小， 由勾股定理得， ∴弦的长m的最小值为， ∴满足题意的m值的取值范围为． 知识点2 “定点定长”型隐圆 模型 “一中同长” “一箭穿心” 图示 条件 O是定点，M是动点，且OM=r（定长） M是半径为r的⨀O上的一动点（OM=r定值），P是定点（OP=d定值），直线PO与⨀O交于，两点，＜ 结论 点M的运动路径是以r为半径的⨀O PM的最小值 PM的最大值 【题型3 利用折叠得定点定长】 【例3】（2024·重庆·模拟预测）如图，在正方形中，，点为边上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到（点在正方形内部），连接并延长与的延长线交于点，点上边上一点且满足，连接，则线段的长度最大值为 ____________． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，以及解直角三角形的相关知识．根据正方形的性质，折叠的性质，求出，进而得到点在以正方形的中心为圆心，的长为半径的圆上，连接，得到，进行求解即可． 【详解】解：由沿所在直线翻折得到， ， ，，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， 连接，交于点， 则：， ∴点在以为圆心，的长为半径的圆上， 连接，则：； ∴点、、三点共线时，取得最大值， ∵， ∴， ， ，， 过点作， 则：， ， ∴， ， 故答案为：． 【变式3-1】（25-26九年级·湖北武汉·阶段检测）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点P是边AD上一动点，将△ABP沿BP折叠得到△BEP，连接DE，CE，已知AB＝4，AD＝3，BC＝6，则△CDE面积的最小值为_____． 【答案】2． 【分析】如图，过点D作DH⊥BC，过点B作BF⊥CD，可证四边形ABHD是矩形，可得AB=DH=4，AD=BH=3，由勾股定理可求CD的长，由锐角三角函数可求BF的长，由点E在以B点为圆心，AB长为半径的圆上，可得当点E在BF上时，点E到CD的距离最小，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作DH⊥BC，过点B作BF⊥CD， ∵AD∥BC，AB⊥BC， ∴AD⊥AB，且DH⊥BC，AB⊥BC， ∴四边形ABHD是矩形， ∴AB＝DH＝4，AD＝BH＝3， ∴CH＝BC﹣BH＝3， ∴CD＝， ∵sin∠DCH＝， ∴， ∴BF＝， ∵将△ABP沿BP折叠得到△BEP， ∴AB＝BE＝4， ∴点E在以B点为圆心，AB长为半径的圆上， ∴当点E在BF上时，点E到CD的距离最小，最小值＝﹣4＝， ∴△CDE面积的最小值＝； 故答案为：2． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，确定点E的轨迹是本题的关键． 【变式3-2】（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，根据题意得到点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动是解题的关键． 过点C作于点G，可得四边形是矩形，从而得到，，再利用勾股定理求出的长，从而得到当点到的距离最小时，面积最小，过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小，然后结合可得点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动，当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小，延长交于点M，过点D作于点N，则，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点G， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴当点到的距离最小时，面积最小， 过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小， ∵E是线段的中点，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动， ∴当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小， 延长交于点M，过点D作于点N，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ∴， 即面积的最小值为． 故选：B． 【变式3-3】（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，，是边上的动点，将沿翻折得，射线与射线交于点．下列说法：（1）当时，；（2）当点落在上时，．四边形是菱形；（3）在点运动的过程中，线段的最小值为2；（4）连接，则四边形的面积始终等于．其中正确的序号有_____． 【答案】（1）（2）（4） 【分析】（1）画出图形，求出，根据等角对等边即可判断其正确； （2）画出图形，证明出是等边三角形，从而得到，根据四条边相等的四边形是菱形即可判断其正确； （3）画出反例的图形，即可判断其错误； （4）画出图形，连接交于点，根据，即可判断其正确． 【详解】解：（1）如图所示，当时， ， ， 将沿翻折得， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 故（1）正确； （2）如图所示，当落在上时，点和重合， 四边形是平行四边形， ， ， 将沿翻折得， ，，， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， 故（2）正确； （3）如图所示， 当点靠近点时，在四边形外部，此时， ， 故（3）错误； （4）如图所示，连接交于点， 将沿翻折得， 垂直平分， ， 故（4）正确． 综上，正确的有（1）（2）（4）， 故答案为：（1）（2）（4）． 【点睛】本题考查翻折变换，解答中涉及轴对称的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，举反例，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【题型4 利用斜边上的中线/中位线找定长】 【例4】（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在半径为的中，弦，是上的一动点（不与点重合），是的中点，则的最大值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，一点到圆上的距离的最值问题；连接，，，取的中点，连接，，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出点在以为半径的上运动，当点运动至的延长线与的交点处时，取得最大值为，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】连接，，，取的中点，连接，， 是的中点， ， ， 点在以为半径的上运动， 当点运动至的延长线与的交点处时，取得最大值为， ，， ， ， 的最大值为， 故答案为：. 【变式4-1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是的弦，点是上的动点（不与、重合），，垂足为，点是的中点．若的半径是，则长的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得，因此当为直径时，最大，由此求解即可； 【详解】解：∵ ∴ ∵点是的中点 ∴ ∴当为直径时，最大； ∵的半径是； ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了圆中最长的弦、直角三角形的性质；熟练根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半转化线段是解题的关键． 【变式4-2】如图，是的直径，是上的两个动点（点不与重合），在运动过程中弦始终保持不变，F是弦的中点，过点C作于点E．若，，当取得最大值时，的长度为（    ） A．6 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】如图，延长CE交⊙O于H，连接DH．由三角形的中位线定理可知DH=2EF，推出DH是直径时，EF的值最大． 【详解】解：如图，延长CE交⊙O于H，连接DH． ∵AB⊥CH， ∴EC=EH， ∵CF=FD， ∴EF=DH， ∴当DH在直径时，EF的值最大，此时∠DCH=90°， ∴CH=， ∴CE=， ∴EF最大时，EC的长为， 故选D． 【点睛】本题考查圆周角定理，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型． 【变式4-3】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在半径为4的中，弦，B是上的一动点（不与点A重合），D是的中点，M为的中点，则的最大值为______．    【答案】/ 【分析】连接，，取的中点E，连接，根据三角形中位线的性质得到，得到点D在以E为圆心，以2为半径的圆上运动，连接，取的中点G，连接，，同理得到点M在以点G为圆心，以1为半径的圆上运动，进而得到当点A，G，M三点共线时，取得最大值，即的长度，取线段的中点F，连接，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，连接，，取的中点E，连接    ∵D是的中点，E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点D在以E为圆心，以2为半径的圆上运动， 连接，取的中点G，连接， ∵M为的中点，G是的中点， ∴ ∴点M在以点G为圆心，以1为半径的圆上运动， ∴ ∴如图所示，当点A，G，M三点共线时，取得最大值，即的长度，取线段的中点F，连接，    ∵的半径为4 ∴ ∵ ∵， ∴ ∴ ∵点F是的中点，点G是的中点， ∴，且， ∴ ∵ ∴ ∴在中，． ∴ ∴的最大值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了三角形中位线性质，圆的基本性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【题型5 利用旋转找定点定长】 【例5】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，的半径是1，为的弦，将弦绕点逆时针旋转，得到，连，则的最大值为_________． 【答案】/ 【分析】本题考查了旋转的性质，解三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 把绕点 A 逆时针旋转度，于是得到，根据等腰三角形的性质得到，在中，任意两边之和大于第三边，于是得到结论． 【详解】解：如图示，作半径绕点逆时针旋转而得到的边，连接，， ∵将弦绕点逆时针旋转得到， ∴是把绕点 逆时针旋转度得到的，则 ：， ∴，，， ∴为等腰三角形，， ∴ ， ∴由两边之和大于第三边，并且取最大值， ∴ ， ∴， ∴． 故答案为． 【变式5-1】（2025·河南周口·二模）如图，在等腰和等腰中，，，将绕点旋转，连接，若，则旋转过程中，当最大时，其度数为___________°，当最小时，其度数为___________°． 【答案】 75 15 【分析】本题考查了旋转的性质、锐角三角函数、等腰三角形的性质．此题综合性较强，解题关键是利用的轨迹圆确定出取最大值时的位置． 先分析出点轨迹为以为圆心的长为半径的圆，当与该圆相切时，最大，由此确定的最大值和最小值． 【详解】解：∵等腰中，， ∴， 由题意知，点轨迹为以为圆心的长为半径的圆， 当与该圆相切时，最大，此时， 若点E在外部时，如图1所示， ，此时最大， ∵，， ∴， ∴， ∴， 若点E在内部时，如图2所示， ，此时最小， 同理可得： 综上所述：若，则旋转过程中，当最大时，其度数为，当最小时，其度数为． 故答案为，． 【变式5-2】（2025·江苏宿迁·三模）如图，在正方形中，，点E在边上，，将线段绕点A旋转，得到线段，连接，，当最大时，的长为______． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，切线的性质，正方形的性质，勾股定理，由题意可得点的运动轨迹是以点为圆心，为半径长的圆，当与相切时，最大，分两种情况：当点在左侧时；当点在右侧时；分别利用相似三角形的性质以及勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点E在边上，，将线段绕点A旋转，得到线段， ∴点的运动轨迹是以点为圆心，为半径长的圆， 当与相切时，最大 如图，当点在左侧时， ， 根据题意可得：，， ∵， ∴， 过点作交的延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 如图，当点在右侧时，过点作于点， ， 同理可得：，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【变式5-3】（25-26九年级上·北京·阶段检测）把一个含45°角的直角三角板 BEF 和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点B重合，连接DF，点M，N分别为DF，EF的中点，连接MA，MN． （1）如图 1，点E，F分别在正方形的边CB，AB上，则MA，MN的数量关系是 ；位置关系是： ； （2）如图 2，点E，F分别在正方形的边CB，AB的延长线上，其他条件不变，那么你在（1）中得到的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； （3）将直角三角板BEF绕点B旋转一周，若正方形ABCD的边长为6，含45°角的直角三角板 BEF 的直角边长为 4，直接写出旋转过程中点B到直线 DF 的距离最大时线段DF的长． 【答案】（1），；（2）成立，见解析；（3） 【分析】（1）连接，证明，进而可得，进而证明； （2）方法同（1）； （3）根据题意，旋转过程中，当是的切线时，满足题意，进而根据勾股定理即可求得的长 【详解】（1）如图，连接 四边形是正方形，是等腰直角三角形 ， 即 ， 分别是的中点，是直角三角形， ， ， 设，则 即 故答案为：， （2）如图，连接， 四边形是正方形，是等腰直角三角形 ， 即 ， 分别是的中点，是直角三角形， ， ， 设，则 即 （3）如图，连接，以为半径，为圆心，作 根据题意，点在当为的切线时，即为到的距离，此时即为点B到直线 DF 的距离最大， , 在中， 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理，切线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 知识点3 显性“定弦定角”型隐圆 问题提出 模型建立 在△ABC中，AB=a（定长），（定角），探究点C的运动路径．（点C不与A，B重合） ①，点C的运动路径是优弧， ②，点C的运动路径是以AB直径的⨀O ③，点C的运动路径是劣弧， 【题型6 显性定弦定角型隐圆】 【例6】（2023·山东·中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为__________．    【答案】/ 【分析】设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，证明，可知点F在以为直径的半圆上运动，当点F运动到与的交点时，线段有最小值，据此求解即可． 【详解】解：设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上运动， ∴当点F运动到与的交点时，线段有最小值， ∵， ∴，， ∴， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F的运动轨迹是解题的关键． 【变式6-1】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，，点A、B分别在、上，且，以为边在右侧作正方形，连接，则的最大值是___________． 【答案】 【分析】由，可得点O在以为弦，所含圆周角为的优弧上运动，设优弧所在圆为．连接，，由圆周角定理得到，从而在中，求得．连接，根据正方形的性质可得，，又，得到，连接，在中，求得，连接，，则根据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴点O在以为弦，所含圆周角为的优弧上运动，设优弧所在圆为，如图所示， 连接，， ∴， ∴在中， ∴， 连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴在中，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 连接， ∴在中，， 连接，， ∵ ∴， 即的最大值为． 故答案为： 【点睛】本题考查隐圆问题，圆周角定理，勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，确定点O在圆上运动是解题的关键． 【变式6-2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）在中，，，点为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为_____    【答案】/ 【分析】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，由已知，，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点在以为圆心为半径的圆上，线段长度的最小值为． 【详解】解：如图： 以为半径,的中点为圆心作，取的中点O，以为圆心为半径作， ，， ∴点在圆上，过作，连接， ，则， ， ，， ，    ， 线段长度的最小值为: ． 故答案为：． 【变式6-3】（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，中，，，为边上的中线．过点作射线交延长线于点，且，过点作延长线的垂线，垂足为点，为线段上一动点，且．当时，的长为______；在整个运动过程中，线段长的最小值为______．    【答案】 【分析】过作于点，则，由直角三角形性质可得，又，则，通过等腰三角形性质可得，根据勾股定理得，再由等腰三角形判定可得，即有，求出，再由即可求解；过作于点，过作于点，作点关于的对称点，连接，，则，，，求得，，设，则，，然后证明，所以，则有，从而可求得，，，则，又，为边上的中线，即为中点，所以点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图，当三点共线时，最小，即最小，然后通过勾股定理和线段的和与差即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，则，    ∵，，为边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； 如图，过作于点，过作于点，作点关于的对称点，连接，，    则，，， ∵， ∴， ∴，，， ∵，为边上的中线， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，为边上的中线，即为中点， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图，当三点共线时，最小，即最小，    ∵，，， ∴， ∴， ∴线段长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，直角三角形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【题型7 隐性定弦定角型隐圆】 【例7】（2023·广东汕头·一模）如图，的直径，点C为中点，弦经过点C，且．点F为上一动点，连接．于点G．若，在点F运动过程中，线段的长度的最小值为______________．    【答案】/ 【分析】如图，连接，，取的中点，由．可得在以R为圆心，为直径的圆上运动，（圆的一部分）当，O，G三点共线时，最小，再求解，，可得，，则，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，，取的中点， ∵． ∴在以R为圆心，为直径的圆上运动，（圆的一部分） 当，O，G三点共线时，最小，    ∵，点C为中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆的基本性质，圆周角定理的应用，圆的确定，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，证明在以R为圆心，为直径的圆上运动是解本题的关键． 【变式7-1】如图，已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝5，AB＝BC＝6，M为AB边上一个动点，连接CM，以BM为直径的圆交CM于Q，点P为AB上的另一个动点，连接DP、PQ，则DP+PQ的最小值为_____． 【答案】7 【分析】由题意连接BQ，取BC的中点T，连接TQ．由题意QT＝BC＝3，推出当P，Q，T共线时，PQ的长最小，要使得PQ+PD的值最小，只要PT+PD的值最小即可，作点T关于直线AB的对称点T′，连接DT′交AB于P′，连接P′T交⊙T于Q′，此时P′T+P′D的值最小，最小值＝DT′的长，求出DT′即可解决问题． 【详解】解：如图，连接BQ，取BC的中点T，连接TQ． ∵BM是直径， ∴∠BQM＝∠BQC＝90°， ∵BT＝CT＝3， ∴QT＝BC＝3， ∴当P，Q，T共线时，PQ的长最小， 要使得PQ+PD的值最小，只要PT+PD的值最小即可， 作点T关于直线AB的对称点T′，连接DT′交AB于P′，连接P′T交⊙T于Q′，此时P′T+P′D的值最小，最小值＝DT′的长， 过点D作DH⊥BC于H，则四边形ABHD是矩形， ∴DH＝AB＝6，AD＝BH＝5， ∴HT′＝3+5＝8， ∴， ∴P′D+P′T的最小值为10， ∴P′D+P′Q′的最小值＝10﹣3＝7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题． 【变式7-2】（25-26九年级上·全国·单元复习）如图，在中，，边上的高，则周长的最小值为 ____________________． 【答案】/ 【分析】延长到E，使得，延长到F，使得，连接，作的外接圆，过点O作于点J，交于点T．求出的最小值，可得结论． 【详解】解：如图，延长到E，使得，延长到F，使得，连接，作的外接圆，连接，过点O作于点J，交于点T． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴最小时，的周长最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 【变式7-3】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为，动点E，F分别从点A，C同时出发，以相同的速度分别沿，向终点B，D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线的垂线，垂足为点G，连接，则长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质得出当 、 运动到 、 的中点时， 最小解答即可． 【详解】解：由题意，， 如图，连接 交 于点，则， ， ， ， ， 即点是正方形的中心， 连接，则， ， ， 点 在以 为直径的圆上， 取的中点 ，连接，， ， 在运动过程中， ； 作于，由，得是等腰直角三角形， ， ， ， 的最小值为. 故选B. 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、圆的有关知识、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据正方形的性质得出当 、 运动到 、 的中点时， 最小是解题关键． 知识点4 隐圆隐切线 图示 条件 OP=a，Q是一动点，且OQ=b（a，b是定值，且a＞b） O是直线l上的一定点，P是l上的一动点，OQ=m（定长），且（定角） 结论 点Q在以b为半径的⨀O上，且当PQ与⨀O相切时，最大 点Q在以m为半径的⨀O上，且当PQ与⨀O相切时，OP最大 【题型8 隐圆隐切线】 【例8】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知在平面直角坐标系中，y轴上有两点、，轴上有一动点，当最大时，点的坐标为______． 【答案】 【分析】当以为弦的圆与轴正半轴相切时，对应的最大，根据垂径定理和勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，当以为弦的圆与轴正半轴相切时，对应的最大， 作轴于，连接、． ∵、， ∴， 与轴相切于点，轴， 在直角中，， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的切线性质、垂径定理以及勾股定理，正确理解当以为弦的圆与轴相切时，对应的最大是关键，解题时注意结合图形分析． 【变式8-1】（2026·新疆乌鲁木齐·三模）如图，在中，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为________． 【答案】/ 【分析】根据题意得出点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，点E在以为直径的圆上，根据，得出当最大时，最大，根据当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵线段绕点C在平面内旋转，， ∴点D在以点C为圆心，1为半径的圆上， ∵， ∴， ∴点E在以为直径的圆上， 在中，， ∵为定值， ∴当最大时，最大， ∴当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，连接，，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即的最大值为． 【变式8-2】（2026·河南驻马店·二模）如图，在矩形中，，，E为边上一动点，连接，作点A关于的对称点F，连接并延长交边于点G，则的最大值为_____________． 【答案】2 【分析】连接，确定点F的运动轨迹为以点B为圆心，长为半径的圆弧的一部分，当与圆弧相切时，最大，此时点E与点G重合，由切线长定理和切线的性质得到，，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 连接，如图所示． ∵点A，F关于对称， ， 即点F的运动轨迹为以点B为圆心，长为半径的圆弧的一部分， 当与圆弧相切时，最大，此时点E与点G重合． ∴，， 在中，． 设，则 在中，由勾股定理得， 解得 ， 即的最大值为2． 【变式8-3】（2023·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，对于点（不与点重合）和线段，给出如下定义：连接，平移线段，使点与线段的中点重合，得到线段，则称点为线段的“中移点”．已知的半径为1．    (1)如图，点，点， 点为与轴正半轴的交点，，求的值； 点为上一点，若在直线上存在线段的“中移点”，求的取值范围； (2)点是上一点，点在线段上，且．若是外一点，点为线段的“中移点”，连接．当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）． 【答案】(1)①或；②； (2) 【分析】（1）①如图，连接，根据“中移点”确定点和的坐标，然后根据勾股定理即可求出的值， ②由①得，的半径为1，圆心在直线上，当与直线相切时，可求得的值即可． （2）如图，当点、在同一象限内，存在最小，当、在相对象限内，存在最大值，再根据三角形三边的关系可得当，，，，在同一直线上且，关于原点对称时，有最小值，设、的坐标，分别求出，即可． 【详解】（1）解：①如图：连接，    点，点，为线段的中点， ∴， ∵点为与轴正半轴的交点， ， 平移线段，使点与线段的中点重合，得到线段， ∴， ∴， ∴， 解得：或； ②由①得，的半径为1，圆心在直线上， 当时，， 解得， ∴， 直线与坐标轴的交点坐标为，， 与直线的切点为，如图，    ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，同理， ∴的取值范围为：； （2）解：如图，经分析，当点、在同一象限内，存在最小，当、在相对象限内，存在最大值，    ， 当，，，，在同一直线上且，关于原点对称时，有最小值， 设，，则， ，， ，， ． 【点睛】本题主要考查了平移的性质、圆的基本性质、两点间距离公式、勾股定理等知识点，正确画出图形、明确线段间的关系是解答本题的关键． 知识点5 “定角定高”类最值 图示 条件 点A到直线l的距离AH=h是定值，是定角（两边交直线l于B，C两点） 结论 当AB=AC（A，O，H三点共线）时，BC最小（最小） 方法 作△ABC的外接⨀O，连接OA，OB，OC，作OG⊥BC于点G，则 【题型9 定角定高类最值】 【例9】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，中，，动点M、N在斜边上，，求的最小值____． 【答案】/ 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，根据，在上方以为斜边作等腰，根据等腰直角三角形边之间的关系可得的取值范围，再利用当且仅当点C、Q、P共线，且与重合时，最小可得答案． 【详解】解：如图①， ∵，在上方以为斜边作等腰， 以为半径作的外接，连接， 取的中点为P，的中点为Q，连接， 设的半径为r， 在中，， 在中，， ∴，，， ∵， ∴； 如图②， 当且仅当点C、Q、P共线，且与重合时， ，此时r最小， 解得， ，即的最小值为， 故答案为：． 【变式9-1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，点E、G、H分别为线段上的点，将沿折叠至（点F在四边形内部，且与点B为对应点），则周长的最小值为_______． 【答案】/ 【分析】过点B作于点，则四边形是矩形，则，可得，那么，可求，由翻折得，，则点F在以A为圆心，1为半径的圆上运动，连接，过点分别作的对称点，连接，过点作于点R，由翻折得到， 可求，，解直角三角形得到，则周长：，由勾股定理得，则，当点共线，且共线时，周长取得最小值为． 【详解】解：过点B作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由翻折得，， ∴点F在以A为圆心，1为半径的圆上运动， 连接，过点分别作的对称点，连接，过点作于点R， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴周长：， ∵， ∴， ∴，当点共线，且共线时，周长取得最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折的性质，圆的定义，矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，难度大，解题的关键在于转化思想的应用． 【变式9-2】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，，，是中线，，分别为边，上的动点，且，直线与相交于点，连接．若，则线段的最小值为__________．    【答案】/ 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理，隐圆求线段最值问题，证明，得出在以为直径的上，从而计算出答案． 【详解】解：在中：，，是中线， ∴,, 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴在以为直径的上，取的中点,连接，当三点共线时，线段取得最小值， 在中：,，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在中：， 在中，， 当三点共线时，线段取得最小值，． 故答案为：． 【变式9-3】问题提出 （1）如图①，已知线段AB，请以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形； （2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l且AD=3，∠BAC=60°，求△ABC面积的最小值； 问题解决 （3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A=45°，∠B=∠D=90°，CB=CD=6m，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值?若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，72m2 【分析】（1）构造辅助圆，利用直径所对圆周角为直角解决问题即可． （2）作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，根据垂线段最短得到AO+OE≥AD，从而算出BC的最大值，即可得到结果； （3）分别延长AB、DC交于点M，根据等腰直角三角形的性质求出四边形ABCD的面积，将△CBE绕点C顺时针旋转135°得到△CDE′，得到A、D、E′三点共线，从而得到当S△CE′F取得最小值时，S四边形AECF取得最大值，以E′F为斜边作等腰Rt△OE′F，设△CE′F的外接圆半径为rm，求出r的取值范围，得到当点O在CD上时，E′F最短，从而可以求出四边形AECF面积的最大值. 【详解】解：（1）如图，Rt△ACB即为所求． （2）如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E， 则∠BOC=2∠BAC，OA=OB=OC，BE=CE=BC， ∵∠BAC=60°， ∴∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=30°， 设OA=OB=OC=r， 则OE=r，BC=2BE=r， ∵AO+OE≥AD，AD=3， ∴r+r≥3， 解得r≥2， ∴BC=r≥， ∴S△ABC=BC·AD≥××3=， ∴△ABC面积的最小值为． （3）存在；如图，分别延长AB、DC交于点M， 则△ADM、△CBM均为等腰直角三角形， ∵CB=CD=6m， ∴BM=6m，CM=m，AD=DM=（6+）m， ∴S四边形ABCD =S△ADM-S△CBM =DM2-BC2 =×（6+）2-×62 =（36+）m2． 将△CBE绕点C顺时针旋转135°得到△CDE′， 则A、D、E′三点共线． ∴S四边形AECF=S四边形ABCD–（S△CBE+S△CDF）=S四边形ABCD–S△CE′F ∵S四边形ABCD为定值， ∴当S△CE′F取得最小值时，S四边形AECF取得最大值． ∵∠E′CF=135°-90°=45°， ∴以E′F为斜边作等腰Rt△OE′F， 则△CE′F的外接圆是以点O为圆心，OF长为半径的圆， 设△CE′F的外接圆半径为rm， ∴E′F=rm， 又∵OC+OD≥CD， ∴r+r≥6， ∴r≥12-， 当点O在CD上时，E′F最短，此时E′F=r=（-12）m， ∴S△CE′F最小=×（-12）×6=（-36）m2， ∴S四边形AECF最大=S四边形ABCD-S△CE’F最小=36+-（-36）=72m2． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的外接圆，解直角三角形，最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 圆中的最值（举一反三专项训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 知定点求弦长最值（范围）】 1 【题型2 隐定点求弦长最值（范围）】 2 【题型3 利用折叠得定点定长】 4 【题型4 利用斜边上的中线/中位线找定长】 5 【题型5 利用旋转找定点定长】 6 【题型6 显性定弦定角型隐圆】 8 【题型7 隐性定弦定角型隐圆】 9 【题型8 隐圆隐切线】 10 【题型9 定角定高类最值】 12 知识点1 经过定点的弦 问题提出： M是半径为r的⨀O内一定点，OM=d（0<d<r），经过点M的弦EF=m，探究m的取值范围 模型建立： （1）经过点M的直径AB是最长的弦； （2）过点M作弦CD⊥AB，则弦CD最短 结论： 【题型1 知定点求弦长最值（范围）】 【例1】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条． 【变式1-1】（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为____.最大值为____________. 【变式1-2】如图所示,点M是半径为5的内一点,且OM=3,在过点M的所有的弦中,弦长为整数的弦的条数为（　　 ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-3】如图，是的直径，点M是内的一定点，是内过点M的一条弦，连接，若的半径为4，，则的最大值为 _____． 【题型2 隐定点求弦长最值（范围）】 【例2】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心的圆过点，一直线过点与圆交于 、两点，则弦的长的最小值为________． 【变式2-1】（25-26九年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点，直线与交于B，C两点，则弦BC的长的最小值为___________ 【变式2-2】（第二十四章圆突破28圆中的最值（一）经过定点的弦）如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心的圆经过点，直线与相交于，两点，则图中阴影部分（与弦所围图形）周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·江苏扬州·二模）如图在平面直角坐标系中，已知的半径为2，弦绕点O旋转一周扫过的区域记为W，若点在区域W内部（包含边界），弦长为m，则m的取值范围是________． 知识点2 “定点定长”型隐圆 模型 “一中同长” “一箭穿心” 图示 条件 O是定点，M是动点，且OM=r（定长） M是半径为r的⨀O上的一动点（OM=r定值），P是定点（OP=d定值），直线PO与⨀O交于，两点，＜ 结论 点M的运动路径是以r为半径的⨀O PM的最小值 PM的最大值 【题型3 利用折叠得定点定长】 【例3】（2024·重庆·模拟预测）如图，在正方形中，，点为边上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到（点在正方形内部），连接并延长与的延长线交于点，点上边上一点且满足，连接，则线段的长度最大值为 ____________． 【变式3-1】（25-26九年级·湖北武汉·阶段检测）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点P是边AD上一动点，将△ABP沿BP折叠得到△BEP，连接DE，CE，已知AB＝4，AD＝3，BC＝6，则△CDE面积的最小值为_____． 【变式3-2】（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，，是边上的动点，将沿翻折得，射线与射线交于点．下列说法：（1）当时，；（2）当点落在上时，．四边形是菱形；（3）在点运动的过程中，线段的最小值为2；（4）连接，则四边形的面积始终等于．其中正确的序号有_____． 【题型4 利用斜边上的中线/中位线找定长】 【例4】（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在半径为的中，弦，是上的一动点（不与点重合），是的中点，则的最大值为______． 【变式4-1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是的弦，点是上的动点（不与、重合），，垂足为，点是的中点．若的半径是，则长的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，是的直径，是上的两个动点（点不与重合），在运动过程中弦始终保持不变，F是弦的中点，过点C作于点E．若，，当取得最大值时，的长度为（    ） A．6 B． C．5 D． 【变式4-3】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在半径为4的中，弦，B是上的一动点（不与点A重合），D是的中点，M为的中点，则的最大值为______．    【题型5 利用旋转找定点定长】 【例5】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，的半径是1，为的弦，将弦绕点逆时针旋转，得到，连，则的最大值为_________． 【变式5-1】（2025·河南周口·二模）如图，在等腰和等腰中，，，将绕点旋转，连接，若，则旋转过程中，当最大时，其度数为___________°，当最小时，其度数为___________°． 【变式5-2】（2025·江苏宿迁·三模）如图，在正方形中，，点E在边上，，将线段绕点A旋转，得到线段，连接，，当最大时，的长为______． 【变式5-3】（25-26九年级上·北京·阶段检测）把一个含45°角的直角三角板 BEF 和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点B重合，连接DF，点M，N分别为DF，EF的中点，连接MA，MN． （1）如图 1，点E，F分别在正方形的边CB，AB上，则MA，MN的数量关系是 ；位置关系是： ； （2）如图 2，点E，F分别在正方形的边CB，AB的延长线上，其他条件不变，那么你在（1）中得到的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； （3）将直角三角板BEF绕点B旋转一周，若正方形ABCD的边长为6，含45°角的直角三角板 BEF 的直角边长为 4，直接写出旋转过程中点B到直线 DF 的距离最大时线段DF的长． 知识点3 显性“定弦定角”型隐圆 问题提出 模型建立 在△ABC中，AB=a（定长），（定角），探究点C的运动路径．（点C不与A，B重合） ①，点C的运动路径是优弧， ②，点C的运动路径是以AB直径的⨀O ③，点C的运动路径是劣弧， 【题型6 显性定弦定角型隐圆】 【例6】（2023·山东·中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为__________．    【变式6-1】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，，点A、B分别在、上，且，以为边在右侧作正方形，连接，则的最大值是___________． 【变式6-2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）在中，，，点为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为_____    【变式6-3】（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，中，，，为边上的中线．过点作射线交延长线于点，且，过点作延长线的垂线，垂足为点，为线段上一动点，且．当时，的长为______；在整个运动过程中，线段长的最小值为______．    【题型7 隐性定弦定角型隐圆】 【例7】（2023·广东汕头·一模）如图，的直径，点C为中点，弦经过点C，且．点F为上一动点，连接．于点G．若，在点F运动过程中，线段的长度的最小值为______________．    【变式7-1】如图，已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝5，AB＝BC＝6，M为AB边上一个动点，连接CM，以BM为直径的圆交CM于Q，点P为AB上的另一个动点，连接DP、PQ，则DP+PQ的最小值为_____． 【变式7-2】（25-26九年级上·全国·单元复习）如图，在中，，边上的高，则周长的最小值为 ____________________． 【变式7-3】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为，动点E，F分别从点A，C同时出发，以相同的速度分别沿，向终点B，D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线的垂线，垂足为点G，连接，则长的最小值为（　　） A． B． C． D． 知识点4 隐圆隐切线 图示 条件 OP=a，Q是一动点，且OQ=b（a，b是定值，且a＞b） O是直线l上的一定点，P是l上的一动点，OQ=m（定长），且（定角） 结论 点Q在以b为半径的⨀O上，且当PQ与⨀O相切时，最大 点Q在以m为半径的⨀O上，且当PQ与⨀O相切时，OP最大 【题型8 隐圆隐切线】 【例8】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知在平面直角坐标系中，y轴上有两点、，轴上有一动点，当最大时，点的坐标为______． 【变式8-1】（2026·新疆乌鲁木齐·三模）如图，在中，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为________． 【变式8-2】（2026·河南驻马店·二模）如图，在矩形中，，，E为边上一动点，连接，作点A关于的对称点F，连接并延长交边于点G，则的最大值为_____________． 【变式8-3】（2023·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，对于点（不与点重合）和线段，给出如下定义：连接，平移线段，使点与线段的中点重合，得到线段，则称点为线段的“中移点”．已知的半径为1．    (1)如图，点，点， 点为与轴正半轴的交点，，求的值； 点为上一点，若在直线上存在线段的“中移点”，求的取值范围； (2)点是上一点，点在线段上，且．若是外一点，点为线段的“中移点”，连接．当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）． 知识点5 “定角定高”类最值 图示 条件 点A到直线l的距离AH=h是定值，是定角（两边交直线l于B，C两点） 结论 当AB=AC（A，O，H三点共线）时，BC最小（最小） 方法 作△ABC的外接⨀O，连接OA，OB，OC，作OG⊥BC于点G，则 【题型9 定角定高类最值】 【例9】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，中，，动点M、N在斜边上，，求的最小值____． 【变式9-1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，点E、G、H分别为线段上的点，将沿折叠至（点F在四边形内部，且与点B为对应点），则周长的最小值为_______． 【变式9-2】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，，，是中线，，分别为边，上的动点，且，直线与相交于点，连接．若，则线段的最小值为__________．    【变式9-3】问题提出 （1）如图①，已知线段AB，请以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形； （2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l且AD=3，∠BAC=60°，求△ABC面积的最小值； 问题解决 （3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A=45°，∠B=∠D=90°，CB=CD=6m，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值?若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $