陕西西安市西北工业大学附属中学2026-2027学年高二上学期开学考数学试卷

数学 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．下列命题正确的是（ ） A．若直线上有无数个点不在平面内，则 B．任意四边形都可以确定唯一一个平面 C．若将一个西瓜切3刀，则这个西瓜最多可以被切成8块 D．若，则直线与平面内的任意一条直线都平行 3．已知随机事件，，，若与互斥，与对立，且，，则（ ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 4．圆锥的高为1，体积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ） A．2 B． C． D．1 5．已知样本数据，，，，的平均数为4，方差为2，则，，，，的平均数为（ ） A．17 B．18 C．20 D．21 6．如图，为了测量河对岸的塔高度（塔身和地面垂直），选取塔底及地面上的两个测量点与．现测得，，，在点测得塔顶的仰角，则塔的高为（ ） A． B． C． D． 7．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，，，，均与曲池的底面垂直，且长为2，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 8．如图，长方体的、、的长度分别为，8，3，且，分别为上底面、下底面（含边界）内的动点，当最小时，以为球心，的长为半径的球面与上底面的公共点的轨迹长度为（ ） A．2 B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，互为共轭复数，，则 C．若复数满足，则的最大值为2 D．若复数是关于的方程（）的一个根，则 10．如图，正方体的棱长为2，设是棱的中点，是线段上的动点（含端点），是正方形内（含边界）的动点，且平面，则下列结论正确的是（ ） A．点的轨迹是一条线段 B．三棱锥的体积为定值 C．当点在线段上移动时，必存在点，使 D．直线与平面所成角的正切值的取值范围是 11．已知的内角，，所对的边分别为，，，，，则下列结论正确的是（ ） A． B．若，则满足条件的有且只有一个 C．若是的最小内角，则面积的取值范围是 D．若，且是整数，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．一次演讲比赛中8人比赛的成绩为：85，86，88，89，90，92，94，98（单位：分），则这8人成绩的第60百分位数和第70百分位数的和为_________． 13．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则投篮结束时，乙只投了2个球的概率为_________． 14．已知正四棱锥的外接球的表面积为，点在底面的射影为，当取最大值时，正四棱锥的体积为_________． 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计的频率分布直方图如图所示． 某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商对未摘下的芒果提出以下两种收购方案： 方案①：所有芒果以9元/千克收购； 方案②：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，对质量高于或等于250克的芒果以3元/个收购． （1）求抽取的100个芒果质量的平均数； （2）若按分层随机抽样从质量为，的芒果中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率； （3）种植园选择哪种方案获利更多． 16．（15分）在中，角，，的对边分别为，，，且（1）求； （2）若，点在外，，求四边形面积的最大值． 17．（15分）为激发学生的创新思维，学校举办了校园科技节活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各挑战一次且结果互不影响．连续通过两个游戏可以获得一枚科技徽章，连续通过三个游戏可以获得两枚科技徽章，闯关规则如下：箱子里装有大小质地完全相同的红球3个，白球2个，其中红球编号为1，2，3，白球编号为4，5． 游戏一：从箱子里随机地取出一个球，取出白球则获胜． 游戏二：从箱子里有放回地依次取出两个球，取到两个白球则获胜． 游戏三：从箱子里不放回地依次取出两个球，取出编号之和为则获胜． （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）当时，求游戏三的获胜概率； （3）一名同学先玩了游戏一，试问时，接下来选择先玩游戏二还是先玩游戏三获得徽章的概率更大，说明理由． 18．（17分）如图，在梯形中，，，，为的中点，将沿翻折至的位置，使点落在点的位置，且，分别为，的中点． （1）证明：平面平面． （2）若线段上存在点，使得平面平面． （i）猜想的值，并说明理由； （ii）求二面角的正弦值． 19．（17分）设、是平面内相交成角（）的两条数轴，，分别是与，正方向同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $