精品解析：陕西省西安市第八十五中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

西安市第85中学高二年级第一学期开学考试 数学试题 一、单项选择题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知点是角终边上的一点，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角所对的边分别为，若，则的形状一定为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 锐角三角形 6. 已知，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子次，分别记录每次骰子出现的点数根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数的是（ ） A. 甲：平均数为，中位数为 B. 乙：中位数为，众数为 C. 丙：平均数为，方差为 D. 丁：中位数为，方差为 8. 正四面体ABCD中，E，F分别是AB和CD的中点，则异面直线CE和AF所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 9. 在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，，，则唯一确定 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知事件A、B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B相互独立，则 B. 若，则事件A与相互独立 C. 若A与B互斥，则 D. 若B发生时A一定发生，则 11. 在四边形中，，将折起，使平面平面，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 平面平面 D. 平面平面 三、填空题 12. 已知向量，，其中，，且，则向量和的夹角是__________． 13. 函数在的零点个数为________． 14. 长方体中，，分别为，的中点，为与的交点，，，四面体的四个顶点在球的球面上，则球的表面积为_______________ 四、解答题 15. 今年6月我校进行了一次数学竞赛选拔考试．从参加考试的同学中，选取50名同学将其成绩分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图（如下图），观察图形中的信息，回答下列问题： （1）从频率分布直方图中，估计第65百分位数是多少； （2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级．若从成绩在的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率． 16. 记的内角的对边分别为，满足. （1）求角； （2）若，，是中线，求的长. 17. 如图，在正三棱柱中，为的中点，若，. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市第85中学高二年级第一学期开学考试 数学试题 一、单项选择题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求得集合和，根据交集的定义即可求解． 【详解】由题可知，，， 所以， 故选：A． 2. 已知复数满足，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知等式化简求出，从而可求出复数. 【详解】因为， 所以． 故选：D． 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得出答案． 【详解】由可得，， 则是的必要不充分条件， 故选：B. 4. 已知点是角终边上的一点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的定义结合二倍角的余弦公式即可求解答案. 【详解】因为是终边上一点，所以， ， 故选：B. 5. 在中，内角所对的边分别为，若，则的形状一定为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 锐角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理将化为，然后化简可得答案. 【详解】， 由余弦定理可得，则， 则，所以为直角三角形. 故选：A. 6. 已知，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用向量数量积的运算法则，以及投影向量的计算方法，即可求解. 【详解】由， 可得，解得 则在上的投影向量为. 故选：D. 7. 甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子次，分别记录每次骰子出现的点数根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数的是（ ） A. 甲：平均数为，中位数为 B. 乙：中位数为，众数为 C. 丙：平均数为，方差为 D. 丁：中位数为，方差为 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、方差的定义，通过举例排除ABD，由假设推理判断C． 【详解】若甲的5个点数分别是，满足选项A； 若乙的5个点数分别是，满足选项B； 若丁的5个点数分别是，平均数为4，其方差为，满足选项D； 若丙的平均数为2，又有点数6，则方差，不可能满足C，因此丙不会出现点数6， 故选：C． 8. 正四面体ABCD中，E，F分别是AB和CD的中点，则异面直线CE和AF所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，取的中点，连接，则可得∥，所以可得异面有线CE和AF所成角，然后利用余弦定理求解即可 【详解】连接，取的中点，连接， 因为为的中点， 所以∥， 所以为异面有线CE和AF所成角或其补角， 设正四面体的棱长为2，则，, 所以， 所以在中，由余弦定理得 , 所以异面有线CE和AF所成角的余弦值为， 故选：C 二、多项选择题 9. 在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，，，则唯一确定 C. 若，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据正弦二倍角公式可判断A;由正弦定理可判定B;根据正弦函数的单调性可判定C; 根据余弦函数的单调性可判定D; 【详解】选项A：若，则，即， 则或，则为等腰三角形或直角三角形，A错误； 选项B：若，，， 由得， 又，所以，因此角可以为锐角也可以为钝角，有两解，B错误； 选项C：由， 若，则， 由正弦函数在上单调递增，可得． 若，由，则， 故，即，C正确； 选项D：由， 若，则， 由余弦函数在上单调递减，可得． 若，由，则， ， ， ，故D正确． 故选:CD． 10. 已知事件A、B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B相互独立，则 B. 若，则事件A与相互独立 C. 若A与B互斥，则 D. 若B发生时A一定发生，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐项判断. 【详解】对于A，若A与B相互独立，则， 所以，故A对； 对于B，因为，，则， 因为，所以事件与相互独立，故B对； 对于C，若A与B互斥，则，故C错； 对于D，若B发生时A一定发生，则，则，故D对． 故选：ABD 11. 在四边形中，，将折起，使平面平面，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据线面、面面垂直的判定定理以及线面、面面垂直的性质定理逐项判断即可. 【详解】对于B，如图， 因为， 所以，又因为，， 所以，所以， 所以，故B正确； 对于A，由B选项知， 又因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以，故A正确； 对于C，由选项A知，平面， 因为平面，所以平面平面，故C正确； 对于D，如图， 过点A作，垂足为， 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面，显然平面， 所以平面与平面不垂直，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12. 已知向量，，其中，，且，则向量和的夹角是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用得，可求出，从而求出向量和的夹角. 【详解】∵， ∴， 解得:， 所以夹角为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了向量垂直数量积为0，向量数量积的定义，属于基础题. 13. 函数在的零点个数为________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：求出的范围，再由函数值为零，得到的取值即得零点个数； 方法二：先求出函数的所有零点，再结合题中范围找出符合题意的零点． 【详解】［方法一］：【最优解】 ，， 由题可知或或， 解得或或，故函数在有3个零点． ［方法二］： 令，即，解得，， 分别令，得， 所以函数在的零点的个数为3． 【整体点评】方法一：先求出的范围，再根据余弦函数在该范围内的零点，从而解出，是该题的最优解； 方法二：先求出函数的所有零点，再根据题中范围限制，找出符合题意的零点． 14. 长方体中，，分别为，的中点，为与的交点，，，四面体的四个顶点在球的球面上，则球的表面积为_______________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，确定四面体外接球球心的位置，再由勾股定理求出外接球的半径，即可求得答案. 【详解】记外接圆圆心为，四面体外接球球心为， 则球心在过且垂直于平面的直线上，记该直线与平面的交点为，易知点为的中点； 如图所示： 设四面体外接球半径为，， 则， 又因为，， 所以，解得， 所以四面体外接球表面积. 故答案为： 四、解答题 15. 今年6月我校进行了一次数学竞赛选拔考试．从参加考试的同学中，选取50名同学将其成绩分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图（如下图），观察图形中的信息，回答下列问题： （1）从频率分布直方图中，估计第65百分位数是多少； （2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级．若从成绩在的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率． 【答案】（1）73 （2） 【解析】 【分析】（1）首先确定第百分位数位于，设其为，由可求得结果； （2）根据频率分布直方图计算出第五组和第六组的人数，利用列举法列举出所有可能的基本事件，并确定满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【小问1详解】 成绩在的频率为，成绩在的频率为， 第百分位数位于，设其为， 则，解得：，第百分位数为. 【小问2详解】 第组的人数为：人，可记为； 第组的人数为：人，可记为； 则从中任取人，有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种情况； 其中至少1人成绩优秀的情况有：，，，，，，，，，，，，，，，共种情况； 至少1人成绩优秀的概率. 16. 记的内角的对边分别为，满足. （1）求角； （2）若，，是中线，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据边角转化，将题干条件均化成角，结合诱导公式，三角恒等变换进行化简求值； （2）利用，平方后求，结合余弦定理来处理. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可知：， 由，故， ∴ ∴， ∴，又， 所以； 【小问2详解】 根据数量积的定义，由，得， 又，在中由余弦定理得： ∵，∴， 所以 17. 如图，在正三棱柱中，为的中点，若，. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）连接，交于，连接， 因为四边形为矩形，所以为中点，又因为为的中点， 所以，又因为平面，平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】(1) 连接，交于，连接，结合三角形的中位线定理可证明，由线面平行的判定定理可证平面. (2) 取中点，过作于，连接，通过线面、面面垂直的性质可得为二面角的平面角，即可求出，由同角三角函数的基本关系可求出，即可求出二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，过作于，连接， 因为为正三棱柱，所以，平面平面， 所以平面，于是在平面内的射影为， 所以，所以为二面角的平面角， 所以， ， 因为二面角与二面角互补， 所以二面角的余弦值为. 【点睛】 关键点睛: 本题第一问的关键是做辅助线，在平面中构造与的线段；第二问的关键是找出二面角的平面角. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $