专题十二 统计与统计案例-【创新教程】2022-2026五年高考数学真题分类特训试卷

11.解析：由题意可知，令x=1得，展开式中各项系数的和 是(1十1)”=32，所以n=5,该二项式的展开式的通项 公式是T,+1=C5·x·1',令5-r=2,得r=3,则x2 项的系数为C=10. 答案：10 12.解折：展开式的通项公式T+=C2x)-(一士) =(-1)X2i-XCXx18-46 令18一4k=2,可得k=4, 则x2项的系数为(-1)‘×2-4×C6=4×15=60. 答案：60 13.解析：原式等于(x十y)-(红十)，由二项式定理，其展 开式中xy的系数为C-C=C-C=-28. 答案：-28 专题十一数系的扩充与复数的引入 实战集训1 1.ACD由=3+2i,得=3-2i,A正确；x=√32+2 =√/13≠5，B错误；x2=(3+2i)2=9+12i-4=5+12i, C正确，+3=6+21=6+21)8-D=2∈R.D正确. -i3+i 10 2.B(1-3i)2=1-2×1×3i+(3i)2=1-6i-9 =-8-6i. 3.C因为名=2+i,=1-3i,所以名1十2=2+i+1-3i =(2+1)+(1-3)i=3-2i,则x1+2|=|3-2i训 =√3+（-2)F=√13. 4.C由(1+5i)i=一5+i,即知虚部为1，选C. 5.A 11=-i -1i 6,B先求出复数之，再根据复数模的公式即可求出，由i· +2=21可得，2=二2+21=2+2，所以：1=√2+2 i =2√2，故选：B. 7.C由题知=1+iD(:-1),之=1+1-1故选择：C 8.C|z=√+1=√2. 9.A因为=5十i,所以x=5一i,故ig十x)=10i 10.D因为之=√2i,所以之·=2，故选D 11.C÷=-1-i,则x=i(-1-i)=-i-=1-i. 12.A周为-，所以=名所以发- 1-i 一i.故选A. 13.A由题知(1+3i)(3-i)=3-i+9i一3=6+8i,所以 该复数在复平面内对应的点为(6,8)，位于第一象限. 故选A 14.C(a+i)(1-ai)=a-ai+i+a=2a+(1-a2)i=2, 所以2a=2。解得a=1.故这C. {1-a2=0, 15.解析：(3+i)=9++6i=8+6i. 答案：8+6i 16.解析：本题考查了复数的模、以及复数的运算 3+ is 13+il==√/0. i 1 答案：√10 10 17,解析：本题考查了复数的运算，复数的模的最值. 设x=a十bi(a,b∈R) g=()2, .(a+bi)2=(a-bi)2, 解得a=0或b=0, g1, .应当a=0,|b1或b=0,a≤1， ,|之一2一3i表示复平面上之的对应点与(2,3)的距 离，可知当之位于(0,1)时，之一2一3i取得最小 值为2√2 答案：2√2 18.解析：设之=1十bi(b∈R,且b≠0)， 2 所以+21+i+中=1+bi+2:0-二) 1+b2 +平+()小 =1+2 因为m∈R,所以62=0，解得6=士1， 所以m=1计子 =1+1=2. 答案：2 19.解析：(W5+i)·(W5-2i)=5+√5i-2√5i+2=7-√⑤i. 答案：7-√5i 20.解析：由题意可得5，+14=5+14(2-3=52+131 2+3i (2+3i)(2-3i) 13 =4+i. 答案：4十i 21.解析：1-i这=1-i(1+i)=2-i,11-i这=|2-i=√5. 答案：W5 实战集训2 1.C 5(1+)=5(1-卫=1-i,故选C. (2+i)(2-iD 5 2+i 2+i 2.B由题意可得：=1十十行=1-1中 =i2+D 2i-1=1-21,则=1+2i.故选B, 1 3.C由题意可得2++2=2-1-2i=1-2i, 则|2++2|=|1-2i=√2+(-2)产=√5.故选：C. 4.D对原式两边同时乘以i得：之一1=i,即x=1十i,所以 =1一i,即之十之=2，故选D. 5.D(2+2i)(1-2i)=2-4i+2i-4i=2-2i+4=6-2i, 故选D 6.A由题设，之=1一2i,=1十2i,代入有a十b十1十（2a 2)i=0,故a=1,b=一2，选择A. 7.C由￥=1+=-1+ ,故选C 一1 4-1 3 3 8,B由条件可知之=3i=-4-3i所以=5. 1 专题十二统计与统计案例 实战集训1 1.B将数据从小到大排列为4,5,6,8,12，中间数为6， 选B. 2.A对于A:回归方程y=-1.17x+1370.7,斜率为负， 且相关系数|r|=0.91表示相关程度较高，故判断为负 相关，A选项正确；对于B:当x=10时，y=-1.17×10 +1370.7=1359,回归方程所求y,得到的是预测值，实 际值不一定等于预测值，B项错误；对于C:由选项B分 析可知C选项错误；对于D:相关系数|r=0.91,接近于 1,说明两变量线性相关程度较高，故存在线性关系。 3 3.C手均为号(2+8+14+16+20)=号×60=12 4.A观察4幅图可知，A图散，点分布比较集中，且大体接 近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明 显的正相关，r值相比于其他3图更接近1. 5.C因为沿海地区气温和海水表层温度相关，且样本相 关系数为正数，所以随着沿海地区气温由低到高，海水 表层温度呈上升趋势. 6.C根据散，点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有 相关性，A选项错误； 散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度 呈现正相关性，B选项错误，C选项正确： 由于r=0.8245是全部数据的相关系数，取出来一部分 数据，相关性可能变强，也可能变弱，即取出的数据的相 关系数不一定是0.8245，D选项错误.故选C. 7.C由散点图可知身高与体重成正相关. 8.BD因为十十十西 4 x1+x2十x3十x,十x十x6 6 =4十x十西十-2(+x》≠0， 12 所以A错误；因为工1是最小值，x6是最大值，所以x2, x,x,x的中位数的位置与x1,x2,…,x6的中位数的 位置相同，所以B正确：因为x1是最小值，x6是最大值， 距离数据x1,2,…,工的平均值较远，即波动性大，所以 标准差大，所以C错误；假设江z的最小值为西 最大值为飞，则≤x2,飞≤x,所以一1≥x一2，所 以D正确.故选BD. 9.B由图表信息可知讲座后问卷答题的正确率的平均数 为89.5%>85%，故选B. 10.解析：a<b<c<d,a=232,d=241,a+d=b+c=473, a+b+c+d=946. 答案：946 11.解：(1)根据频率分布直方图知，组距为10.各区间的频 率计算如下：[345,355)的频率为0.005×10=0.05： [355,365)的频率为0.010×10=0.10：[365,375)的频 率为0.02×10=0.20：[375,385)的频率为0.025×10 =0.25;[385,395)的频率为0.015×10=0.15. 设第一四分位数为Q.因为前两组的累积频率为0.05 十0.10=0.15<0.25，而前三组累积频率为0.15十 0.20=0.35>0.25,所以第一四分位数位于区间[365， 375)内.根据比例关系：Q,=365+0250.15×10=365 0.20 +5=370(天) 设中位数为M.前三组的累积频率为0.35<0.50，前四 组的累积频率为0.35+0.25=0.60>0.50，所以中位 数位于区间[375,385)内.根据比例关系：M=375+ 0.50-0.35×10=375+6=381(天). 0.25 (2)(ⅰ)首次故障时间小于365天即落在区间[345， 365)内.根据频率估计概率，得：力=0.05+0.10 =0.15. (iⅱ)已知X~B(100,0.20).根据二项分布的期望与方 差公式：E(X)=np=100×0.15=15, D(X)=np(1-p)=100×0.15×0.85=12.75. 12.解：(1)第1步：计算不高于120分的累计频数 数学成簽不高于120分的人数为前三组人数之和，为 40+60+60=160. 194 第2步：用频率估计概率 用频率估计概率，则数学成簽不高于120分的概率P= 288=a8 故数学成绮不高于120分的概率为0.8. (2)第1步：分别计算对应事件的概率 成绩不低于120分的概率P,=2812=0.2, 200 成绩不高于94分的概率P:=200=0,2 第2步：识别概率模型 从学校随机抽取4人，可以看作4次独立重复试验， 第3步：代入公式计算结果 要求2人不低于120分且2人不高于94分， 则其概率P。=C·P·P=6×0.22×0.2 =0.0096. 故所求概率为0.0096. (3)第1步：明确方差公式 根据表格知道各组频数不变，总频数n=200,各组所取 样本数据，设为x,n为各组数据的频数，i=1,2,3,4, 5,则元=40x+60z,十60x,+28x,+122 200 2n:·(x-x) s2= 第2步：套用公式求三种方差 取左端点时，x为81,94,107,120,135. x4=40X81+60×94+60X107+28X120+12X135 200 =101.4, 方菱元=06[40X(81-101.402+60×(94-101.4 +60×(107-101.4)2+28×(120-101.4)2+12× (135-101.4)2]=225.24. 取中点时，x:为87.5,100.5,113.5,127.5,142.5， x中= 40×87.5+60×100.5+60×113.5+28×127.5+12×142.5 200 =108.1. 方差=0040×(87.5-108.1)2+60×(100.5 108.1)2+60×(113.5-108.1)2+28×(127.5-108. 1)+12×(142.5-108.1)]=234.64. 取右端点时，x为94,107,120,135,150， Z=40X94+60X107+60X120+28×135+12×150 200 =114.8, 方差s五=2040X(94-114.8)+60×(107宁 114.8)2+60×(120-114.8)+28×(135-114.8)+ 12×(150-114.8)2]=244.36. 第3步：下结论 对比可得方差大小关系：<<右。 13.解：(1)由题意，设该年份颗粒物的密度大于二氧化硫 密度为事件A,显然满足题意共有7年，故P(A》=子 故该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率 为9 (2)经分析应选择散点图，因相关系数的取值范围是 [一1,1]，所以可以排除区间(1,2)， 通过所给数据可知随着颗粒物密度的减少，二氧化硫 密度也呈现减少的趋势，二者变化方向一致，属于正相 关，因此r>0,综上，相关系数r的取值区间为(0,1). (3)由题意，设样本中心(2018，y), y=号(101.02+87.02+57.46+21.85+1.76+8.86 +5.03+4.63+3.86)≈33.499. 故33.499=a(2018-2014)+83.74→a≈-12.561，y =-12.561(x-2014)+83.743, 故x=2023时，此时y=106.544e0.1e8-=2o1≈1.681，差 值绝对值为2.199， y=-12.561(2023-2014)+83.743≈29.306，差值 绝对值为33.186>2.199， 故y=106.544e0461x-201对于2023年的预测值与实 际值的差值绝对值更小. 14.解：(1)在1000个样本中，超声波检查结果不正常的人 中老有滨疾病的频率为 =0.9, 以样本频率估计总体概率，力的估计值为0.9. (2)H。:超声波检查结果与是否患病无关， n(ad-bc) x-(a+b)(cFdD(a+e)(b+d- 1000×(20×20-780×180Y=12250>10.828, 800×200×200×800 16 概率小概率值a=0.001的独立性检验，应拒绝零假设 H。,即超声波检查结果与是否患病有关 15.解：(1)由题意，数据最大值为216.93，最小值为 206.78, 故极差为216.93-206.78=10.15， 中位数为209.35+210.68=210.015. 2 (2)由题意，数据共有10个，211以上数据共有4个， 故设恰有2个211以上为事件A, P(A=C·C=3 C。 101 所以，恰有2个教播在211以上的概率为品 (3)由题意，比套成绩y的平均数为0×(206.78十 207.46+207.95+209.34+209.35+210.68+213.73 +214.84+216.93+216.93)=211.399 故y=一0.311x+6过(2006,211.399)，则i= 835.265. 即y=-0.311x+835.265, 故要当x=2028时，y=204.557,故2028年冠军队的成 绩约为204.56. 16.解：(1)列联表如下： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 K=150(26×30-24×70)2 96×54×100×50 =4.6875 3.841<4.6875<6.635, 有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品存在 差异，没有99%的把握认为甲乙两车间产品的优级品 存在差异 Io (2)由(1)知，p= 96=0.64,p=0.5, 150 .p+1.65 (1-p) =0.5+1.65 /0.5×0.5 n 150 =0.5+1.65× 0.5 ≈0.567 12.247 :p>p+1.65 (1-p) n 能认为生产智能化升级改造后，该工厂产品的优级 品率提高了 实战集训2 1.解：(1)580人中体育锻炼时长不小于1小时人数占比P= 2十3+1+137+40+27=袋，该地区290名初中学生 580 体育锻炼时长不小于1小时的人数约为29000× 25 58 12500人. (2)该地区初中学生锻炼平均时长约为： 是0,5×(6+134)+0.5+1×(44+147) 5802 2 +1+L.5×(42+137)+1.5,+2×(3+40) 2 2 2+2.5×(1+27) 1 2 号09h (3)列联表 时长[1,2)其他时长 合计 优秀 45 50 95 不优秀 177 308 485 合计 222 358 580 提出零假设H,:成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1 小时且小于2小时无关. X=580X(45X308-177X50) 95×485×222×358 ≈3.976>3.841. 有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长 不小于1小时且小于2小时有关. 2.解：(1)由题意知当p(c)=0.5%时，c=97.5, 此时gc)=0.01X5+0.02X5=0.035=3.5%. 2 (2)当95c100时， p(c)=(c-95)×0.002=0.002c-0.19, g(c)=(100-c)×0.01+5×0.002=-0.01c+1.01, 所以f(c)=p(c)+q(c)=-0.008c+0.82: 当100<c105时， p(c)=5×0.002+(c-100)×0.012=0.012c-1.19, g(c)=(105-c)×0.002=-0.002c+0.21, 所以f(c)=(c)十g(c)=0.01c-0.98. 综上所迷，(c)={0.008c+0.82,95≤c≤10 10.01c-0.98,100<c≤105， 由一次函数的单调性知，函数f(c)在[95,100]上单调递 减，在(100,105]上单调递增， 作出f(c)在区间[95,105]上的大致图象（略），可得f(c) 在区间[95,105]的最小值f(c)m=f(100)=-0.008× 100+0.82=0.02 3.解：(1)X的所有可能取值为0,1,2， X=0)=Cg×(1-)x(1-2)=子. 5 PX=1D=C××(1-)=P(X=2)=C× ×子子所以X的分有列为 0 2 P 24 BX0=0x+1号+2x}=1. (2)()依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两 组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据 的平均数， 由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一 排数据与实验组第二排数据即可， 可得第11位数据为14.4，后续依次为17.3,17.3,18.4， 19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6,…, 故第20位为23.2，第21位数据为23.6，所以m= 23.2+23.6=23.4, 2 故列联表为： m ≥m合计 对照组 6 14 20 实验组 g 6 20 合计 20 20 40 (i)由(1)可得，K=40X(6×6-14X14) 20×20×20×20 =6.400>3.841, 所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用」 4,解：1)试验组样本平均数为20(7.8+9,2+11,4十12.4 +13.2+15.5+16.5+18.0+18.8+19.2+19.8+20.2 +21.6+22.8+23.6+23.9+25.1+28.2+32.3+36.5)= 396=19.8. 20 (2)()依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两 组数据合在一起，从小到大排列后，第20位与第21位数 据的平均数， 由原数据可得第11位数据为18.8，后续依次为19.2， 19.8,20.2,20.2,21.3,21.6,22.5,22.8,23.2,23.6,…, 故第20位为23.2，第21位数据为23.6， 所以m=23.223.6=23.4, 故列联表为： m ≥m合计 对照组 14 20 实验组 14 6 20 合计 20 20 40 (i)由(1)可得，K=40×(6×6-14X14) 20×20×20×20 =6.400>3.841, 所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中 与在正常环境中体重的增加量有差异， 5.解：1)z=[545+53+551+52+575+544+541+ 568+596+548=552.3, =6[536+527+543+530+560+533+52+50+ 576+536]=541.3, 19 =x-y=552.3-541.3=11, =x:-y:的值分别为：9,6,8，-8,15,11,19,18， 20,12, 故=69-11)+(6-11)+(8-1+(-8 11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20 11)2+(12-11)]=61. (2)由1)知：=11,2√0=2√6.=√24.4，故有≥ 2×0 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺 处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高， 实战集训3 1,解：(1)假设患该病群体与未患该疾病群体的卫生习惯 没有差异， 则K:=20040X90=60X10)=24>10.828, 50×150×100×100 所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群 体的卫生习惯有差异： P(AB) P(AB) P(BIA).P(BIA) P(A) P(A) (2)(i)R= P(BA) P(BA) P(AB) P(AB) P(A) P(A) =P(AB) P(AB) P(AB) P(AB) P(AB) P(AB) P(AB) P(AB) P(B) P(B) P(AB) P(AB) P(AB) P(AB) P(B) P(B) P(AIB)·P(AB) ,得证 P(AB) P(A B) (ⅱ)由调查数据可知P(AB)= 品=号P(AB)= 品 则P(AB)=1-PAB)=是，PAB)=品，所以R 2 5 3 10二6 1 10 2.解：(1)设这种树木平均一棵的根部横截面积为x,平均 一根的材软量为5，刷-=006y=号=0,39. 10 之xy:一nuy (2)r= =1 字-)-w) 0.2474-10×0.06×0.39 /0.038-10×0.06√1.6158-10×0.391 0.0134 0.0134 /0.002×0.0948 0.01×1.896 0.0134≈0.97. 0.01377 (③)设从根部面积总和为X,总材积量为Y,则子 Y=0.39×186=1209(m). 0.061最新真题 专题十二 统计与统计案例 分类特训 真题题组·实战集训] 一、选择题 1.(2026·全国I卷，1)样本数据6,8,4,5,12的中位数为 A.5 B.6 C.8 D.9 2.(2026·天津卷，3)为研究候鸟迁徙数量与空气质量指数的关系，在不 候鸟迁徙数量 整 同空气质量指数(x)下统计候鸟迁徙数量(y),所得数据如图所示，其 中y与x的样本相关系数r=一0.91，根据最小二乘法算得y= 一1.17x+1370.7,下列说法正确的是 () 郑 A.y与x负相关 .. B.当x=10时，y一定为1359 空气质量指数： C.当x=10时，y一定小于1359 D.两变量无线性关系 3.(2025·全国二卷，1)样本数据2,8,14,16,20的平均数为 ( 的 A.8 B.9 C.12 D.18 4.(2024·天津卷，3)下列图中，线性相关系数最大的是 ( Y不 杯 0 0 0 5.(2024·上海卷，13)已知沿海地区气温和海水表层温度相关，且样本相关系数为正数，对此描 如 述正确的是 () 数 A.沿海地区气温高，海水表层温度就高 御 B.沿海地区气温高，海水表层温度就低 C.随着沿海地区气温由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D.随着沿海地区气温由低到高，海水表层温度呈下降趋势 6.(2023·天津卷，7)调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数r= 0.8245,下列说法正确的是 () 器 花瓣长度 花萼长度 A.花瓣长度和花萼长度没有相关性 B.花瓣长度和花萼长度呈现负相关 C.花瓣长度和花萼长度呈正相关 D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245 101 7.(2023·上海卷，14)某校50名学生的身高与体重的散点图如下：根据身高和体重散点图，下列说法 正确的是 体重kg 10 80 。ooog00i0t0g 0 20 0 60 165 170 175180185190195身高/cm A.身高越高，体重越重 B.身高越高，体重越轻 C.身高与体重成正相关 D.身高与体重成负相关 8.（多选)(2023·新课标I卷，9)有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值，x6是最大值， 则 ( A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数 B.x2,x3,x4,5的中位数等于x1,x2,…,6的中位数 C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差 D.x2,x3x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差 9.(2022·全国甲卷，2)某社区通过公益讲座以及普及社会居民的垃圾分类知识.为了解讲座效 果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图： 100% 95% 909% *讲座前 75% 70% ·讲座后 65% 60% 0 12345678910 居民编号 则 ( A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70% B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 二、填空题 10.(2023·上海卷，9)国内生产总值(GDP)是衡量地区经济状况的最佳指标.根据统计数据显 示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳步增长，第一季度和第四季度的GDP分别为 232和241，且四个季度GDP的中位数与平均数相等，则2020年的GDP总额为 亿元. 三、解答题 11.(2026·全国Ⅱ卷，15)(13分)从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测 试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图： 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0 345355365375385395405415425首次出现故障的时间/天 102 (1)估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀 分布)； (2)记力为1件这种电子产品首次出现故障的时间小于365天的概率的估计值. (i)求p; (ⅱ)该厂向某用户销售100件这种电子产品，记X为这100件电子产品中首次出现故障的时 间小于365天的件数，假设XB(100,),求E(X),D(X). 12.(2026·北京卷，17)(13分)现从全校学生中随机抽取200人统计数学成绩，成绩分组及对应 人数如下： 成绩分组 [81,94] (94,107] (107,120] (120,135] (135,150 人数 40 60 60 28 12 每个学生成绩相互独立，以频率估计概率，完成下列问题： (1)求数学成绩不高于120分的概率； (2)从学校随机抽取4人，求2人不低于120分且2人不高于94分的概率； (3)每组数据取左端、中间、右端，比较s左、、系的大小关系. 103 13.(2026·上海卷，17)(14分)本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小 题满分6分， 某工厂为进行环境保护与改善，对九年间空气中某颗粒物密度与二氧化硫密度进行了监测与 记录，数据如下： 某颗粒 101.02 87.02 57.46 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86 物密度 二氧化 119.47 51.84 53.2 9.16 6.6 4.4 3.31 3.35 3.86 硫密度 (1)为进一步研究，从这9年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率 是多少？ (2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的 哪一种进行分析，并请你判断相关系数在（一1,0），(0,1)，(1,2)哪个区间内？ (3)2023年之前9年的年份(x)的平均数为2018，y(颗粒物密度)关于x(年份)的回归方程拟 采用y=106.544e0.461x-201)或y=a(x-2014)+83.743.若知2023年实际颗粒物浓度为 3.88,则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差的绝对值更小（精确到0.01）？ 14.(2025·全国一卷，15)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中 随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 合计 正常 不正常 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 104 (1)记超声波检查结果不正常者患有该疾病的概率为p,求p的估计值； (2)根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关 P(x2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 n(ad-bc)2 附：x2=(a+b(c+d)(a+c)(b+d) 15.(2025·上海卷，17)2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌，以下是 历届奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列. 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 (1)求这组数据的极差与中位数； (2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率； (3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为y=一0.311x十，年份x的平均数为2006，预测 2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）. 105 16.(2024·全国甲卷（理），17)(12分)某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工 厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合极品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、 乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5.设力为升级改造后抽取的n件产品的优级品 率，如果p>p+1.65 D1一卫)，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数 2 据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（√150≈12.247） n(ad-bc)2 P(K≥k) 0.050 0.010 0.001 附：K2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' 3.841 6.635 10.828 106 [直题题组·实战集训2] 1.(2024·上海卷，19)(14分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小 题满分6分. 为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中随机抽取580 人，得到日均体育锻炼时长（单位：小时）与学业成绩的数据如表所示： 时间范围 [0,0.5) [0.5,1) [1,1.5) [1.5,2) [2,2.5) 学业 优秀 5 44 42 3 1 成绩 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼时长（精确到0.1小时）。 (3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时 有关？ n(ad-bc) 附：x=(a+b(c十)a千c)(6+n=a+b+c+d.P(x>3.841)≈0.05. 2.(2023·新课标Ⅱ卷，19)(12分)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某 项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直 方图： 频率/组距 +频率/组距 0.040 0.040 883a 0.038 0.039 0.012 0.010 0.002 指标0.002 一指标 095100105110115120125130 0V707580859095100105 患病者 未患病者 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等 于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(℃)；误诊率 是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作 为相应事件发生的概率. 107 (1)当漏诊率p(c)=0.5%时，求临界值c和误诊率q(c); (2)设函数f(c)=p(c)+g(c).当c∈[95,105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95,105] 的最小值. 3.(2023·全国甲卷（理），19)(12分)为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为 两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）. (1)设其中两只小鼠中分配到对照组小鼠数目为X,求X的分布列和数学期望； (2)测得40只小鼠体重如下（单位：g):(已按从小到大排好） 对照组：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.4 26.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3 实验组：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.2 14.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0 (ⅰ)求40只小鼠体重的中位数m,并完成下面2×2列联表： m ≥m 对照组 实验组 (ⅱ)根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.参考数据： ko 0.10 0.05 0.010 P(K2≥k) 2.706 3.841 6.635 n(ad-bc)2 K2-(ab)(cFd)(a+c)(d) 108 4.(2023·全国甲卷（文），19)(12分)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白 鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓 度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单 位：g).试验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1 32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2 19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5 (1)计算试验组的样本平均数； (2)(i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数，再分别统计两样本中小于m与不小于m的 数据的个数，完成如下列联表： <m ≥m 对照组 试验组 (ⅱ)根据()中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境 中体重的增加量有差异？ n(ad-bc)2 附：K2=(a+b(c十D(a+c)b+d)' P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 109 5.(2023·全国乙卷（理），17)(12分)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应， 进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工 艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶 产品的伸缩率分别记为xy:(i=1,2,…,10),试验结果如下 试验序号i 1 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率x: 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率y: 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记=x,一y:(i=1,2,…,10),之1,22，…，之1o的样本平均数为z,样本方差为s2. (1)求z,2 (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著 2 提高（如果≥2，√0，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的 伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高). 110 [真题题组·实战集训3] 1.(2022·新高考I卷，20)(12分)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生 习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例 (称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 (1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的 人患有该疾病”，P(BA)与P(BA) 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一 P(BIA)P(BIA) 项度量指标，记该指标为R. (1)证明：R=P(AB).P(AB) P(AB)P(AB) (ⅱ)利用该调查数据，给出P(AB),P(AB)的估计值，并利用(1)的结果给出R的估计值 n(ad-bc)2 P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 附：K2=(a+b)(c+aD(a+c)b+d)' 3.841 6.635 10.828 111 2.(2022·全国乙卷，19)(12分)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计 一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位： m)和材积量（单位：m3).得到如下数据： 样本号i 2 3 4 5 6 8 9 10 总和 根部横截面积x: 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.050.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量y 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计第行-6.038，-1.6158,9.=027 (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）； (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和 为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树 木的总材积量的估计值 (x,-x)(y:一） 附：相关系数r= /1.896≈1.377. -)2含-0 112