3.2探索三角形相似的条件同步练习2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦三角形相似判定与黄金分割，通过基础辨析、情境应用到综合证明的三层设计，构建从概念理解到问题解决的知识巩固路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|三角形相似基本判定（三边成比例、两角对应等）、黄金分割计算|单选1（三边比判定）、填空11（黄金分割应用），强化概念辨析与基础运算| |情境应用|相似三角形图形分析（格点、剪开图形）、黄金分割实际情境|单选2（树叶黄金分割）、解答15（熊猫头身黄金比），体现数学眼光观察现实世界| |综合提升|相似证明（作图与推理结合）、复杂图形应用（正方形）|解答16（角平分线作图与相似证明）、19（正方形中相似判定与计算），发展推理能力与应用意识|

3.2探索三角形相似的条件 一、单选题 1.已知△ABC的三边长分别为L,2,5,△DBP的三边长分别5,6, .8 △ABC与 △DEF() A.一定相似 B.一定不相似 C.不一定相似 D.无法判定是否相似 2.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为AB的黄金分割点 (PA>PB),如果AB的长度为1Ocm,那么AP的长度约为(） B A.3.82 B.4.82 C.6.18 D.6.28 3.如图，能使△ABC∽△AED成立的条件是() D BCAD A.∠A=∠A B.∠ADE=∠AED C.4D D.ED AC 4.如图，在三角形纸片中，∠A=80°，AB=6,4C=8.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三 角形与原三角形相似的有() 80 5809 80 Q ② ③ ④ A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 5.下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是() A B D 6.如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三 角形，△ABC就是一个格点三角形，现从格点D、E、F、G中选取一个格点与点B、C连接成格点三 角形，能使该格点△ABC三角形与相似的格点是() D E B G A.点D B.点E C.点F D.点G 7.如图，能使△ABC∽aADE成立的条件是() D B AB AC AB BC A.∠A=∠A B.∠ADE=∠AED C.AD AE D.AE ED 8.己知△ABC的三边长分别为l2cm,15cm,18cm,△DEF的一边长为4cm,当△DEF的另两边长是下列哪 一组时，这两个三角形相似() A.2cm,3cm B.4cm,5cm C 5cm,6cm D.6cm,7cm 9.如图，△ABC中，∠A=80°，AC=4,BC=6,将△ABC沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪 下的三角形一定与原三角形相似的是() /80 人80 A.①③ B.①②③ C.①②④ D.②④ 10.矩形的长与宽分别为a、b,且a>b下列数据能构成黄金矩形的是() A.a=4b=V5+2 B.a=4b=V5-2 C.a=2b=V5+1 D.a=2b=V5-1 二、填空题 1.“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用.秦始皇陵兵马俑的眼睛到下巴 5-1 的距离与头顶到下巴的距离之比约为2，若如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离为02m,则该兵马 俑的眼睛到下巴的距离为_m.(结果保留根号) 12.如图，有一块边长为4的正方形（四条边相等，四个角是直角）塑料模板ABCD,将一块足够大的 直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F,与CB的延长线交于点E,则四边形 AECF的面积是 E B 13.如图，在△ABC中，AB>AC,过AC边上一点D作直线DE交AB边于点E,使所得的三角形与原 三角形相似，这样的直线可以作条. A D B 14.如图示，己知I=∠2，那么添加下列一个条件后，能判定△ABCOAADE的是一 (请填写序号) ①DB82c:An808器 B E 三、解答题 15.如图，2022年国际世界乒乓球锦标赛的吉祥物是一只大熊猫.这只大熊猫的头身比接近黄金比.小 兰将熊猫的头画成⊙A,熊猫的身体画成⊙B,⊙A与⊙B的直径的比按照黄金比画就，若⊙B的直径为 4,请计算⊙A的周长， 202 ·B 16.如图，在△ABC中，∠BCA=2∠A」 C B (I)请用无刻度的直尺和圆规作出∠BCA的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若(1)中所作的角平分线与AB边交于点D,求证：△BCD∽△BAC. 17.如图是由边长为1的小正方形组成的4×4网格，A,B,C三点均在格点上 AB BC (I)分别求BC与AB的值. (2)在网格中画△ABE,使A,B,E三点组成的三角形与△ABC相似.（只需画出一个） 18.把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值 5-1 2 为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例.杭州亚运会会徽一潮涌，由中国美术学院教授 袁由敏设计.其中浪溜设计借助了黄金分割比。如图，者点C可看作是线段B的黄金分割点(1C<CB) 若AB=40cm,求AC的长. 19.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在AD,CD上，AF⊥BE,垂足为M E D M B (I)求证：AE=DF: (2)若点N是BF的中点，DF=2,DE=6,求MN的长. 20.根据下列条件，判断△ABC与△AB'C'是否相似，并说明理由. ()∠A=409,AB=8cm,AC=15cm,∠A=40°，A'B'=16cm,A'C'=30cm: (2)4B=10cm,BC=8cm,AC=16cm,A'B'=16cm,B'C'=12.8cm,A'C"=25.6cm 《3.2探索三角形相似的条件同步练习2026-2027学年北师大版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D √5-1 11.10 12.16 13.2 14.①②③ 15.(2w5-2z 16.(1)如图，CD即为∠BCA的角平分线； C ②证明：由(1)可得：∠BCD=∠ACD=)∠BCA :∠BCA=2∠A, ·∠A=∠BCD 又∠B=∠B, .△BCD∽△BAC 17.(1)解：AB=2,BC=V2+22=2V2 AB2 BC=2 ∴.BC2,AB (2)解：如图 B E2 ·AB=2,BC=22,AC=V22+4平-25BE=VP+=2,AB=P+32=V10 AB_BC AC= :BE AB AE △ABC△E,BA 当点及在点B处时，月理可 △ABCP△E,BA 18.解：“点C可看作是线段AB的黄金分割点 AC<CB)AB=40cm :BC-511B=5,x40=(205-20em 2 2 :4C=4B-BC=40-(205-20）-(60-205)cm, AC的长为(60-205)m 19.(1)证明：：四边形ABCD是正方形， .∠BAD=∠D=∠C=90°，AB=AD. M .AF⊥BE, .∠AMB=90°. ∴.∠ABE+∠BAF=∠DAF+∠BAF=90° .∠ABE=∠DAF, I∠BAD=∠D AB=DA 和 中， △BAE△ADF ∠ABE=∠DAF' △BAE≌△ADF(ASA) .AE=DF. (2)解：由(1)知AE=DF, DF=2,DE=6, AE=2,AD=AE+DE=8 .BC=CD=AD=8,CF=6, BF=CF2+BC2=10 ,∠BMF=90°，点N是BF的中点， .MN=5 20.(1)△ABC与△AB'C相似，理由如下： AB 8 1 AC 15 1 :B-162,AC302’ AB AC .ABAC, 又.∠A=∠A=40° .△ABCAAB'C': (2)△ABC与△AB'C'相似，理由如下： AB 10 5 BC 8 5 AC 16 5 :B=168,BC12.88,AC25.68’ AB BC AC ∴AB=BC=AC, ∴.△ABC∽△A'B'C'