第三章 2 探索三角形相似的条件-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

图形的相似 第三章 探索三角形相似的条件（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3,∠ADE=60°， 求线段AE的长。 【分析】先根据正三角形ABC的边长为9，BD=3,求出CD的长，然 60 后根据∠ADE=60°和△ABD的外角∠ADC的性质得到∠DAB=∠EDC,进 D 而得△ABD∽△DCE,再结合相似三角形对应边成比例求出AE的长。 例题图 【解答】·.△ABC是等边三角形，∴.∠B=∠C=60°，AB=BC。 ∴.CD=BC-BD=9-3=6,∠ADC=∠BAD+∠B。 .'∠ADC=∠ADE+∠EDC,∠ADE=60°，∴.∠DAB=∠EDC。又.∠B=∠C=60°， △MBD△DG小报80，即gG=2.4E=4C-CE9-2=7. 【点拔】解此类问题时要观察图形，找到相似的三角形，而正确利用等边三角形内角是 60°及三角形外角的性质得到∠DAB=∠EDC是得出相似的关键。 基础巩固)达标闯关 1.如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，点E与点B是对应点，∠C=80°， 当∠ADE= 时，△ADE△ACB。 2.如图，点D在△ABC的边BC上，连接AD,请你添加一个条件，使得△CAD∽△CBA。 你添加的条件是 。(只写出一个即可)》 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,对角线AC交BD于点O,则图中相似的三角形 是() A.△ABC∽△CDO B.△ABC∽△DCA C.△COD∽△BOA D.△BOC∽△DOA 4.如图，已知AB∥CD,AD与BC相交于点P,AB=4,CD=7,AD=10,则AP的长等 于() B.70 4 C.40 11 D.40 1 6 数学 九年级上册（北师大版） 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,若AD=1,BD=4,则CD= () A.2 B.4 C.V2 D.3 A D 第5题图 第6题图 6.如图，AB∥EF∥DC,AD∥BC,EF与AC交于点G,则图中相似三角形共有() A.3对 B.5对 C.6对 D.8对 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB,交BC于点E,AB=20,AC=12。求 BE的长。 D 第7题图 能力提升螂综合拓展 一卡多多多 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,点M在边AC上，BM与CD 交于点E,作MN⊥BM交AB于点N。判断△AMN与△CBE是否相似，并说明理由。 第8题图 9.如图，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交 于点G,连接CF。 (1)求证：△DAE≌△DCF。 (2)△ABG与△CFG是否相似？为什么？ 第9题图 ② 图形的相似 第三章 *1O.如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC,过点B作BM∥CD交AD于点M,连 接CM交DB于点N。 (1)请说明：BD2=ADCD。 (2)若CD=6,AD=8,求MN的长。 第10题图 中考链接©真题演练 卡B多多 11.(2024·重庆)如图，在△ABC中，延长AC至点D,使CD=CA,过点D作DE∥CB, 且DE=DC,连接AE交BC于点F。若∠CAB=∠CFA,CF=1,则BF= 第11题图 第12题图 第13题图 12.(2024·河南)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E为OC的中 点，EF∥AB交BC于点F。若AB=4,则EF的长为() A习 B.1 c D.2 13.(2025·河北)如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC,延长BA,BC,分别交直线DE 于点M,N。若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN,则这个条件是() A.∠B+∠4=180°B.CD∥AB C.∠1=∠4 D.∠2=∠3 14.(2025·滨州)如图，在△ABC中，∠BAC=108°，AB=AC。以点B为圆心，适当长 为半径画弧，分别交BA,BC于点E,F;以点A为圆心，BE的长为半径画弧，交AC于点 H,以点H为圆心，EF的长为半径画弧，两弧交于点G;连接AG并延长交BC于点D。 (1)求证：△ACD∽△BCA。 (2)当AB=4时，求BC的长。 B D 第14题图 6的 数学 九年级上册（北师大版） 探索三角形相似的条件（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，BD,CE是△ABC的两条高，请说明△ADE∽△ABC。 【分析】要说明△ADE∽△ABC,已知它们有一个公共角∠A,所 以只需找到另一组对应角相等或公共角的两边对应成比例。而通过高 的条件能得出∠ADB=∠AEC=90°，所以先得出△ADB∽△AEC,进而 例题图 得到AD=4B,再根据∠A为公共角得出△ADE∽△ABC。 AE AC' 【解答】BD,CE是△ABC的两条高，∴.∠ADB=∠AEC=90°。 ∠A=∠A,△ADB∽△AEC。.4D=4B。AD=AE ·AEAC°·AB=AC 又，∠A=∠A,.△ADE∽△ABC。 【点拨】当两个三角形中已有一个角对应相等时，要判定这两个三角形相似，一般先想 到找另一组对应角相等或看这个角的两边是否对应成比例，从而得到相似。 基础巩固)达标闯关 1.如图，DE与BC不平行，则当AB= AC 时，△ABC与△ADE相似。 2.如图，已知A(3,0),B(0,6),当点C的坐标为 时，△A0C B △BOA。 第1题图 3.如图，在四边形ABCD中，已知∠B=∠ACD,AB=6,BC=4,AC=5,CD=7.5,则AD= 第2题图 第3题图 第5题图 第6题图 4.在△ABC中，∠B=25°，AD是BC边上的高，并且AD=BD·DC,则∠BCA的度数为 0 5.如图，要使△ACD△ABC,需要补充的条件是() A品品 B.CD_BC C.CD2=AD.DB D.AC=AD.AB ADAC 6.如图，点P是正方形ABCD的边BC上一点，且BP=3PC,点Q是DC的中点，则 AQ:QP=() A.2:1 B.3:1 C.3:2 D.5:2 64 图形的相似 第三章 7.根据下列条件判断Rt△ABC和Rt△A'B'C'是否相似，其中∠C=∠C'=90°。 (1)AC=14 cm,BC=6 cm,A'C'=7 cm,B'C'=3 cm. (2)AB=V6 cm,AC=V3 cm,A'B'=V30 cm,A'C'=V15 cm 能力提升螂综合拓展 8.如图，在△ABC中，AB=AC,点E在边BC上移动（点E不与点B,C重合），满足 ∠DEF=∠B,且点D,F分别在边AB,AC上。 (1)请说明：△BDE∽△CEF。 (2)当点E移动到BC的中点时，请说明：FE平分∠DFC。 E 第8题图 9.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,AF平分∠DAC,分别交DC,BC的延长线于 点E,F。连接DF,过点A作AH∥DF,分别交BD,BF于点G,H,连接EG。 (1)求DE的长。 (2)请说明：∠1=∠DFC。 第9题图 6的 数学 九年级上册（北师大版） 10.【问题情境】如图1，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC,点F,G,H分别是 DE,DC和BC的中点，连接FG,FH。我们易得FH=V3FG。 若将【问题情境】中的△ABC和△ADE变为下列特殊三角形，其他条件不变，试猜想 FH和FG之间的数量关系，并说明理由。 (1)如图2，若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°。 (2)如图3，若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°。 图1 图2 图3 第10题图 中考链接©真题演练 11.(2024·滨州)如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC 上，添加一个条件使△ADE∽△ACB,则这个条件可以是 (写 出一种情况即可)。 0 12.(2024广州)如图，点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD 第11题图 上，BE=3,EC=6,CF=2。求证：△ABE∽△ECF。 第12题图 66 图形的相似 第三章 探索三角形相似的条件（第3课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF的顶点都在格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说 明理由。 【分析】首先由勾股定理和小正方形的边长为1，求出△ABC 例题图 和△DEF各边的长，进而得出AB=AC=BC,然后由三组对应边对应成比例判定△ABC和 DE DF EF △DEF相似。 【解答】△ABC和△DEF相似。理由：由勾股定理，得AB=2V5,AC=V5,BC=5, DE=4,DF=2,EF=2V5。 ..AB_2V5-V5 ACV5 BC5v5 DE 4 2’DF2EF2V52 提品路AABGADEF 【点拨】在有关网格三角形相似的问题中，常常需要利用网格的单位长度和勾股定理求 三角形的各边长。结合三条对应边成比例的方法来判断两个三角形是否相似。 基础巩固飞达标闯关 1.如图，两个三角形的关系是 (填“相似”或“不相似”)，理由是 6cm 7.5cm 6 cm 4 cm 9 cm 5 cm 第1题图 第2题图 2如图.折胎报则2c 3.一个三角形的三边之比为3：4：5，另一个三角形的最短边长为6，则另外两边长分 别为 时，这两个三角形相似。 4.在△ABC和△A'B'C中，AB=9cm,BC=8cm,CA=5cm,A'B'=4.5cm,B'C'=2.5cm, C'A'=4cm,则下列说法错误的是() A.△ABC与△A'BC相似 B.AB与B'A'是对应边 C.两个三角形的相似比是2：1 D.BC与B'C'是对应边 67 口数学 九年级上册（北师大版） 5.已知△ABC的三边长分别为6cm,7.5cm,9cm,△DEF的一边长为4cm,当 △DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似(） A.2 cm,3 cm B.4 cm,5 cm C.5 cm,6 cm D.6 cm,7 cm 6.如图，小正方形的边长均为1，则下列各图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的 是() ☑ 第6题图 B D 7.一个钢筋三脚架三边长分别为20cm,50cm,60cm,现要再做一个与其相似的钢筋 三脚架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截 下两段（允许有余料）作为另两边，写出所有不同的截法。 8.如图，点O是△ABC内一点，点D,E,F分别是OA,OB,OC边的中点，猜想 △ABC是否与△DEF相似，并说明理由。 第8题图 能力提升脚综合拓展 9.如图，在8×8的正方形网格中，△CAB和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的 顶点上，AC与网格上的直线相交于点M。 (1)填空：AC= ，AB= (2)求∠ACB的度数。 (3)判断△CAB和△DEF是否相似，并说明理由。 第9题图 68 图形的相似 第三章 *10.如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格 点上。 (1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由。 (2)点P,P,P3,P4,P,D,F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3 个点作为三角形的顶点，使其构成的三角形与△ABC相似（要求写出两个符合条件的三角 形，并在图中连接相应线段，不必说明理由)。 P 第10题图 山如图，在△ABC和△4gC中，点n.D分别是An,A上一点，最。 ()当GD=AC=AB时，△ABC∽△A'B"C的推理过程可以用下面的框图表示，请 C'D'A'C'A'B' 填写其中的空格。 AD_A'D' AD AB ABA'B' AD AB △ADC∽△A'D'C CD=AC=AB △ABC∽△A'B'C CD AC AB AC_AB ACAB (2)当品仁熙时，判断△ABC与A4gC是香相似.并说明理由。 第11题图 69 数学 九年级上册（北师大版） 探索三角形相似的条件（第4课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，点C是线段AB的黄金分割点，BCAC,点D,D七 E E分别是AC,BC的中点，那么点C是线段DE的黄金分割点吗？ 例题图 【分析】要判断点C是不是DE的黄金分点，判断CE是否等于CD即可。 DE CE I解答】：点D,E分别是AC,BC的中点，CD=)AC,CE=)BC。 DE-D+(E号4C+C-1B又点C是线段AB的黄企分别点，BC1C.6 AC BC Bc4BAC.0-nC-子BACB号4C-EGn.品-60 4 4 点C是线段DE的黄金分割点。 【点拔】判断线段上一点是不是黄金分割点，要直接根据定义来判定。 基础巩固飞达标闯关 1.点C是线段AB上一点(AC>BC),且满足AC=AB·BC,则点C是线段AB的 点。 2.已知线段AB=6cm,点C是AB的黄金分割点，且AC>BC,那么线段AC的长为 cm。 3.如图，在口ABCD中，点E是边BC的黄金分割点，且BE>CE,AE与BD相交于点 F,那么FD:BF的值为 0 4.已知顶角为36°的等腰三角形的底与腰之比为V5-1,如图所示的正五边形ABCDE 2 的对角线恰好围成一个“五角星”（阴影部分）。已知BE=2V5,则DE的长为 第3题图 第4题图 第5题图 5.如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB,若S1表示以PA为边的正方形 的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，那么S1与S2的关系为 70 图形的相似 第三章 6.在花艺造型中，黄金分割率被赞誉为最美的比例。如图，在竖向的 花艺作品中，花材的高AC、花器的高BC以及整体作品的高AB满足黄金 分制率，即BC=4C≈0.618。若要使花艺造型满足黄金分割率，且整体作 ACAB B 品高AB=50cm,则花器的高BC约为() 第6题图 A.19.1cm B.30.9cm C.11.8cm D.38.2cm 7.点P为线段AB的黄金分割点，且AP>BP,则下列结论中错误的是() A指B阳3yC那始 D.BP-AP AB 2 APAB AB BP 8.人体下半身长与身高的比值接近0.618时，给人一种美感。某女士身高165cm,下半 身长x与身高1的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为() A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm 9.如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，AP>PB,以点B为圆心，以AP长为半径 画弧；再以点P为圆心，以一定长为半径画弧，两弧交于点C,连接AC,P℃，BC。 (1)△BCP与△BAC相似吗？为什么？ (2)若PC=2,求AC的长。 第9题图 能力提升坤综合拓展 10.如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°。 (1)求证：①AB=AC;②AD=BD=BC。 (2)点D是线段AC的黄金分割点吗？为什么？ (3)AB=AC,D是边AC上一点，且BC=BD=AD,将具有△ABC这样特征的三角形称为 “黄金三角形”，在射线AB或AC上是否存在点P(点B,C除外)，使△PBD是“黄金三角 形”？若存在，在图中画出点P,并简要说明画出点P的方法（用尺规作图，不要求证明）： 若不存在，请说明理由。 第10题图 数学 九年级上册（北师大版） 11,若一个矩形的短边与长边的比值为V5-1(黄金分割数)，我们把这样的矩形叫作 2 黄金矩形。 (1)操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD(AB>AD)中，以短边AD为一条边作正 方形AEFD。 (2)探究：(1)中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请 说明理由。 (3)归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）。 第11题图 中考链接⊙真题演练 12.(2024山西)黄金分割是汉字结构最基本的规律。借助如图的正方形习字格书写的 汉字“晋”端庄稳重、舒展美观。已知一条分割线的端点A,B分别在习字格的边MW,PQ 上，且AB∥NP,“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且BC=V5-I。 AB 2 若NP-2cm,则BC的长为 cm(结果保留根号)。 E B 第12题图 第13题图 第14题图 13.(2023·绵阳)黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中 有一种拍摄手法叫黄金构图法。其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E,以 E为圆心，线段DE长为半径作弧，其与底边BC的延长线交于点F,这样就把正方形ABCD 延伸为矩形ABFG,称其为黄金矩形。若CF=4a,则AB=() A.(V5-1)aB.(2V5-2)aC.(V5+1)a D.(2V5+2)a 14.(2024·南充)如图，已知线段AB,按以下步骤作图：①过点B作BCLAB,使BC )AB,连接AC:②以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交AC于点D,③以点A为圆心， 以AD长为半径画弧，交AB于点E。若AE=mAB,则m的值为（) A.V5-1 B.V5-2 c.5-1 D.V5-2 2 2 72参考答案与提示 V5)。.S矩形ABQ=A BXBC=-4×2(1+V5)=8+8V5。 2探索三角形相似的条件（第1课时） 12.解：·.·四边形ABCD是矩形，..∠ADC=90° 1.80°2.∠CAD=∠B(答案不唯一)3.D .AC=VAD+CD=V2+平=V5。 4.A5.A6.C ·矩形ABCD∽矩形ABCC∽矩形AB,CC1∽· 7.解：在Rt△ABC中，AB=20,AC=12,由勾股 矩形AB.C,C,46=4C=4C==AC=V5 定理，得BC=16。DE垂直平分AB,AD=BD=10。 AD ACAC 2 :∠C=LBDE=90°，∠B=∠B,∴△ABC∽△EBD。 Cg-CC=CC==C-C=V5。 CD CC C C2 CC 2 品品小品88E125, 4C=V5,4G=5V5,AG=5 8.解：相似。理由：，∠ACB=90°，CD⊥AB,∴. 2 ∠BCD+∠ACD=90°，∠A+∠ACD=90°。.∠BCD=∠A。 (V5)C.5 :∠ACB=90°，MW⊥BM,∴.∠CBE+∠BMC=90°， 2 2m-2 ∠AMN+∠BMC=90°。.∠CBE=∠AMN。.△AMWN cG-V5.cc.v5.v5.cc.V. △CBE 2 9.(1)证明：：四边形ABCD是正方形，△EDF 5Y,,CC=5.5P 22 2 21 是等腰直角三角形，：AD=CD,DE=DF,∠ADC= 矩形AB.CCn的周长=24Cn+CC)=3xY5Y ∠EDF=90°。.∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF。 2, ∠ADE=∠CDF。∴.△ADE≌△CDF(SAS)。(2)解： 矩形AB,C.C.1的面积=4CCC,=5 相似。理由：△EDF是等腰直角三角形，∠E= ∠DFE=45°，又由(1)知∠CFD=∠E=45°，∴.∠EFC V5四.5.V5-5产-5" ∠DFE+∠CFD=90°。.'∠B=90°，.∴.∠B=∠EFC。又. 2 2 2- 22 =220 ∠AGB=∠CGF,.·.△ABG∽△CFG。 13.414.C15.D 10.解：(I)DB平分∠ADC,.∠ADB=∠CDB。 16.解：由题意，得AB=(1.2+c+d)m,AD=(0.8+ a+b)m,a=b,c=d,c=2a,.AB=(1.2+c+d)m= 叉：LABD=∠BCD=90,△ABD△BCD。4D= BD (1.2+4a)m,AD=(0.8+a+b)m=(0.8+2a)m。.AB与 。BD°=AD:CD。 BD (2)BM∥CD,.∠MBD= AD的比是16：10，∴.(1.2+4a):(0.8+2a)=16:10。∴.a= 0.1。.b=0.1,c=d=0.2。答：上、下、左、右边衬的宽 ∠BDC。.∠ADB=∠MBD,且∠ABD=90°。：BM=MD, 度分别是0.1m,0.1m,0.2m,0.2m。 ∠MAB=∠MBA。∴.BM=MD=AM=4。BD2=AD·CD, 1相似多边形（第2课时）】 CD=6,AD=8,.BD=48。∴.BC=BD2-CD=12。MC= 1号2.背32或-14号5B6C MB+BC=28。.MC=2V7。∠MBD=∠BDC,∠BNM= 7.D8.D ∠cD,△aMB△GD,8别--子，即 9.解：()令a=3k,b=5k,c=7k,则3x5-23k 号n子号7 MN 2 7k 号 (2)由(1)和△ABC的周长为30，可得a+ 11.312.B13.D 14.(1)证明：由作图得∠CAD=∠B,又：∠C= b+c=3k+5k+7k=30,解得k=2。.'.a=3h=6,b=5k=10,c= ∠C,.△ACD△BCA。(2)解：AB=AC, 7k=14 ∠B=∠C。∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=108°， 10.解：(1)4D=AE, DRAD+DB-AE+EC DB EC .2∠C+108°=180°。∴∠B=∠C=36°。.∠CAD=∠B= :AB=AC。BD-EC 36°。∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=72°，∠BDA=∠C+ BD=EC。ABAC。 (2)AD=4。 ∠CAD=72°。∴.∠BAD=∠BDA。.DB=AB=AC=4 11.解：A5=AM=AC,AB+4C-AB+AC BE=MECE,…BE+CE BC Dc-Bc-4。aAD△B0A。-。c -0.1B48C1C-4E-E BC ME ME DC=AC,即BC(BC-4)=16。解得BC=2+2V5或BC= 219 数学 九年级上册（北师大版） 2-2V5(不符合题意，舍去)。∴BC的长是2+2V5。 直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，F,H分别是 2探索三角形相似的条件（第2课时） DE,BC的中点，AH⊥BC,AF⊥DE,AH=CH= 1.62o,2)3.空 4.65°或1159 BC,AF=EF=DE。LCH=∠EF=45°。 2 5.D6.A ∠HAF=LEAC, AH-AF=Y2。△AHF∽△ACE。 AC AE 2 7.解：(1)相似。LC=∠C=90,CBC AC_BC H-4H=Y)2。CE=V2FH。点F,G分别是 CE AC 2 =2,∴.△ABC∽△A'BC。(2)相似。在Rt△ABC和 DE,DC的中点，.CE=2FG。.FH=V2FG。 Rt△A'B'C中，由勾股定理，得BC=VAB-A区= V6-3=V3,B'C'=VA'B-A'C7=V30-15=V15。 4c=2C-w.瓷g器有a8c △A'B'C'。 H 8.解：(1)AB=AC,∠B=∠C。∠BDE=180° 图2 -∠B-∠DEB,∠CEF=18O°-∠DEF-∠DEB,∠DEF= 第10题答图 ∠B,∠BDE=∠CEF。.△BDE∽△CEF。 (2) (2)FH=FG。理由：如图2，连接AH,CE,AF, △B0E∽△CER,8=-器。：点E是BC的中点， :△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE BE=CE。CE=DE F=EF。∠DEF∠B=∠C,.△DEF 120°，.∴.∠AED=∠ADE=∠ACB=∠B=30°。.·点F,H 分别是DE,BC的中点，.AH⊥BC,AF⊥DE, △ECF。.∠DFE=∠CFE。..FE平分∠DFC。 9.解：(1)四边形ABCD是矩形，∠ADE= CAH=∠EAF=1x120°=60。∴LHAF=∠EAC,A 2 ∠BCE=90°，AD=BC,AD∥CF。∴.∠DAF=∠AFC -分AMa4cE,80-是-30E =AF-1 .AF平分∠DAC..∠DAF=∠CAF。..∠FAC=∠AFC 2FH。点F,G分别是DE,DC的中点，.CE=2FG。 AC=CF。AB=4,BC=3,∴AC=VAB+BC=V3+4= .FH=FG 5。.CF=5。∠FAD=∠AFC,∠ADE=∠FCE, △1Da。六2路-是-号g,即 .DE 1I,∠AED=∠C(或∠ADE=∠C或AD=AE或 AC AB AEAD %-景华会=号 ,答案不唯一) (2)AD∥FH, AC AB 12.证明：.BE=3,EC=6,BC=BE+EC=3+6=9。 AH∥DF,.四边形ADFH是平行四边形。.AD=FH= :四边形ABCD是正方形，AB=BC=9,∠B=∠C= 3。.CH=2,BH=5。AD∥BH,.∠DAG=∠BHG, ∠ADG=∠GBH。.△ADG△HBG。.DC=AD=3 0w。是-名子2，器-提器 BG BH 5 .△ABE∽△ECF。 BD=80 5 8。DG=15 DGc=g,即PG=3·DG-3 2探索三角形相似的条件（第3课时） nE=},8器-品=号又：∠BDc=∠DB 1.相似三边成比例的两个三角形相似2.∠E 3.8,104.D5.C6.A △EDG∽△CDB。.∠DGE=∠CBD。'.EG∥BC。.∠l= 7.解：共有两种截法。第一种：从50cm的钢筋 ∠AHC。又DF∥AH,.∠AHC=∠DFC。.∠1= 截下10cm和25cm钢筋，则这两根钢筋与30cm钢 ∠DFC 10.解：(1）FH= 筋可组成三胸架。沿碧号子。这个三脚架与 V2FG。理由：如图1， 原有的三脚架是相似的。第二种：从50cm的钢筋截 连接AH,CE,AF, 下12cm和36cm钢筋，则这两根钢筋与30cm钢筋 H △ABC和△ADE都是等腰 图1 可组成三脚架。沿忍号号，：这个三脚架与原 229 参考答案与提示 有的三脚架是相似的。 8.解：△ABC△DEF。理由：D,E,F分别是 OA,OB,OC的中点，.DE是△OAB的中位线，EF 是△OBC的中位线，DF是△OAC的中位线。DE= 号4B,FC.m4C。e-器-恶-分 第11题答图 .△ABC∽△DEF。 2探索三角形相似的条件（第4课时） 9.解：(1)2V52V10(2)BC=V4+22= 1.黄金分割2.(3V5-3)3.V5+14.5- 2V5。又由(1)知，AC=2V5,AB=2V10, 2 :AC2+BC=AB2=40。.∠ACB=90°。(3)△CAB和 V55.S=S6.A7.D8.C △DEF相似。理由：：DE=DF=T+2=V5,EF= 9.解：(1)相似。理由：点P是线段AB的黄 Vg-Vo,…品-8器=品-2.△c4B 金分剂点.A少B,沿得。由作图得6C=AP △DEF AB=BC。又∠PBC=LCBA,∴△BCP△BAC. BC PB 10.解：(1)△ABC△DEF。理由：AB= (2)点P是线段AB的黄金分割点，AP>PB,AP= V4+2=2V5,AC=VP+2=V5,BC=V4+3=-5, DE=V4+4=4V2,DF=V2+22=2V2,EF=V6+2 1A,即张-1。Bc4%- 2 2 vo.提得胎将器 Y5⊥。△BCP∽△BAC,.PC-BC=V-⊥。 LACAB 2 得提-0-器。A4BcEr 4C=2x2-=V5+1。 V5-1 (2)答案不唯一，下面三角形中的任意两个均可： 10.(1)证明：①：∠A=36°，∠C=72°，.∠ABC △DPP,△PPF,△DPPA,△PPD,△PPP,△FDP =180°-36°-72°=72°。.∠C=∠ABC。.∴AB=AC。② 1解：)00 ∠A=∠A' ∠ADB=108°，.∠ABD=180°-36°-108°=36°。.∠A= ∠ABD。.AD=BD。∠BDC=180°-∠ADB=180°-108= (2)△ABC∽△A'BC'。如图，过点D,D分别作： 72°。.∠BDC=∠C。BD=BC。AD=BD=BC。(2) DE∥BC,D'E∥B'C,DE交AC于点E,D'E'交A'C 解：点D是线段AC的黄金分割点。理由：∠DBC= 于点E。 ∠ABC-∠ABD=36°，∴.∠DBC=∠A。又∠C=∠C, DE∥BC,.∠ADE=∠B,∠AED=∠ACB, △ADE∽△ABC。“ABBC=AC9 AD DE AE △B0C△1BC。%-0。由I)知，AD-C, 同理，得4'D=D'E'-4'E 把品。·点D是线段AC的黄金分制点。 AD CD (3) 滑器将。船招 解：存在，有三个符合条件的点P,P,P。如图，以 DE D'E'DE BC BC=B"C。DE-BCo BD为底边的黄金三角形是作BD的垂直平分线分别交 射线AC,AB于点P,P2；以BD为腰的黄金三角形是 同理，得4g=4E,:4CAE_4'CAE,即 ACA'CT, AC A'C 以点B为圆心，BD为半径作弧交射线AB于点P。 %器。%光品光%， EC E'C'EC AC 0--E。△E△DcR.2cED- ∠C'ED'。.DE∥BC,.∠CED+∠ACB=180°。同理， CED'+∠A'CB'=I80P,LACB=LA'CB'。AC CB,△ABC△A'BC。 C 第10题答图 221 数学 九年级上册（北师大版） 11.解：(1)以A为圆心，在AB上截取AE= AD,以D为圆心，在DC上截取DF=AD。连接EF, 0c-c.2品-Bc6c- (2)解：如图，过 四边形AEFD为所求作的正方形。作图略。(2)四 点D作DH/BE交AC于点，8肥子，M/BE, 边形EBCF是黄金矩形。证明：，四边形AEFD是正 方形，.∠AEF=90°。.∠BEF=90°。：四边形ABCD是 盟-0。CH=4。品产，0H/E, 矩形，.∠B=∠C=90°。.∠BEF=∠B=∠C=90°。.四 AEAF 3HE 3 边形EBCF是矩形。设CD=m,ADb,则有b=VF⊥ 能品.小瓷4E高 2 2 器=哈号1。矩形m0F是黄金矩 2 形。(3)归纳：在黄金矩形内以短边为边作一个正方 形后，所得到的另外一个四边形是黄金矩形。 12.(V5-1)13.D14.A D 3相似三角形判定定理的证明（第1课时） 第11题答图 1.122.83.44.25.C6D7.C 5 12.313.D 5 &正明：直线DN/Aw.拾-器·长 3相似三角形判定定理的证明（第2课时） 。在△ABC中，AM是BC边上的中线，MB 1.52V33.号或号4A5C6B 31 MC。4DAE AB AC 7证明：1B-2,BD4,BC-8,小品子-7 9.解：DE∥BC,EF∥AB,.四边形DBFE是平 行四边形。EF=BD,DE=BF,AE=AD=BF。AE 品-专-号：m平分LABC.∠ABD=∠0B0. EC BDFC。· AC △ABD∽△DBC 0既M6-20,装-号-0-5。BF6 8.证明：AB=AC-BC ADAE=DE,·△ABC△ADE. AD=4。BD=AB-AD=2。.四边形BDEF的周长= 2(BD+BF)=2x(2+6)=16。 2Ei0-∠C1B,∠E1C=∠B,48-, 10.(1)证明：过点C作CE∥DA,交BA的延长 △MBc△1D.40-0.aB-EC-AiC-BD 线于点E,∴.∠1=∠E,∠2=∠ACE。AD平分∠BAC, .∠1=∠2。.∠E=∠ACE。AE=AC。CE∥DA,. 9E明：1)0G-6B~6m,伦-%。又 A报-0投80.2)解：在△1Bc中. ∠CGD=∠EGC,∴.△GCD∽△GEC。.∴.∠GDC=∠GCE .AB∥CD,..∠ABD=∠BDC。..∠ACF=∠ABD。 AB=6,BC=8,∠ABC=90°，由勾股定理，得AC= (2)∠ABD=∠ACF,∠BGF=∠CGE,.△BGFn VAB+BC=V8+6=10。:AD平分∠BAC,且由(1) 得报部。品品品号设m=,C △CGE。品-%.又ZPGR=∠BGC.AFGE 5a,BC=BD4CD=8a=8。.a=1。.BD=3a=3。在Rt△ABD △BcC,既-器。R0-G-B 中，由勾股定理，得AD=VAB+BD=V6+3=3V5。 10.(1)证明：：四边形ABCD是菱形，AD∥ .AB+BD+4D=6+3+3V5。.△ABD的周长为9+3V5。 BC,即AD∥BF。.∠DAE=∠F。由对称性得∠DAE= 11.(1)证明：DG∥BE,点D是BC中点， ∠DCE。.∴.∠DCE=∠F。.·∠FEC=∠CEG,∴.△FEC∽ GD-BD。品路l。G=EG。F是AD中点. CE EF △CEG。Ee-CE。CE=EFBG。 （2)解：. AF=DF。DG∥BE,4E=4E=1。AE=EG。AE= △FEC∽△CEG, EG FD 瓷3。%瓷-3，设0-