第五章二次函数单元复习2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版数学九年级上册第五章二次函数单元复习卷，通过选择、填空、解答题（含3层次解答题）全面覆盖二次函数核心知识，结合世界杯足球轨迹、跳长绳方案等现实情境，适配单元复习，培养抽象能力、模型意识与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义、对称轴、图像与系数关系|基础概念辨析，如第1题二次函数定义判断| |填空题|5/15|解析式确定、最值、几何应用|开放型设计，如第11题自编满足条件的二次函数| |解答题|8/75|待定系数法、实际问题建模（水火箭、足球轨迹）、综合探究（平衡点、跳长绳方案）|情境化与综合性强，如22题世界杯足球轨迹考查二次函数应用，23题跳长绳方案体现数学建模与数据分析|

· 第五章 二次函数�单元复习 · 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．在下列关于的函数中，一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．直线的抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．若二次函数的图象过点则a的值为（    ） A． B．1 C． D．2 4．如图是抛物线的示意图，则的值可以是（　　）    A．2 B．0 C． D． 5．若二次函数在时取得最值，则k的值为（   ） A． B．3 C．4 D． 6．若是关于的二次函数，则的值为(　　) A． B． C．或 D．或 7．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   9．如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当拱顶离水面时，水面的宽度为（    ） A． B． C． D． 10．抛物线（a，b，c为常数，且）经过点和，且，当时，y随着x的增大而减小．下列结论：①；②若点，点都在抛物线上，则；③；④若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的序号为（     ） A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④ 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．请你写出一个同时满足下列两个条件：①对称轴是直线，②与y轴的交点为的二次函数的解析式为_________________ 12．已知是关于的二次函数，那么________． 13．长方形的周长为，其中一边，面积为，那么与的关系是________． 14．已知抛物线上有三点，且，则的取值范围是_______． 15．如下图抛物线的图象交轴于和点，交轴负半轴于点，且．下列结论：①；②；③；④其中正确的序号有________． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．已知抛物线经过，两点，求这条抛物线的解析式． 17．如图，抛物线分别经过点，，．求抛物线的函数解析式． 18．如图，抛物线经过点．    (1)求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，的取值范围是___________． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数图象的顶点坐标； (2)已知平面内一点，将点向左平移2个单位长度，平移后的对应点在这个二次函数图象上，试求的值． 20．在学校科技节中，某科学兴趣小组进行了水火箭发射展示，如图所示，发射点离地面的距离米，火箭在离发射点水平距离为48米时达到最高处，此时离地面24.5米，最后火箭落在地面上的点处．火箭飞行的过程可以看作是一条抛物线．现以为原点，所在的水平线为轴建立平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的解析式（不要求写出的取值范围）； (2)求火箭落地点到发射点的水平距离． 21．对于平面直角坐标系中的点，若x，y满足，则点就称为“平衡点”．例如：，因为，所以是“平衡点”． (1)下列是平衡点的是______；(填序号) ①，      ②         ③      ④ (2)已知一次函数 (k为常数)图像上有一个“平衡点”的坐标是，求出一次函数 (k为常数)图像上另一个“平衡点”的坐标； (3)已知二次函数的图像上有且仅有两个“平衡点”，请直接写出a的取值范围． 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分） 22．2026年美加墨世界杯开幕式于当地时间6月11日在墨西哥墨西哥城体育场（原阿兹特克体育场）举行．在小组赛中，阿根廷队中场德保罗送出过顶长传，足球飞行轨迹近似为二次函数抛物线．以德保罗传球时的站立位置为坐标原点，水平前进方向为x轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知： ①传球瞬间，足球高度为1米，即坐标为：； ②足球飞行水平距离20米时，达到最高点，高度为5米； ③前锋梅西在禁区内准备接球攻门，球门范围：水平距离传球点，球门高度． (1)求足球飞行轨迹对应的二次函数表达式； (2)若梅西头球攻门时，头部触球高度为2米，求足球从德保罗传球点水平飞行到梅西头部触球位置的距离是多少米？（结果保留根号） (3)若梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，计算判断足球在水平距离的范围内，能否飞入球门？ 23．根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班需要报名跳绳同学8名，左右摇绳员各1名； （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1．    素材2：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图2； （2）8名跳绳同学身高如表． 身高（） 1.60 1.70 1.75 人数 2 4 2        素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现： 当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的．    问题解决 任务1：确定长绳形状．如图4，以长绳触地点为原点建立直角坐标系，求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的表达式． 任务2：制定排列方案．以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距．请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最外侧的同学． 任务3：确定安全距离，身高为的体育老师也想参与跳绳活动，当体育老师跳进大绳时，屈膝落地，若要保证跳绳正常进行（绳子超过头顶）体育老师与左侧摇绳员的水平距离应满足的范围是____________． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共6页 ◎ 第4页 共6页 第1页 共6页 ◎ 第2页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B A C C B D B B 1．C 【分析】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的定义，从而完成求解．根据二次函数的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】解∶A．当时，不是二次函数，故不符题意； B． 不是二次函数，故不符题意； C． 是二次函数，故符符合题意； D．不是二次函数，故不符题意； 故选∶C． 2．A 【分析】根据对称轴公式，可得答案． 本题考查了对称轴公式的应用，关键找到抛物线中a和b的值，再进行代入求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线． 故选：A． 3．B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据待定系数法，可得函数解析式． 【详解】解：将代入函数解析式，得：， 解得：． 故选：B． 4．A 【分析】由图象可知抛物线的开口向上，得出二次项系数大于0，即可得出答案． 【详解】解：抛物线的靠口向上， 二次项系数大于0， 只有A选项符合题意， 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，关键是要牢记二次项系数与图象开口的关系． 5．C 【分析】本题考查了二次函数的性质，解决本题的关键是掌握二次函数的性质． 对于二次函数，其取得最值的的横坐标为，据此解答即可． 【详解】解：∵在中，， 又∵二次函数在时取得最值， ∴根据顶点坐标公式， 解得， 故选C． 6．C 【分析】根据 是不为的常数是二次函数，可得答案． 【详解】解：若是关于的二次函数，则且．， 解得：或． 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于列式计算即可得解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴， 故选：B． 8．D 【分析】本题主要考查了一次函数以及二次函数的图象综合判断，正确确定，的符号是解题关键．直接利用一次函数图象经过的象限得出，的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案． 【详解】解：一次函数的图象经过一、三、四象限， ，， ， 二次函数的图象开口方向向上，图象经过原点，对称轴在轴右侧， 故选：D． 9．B 【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入函数解析式求解即可得出答案，掌握二次函数中、的实际意义是解题的关键． 【详解】解：将代入得：， 解得：或， ∴水面的宽度为：（）， 故选：B． 10．B 【分析】根据二次函数的增减性判断开口方向，结合交点坐标得到对称轴范围，进而判断各系数符号，再利用二次函数的对称性、函数值性质和一元二次方程根的判别式逐个验证结论． 【详解】解：∵抛物线经过点和，且，当时，y随x增大而减小， ∴抛物线开口向上，即，对称轴为， ∵， ∴， ∴， ∴对称轴在y轴右侧，即对称轴为直线， ∴， 又∵抛物线开口向上， ∴抛物线交y轴于负半轴，即时，． 对于结论① ：∵，，， ∴，故①正确； 对于结论② ：∵抛物线的对称轴为，， ∴点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∵， ∴， ∵抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大， ∴，故②错误； 对于结论③ ：∵抛物线过点， ∴，即：， ∵抛物线的对称轴为，， ∴ ∵， ∴，即， ∴， 整理得，故③错误； 对于结论④ ：∵抛物线（）经过点和， ∴， ∴方程可化为， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴判别式， 整理得，故④正确； 综上，正确结论为①④，故选B． 11．（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的性质，只有熟知二次函数的性质才能正确的利用已知条件写出正确的解析式．首先根据对称轴为直线得到抛物线为，然后根据与轴的交点坐标求得解析式即可． 【详解】解：对称轴是直线， 抛物线可以是， 与轴的交点为， 符合条件的解析式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 12．2 【分析】利用二次函数定义可得：，且，再解出的值即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数的定义． 13．/ 【分析】本题主要考查了二次函数解析式，解题关键是利用长方形的面积公式求得答案． 根据长方形的面积公式即可获得y与x的关系式． 【详解】解：长方形的周长为，其中一边， 另一边长为， ， 故答案为：． 14．或 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由，从而抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，又抛物线过，可得对称轴是直线，又，且抛物线过，故，再分类讨论判断即可得解． 【详解】解：由题意，∵， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大． 又∵抛物线过， ∴对称轴是直线． 又∵，且抛物线过， ∴． ∴． ①当时，， ∴； ②当时，， ∴； ③当时，， ∴无解； 综上所述，或． 故答案为：或． 15．①②③ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的联系，求出抛物线与y轴的交点C坐标，即可求出B坐标，从而得出和为一元二次方程的两根，由根与系数的关系建立等式可判断②③；由，代入抛物线的解析式即可判断①；由，即可判断④． 【详解】解：观察图象可知， ∴，故④错误； 令，得， ∵，则点B坐标为， 故和为一元二次方程的两根， 由根与系数的关系可得， 解第二个等式可得：，故②正确； 把代入第一个等式得：, 移项得：，故①正确； 把B坐标代入函数中得：， ∴，即， 故③正确； 正确的有①②③． 故答案为：①②③． 16． 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，将，代入函数解析式中求出、即可求解． 【详解】解：抛物线经过，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式是． 17．/ 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 设交点式，然后把C点坐标代入求a即可； 【详解】解：抛物线经过点，， 设抛物线的解析式为：， 代入得：， 解得：， 抛物线的解析式：． 18．(1)， (2) 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的顶点式，根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的顶点式，根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围是解题的关键． （1）把代入，可求，则，进而可求顶点坐标； （2）由，可知抛物线开口向下，有最大值，当时，，当时，，进而可求y的取值范围． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， ∵当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 19．(1) (2)2 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数的解析式、坐标的平移，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，再将解析式化为顶点式即可得解； （2）求出将向左平移2个单位长度得，再代入二次函数的解析式计算即可得解． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， ； 函数解析式为：， 顶点坐标为； （2）解： 将向左平移2个单位长度得， 把代入得， ． 20．(1)； (2)火箭落地点到发射点的水平距离为米． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意、利用待定系数法求得抛物线解析式是解决问题的关键． （1）由题意得：，顶点坐标，设抛物线的解析式为，将代入抛物线解析式求得a的值即可； （2）将代入（1）的解析式求得x，并取符合题意x的值即可确定点B的坐标． 【详解】（1）解：由题意得：，顶点坐标， 设抛物线的解析式为， 将代入抛物线解析式可得， 解得：． 所以抛物线的解析式为； （2）解：将代入可得：， 解得：（负值不符合题意舍去）， ∴火箭落地点到发射点的水平距离为米． 21．(1)①④ (2)另一个平衡点为 (3)或 【分析】本题主要考查了定义新运算，求一次函数关系式，二次函数与一元二次方程， 对于（1），根据平衡点的定义逐个判断即可； 对于（2），将点代入关系式，求出k，再根据平衡点的定义得出方程，求出解即可； 对于（3），根据平衡点的定义得，再分两种情况求出解即可. 【详解】（1）解：点，因为，所以点是“平衡点”； 点，因为，所以点不是“平衡点”； 点，因为，所以点不是“平衡点”； 点，因为，所以点是“平衡点”． 故答案为：①④； （2）解：将点代入关系式， 得， 解得， ∴一次函数的关系式为. ∵一次函数的图象上有另一个“平衡点”， ∴， 即或， 解得或， 则， 所以另一个“平衡点”的坐标是； （3）解：或． ∵二次函数的图象上有且仅有两个“平衡点”， ∴， ∴或， 即或 当，且时， 解得； 当，且时， 解得． 所以a的取值范围是或． 22．(1) (2)足球从传球点水平飞行到头部触球的距离是米． (3)能 【分析】（1）由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为，代入即可求解； （2）令，代入表达式求解，再根据题意确定取值即可得结论． （3）分别计算，的函数值，进一步判断即可． 【详解】（1）解：由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为， 把代入得，， 解得， ∴足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为． （2）解：令，则， 解得，， 根据图象，头球点在最高点右侧，即，舍去， ∴足球从传球点水平飞行到头触球的距离是米． （3）解：当时，则， 当时，则， ∴梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，足球在水平距离的范围内，能飞入球门． 23．任务1：；任务2：绳子在最高点时，长绳不会触碰到最外侧的同学；任务3： 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，掌握相关知识是解题的关键． 任务1：按照题意建立的平面直角坐标系，易得抛物线的对称轴为轴，与轴交于点，并且经过点，设出相应的函数解析式，进而把点代入即可求得长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式； 任务2：8个同学，按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距，易得最外侧同学所在的横坐标，代入（1）中得到的解析式，可得最外侧同学所在的地方抛物线的高度，计算出最外侧同学屈膝后的身高，与抛物线的高度比较即可判断绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最外侧的同学； 任务3：由题意得身高为的体育老师屈膝落地时高度为，代入抛物线解析式可得对应的横坐标，即可求得体育老师与左侧摇绳员的水平距离应满足的范围． 【详解】解：任务1：由题意设抛物线的表达式为， 把代入得，， 解得， ∴抛物线的表达式为． 任务2：由题意得，最外侧的同学距中心， 当时，， ∵， ∴绳子在最高点时，长绳不会触碰到最外侧的同学． 任务3：∵， 当时，则， 解得， ∴体育老师与左侧摇绳员的水平距离应满足的范围是． 故答案为：． 答案第6页，共13页 答案第5页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $