第五章二次函数单元复习2026-2027学年北师大版数学九年级上册

• 第五章 二次函数�单元复习
• 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．在下列关于的函数中，一定是二次函数的是（    ）

A． B． C． D．

2．直线的抛物线的对称轴是（    ）

A．直线 B．直线 C．直线 D．直线

3．若二次函数的图象过点则a的值为（    ）

A． B．1 C． D．2

4．如图是抛物线的示意图，则的值可以是（　　）

  

A．2 B．0 C． D．

5．若二次函数在时取得最值，则k的值为（   ）

A． B．3 C．4 D．

6．若是关于的二次函数，则的值为(　　)

A． B． C．或 D．或

7．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

8．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（    ）

  

A．   B．  

C．   D．  

9．如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当拱顶离水面时，水面的宽度为（    ）

A． B． C． D．

10．抛物线（a，b，c为常数，且）经过点和，且，当时，y随着x的增大而减小．下列结论：①；②若点，点都在抛物线上，则；③；④若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的序号为（     ）

A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④

二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11．请你写出一个同时满足下列两个条件：①对称轴是直线，②与y轴的交点为的二次函数的解析式为_________________

12．已知是关于的二次函数，那么________．

13．长方形的周长为，其中一边，面积为，那么与的关系是

________．

14．已知抛物线上有三点，且，则的取值范围是_______．

15．如下图抛物线的图象交轴于和点，交轴负半轴于点，且．下列结论：①；②；③；④其中正确的序号有________．

三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）

16．已知抛物线经过，两点，求这条抛物线的解析式．

17．如图，抛物线分别经过点，，．求抛物线的函数解析式．

18．如图，抛物线经过点．

  

(1)求的值，并求出此抛物线的顶点坐标；

(2)当时，的取值范围是___________．

四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）

19．平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点．

(1)求该二次函数图象的顶点坐标；

(2)已知平面内一点，将点向左平移2个单位长度，平移后的对应点在这个二次函数图象上，试求的值．

20．在学校科技节中，某科学兴趣小组进行了水火箭发射展示，如图所示，发射点离地面的距离米，火箭在离发射点水平距离为48米时达到最高处，此时离地面24.5米，最后火箭落在地面上的点处．火箭飞行的过程可以看作是一条抛物线．现以为原点，所在的水平线为轴建立平面直角坐标系．

(1)求这条抛物线的解析式（不要求写出的取值范围）；

(2)求火箭落地点到发射点的水平距离．

21．对于平面直角坐标系中的点，若x，y满足，则点就称为“平衡点”．例如：，因为，所以是“平衡点”．

(1)下列是平衡点的是______；(填序号)

①，      ②         ③      ④

(2)已知一次函数 (k为常数)图像上有一个“平衡点”的坐标是，求出一次函数 (k为常数)图像上另一个“平衡点”的坐标；

(3)已知二次函数的图像上有且仅有两个“平衡点”，请直接写出a的取值范围．

五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分）

22．2026年美加墨世界杯开幕式于当地时间6月11日在墨西哥墨西哥城体育场（原阿兹特克体育场）举行．在小组赛中，阿根廷队中场德保罗送出过顶长传，足球飞行轨迹近似为二次函数抛物线．以德保罗传球时的站立位置为坐标原点，水平前进方向为x轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知：

①传球瞬间，足球高度为1米，即坐标为：；

②足球飞行水平距离20米时，达到最高点，高度为5米；

③前锋梅西在禁区内准备接球攻门，球门范围：水平距离传球点，球门高度．

(1)求足球飞行轨迹对应的二次函数表达式；

(2)若梅西头球攻门时，头部触球高度为2米，求足球从德保罗传球点水平飞行到梅西头部触球位置的距离是多少米？（结果保留根号）

(3)若梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，计算判断足球在水平距离的范围内，能否飞入球门？

23．根据以下素材，探索完成任务．

设计跳长绳方案
素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班需要报名跳绳同学8名，左右摇绳员各1名； （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1．
素材2：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图2； （2）8名跳绳同学身高如表． 身高（） 1.60 1.70 1.75 人数 2 4 2
素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现： 当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的．
问题解决
任务1：确定长绳形状．如图4，以长绳触地点为原点建立直角坐标系，求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的表达式．
任务2：制定排列方案．以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距．请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最外侧的同学．
任务3：确定安全距离，身高为的体育老师也想参与跳绳活动，当体育老师跳进大绳时，屈膝落地，若要保证跳绳正常进行（绳子超过头顶）体育老师与左侧摇绳员的水平距离应满足的范围是____________．