第五章 二次函数 单元测试--2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册第五章二次函数单元测试卷，90分钟100分，全面覆盖二次函数图像、性质、平移、应用等核心知识，适配单元复习，注重数学思维与应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|图像上点的坐标比较、平移、图像与系数关系|结合图像分析，考查推理意识与几何直观| |填空题|5/20|方程解、函数值比较、与坐标轴交点|通过表格数据设问，培养抽象能力与符号意识| |解答题|5/50|图像绘制、解析式求解、利润问题、平移变换、几何综合|18题利润问题体现模型意识，20题几何综合考查创新意识与推理能力，符合中考命题趋势|

暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 第五章 二次函数 单元测试 注意事项： 1．测试范围：北师大版（2024）九年级上册第五章。 2．考试时间：90分钟 试卷满分：100分。 第Ⅰ卷 选择题 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设是抛物线上的三点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向下的抛物线的性质，点离对称轴越远，对应的函数值越小，比较三点到对称轴的距离即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线中，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线． ∴到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， 又∵开口向下的抛物线，点到对称轴的距离越大，函数值越小， 且， ∴． 2．将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的规律即可求得答案． 【详解】解：将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是． 3．已知二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题干分析出、、的符号，再判断各选项即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于负半轴， ∴， ∴，故A错误； 对于B与D，由已知条件无法判断代数式的符号； ∵，， ∴，故C正确． 4．已知二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：A、抛物线开口方向向下，则；对称轴位于轴的右侧，则、异号，即，故本选项不符合题意； B、抛物线与轴交于正半轴，则，故本选项不符合题意； C、当时，，即，故本选项不符合题意； D、根据抛物线的对称性质得到：当时，，即，故本选项符合题意． 5．二次函数的图象过点，对称轴为直线，下列结论：；；；当时，的值随值的增大而减小．其中正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】①根据对称轴得出； ②当时，结合图象进行判断； ③得出点的对称点为，当时，可得结论； ④根据图象可得增减性． 【详解】解：①∵对称轴为直线， ∴， ∴， 即， 故①正确； ②当时，函数值大于零，即， 故②错误； ③∵二次函数的图象过点，对称轴为直线， ∴点的对称点为， 当时， 即， 故③正确； ④由图象可知，当时，的值随值的增大而减小， 故④正确； 综上，正确的选项为①③④，共3个． 6．如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其对称轴为直线，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】开口向下，则，与轴正半轴相交，则，再根据对称轴为直线，得到，则可得到，通过时y大于0得到含有a、b、c的不等式，再替换掉b，得到a、c之间的关系，由对称轴为直线可知，当时，y取得最大值，则可判断D选项的正误． 【详解】解：根据题意可得，， ， ， ，， A选项错误； ∵对称轴为直线， ∴当和时，函数值相等， 当时，， ∴当时，，即，故选项B错误； ∴即，故选项C错误； 对称轴为直线， ， D选项正确． 7．下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．代数式的值可能为0 D．函数中，若图象上两点满足，则 【答案】D 【分析】根据平方的性质，绝对值的性质，配方法的应用以及二次函数的增减性，逐个判断选项即可得到结论. 【详解】解：A .∵当时，或， 故A错误； B. ∵当时，或 ，故B错误； C. 对配方得： ， ∵， ，代数式的值不可能为 故C错误； D. 对配方得： ，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大. ，满足且都大于， ， 故D正确. 8．二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … … t m n … 且当时与其对应的函数值，则下列各选项中不正确的是（     ） A． B． C． D．图象的顶点在第四象限 【答案】C 【分析】首先求出，然后得到对称轴为直线，得到，求出a，b异号，即可判断A；由对称性得到，即可判断B；然后根据时，，得到，代入求出，即可判断C；得到抛物线开口向上，然后结合抛物线的顶点的横坐标为，且经过点，，即可判断D． 【详解】解：由表格得，二次函数经过点， ∴代入得，， 又∵二次函数经过点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴a，b异号， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∵对称轴为直线， ∴点和点关于对称轴对称 ∴，故B正确，不符合题意； ∵当时与其对应的函数值， ∴ ∴代入，得， ∴，故C不正确，符合题意； ∴抛物线开口向上， ∴顶点为最低点， ∵抛物线的顶点的横坐标为，且经过点，， ∴函数图象的顶点在第四象限，故D正确，不符合题意． 9．函数的图象与x轴交于点，顶点坐标为，其中．以下结论正确的个数是（     ） ①；②点，在函数图象上，当时，；③一元二次方程必有一个解是；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的性质和与一元二次方程的关系逐一判断即可． 【详解】解：①抛物线顶点坐标为，，与轴有交点， 抛物线开口向上，，对称轴为直线， 对称轴为直线， ， 抛物线与轴交于点，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 当时，，且，抛物线开口向上， ， ，故①错误； ②抛物线开口向上，对称轴为直线， 抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值越大， 当时，无法确定，到对称轴的距离大小， 无法比较与的大小，故②错误； ③抛物线与轴的交点为和， 一元二次方程的解为和，即必有一个解是，故③正确； ④当时，，且，抛物线开口向上， ， 又， ，故④正确； 综上，正确的结论有2个． 10．如图，将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象M，若直线与图象M有两个公共点，则b的取值范围为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】确定翻折后图象的分段解析式，求出直线经过图象与轴交点及与翻折部分相切时的值，结合图象判断交点个数． 【详解】解：令， 解得 ， 当时，图象的解析式为：， 当或时，图象的解析式为：， 当直线经过点时，， 解得：， 当直线经过点时，， 解得：， 当直线与相切时，联立得：， ， 解得：， 结合图象可知：当时，直线与图象共2个交点，当时，直线与图象共2个交点， 综上所述，的取值范围是或． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11．已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 【答案】， 【分析】将方程的解等价转化为二次函数中时对应的的值是解题关键，先根据表格数据求出抛物线的对称轴，再利用对称性得到时对应的所有的值即可． 【详解】解：由表格可知，二次函数经过点，，， 点与点纵坐标相等， 抛物线的对称轴为直线， 设点关于对称轴的对称点横坐标为， 则， 解得，即对称点坐标为， 当时，的值为或， 即关于的方程的解为，． 12．点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】 < 【分析】先求出二次函数的开口方向与对称轴，根据开口向上的二次函数的性质，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，通过比较两点到对称轴的距离大小，即可得到与的大小关系． 【详解】解：， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， ，， 点到对称轴的距离更大， ． 13．二次函数的图象与坐标系横轴有交点，那么的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】先根据二次函数的定义确定二次项系数不为0，再由二次函数图象与横轴有交点，可知对应一元二次方程有实数根，利用根的判别式大于等于0列不等式求解，即可得到的取值范围． 【详解】解： 是二次函数， ． 二次函数的图象与坐标系横轴有交点， 一元二次方程 有实数根， 根的判别式 ． 将 代入得， ， 解不等式得 ． 综上， 的取值范围是 且． 14．已知抛物线与x轴的交点为，则代数式的值为__________． 【答案】 【分析】根据抛物线上点的坐标满足抛物线解析式，将交点代入解析式，得到的值，利用整体代入法求代数式的值． 【详解】解：把代入抛物线解析式， 得 ， 整理得． ． 15．在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点在该抛物线上，则的大小关系为___________． 【答案】 【分析】根据已知点坐标得到的表达式，由推出和异号，结合确定两者正负，再通过作差法比较三个纵坐标的大小． 【详解】解：点和在抛物线上， ，， ， ，即， 与异号， ， ，即， ，， 点，，在抛物线上， ，，， ∴， ， ，即， ∴， ， ，即， 综上可得． 三、解答题（本题共5小题，每小题10分，共50分） 16．已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … … … … (1)在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)下列关于该二次函数的说法中，正确的是_________（填序号）； ①；②；③当时，有最小值为；④当时，的值随值的增大而增大 (3)若将该二次函数的图象沿轴向下平移6个单位长度，交轴于，两点，求的长． 【答案】(1)如图，二次函数图象即为所求： (2)①②③ (3) 【分析】（1）先描点，再连线即可作图象； （2）根据函数图象分析即可； （3）先求出原抛物线的表达式，然后求出平移后的抛物线表达式，再令，求出其与轴的两个交点坐标，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由函数图象可得，抛物线开口向上，故，①正确； 抛物线与轴有两个交点，故，②正确； 由图象可得，当时，有最小值为，③正确； 由图象可得，当时，的值随值的增大而增大，④错误， ∴正确的有①②③； （3）解：根据函数图象可得，顶点坐标为，故设表达式为 将点代入得，， 解得 ∴抛物线表达式为 ∴沿轴向下平移6个单位长度后的抛物线表达式为，即为， 令，则 解得 ∴抛物线与轴的交点为， ∴． 17．已知抛物线的图象经过坐标原点O，并与x轴交于点． (1)求此抛物线的解析式 (2)利用配方法或公式法将函数写成顶点式，并写出顶点坐标、对称轴和最值 (3)若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标 【答案】(1) (2)顶点式为；顶点坐标为；对称轴为直线；函数的最小值为，无最大值． (3)和 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用配方法把解析式化为顶点式即可得到答案； （3）根据三角形的面积公式得到，据此求出点B的纵坐标，进而可求出点B的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过坐标原点，并与x轴交于点， ∴ ， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， ∵， ∴函数开口向上， ∴在对称轴处函数有最小值，最小值为； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，解得或， 当时，，此时方程无解， ∴点B的坐标为和． 18．每年6月的第三个星期日是父亲节，商家推出“健康守护”特惠活动，一批便携式血压血糖测试仪计划在该月销售．根据市场调查，每台盈利200元时，每天可售出20台；若每降价1元，每天可多售出4台．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每台盈利不得低于120元．设每台降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)每台降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)函数表达式为，x的取值范围是 (2)当每台降价80元时，每天的销售利润最大，那么最大利润为40800元 【分析】（1）根据每天的销售利润每台的利润销售量列式求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，可得：， ∵每台的利润不低于120元， ∴， 解得； ∴x的取值范围是； （2）解：在中， ∵，∴函数开口向下， ∵对称轴为，且， ∴时，y随x的增大而增大， ∴当时，． 答：当每台降价80元时，每天的销售利润最大，那么最大利润为40800元． 19．将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位． (1)用配方法将写成的形式； (2)求平移后的解析式； (3)求平移后抛物线的对称轴和抛物线与轴的交点坐标； (4)对于平移后的抛物线，当取何值时，随着的增大而减小？ 【答案】(1) (2) (3)对称轴为直线，与轴交点坐标为 (4)当时，随着的增大而减小 【分析】（1）利用配方法将原一般式抛物线化为顶点式即可； （2）根据抛物线平移“左加右减．上加下减”的规律得到平移后的解析式； （3）利用二次函数性质求解对称轴与y轴交点坐标； （4）根据开口方向和对称轴判断y随x变化的取值范围． 【详解】（1）解： （2）解：根据抛物线平移规律可知平移后的解析式为： ； （3）解：平移后的抛物线顶点式为， 可得对称轴为直线， 令，代入得， 因此平移后抛物线与轴的交点坐标为； （4）解：平移后抛物线中，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线， 因此当时，随着的增大而减小． 20．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在直线下方的抛物线上，过点作轴于点，交直线于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，设四边形的面积为，当最大时，求点的坐标及最大值； (3)如图②，过点作于点，当以为顶点的三角形与△相似时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当最大时，点坐标为，的最大值为 (3)或 【分析】（1）已知抛物线与x轴两个交点坐标，可设交点式，因为抛物线过点，所以代入该点坐标即可求出参数，整理得到抛物线解析式； （2）先求出直线的解析式，设点的横坐标为，则可根据抛物线和直线的解析式表示出、的坐标，进而得到的长度，将四边形的面积拆分为和的面积和，其中面积为定值，的面积可表示为关于的二次函数，利用二次函数的性质求出面积最大值及对应的坐标； （3）先确定的直角边比例，因为，所以是直角三角形，分两种对应边成比例的相似情况，结合直线与、的关系，列出关于点横坐标的方程，求解得到的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、， ∴设抛物线交点式为， 将代入得： ， 解得， ∴． （2）解：设的解析式为， 将、代入解析式，解得， ∴直线为， 设点横坐标为，则，则点， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 且 ， ∴， ∵，开口向下， ∴当时取最大值， 将代入抛物线，解得点纵坐标为， ∴， ∴当最大时，点坐标为，的最大值为． （3）解：设， ∵、、， ∴，，， ∵， ∴， ∵于点， ∴， ①当时， ∴， ∴， 解得（与点重合，舍去），， ∴点的坐标为； ②当时， ∴， ∴， 解得（不合题意，舍去），， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 第五章 二次函数 单元测试 注意事项： 1．测试范围：北师大版（2024）九年级上册第五章。 2．考试时间：90分钟 试卷满分：100分。 第Ⅰ卷 选择题 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设是抛物线上的三点，则（     ） A． B． C． D． 2．将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 4．已知二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 5．二次函数的图象过点，对称轴为直线，下列结论：；；；当时，的值随值的增大而减小．其中正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其对称轴为直线，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 7．下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．代数式的值可能为0 D．函数中，若图象上两点满足，则 8．二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … … t m n … 且当时与其对应的函数值，则下列各选项中不正确的是（     ） A． B． C． D．图象的顶点在第四象限 9．函数的图象与x轴交于点，顶点坐标为，其中．以下结论正确的个数是（     ） ①；②点，在函数图象上，当时，；③一元二次方程必有一个解是；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象M，若直线与图象M有两个公共点，则b的取值范围为（     ） A． B． C．或 D．或 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11．已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 12．点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 13．二次函数的图象与坐标系横轴有交点，那么的取值范围是___________． 14．已知抛物线与x轴的交点为，则代数式的值为__________． 15．在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点在该抛物线上，则的大小关系为___________． 三、解答题（本题共5小题，每小题10分，共50分） 16．已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … … … … (1)在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)下列关于该二次函数的说法中，正确的是_________（填序号）； ①；②；③当时，有最小值为；④当时，的值随值的增大而增大 (3)若将该二次函数的图象沿轴向下平移6个单位长度，交轴于，两点，求的长． 17．已知抛物线的图象经过坐标原点O，并与x轴交于点． (1)求此抛物线的解析式 (2)利用配方法或公式法将函数写成顶点式，并写出顶点坐标、对称轴和最值 (3)若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标 18．每年6月的第三个星期日是父亲节，商家推出“健康守护”特惠活动，一批便携式血压血糖测试仪计划在该月销售．根据市场调查，每台盈利200元时，每天可售出20台；若每降价1元，每天可多售出4台．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每台盈利不得低于120元．设每台降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)每台降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 19．将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位． (1)用配方法将写成的形式； (2)求平移后的解析式； (3)求平移后抛物线的对称轴和抛物线与轴的交点坐标； (4)对于平移后的抛物线，当取何值时，随着的增大而减小？ 20．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在直线下方的抛物线上，过点作轴于点，交直线于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，设四边形的面积为，当最大时，求点的坐标及最大值； (3)如图②，过点作于点，当以为顶点的三角形与△相似时，求点的坐标． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $