专题1.4 用空间向量研究直线、平面的位置关系讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦用空间向量研究直线与平面位置关系，系统梳理空间中点、直线、平面的向量表示（含位置向量、方向向量、法向量），以及平行（线线、线面、面面）和垂直关系的向量判定，构建从概念到应用的完整知识支架。 资料亮点在于分层题型设计（7大基础题型+2大提高题型）与即时训练、自我检测结合，通过法向量概念辨析、空间位置关系证明等实例，培养数学思维（推理能力）与数学语言表达，课中助力教师分层教学，课后辅助学生查漏补缺。

专题1.4 用空间向量研究直线、平面的位置关系重难点题型专训 （3个知识点+7大基础题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、平面法向量的概念及辨析 题型二、求平面的法向量 题型三、直线方向向量的概念及辨析(空间中) 题型四、求直线的方向向量(空间中) 题型五、空间向量平行的坐标表示 题型六、空间向量垂直的坐标表示 题型七、空间位置关系的向量证明 第二部分·练提高题型 题型一、平面法向量的相关求解 题型二、空间向量相关坐标表示 第三部分・自我检测 知识点01 空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间中点、直线和平面的向量表示 （1）空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量．   （2）空间中直线的向量表示式：直线l的方向向量为 ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋t①，把＝代入①式得＝＋t②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式． （3）平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 【注】一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量.   【即时训练】 1．（25-26高三上·河北·阶段检测）如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出平面内的两个不共线向量的坐标，然后根据法向量的定义验证． 【详解】由题意，，，是中点，则， 因此， 对于A选项，，不是法向量，A错； 对于B选项，，是法向量，B正确； 对于C选项，，不是法向量，C错； 对于D选项，，不是法向量，D错； 故选：B． 2．（2025高二上·全国·专题练习）已知平面ABC，且，，，则平面ABC的一个法向量为______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平面法向量的性质，用待定系数法即可求得平面的一个法向量. 【详解】，， 设平面ABC的法向量为， 则，即， 令，得，， 故平面ABC的一个法向量为． 故答案为：（答案不唯一）． 知识点02 用空间向量研究直线、平面的平行关系 1．空间中直线、平面的平行（1）线线平行的向量表示：设分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔⇔∃λ∈R，使得. （2）线面平行的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔⊥⇔·＝0. （3）面面平行的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔⇔∃λ∈R，使得. 2．利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 3．证明线面平行问题的方法： （1）证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； （2）证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； （3）证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 4．证明面面平行问题的方法： （1）利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． （2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 【即时训练】 1．（25-26高一下·山东青岛·期末）已知向量，，且，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，， 因为，所以存在实数，使得， 故，解得，，， 所以. 2．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知，空间向量，，若，则______. 【答案】2 【分析】根据题意得，则，再解方程即可． 【详解】，， ，解得，． 故答案为：2． 知识点03 用空间向量研究直线、平面的垂直关系 1．空间中直线、平面的垂直 （1）线线垂直的向量表示：设 分别是直线 l1， l2的方向向量，则l1⊥l2⇔⇔. （2）线面垂直的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔∥⇔∃λ∈R，使得＝λ. （3）面面垂直的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔⇔. 2．证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 3．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： （1）利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． （2）利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 4．证明面面垂直的两种方法： （1）常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． （2）法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 【即时训练】 1．（24-25高二下·浙江·期中）已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据，由求解. 【详解】因为， 所以，解得. 2．（25-26高二下·福建宁德·期末）已知向量，，若，则实数________． 【答案】 【详解】向量，， 因为，所以， 解得. 【基础题型一 平面法向量的概念及辨析】 【例1】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程：，化简得．类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题意可得出所求平面的点法式方程，化简即可. 【详解】由题意可知经过点的平面的一个法向量为， 该平面的方程为，即. 1．（2026·河北保定·一模）在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面经过点，且法向量为，则平面方程为求解即可. 【详解】结合题意，由平面的点法式方程可得，即，故A正确. 2．（24-25高二下·河南南阳·期末）（多选）已知向量是平面的一个法向量，点在平面内，则下列点也在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】记选项中的四个点依次为A，B，C，D，结合数量积的坐标运算验证，，，是否与垂直即可． 【详解】记选项中的四个点依次为A，B，C，D， 则，，，，又， ，故与不垂直，故A错误； ，故与垂直，故B正确； ，故与垂直，故C正确； ，故与垂直，故D正确； 故选：BCD. 3．（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）已知正四棱锥如图所示，在向量①，②，③，④，不能作为底面的法向量的是__________． 【答案】① 【详解】由题意可知=，=，=，=，所以填①． 4．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝DC，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，点F在PB上，问点F在何位置时，为平面DEF的一个法向量?    【答案】F为线段PB的一个三等分点（靠近P点）． 【分析】以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设DA＝2，求出点的坐标，由，可得，设，，得，由＝0即可求得F的位置． 【详解】以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，    设DA＝2，则， ∴，, ∵，∴， 设，，∴，∴ ∴，∴ ∵＝0，∴，∴， ∴F为线段PB的一个三等分点(靠近P点)． 【基础题型二 求平面的法向量】 【例2】（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平面ABC的法向量为，根据法向量的定义计算. 【详解】由题意得，，， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则， 则是平面ABC的一个法向量. 故选：D 1．（25-26高二上·广东·期末）点，平面的一个法向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面法向量的求解过程求解即可． 【详解】设平面的一个法向量， ， 则，不妨取，则， ，即平面的一个法向量为． 故选：B． 2．（25-26高二上·广西百色·阶段检测）（多选）如图，在直三棱柱中，．以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．以下向量可成为平面的法向量有（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据空间直角坐标系中法向量的求法，求出法向量，逐项判断即可. 【详解】因为； 所以， 设平面的法向量 则有，即 可得，即，故， 写出符合以上条件的向量即可，如：， 故选：CD 3．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）如图，平行六面体的底面为菱形，且，，请写出平面的一个法向量___________．（注：法向量要用来表示）    【答案】（答案不唯一） 【分析】设，易知可以作为空间向量的一组基底，进而结合法向量的求法求解即可. 【详解】不妨设，易知可以作为空间向量的一组基底， 且， 而， 设平面的一个法向量为， 则由，即， 化简得，可取， 故，因此平面的一个法向量为． 故答案为：（答案不唯一）. 4．（24-25高二下·全国·课前预习）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.    【答案】（答案不唯一）. 【分析】首先根据面面垂直的性质可得平面，进而结合等边三角形的性质可得，再建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，从而利用，即可得到答案. 【详解】连接，因为是边长为1的正三角形，，F为的中点， 所以，又因为平面⊥平面，平面平面，平面， 所以平面. 连接AC，因为，，所以是等边三角形，又F为的中点，所以. 综上可知，直线两两垂直， 所以建立以为原点，分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示：    由题意，在正和正中，， 则， 所以， 设平面的一个法向量为，则 ，即，化简得， 令，则，即 所以平面的一个法向量为（答案不唯一）. 【基础题型三 直线方向向量的概念及辨析(空间中)】 【例3】（25-26高二上·广西钦州·阶段检测）已知直线的一个法向量是，则的倾斜角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线的倾斜角为，，直线的方向向量为，根据直线方向向量与法向量的关系得到得到，即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为， ，直线的方向向量为. 则，即，则， 又，解得， 故选：A. 1．（24-25高二上·天津河北·期中）若直线l的方向向量为，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设向量起点为原点，终点为，则直线的斜率即为直线的斜率. 【详解】取坐标平面内两点和，则，则直线斜率即为直线的斜率，而，所以直线的斜率为. 故选：D． 2．（25-26高二下·山东潍坊·阶段检测）（多选）下列命题中正确的有（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，不平行于，则一定不垂直于 D．若，不垂直于，则一定不垂直于 【答案】BD 【分析】根据空间中直线与直线的位置关系判断即可. 【详解】解：对于A：若，，则或与相交或与异面，故A错误； 对于B：若，，则，故B正确； 对于C：若，不平行于，则或与相交或与异面，则与可以垂直，故C错误； 对于D：若，不垂直于，若，由，则，与题设矛盾，故一定不垂直于，故D正确； 故选：BD 3．（25-26高二上·上海·期末）若异面直线所成角的大小为，设的一个方向向量为，的一个方向向量为，则的所有可能值为______． 【答案】或 【详解】当为锐角或直角时，，此时； 当为钝角时，，此时． 所以的可能值为或． 4．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求直线PC的一个方向向量． 【答案】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，根据方向向量的定义可得． 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系A－xyz，则，， 所以即为直线PC的一个方向向量. 【基础题型四 求直线的方向向量(空间中)】 【例4】（24-25高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用方向向量的定义判断得解. 【详解】由，得， 所以直线的一个方向向量的坐标为. 故选：A 1．（24-25高二上·河南·期中）在空间直角坐标系中，直线过点且以为方向向量，为直线上的任意一点，则点的坐标满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出向量，再利用空间向量共线的充要条件列式判断即得. 【详解】依题意，，，则， 所以点的坐标满足的关系式是. 故选：C. 2．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）（多选）已知，，则直线的方向向量可以表示为(     ) A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】计算，，，AB满足，CD中向量与不共线，得到答案. 【详解】，，则， 对选项A：，满足； 对选项B：，满足； 对选项C：与不共线，不满足； 对选项D：与不共线，不满足； 故选：AB. 3．（25-26高二上·山东德州·开学考试）在直线l上，则直线l的一个方向向量为_________. 【答案】 【分析】求出向量的坐标即可. 【详解】由在直线l上，得直线l的一个方向向量为. 故答案为： 4．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，，试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量. 【答案】直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为(答案不唯一) 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，表示各点坐标，即为直线的一个方向向量，表示即可求出平面的一个法向量. 【详解】 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，即直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为，所以. 由得，所以. 令，则. 所以平面的一个法向量为. 【基础题型五 空间向量平行的坐标表示】 【例5】（25-26高二下·河南·阶段检测）已知，若，则（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】先应用空间向量共线列式求参，再代入计算求解. 【详解】因为，所以，解得，故． 1．（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知，.若，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间平行向量坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C 2．（25-26高二·全国·课后作业）（多选）已知，，若，则与的值可以是（    ）. A．2， B．， C．， D．，2 【答案】AC 【分析】不妨设，结合对应关系可求与. 【详解】由，可设，即，得，解得，或2，故A，C都符合选项. 故选：AC 3．（25-26高二下·甘肃白银·期中）已知向量，，若，则实数________. 【答案】1 【详解】因为向量，， 根据∥， 所以，得. 4．（25-26高二上·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】证法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用空间向量共线的坐标表示可得答案； 证法二：由空间向量的线性表示可得答案. 【详解】证法一：由题意知，直线两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 所以，又，故． 证法二：由题意可得 ， 又，所以．    【基础题型六 空间向量垂直的坐标表示】 【例6】（25-26高二上·陕西榆林·开学考试）已知空间向量，，若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】利用两向量垂直等价于数量积为0，得出方程，即可求出的值. 【详解】由题意， ，，， ∴， 解得：. 1．（25-26高二下·江苏徐州·期中）已知，且，则实数值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】应用空间向量垂直的坐标运算求解. 【详解】因为，且， 所以，即 则实数值为4. 2．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）（多选）已知向量，，，则下列说法正确的是（   ） A．，的夹角为钝角 B．与向量同向的单位向量为 C．在上的投影向量的长度为 D．存在实数，使得 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的数量积，共线向量、单位向量的坐标表示，投影向量公式，垂直向量的坐标性质求解即可. 【详解】对于A，，所以，的夹角不是钝角，故A错误； 对于B，，， 所以与向量同向的单位向量为，故B正确； 对于C，在上的投影向量的长度为，故C正确； 对于D，， 若，则，，故D正确． 故选：BCD. 3．（25-26高二·全国·暑假作业）若，且两两垂直，则_____________， ___________，________． 【答案】 【详解】， ，即，解得. 4．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）已知点，，，设，. (1)若，且，求向量； (2)已知向量与垂直，求实数的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先求出向量的坐标，再根据共线有，结合向量模的坐标公式可求； （2）利用向量的垂直得到它们的数量积为零，从而可求的值； 【详解】（1）根据点，，则， 因为，所以，即，可知， 因为，所以，解得， 所以或 （2）根据点，，， 则，， ， 因为向量与垂直，所以， 即，解得. 【基础题型七 空间位置关系的向量证明】 【例7】（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．或 B． C． D．与斜交 【答案】A 【详解】由，得， 所以或. 1．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）设是平面外的直线的方向向量，是平面的法向量，则（   ） A． B．或在平面内 C． D．或 【答案】C 【分析】计算出，即可判断得解. 【详解】∵，∴. 又因直线在平面外，∴. 2．（25-26高二上·陕西榆林·期中）（多选）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条不重合的直线、的方向向量分别是，，则 B．直线的方向向量是，平面的法向量是，则 C．两个不同的平面、的法向量分别是，，则 D．两个不同的平面、的法向量分别是，，则 【答案】ACD 【分析】利用向量的位置关系与线面、面面的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，因为，且直线、不重合，则，A对； 对于B选项，因为，则，所以或，B错； 对于C选项，因为，则，所以，C对； 对于D选项，因为，即，又因为平面、不重合，则，D对. 故选：ACD. 3．（25-26高二上·北京·期中）已知平面，两条不重合的直线，，，给出三个论断：①；②；③.以其中两个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个正确的命题______________. 【答案】①②③或①③② 【分析】设，的方向向量为，平面的法向量为，通过向量法确定位置关系即可. 【详解】，的方向向量为，平面的法向量为， ①②③ 因为，所以， 又，所以，即， 又，所以， 又因为所以； ①③② 因为，所以，即 因为，所以， 所以，即； ②③① 若，， 则，或相交，或，不成立 故答案为：①②③或①③② 4．（2026高三·全国·专题练习）在四棱锥中，四边形是菱形，，，，点为的中点，点为上的点，，，平面与棱交于点．求证：异面直线与垂直． 【答案】证明：已知四边形是菱形，则，设，则是的中点， ，， ，. ，且平面， 平面. 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立下图所示空间直角坐标系： ，. 则，. 可知. F为的中点，. 点E为上的点，，， . 则，. ， ，即. 因此异面直线与垂直． 【分析】建立空间直角坐标系，求出，计算求出，从而证明结论. 【详解】略. 【提高题型一 平面法向量的相关求解】 【例1】（24-25高二上·云南昆明·期末）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意进行类比，利用平面法向量与面内任意向量垂直，即可求得结论． 【详解】根据题意进行类比，在空间任取一点， 则 平面法向量为， 故选：A． 1．（25-26高二上·重庆·期末）已知正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴和轴，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设平面的法向量为，结合法向量计算方法计算即可. 【详解】由题意，设正方体的棱长为，则， ， 设平面的法向量为， ， 令，则，故平面的法向量为. 故选：C.    2．（25-26高二上·河南·阶段检测）（多选）下列选项正确的是（   ） A．零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量 B．若是直线的方向向量，则（）也是直线的方向向量 C．若平面与平面的法向量分别为，，则平面与平面的夹角即为向量，的夹角 D．在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量 【答案】AD 【分析】根据空间向量的概念，和直线方向向量与平面法向量的性质，逐一判断各选项正误，判断结果即可. 【详解】零向量是不能作为直线的方向向量和平面的法向量的，所以A正确； 若，则，所以不正确； 因为平面与平面的夹角不能是钝角，向量，的夹角可能是钝角，所以C不正确； 因为与轴平行的非零向量都是平面的法向量，所以D正确. 故选：AD. 3．（24-25高二上·辽宁抚顺·期中）在中，．向量为平面的一个法向量，则的坐标为__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据向量垂直求平面的法向量即可. 【详解】根据题意可得：，设， 与平面垂直，则，可得， 当时，则，的坐标为． 故答案为：（答案不唯一） 4．（24-25高二·全国·随堂练习）如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量： (1)平面ABCD； (2)平面； (3)平面． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， （1）由于平面，所以为平面的一个法向量， （2）设平面的法向量为，则，从而可求出法向量， （3）设平面的法向量为，则，从而可求出法向量 【详解】（1）以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 因为平面，所以为平面的一个法向量， 所以平面的一个法向量为， （2）设平面的法向量为， 因为， 所以，令，则， 所以平面的一个法向量为， （3）设平面的法向量为， 因为， 所以，令，则 所以平面的一个法向量为 【提高题型二 空间向量相关坐标表示】 【例2】（25-26高二上·安徽·期末）在空间直角坐标系中，若三点共线，其中，则（   ） A．13 B．11 C．9 D．7 【答案】B 【分析】根据三点共线得出空间向量平行，应用平行坐标关系计算求解. 【详解】因为三点共线， 所以，且， 所以， 则. 故选：B. 1．（2025高二上·安徽·竞赛）在空间直角坐标系Oxyz中，，若，则的竖坐标为（    ） A．－9 B．－1 C．1 D．9 【答案】B 【详解】由于，故，故， ， 故的竖坐标为. 2．（24-25高二上·山西朔州·阶段检测）（多选）若平面，平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】根据空间共线向量的判断可知与是否平行，即可求解. 【详解】A：由题意，，则两个法向量平行，故A正确； B：由题意，不存在实数使得，则两个法向量不平行，故B错误； C：由题意，，则两个法向量平行，故C正确； D：由题意，，则两个法向量平行，故D正确. 故选：ACD 3．（25-26高二上·浙江舟山·阶段检测）已知向量，且与互相垂直，则_________． 【答案】 【分析】由向量的线性运算、数量积的坐标运算公式列方程即可求解. 【详解】已知向量，则 又与互相垂直， 所以，解得. 故答案为：. 4．（25-26高二上·河南洛阳·阶段检测）已知，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）首先分别求和的坐标，再根据向量平行的坐标表示，即可求解； （2）分别求和的坐标，再根据向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】（1），， 若，则， 即，，，解得. （2），， 若，则， 即，化简可得， 解得或. 1．（25-26高二上·北京西城·期末）已知空间向量和三个不同的点、、，且，则“点在直线上”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用空间向量法结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】因为空间向量和三个不同的点、、，且， 若点在直线上，则，故存在实数使得. 由题设可得，， 即“点在直线上”“”， 若，不妨假设点不在直线上，则为平面的一个法向量，符合题意， 所以“点在直线上”“”， 故“点在直线上”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 2．（25-26高二上·湖南永州·期中）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出平面的一个法向量，与所给选项对比，坐标成比例的即为平面的一个法向量. 【详解】因为，，， 所以， ， 设平面ABC的法向量， 则，令，则， 因为ABCD四个选项中，只有B中坐标与坐标成比例， 故平面ABC的一个法向量是. 故选：B 3．（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所在向量，则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量，利用共线向量的概念逐一计算判断选项． 【详解】直线经过点，，， 与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量， 选项A：假设向量与共线，则， 由得，得，故不存在唯一的，使得成立， 故向量不是该直线的方向向量； 选项B：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项C：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项D：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量． 故选：A． 4．（2026高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，，为的中点，为的中点．则与的位置关系为（   ） A．平行 B．异面 C．垂直 D．以上都不对 【答案】C 【详解】如图建立空间直角坐标系：以为原点，分别以为轴， 根据已知边长，，，写出各点坐标： ，是中点，得； 是中点，得, 求向量： , 计算向量的数量积可得：， 由数量积为0可判断两向量垂直，即与垂直. 5．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）在空间直角坐标系中，等腰梯形的三个顶点分别为，，且分别为等腰梯形的腰，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据为等腰梯形列方程组，由此求得点的坐标. 【详解】设, 由题意得,, 因为为等腰梯形,所以，且, 所以， 解得，即. 故选：B 6．（25-26高二上·福建福州·期中）（多选）已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量的性质，以及直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系判定. 【详解】对于A：直线的方向向量，说明两条不重合的直线的“方向”相同或相反，因此可以推出； 反之，若，它们的方向向量也必然平行，因此，所以A正确； 对于B：平面的法向量垂直于平面内的所有直线，若，说明直线的方向向量与 平面的法向量垂直，此时平行于平面或在平面内，而非“”，所以B错误； 对于C：平面的法向量，说明两个不重合的平面垂直于平面的方向相同或相反， 因此可以推出；反之，若，它们的法向量也必然平行，因此，所以C正确； 对于D：若，说明直线的方向向量与平面的法向量垂直，此时平行于平面或在平面内， 不能直接推出“”因为可能在平面内，所以D错误. 故选：AC. 7．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）（多选）小强同学在学习平面的法向量的过程中，发现了一种求解已知平面的法向量的快速方法：在空间直角坐标系中，平面α内两个不共线的向量分别为则平面α的一个法向量为.若已知在平面ABO中，O为原点，点，小强选取点O，A，B三点中的两点，用他的方法计算平面ABO的法向量，下列结论正确的是（    ） A．是其中一个解 B．是其中一个解 C．用上述条件在该方法下得到的法向量是唯一的 D．用上述条件在该方法下得到的法向量的模长是唯一的 【答案】BD 【分析】利用法向量求法求解. 【详解】由题意，若取， 则由计算规则得出. 若取， 则由计算规则得出. 无论法向量方向如何，模长均为：， 故选：BD 8．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）（多选）下列命题是假命题的是（    ） A．零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量； B．若是直线的方向向量，则也是直线的方向向量； C．在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量； D．，则． 【答案】BCD 【分析】对于A,直线的方向向量和平面的法向量不能为零向量; 对于B,当时,,不能作为直线l的方向向量; 对于C, 在轴所在直线上且垂直于坐标平面,据此判断即可. 对于D,利用空间向量的数量积公式求解即可； 【详解】对于A, 直线的方向向量和平面的法向量都是非零向量,故A正确； 对于B, 当时,,不能作为直线l的方向向量,故B错误； 对于C, 在轴所在直线上且垂直于坐标平面,故C不正确； 对于D，由于，则，故D错误； 故选：BCD 9．（25-26高二下·河南平顶山·期末）（多选）在正八面体中（正八面体是由个全等的正三角形围成的多面体），四边形为正方形，E，F，G，H分别为，，，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先根据题意建立空间直角坐标系，再设，到平面的距离为，从而找出所需点的坐标，从而得到所需向量的坐标，进而根据空间向量平行，及垂直的判定逐一判断即可． 【详解】以正八面体的中心为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，    设，到平面的距离为， 则， 则，，，，，， 又E，F，G，H分别为，，，的中点， 则，，，， 对于A，由，，则，故A正确； 对于B，由，，则，故B正确； 对于C，结合选项A、B，由，则，故C正确； 对于D，由，，，得与不垂直，故D错误． 10．（25-26高二下·福建宁德·期中）（多选）已知空间向量（    ） A．当时， B．当为钝角时，且 C．存在实数，使得 D．存在实数，使得为空间的一组基底 【答案】ACD 【分析】选项A，根据向量平行建立关于的方程求解判断；选项B，结合向量夹角为钝角的充要条件，计算的范围，再排除反向共线的情况；选项C，根据空间向量垂直的充要条件，建立关于的方程，判断方程是否有解；选项D，根据共面向量基本定理建立关于的方程，判断是否存在使方程成立. 【详解】选项A，若，则存在实数使得，对应坐标满足：， 解得，，代入验证所有等式成立，因此正确，A正确； 选项B，若为钝角，等价于且不反向平行， ，得； 若，显然，则对应坐标成比例：，由得， 代入验证，不存在使得， 即时夹角仍为钝角，不需要排除，B错误； 选项C，若，， 解得或，存在实数满足条件，C正确； 选项D，能作为空间的一组基，等价于三个向量不共面，根据共面向量基本定理， 若三个向量共面，则存在实数使得， 代入坐标得方程组：， 整理方程(2)(3)得： 消元解得：. 将代入方程(1)：， 因此方程(1)化简为，即：当且仅当时，三个向量共面； 当时，三个向量不共面，可以作为空间的一组基底，D正确. 11．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）在长方体中，．以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量为_____（用向量的坐标表示）． 【答案】 【分析】求得点的坐标，进而根据设平面的法向量为，根据，可求法向量的一个坐标. 【详解】以为空间的一个单位正交基底，空间直角坐标系如图所示： 又因为， 则， 则， 设平面的法向量为， ， 令，则， 所以平面的一个法向量为. 故答案为：（不唯一）. 12．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知空间向量，，，且，则实数z的值为______． 【答案】 【分析】根据向量共线定理和模长公式得到方程组，解出即可. 【详解】因为，所以存在，使得， 又因为，而， 则，解得或， 故答案为：. 13．（24-25高二下·江苏南京·期中）若平面的一个法向量，平面的一个法向量，且，则x＋z＝________． 【答案】-1 【分析】利用两平面平行法向量的关系及向量共线定理即可求解. 【详解】因为，所以，故存在实数使得：， 即， 所以，解得，所以. 故答案为： 14．（25-26高三下·河南·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，过点，的平面与交于点，则当时，______. 【答案】 【分析】首先利用坐标法，根据，求点的坐标，再代入两点间距离公式，即可求解. 【详解】如图，以点为原点，为轴的正方向，过点作轴，建立空间直角坐标系， ，，，， 设，，, 因为，所以，得， 此时，，所以 15．（25-26高二上·广东佛山·期中）如图，在直三棱柱中，，，，M是AB的中点，N是的中点，P是与的交点，是线段上的一点，且满足平面，则________    【答案】 【分析】建立空间坐标系，利用空间向量进行求解，平面则可利用与平面的法向量垂直求解. 【详解】如图，由已知，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，   设， 则,， 设面的一个法向量, 则,即， 令得， 因为平面，所以,即， 所以得， ,所以， 因为，所以． 故答案为：． 16．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【答案】(1) (2)方向向量，法向量为 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为底面为矩形，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为； （2）直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为， 由，得，令，则. 所以平面的一个法向量为. 17．（24-25高二上·四川雅安·期中）如图，在正方体中，分别是的中点． (1)用空间向量法证明：平面； (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ． 设平面的法向量为， 则取，则，得， 平面． (2)存在，在的延长线上，且 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据共线求证， （2）根据法向量与直线的方向向量垂直即可求解. 【详解】（1）略 （2）存在点，使得平面，在的延长线上，且． 由题意得， 设，则， 平面，得． 18．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求得向量和的坐标，得到，即可证得． （2）求得向量和平面的法向量，得到，即可证得平面． 【详解】（1）证明：正四棱锥的侧棱长与底边长都为， 可得，且， 由点， 则， 因为， 所以，所以． （2）解：由点，可得 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 又由点，可得， 则， 又因为平面，所以平面． 19．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 【答案】(1) 如图，以D为原点，AD所在直线为轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以. (2) 方法一： 由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 由且， 得， 令得， 所以， 可得：， 所以：平面. 方法二： 由（1）可知：， 有， 所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 【分析】（1）空间向量法求解，求出，得到，从而得到结论； （2）方法一：求出平面DEB的一个法向量，求出，从而得到证明；方法二：求出，利用向量垂直的公式及线面垂直的判定定理得解. 【详解】（1）略 （2）略 20．（25-26高二下·甘肃平凉·阶段检测）如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面． (1)证明：； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】第（1）问先建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用向量数量积为零证明线线垂直； 第（2）问取中点构造向量，证明该向量与平面内两条相交直线垂直，从而得到线面垂直，再推出面面垂直. 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 因为平面底面，为等边三角形， 所以底面． 以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设，则，． 所以，，，． 所以，． 因为， 所以，所以． （2）取的中点，连接， 则． 因为，， 所以， 所以，即． 因为， 所以，即． 又因为，，平面， 所以平面． 因为平面， 所以平面平面． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 用空间向量研究直线、平面的位置关系重难点题型专训 （3个知识点+7大基础题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、平面法向量的概念及辨析 题型二、求平面的法向量 题型三、直线方向向量的概念及辨析(空间中) 题型四、求直线的方向向量(空间中) 题型五、空间向量平行的坐标表示 题型六、空间向量垂直的坐标表示 题型七、空间位置关系的向量证明 第二部分·练提高题型 题型一、平面法向量的相关求解 题型二、空间向量相关坐标表示 第三部分・自我检测 知识点01 空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间中点、直线和平面的向量表示 （1）空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量．   （2）空间中直线的向量表示式：直线l的方向向量为 ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋t①，把＝代入①式得＝＋t②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式． （3）平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 【注】一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量.   【即时训练】 1．（25-26高三上·河北·阶段检测）如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二上·全国·专题练习）已知平面ABC，且，，，则平面ABC的一个法向量为______． 知识点02 用空间向量研究直线、平面的平行关系 1．空间中直线、平面的平行（1）线线平行的向量表示：设分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔⇔∃λ∈R，使得. （2）线面平行的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔⊥⇔·＝0. （3）面面平行的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔⇔∃λ∈R，使得. 2．利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 3．证明线面平行问题的方法： （1）证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； （2）证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； （3）证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 4．证明面面平行问题的方法： （1）利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． （2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 【即时训练】 1．（25-26高一下·山东青岛·期末）已知向量，，且，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知，空间向量，，若，则______. 知识点03 用空间向量研究直线、平面的垂直关系 1．空间中直线、平面的垂直 （1）线线垂直的向量表示：设 分别是直线 l1， l2的方向向量，则l1⊥l2⇔⇔. （2）线面垂直的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔∥⇔∃λ∈R，使得＝λ. （3）面面垂直的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔⇔. 2．证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 3．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： （1）利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． （2）利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 4．证明面面垂直的两种方法： （1）常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． （2）法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 【即时训练】 1．（24-25高二下·浙江·期中）已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 2．（25-26高二下·福建宁德·期末）已知向量，，若，则实数________． 【基础题型一 平面法向量的概念及辨析】 【例1】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程：，化简得．类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（     ） A． B． C． D． 1．（2026·河北保定·一模）在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南南阳·期末）（多选）已知向量是平面的一个法向量，点在平面内，则下列点也在平面内的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）已知正四棱锥如图所示，在向量①，②，③，④，不能作为底面的法向量的是__________． 4．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝DC，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，点F在PB上，问点F在何位置时，为平面DEF的一个法向量?    【基础题型二 求平面的法向量】 【例2】（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·广东·期末）点，平面的一个法向量为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广西百色·阶段检测）（多选）如图，在直三棱柱中，．以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．以下向量可成为平面的法向量有（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）如图，平行六面体的底面为菱形，且，，请写出平面的一个法向量___________．（注：法向量要用来表示）    4．（24-25高二下·全国·课前预习）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.    【基础题型三 直线方向向量的概念及辨析(空间中)】 【例3】（25-26高二上·广西钦州·阶段检测）已知直线的一个法向量是，则的倾斜角的大小是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·天津河北·期中）若直线l的方向向量为，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·山东潍坊·阶段检测）（多选）下列命题中正确的有（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，不平行于，则一定不垂直于 D．若，不垂直于，则一定不垂直于 3．（25-26高二上·上海·期末）若异面直线所成角的大小为，设的一个方向向量为，的一个方向向量为，则的所有可能值为______． 4．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求直线PC的一个方向向量． 【基础题型四 求直线的方向向量(空间中)】 【例4】（24-25高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·河南·期中）在空间直角坐标系中，直线过点且以为方向向量，为直线上的任意一点，则点的坐标满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）（多选）已知，，则直线的方向向量可以表示为(     ) A． B． C． D． 3．（25-26高二上·山东德州·开学考试）在直线l上，则直线l的一个方向向量为_________. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，，试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量. 【基础题型五 空间向量平行的坐标表示】 【例5】（25-26高二下·河南·阶段检测）已知，若，则（   ） A． B．4 C． D．6 1．（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知，.若，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 2．（25-26高二·全国·课后作业）（多选）已知，，若，则与的值可以是（    ）. A．2， B．， C．， D．，2 3．（25-26高二下·甘肃白银·期中）已知向量，，若，则实数________. 4．（25-26高二上·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．    【基础题型六 空间向量垂直的坐标表示】 【例6】（25-26高二上·陕西榆林·开学考试）已知空间向量，，若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 1．（25-26高二下·江苏徐州·期中）已知，且，则实数值为（    ） A． B．2 C． D．4 2．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）（多选）已知向量，，，则下列说法正确的是（   ） A．，的夹角为钝角 B．与向量同向的单位向量为 C．在上的投影向量的长度为 D．存在实数，使得 3．（25-26高二·全国·暑假作业）若，且两两垂直，则_____________， ___________，________． 4．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）已知点，，，设，. (1)若，且，求向量； (2)已知向量与垂直，求实数的值. 【基础题型七 空间位置关系的向量证明】 【例7】（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．或 B． C． D．与斜交 1．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）设是平面外的直线的方向向量，是平面的法向量，则（   ） A． B．或在平面内 C． D．或 2．（25-26高二上·陕西榆林·期中）（多选）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条不重合的直线、的方向向量分别是，，则 B．直线的方向向量是，平面的法向量是，则 C．两个不同的平面、的法向量分别是，，则 D．两个不同的平面、的法向量分别是，，则 3．（25-26高二上·北京·期中）已知平面，两条不重合的直线，，，给出三个论断：①；②；③.以其中两个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个正确的命题______________. 4．（2026高三·全国·专题练习）在四棱锥中，四边形是菱形，，，，点为的中点，点为上的点，，，平面与棱交于点．求证：异面直线与垂直． 【提高题型一 平面法向量的相关求解】 【例1】（24-25高二上·云南昆明·期末）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·重庆·期末）已知正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴和轴，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南·阶段检测）（多选）下列选项正确的是（   ） A．零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量 B．若是直线的方向向量，则（）也是直线的方向向量 C．若平面与平面的法向量分别为，，则平面与平面的夹角即为向量，的夹角 D．在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量 3．（24-25高二上·辽宁抚顺·期中）在中，．向量为平面的一个法向量，则的坐标为__________． 4．（24-25高二·全国·随堂练习）如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量： (1)平面ABCD； (2)平面； (3)平面． 【提高题型二 空间向量相关坐标表示】 【例2】（25-26高二上·安徽·期末）在空间直角坐标系中，若三点共线，其中，则（   ） A．13 B．11 C．9 D．7 1．（2025高二上·安徽·竞赛）在空间直角坐标系Oxyz中，，若，则的竖坐标为（    ） A．－9 B．－1 C．1 D．9 2．（24-25高二上·山西朔州·阶段检测）（多选）若平面，平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高二上·浙江舟山·阶段检测）已知向量，且与互相垂直，则_________． 4．（25-26高二上·河南洛阳·阶段检测）已知，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 1．（25-26高二上·北京西城·期末）已知空间向量和三个不同的点、、，且，则“点在直线上”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高二上·湖南永州·期中）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，，为的中点，为的中点．则与的位置关系为（   ） A．平行 B．异面 C．垂直 D．以上都不对 5．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）在空间直角坐标系中，等腰梯形的三个顶点分别为，，且分别为等腰梯形的腰，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·福建福州·期中）（多选）已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）（多选）小强同学在学习平面的法向量的过程中，发现了一种求解已知平面的法向量的快速方法：在空间直角坐标系中，平面α内两个不共线的向量分别为则平面α的一个法向量为.若已知在平面ABO中，O为原点，点，小强选取点O，A，B三点中的两点，用他的方法计算平面ABO的法向量，下列结论正确的是（    ） A．是其中一个解 B．是其中一个解 C．用上述条件在该方法下得到的法向量是唯一的 D．用上述条件在该方法下得到的法向量的模长是唯一的 8．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）（多选）下列命题是假命题的是（    ） A．零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量； B．若是直线的方向向量，则也是直线的方向向量； C．在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量； D．，则． 9．（25-26高二下·河南平顶山·期末）（多选）在正八面体中（正八面体是由个全等的正三角形围成的多面体），四边形为正方形，E，F，G，H分别为，，，的中点，则（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·福建宁德·期中）（多选）已知空间向量（    ） A．当时， B．当为钝角时，且 C．存在实数，使得 D．存在实数，使得为空间的一组基底 11．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）在长方体中，．以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量为_____（用向量的坐标表示）． 12．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知空间向量，，，且，则实数z的值为______． 13．（24-25高二下·江苏南京·期中）若平面的一个法向量，平面的一个法向量，且，则x＋z＝________． 14．（25-26高三下·河南·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，过点，的平面与交于点，则当时，______. 15．（25-26高二上·广东佛山·期中）如图，在直三棱柱中，，，，M是AB的中点，N是的中点，P是与的交点，是线段上的一点，且满足平面，则________    16．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 17．（24-25高二上·四川雅安·期中）如图，在正方体中，分别是的中点． (1)用空间向量法证明：平面； (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在，请说明理由． 18．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 19．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 20．（25-26高二下·甘肃平凉·阶段检测）如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面． (1)证明：； (2)证明：平面平面． 学科网（北京）股份有限公司 $