1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以空间向量工具为核心，构建“概念-方法-应用”三层体系，系统提炼法向量求解步骤及平行垂直判定法则，通过多几何体典例实现知识迁移，培养空间观念与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点1-4|4个核心概念|点线面向量表示、法向量六步求解法、平行垂直向量判定法则|从向量表示（基础）到法向量（工具），再到平行垂直判定（应用），形成逻辑链条| |考点1-5|12道典例|方向向量应用、法向量求解、位置关系判断、平行垂直证明|覆盖选择、填空、证明题型，以长方体、正方体等模型承载方法，突出知识迁移|

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 目录 知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示 1 知识点2 平面的法向量 2 知识点3 空间中直线、平面的平行 3 知识点4 空间中直线、平面的垂直 3 考点一：直线方向向量的求解与应用 4 考点二：平面法向量的求解 4 考点三：利用向量判断线面位置关系 4 考点四：向量法证明平行关系 5 考点五：利用向量法证明垂直关系 8 巩固训练 11 知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示 1、点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2、直线的向量表示 （1）直线的方向向量 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量． 【注意】①在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量；②在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算． （2）直线的向量表示式 直线l的方向向量为，且过点A．如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①，把代入①式得②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 3、平面的向量表示 如图（1），设两条直线相交于点，它们的方向向量分别为和，为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得．这样，点与向量和不仅可以确定平面，还可以具体表示出内的任意一点． 进一步地，如图（2），取定空间任意一点，可以得到，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，使（*）.我们把（*）式称为空间平面的向量表示式． 知识点2 平面的法向量 1、平面法向量的定义 如图，若直线，取直线的方向向量，称为平面的法向量；过点A且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合． 2、平面法向量的性质 （1）平面的一个法向量垂直于平面内的所有向量； （2）一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 3、利用待定系数法求平面法向量的步骤 （1）设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)； （2）选向量：在平面内选取两个不共线向量，； （3）列方程组：由列出方程组； （4）解方程组： （5）赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)； （6）得结论：得到平面的一个法向量． 知识点3 空间中直线、平面的平行 1、线线平行：若分别为直线的方向向量，则使得． 2、线面平行 法1：设直线的方向向量，是平面的法向量，，则． 法2：在平面内取一个非零向量，若存在实数，使得，且，则． 法3：在平面内取两个不共线向量，若存在实数，使得，且，则． 3、面面平行：设分别是平面的法向量，则，使得． 知识点4 空间中直线、平面的垂直 1、线线垂直：若分别为直线的方向向量，则． 2、线面垂直 法1：设直线的方向向量，是平面的法向量，则，使得． 法2：在平面内取两个不共线向量，若.则． 3、面面垂直：设分别是平面的法向量，则． 考点一：直线方向向量的求解与应用 1. 已知一直线经过点，下列向量中是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 考点二：平面法向量的求解 2. 已知点，则下列向量可作为平面的一个法向量的是（    ） A． B． C． D． 考点三：利用向量判断线面位置关系 3. 若平面外的直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ） A． B． C． D．与斜交 4. （多选）设是不重合的两个平面，分别为平面的法向量，为直线的方向向量，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 5. （多选）给出下列命题，其中是假命题的是（    ） A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与平行 B．若直线的方向向量，平面的法向量，则 C．若平面的法向量分别为，则 D．若平面经过三点，向量是平面的法向量，则 考点四：向量法证明平行关系 6. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=2，点M在棱BB1上，且BM=2MB1，点S在棱DD1上，且SD1=2SD，点N，R分别为棱A1D1，BC的中点.求证：MN∥RS. 7. 在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC=a.E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB. 8. 如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，求证：平面AB'D'∥平面BDC'. 9. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为　　　　. 10. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2.线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1？ 11. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？ 考点五：利用向量法证明垂直关系 12. 如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN=CC1.求证：AB1⊥MN. 13. 如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点.求证：平面PCD． 14. 如图，在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.求证：平面EFG⊥平面PBC. 15. 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，E为BC的中点. (1)证明：平面ABCD； (2)在线段AN上是否存在点S，使得平面AMN?如果存在，求出线段AS的长度；若不存在，请说明理由. 16. 如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面互相垂直，已知BC=4，AB=AD=2. (1)求证：AC⊥BF；(5分) (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.(7分) 17. 在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面. (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 巩固训练 1、如图，在正四棱柱中，，点分别是的中点，点是线段上的动点，则下列说法错误的是（    ） A．当时，存在，使得平面 B．存在，使得平面 C．存在，使得平面平面 D．存在，使得平面平面 2、（多选）在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，是线段（不含端点）上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．对于任意的点，四棱锥的体积为定值； B．对于任意的点，平面被正方体所截得的截面形状为五边形； C．存在点，使得平面； D．存在点，使得平面； 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 目录 知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示 1 知识点2 平面的法向量 2 知识点3 空间中直线、平面的平行 3 知识点4 空间中直线、平面的垂直 3 考点一：直线方向向量的求解与应用 4 考点二：平面法向量的求解 4 考点三：利用向量判断线面位置关系 4 考点四：向量法证明平行关系 6 考点五：利用向量法证明垂直关系 12 巩固训练 19 知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示 1、点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2、直线的向量表示 （1）直线的方向向量 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量． 【注意】①在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量；②在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算． （2）直线的向量表示式 直线l的方向向量为，且过点A．如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①，把代入①式得②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 3、平面的向量表示 如图（1），设两条直线相交于点，它们的方向向量分别为和，为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得．这样，点与向量和不仅可以确定平面，还可以具体表示出内的任意一点． 进一步地，如图（2），取定空间任意一点，可以得到，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，使（*）.我们把（*）式称为空间平面的向量表示式． 知识点2 平面的法向量 1、平面法向量的定义 如图，若直线，取直线的方向向量，称为平面的法向量；过点A且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合． 2、平面法向量的性质 （1）平面的一个法向量垂直于平面内的所有向量； （2）一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 3、利用待定系数法求平面法向量的步骤 （1）设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)； （2）选向量：在平面内选取两个不共线向量，； （3）列方程组：由列出方程组； （4）解方程组： （5）赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)； （6）得结论：得到平面的一个法向量． 知识点3 空间中直线、平面的平行 1、线线平行：若分别为直线的方向向量，则使得． 2、线面平行 法1：设直线的方向向量，是平面的法向量，，则． 法2：在平面内取一个非零向量，若存在实数，使得，且，则． 法3：在平面内取两个不共线向量，若存在实数，使得，且，则． 3、面面平行：设分别是平面的法向量，则，使得． 知识点4 空间中直线、平面的垂直 1、线线垂直：若分别为直线的方向向量，则． 2、线面垂直 法1：设直线的方向向量，是平面的法向量，则，使得． 法2：在平面内取两个不共线向量，若.则． 3、面面垂直：设分别是平面的法向量，则． 考点一：直线方向向量的求解与应用 1. 已知一直线经过点，下列向量中是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得直线的方向向量与共线， 而，所以是该直线的方向向量.故选：D. 考点二：平面法向量的求解 2. 已知点，则下列向量可作为平面的一个法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由知， 设平面的一个法向量为，所以， 取，解得，选项D符合， 另外选项ABC中的向量与选项D中的向量不共线.故选：D 考点三：利用向量判断线面位置关系 3. 若平面外的直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ） A． B． C． D．与斜交 【答案】B 【解析】根据题意，直线的方向向量为， 平面的法向量为，易得， 又直线在平面外，则有．故选：B． 4. （多选）设是不重合的两个平面，分别为平面的法向量，为直线的方向向量，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对A，若一直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线垂直于该平面， 所以若，则，A错误； 对B，若一直线的方向向量与一平面的法向量垂直，则该直线平行于该平面或者在该平面内， 所以若，则或， B错误； 对C，若两个不同的平面的法向量互相平行，则两个平面互相平行， 所以若，则， C正确； 对D，若两个平面的法向量互相垂直，则两个平面垂直， 所以若，则， D错误.故选：ABD． 5. （多选）给出下列命题，其中是假命题的是（    ） A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与平行 B．若直线的方向向量，平面的法向量，则 C．若平面的法向量分别为，则 D．若平面经过三点，向量是平面的法向量，则 【答案】ABC 【解析】对于A，因为，所以直线与直线不平行，故A错误； 对于B，因为，所以向量与向量不平行，则直线与平面不垂直，故B错误； 对于C，因为，所以与不垂直，故C错误； 对于D，，因为向量是平面的法向量， 所以，解得，则，故D正确.故选：ABC. 考点四：向量法证明平行关系 6. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=2，点M在棱BB1上，且BM=2MB1，点S在棱DD1上，且SD1=2SD，点N，R分别为棱A1D1，BC的中点.求证：MN∥RS. 【解析】方法一　如图所示，建立空间直角坐标系， 根据题意得M N(0，2，2)，R(3，2，0)， S. 则分别为MN，RS的方向向量， 又== 所以=所以∥因为M∉RS， 所以MN∥RS. 方法二　设=a=b=c， 则=++=c-a+b， =++=b-a+c. 所以=所以∥. 又R∉MN，所以MN∥RS. 7. 在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC=a.E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB. 【解析】如图所示，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 连接AC，交BD于点G，连接EG，依题意得D(0，0，0)， A(a，0，0)，P(0，0，a)，EB(a，a，0). 方法一　设平面EDB的法向量为n=(x，y，z)， 又== 则有即即 令z=1，则所以n=(1，-1，1)， 又=(a，0，-a)，所以n·=(1，-1，1)·(a，0，-a)=a-a=0.所以n⊥. 又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB. 方法二　因为四边形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心， 故点G的坐标为所以=.又=(a，0，-a)， 所以=2则PA∥EG.而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB. 方法三　假设存在实数λ，μ使得 =λ+μ 即(a，0，-a)=λ+μ 则有 解得 所以=-+又PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB. 8. 如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，求证：平面AB'D'∥平面BDC'. 【解析】方法一　设该正方体的棱长为1，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B'(1，1，1)，D'(0，0，1)，B(1，1，0)， D(0，0，0)，C'(0，1，1)，于是=(0，1，1)， =(1，1，0)，=(1，1，0)=(0，1，1). 设平面AB'D'的法向量为n1=(x1，y1，z1)， 则令y1=1，则x1=-1，z1=-1， 可得n1=(-1，1，-1). 设平面BDC'的法向量为n2=(x2，y2，z2)，则 令y2=1，则x2=-1，z2=-1，可得n2=(-1，1，-1).所以n1=n2，所以n1∥n2， 故平面AB'D'∥平面BDC'. 方法二　由方法一知=(-1，0，1)=(-1，0，1)=(0，1，1)=(0，1，1)， 所以== 即AD'∥BC'，AB'∥DC'，又AD'⊄平面BDC'，BC'⊂平面BDC'，AB'⊄平面BDC'，DC'⊂平面BDC'， 所以AD'∥平面BDC'，AB'∥平面BDC'. 又AD'∩AB'=A，且AD'，AB'⊂平面AB'D'， 所以平面AB'D'∥平面BDC'. 方法三　由方法一得平面AB'D'的一个法向量为n1=(-1，1，-1). 易知=(1，1，0)=(0，1，1). 因为n1·=(-1，1，-1)·(1，1，0)=0， n1·=(-1，1，-1)·(0，1，1)=0， 所以n1也是平面BDC'的一个法向量，所以平面AB'D'∥平面BDC'. 9. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为　　　　. 【答案】　 【解析】　如图，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.设AB=a，AP=b， 则A(0，0，0)，D(0，1，0). P(0，0，b)，B1(a，0，1)，E. 于是=(a，0，1)= =(0，-1，b). 方法一　设平面B1AE的法向量为n=(x，y，z)，则得取x=2， 得y=-a，z=-2a， ∴n=(2，-a，-2a)是平面B1AE的一个法向量.∵DP∥平面B1AE，∴·n=a-2ab=0， 解得b=即AP=. 方法二　∵DP∥平面B1AE，∴存在实数λ，μ， 使=λ+μ 即(0，-1，b)=λ(a，0，1)+μ =. ∴∴b=λ=即AP=. 10. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2.线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1？ 【解析】　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为A，C，D1的坐标分别为(3，0，0)，(0，4，0)，(0，0，2)， 所以=(-3，4，0)=(-3，0，2). 设n=(x，y，z)是平面ACD1的法向量，则n·=0，n·=0， 即所以 取z=6，则x=4，y=3. 所以，n=(4，3，6)是平面ACD1的一个法向量. 由A1，C，B1的坐标分别为(3，0，2)，(0，4，0)，(3，4，2)，得=(0，4，0)=(-3，0，-2). 设点P满足=λ(0≤λ≤1)，则=(-3λ，0，-2λ)， 所以=+=(-3λ，4，-2λ). 令n·=0，得-12λ+12-12λ=0，解得λ=此时A1P⊄平面ACD1，这样的点P存在. 所以，当=即P为B1C的中点时，A1P∥平面ACD1. 11. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？ 【解析】　如图所示，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q.设正方体的棱长为1， 则OPA(1，0，0)，B(1，1，0)， D1(0，0，1)，设Q(0，1，m)(0≤m≤1). 方法一　因为==(-1，-1，1)， 所以∥于是OP∥BD1. 又==(-1，0，m)，当m=时= 即∥所以AP∥BQ，又OP∩AP=P，BD1∩BQ=B， 所以平面PAO∥平面D1BQ， 故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 方法二　==. 设平面PAO的法向量为n1=(x1，y1，z1)，则有n1⊥n1⊥ 因此取x1=1，则n1=(1，1，2). 又因为=(-1，-1，1)=(0，-1，1-m). 设平面D1BQ的法向量为n2=(x2，y2，z2)， 则有n2⊥n2⊥因此 取z2=1，则n2=(m，1-m，1). 要使平面D1BQ∥平面PAO，需满足n1∥n2， 因此==解得m= 这时Q. 故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 考点五：利用向量法证明垂直关系 12. 如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN=CC1.求证：AB1⊥MN. 【解析】方法一　设AB的中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得 AB CNB1 ∵M为BC的中点， ∴M.∴= =(1，0，1)， ∴·=-+0+=0.∴⊥ 即AB1⊥MN. 方法二　设=a=b=c， 则由已知条件和正三棱柱的性质， 得|a|=|b|=|c|=1，a·c=b·c=0， =a+c=(a+b)=b+c， =-=-a+b+c， ∴·=(a+c)· =-+cos 60°+0-0+0+=0. ∴⊥即AB1⊥MN. 13. 如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点.求证：平面PCD． 【答案】证明见解析 【解析】如图，因平面ABCD，底面ABCD为正方形， 故可以分别为的正方向建立空间直角坐标系. 又PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点， 则, , 于是， 不妨设平面PCD的法向量为， 则有令，故可取， 因，则平面PCD. 14. 如图，在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.求证：平面EFG⊥平面PBC. 【解析】如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 设PA=PB=PC=3，则P(0，0，0)，A(3，0，0)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)， ∴=(0，-1，-1)=(1，-1，-1). 设平面EFG的法向量为n=(x，y，z)， 则有n⊥n⊥. ∴令y=1，得z=-1，x=0， 即n=(0，1，-1). 显然=(3，0，0)是平面PBC的一个法向量. 又n·=0，所以n⊥ 即平面EFG的法向量与平面PBC的法向量互相垂直，∴平面EFG⊥平面PBC. 15. 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，E为BC的中点. (1)证明：平面ABCD； (2)在线段AN上是否存在点S，使得平面AMN?如果存在，求出线段AS的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【解析】（1）证明：连接BD，如图(1). 因为平面，平面ABCD，所以. 因为，所以四边形MDBN为平行四边形，所以. 又平面，平面ABCD，所以平面ABCD. （2）由题意知DM，DC，DA两两垂直. 以点D为原点，DA，DC，DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴 建立如图(2)的空间直角坐标系， 则，，，，， 假设在线段AN上存在点S，使得平面AMN，连接AE. 易知，，. 设，，则. 由平面AMN，得即，解得. 此时，所以. 故在线段AN上存在点S，使得平面AMN，此时线段AS的长度为. 16. 如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面互相垂直，已知BC=4，AB=AD=2. (1)求证：AC⊥BF；(5分) (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.(7分) 【解析】(1)　∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD， AF⊥AD，AF⊂平面ADEF，∴AF⊥平面ABCD. ∵AC⊂平面ABCD，∴AF⊥AC.过A作AH⊥BC于H(图略)， 则BH=1，AH=CH=3，∴AC=2∴AB2+AC2=BC2，∴AC⊥AB. ∵AB∩AF=A，AB，AF⊂平面FAB，∴AC⊥平面FAB. ∵BF⊂平面FAB，∴AC⊥BF. (2)　存在.理由如下： 由(1)知，AF，AB，AC两两垂直.以A为坐标原点， 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)， C(0，20)，E(-12). 假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合，设=λ， 则λ>0，P. 设平面PAC的法向量为m=(x，y，z).由==(0，20)， 得 即令x=1，则z= ∴m=为平面PAC的一个法向量. 同理，可求得n=为平面BCEF的一个法向量. 当m·n=0，即λ=时，平面PAC⊥平面BCEF， 故存在满足题意的点P，此时=. 17. 在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面. (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在点，点在直线（点在直线上且）上 【解析】（1）在中，点D、E分别为边AC、AB的中点， 且. 又平面平面，平面平面平面， 平面. 又平面. （2）由（1）知，. 以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. ， 设为平面的一个法向量， 则，取，则. 假设在平面内存在点，使得平面平面.连接. 若，则设.设平面的一个法向量为. 由，取，则. 平面的法向量.由知，此情况不成立. 若与不共线，设，连接. 设，则. 当，即时，. 又平面，即平面平面，也即平面平面. 所以在平面内存在点，当点在直线（点在直线上且）上时， 平面平面. 巩固训练 1、如图，在正四棱柱中，，点分别是的中点，点是线段上的动点，则下列说法错误的是（    ） A．当时，存在，使得平面 B．存在，使得平面 C．存在，使得平面平面 D．存在，使得平面平面 【答案】A 【解析】以D为原点，分别为建立空间直角坐标系，如图： 设，则，则， 因为点分别是的中点，所以， 对于选项B：设平面的一个法向量为， 因为， 可得，取，解得， 设， 因为，则，可得，即， 则， 若∥平面，则， 可得，且，解得，即为的中点，故B正确； 对于选项A：由B可知：， 若平面，则，则，当且仅当时成立，故A错误； 对于选项D：由B可知：，则， 因为，则， 设平面的法向量为， 则，取，得， 若平面平面，则，故D正确； 对于选项C：  当与D重合时，因为分别是的中点， 则，且平面，平面，可得平面， 同理可得：平面， 且，平面， 所以此时平面平面，故C正确； 故选：A. 2、（多选）在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，是线段（不含端点）上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．对于任意的点，四棱锥的体积为定值； B．对于任意的点，平面被正方体所截得的截面形状为五边形； C．存在点，使得平面； D．存在点，使得平面； 【答案】AC 【详解】对A：因为正方形的面积为4，点到平面的距离为， 所以，即四棱锥的体积为定值，故选项A正确； 对B：把截面补形为四边形，易得， 故平面被正方体所截得的截面多边形为四边形，故选项B错误； 对C：以点为坐标原点，，，分别为、、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，设， 设平面的一个法向量为，因为，， 所以，即，令，则，，所以， 若平面，，则，解得， 所以存在点G，使平面．故选项C正确； 对D：设平面的一个法向量为，因为，， 所以，即，令，则，，所以， 若平面，，则， 则，，分别解得，， 显然和不平行，所以不存在点G，使平面．故选项D错误． 故选：AC． 1 学科网（北京）股份有限公司 $