1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 同步训练- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，以空间向量研究直线、平面位置关系为核心，分层设计从概念理解到综合应用，通过梯度化题型培养空间观念与推理能力，巩固路径清晰适配课时目标。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|直线方向向量、平面法向量概念|单选题1-2直接考查概念辨析，夯实数学眼光中的空间观念| |技能应用|向量垂直平行运算、位置关系判断|填空题9-10强化符号运算，多选题7-8训练推理能力| |综合探究|空间向量在立体几何中的应用|解答题12结合正方体情境探究存在性问题，体现数学语言的模型观念|

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 同步训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所在向量，则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量，利用共线向量的概念逐一计算判断选项． 【详解】直线经过点，，， 与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量， 选项A：假设向量与共线，则， 由得，得，故不存在唯一的，使得成立， 故向量不是该直线的方向向量； 选项B：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项C：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项D：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量． 故选：A． 2．已知向量，，若，则（   ） A．6 B．8 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据空间向量共线的充要条件即可求解. 【详解】因为，所以，所以，，所以． 3．在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出点和向量的坐标，然后建立方程组求解法向量的坐标. 【详解】由题意，,. 设平面的法向量为. 则，令，则. 平面的一个法向量 4．在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】表示出，，后，利用空间向量坐标运算及垂直性质计算即可得. 【详解】，， ，， 由题意可得，解得. 5．设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（     ） A． B．或 C． D．与相交但不垂直 【答案】B 【分析】通过计算直线的方向向量与平面的法向量的数量积，判断直线与平面的位置关系. 【详解】因为，所以， 所以或. 6．我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，设，应用空间向量的数量积计算判断各个选项． 【详解】在堑堵中，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 不妨设，因，， 则得. 对于A，因，由可得不成立，故A错误； 对于B, 因，由，可得不成立，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C正确； 对于D，因，由，可得不成立，故D错误. 二、多选题 7．直的一个方向向量为，若，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】计算各选项中的向量是否与共线后可得正确的选项. 【详解】对于A，，故可为平面的法向量； 对于B，若，则，无解，故不为平面的法向量； 对于C，，故可为平面的法向量； 对于D，若，则，无解，故不为平面的法向量； 故选：AC. 8．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，.给出下列结论，其中错误的是（    ） A． B．AP⊥AD C．AP⊥AB D．是平面ABCD的一个法向量 【答案】ACD 【分析】根据空间向量减法的坐标运算及空间向量垂直的坐标表示、法向量的概念即可求解. 【详解】由题意，因为，，， 所以，故选项A错误； 因为，所以AP⊥AD，故选项B正确； 因为，所以AP与AB不垂直，故选项C错误； 若是平面ABCD的一个法向量，则平面ABCD，因为AB平面ABCD，所以 ,矛盾，所以不是平面ABCD的一个法向量，故选项D错误. 三、填空题 9．若平面的一个法向量，平面的一个法向量，且，则x＋z＝________． 【答案】-1 【分析】利用两平面平行法向量的关系及向量共线定理即可求解. 【详解】因为，所以，故存在实数使得：， 即， 所以，解得，所以. 故答案为： 10．在中，．向量为平面的一个法向量，则的坐标为__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据向量垂直求平面的法向量即可. 【详解】根据题意可得：，设， 与平面垂直，则，可得， 当时，则，的坐标为． 故答案为：（答案不唯一） 四、解答题 11．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【答案】(1) (2)方向向量，法向量为 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为底面为矩形，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为； （2）直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为， 由，得，令，则. 所以平面的一个法向量为. 12．如图，在正方体中，分别是的中点 (1)证明：平面. (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在.请说明理由. 【答案】(1) 以D为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 由中点坐标公式可得， 则，，， ， ， ，， 即，， 又，平面， 平面. (2)存在，满足，理由如下： 假设存在，使平面，设， 则， 由（1）知，是平面的一个法向量， 则， 解得， 故存在，满足，使平面. 【分析】（1）建立空间直角坐标系出，利用向量垂直的坐标表示及线面垂直判定定理求证； （2）根据向量法判断线面是否平行即可. 【详解】（1）略 （2）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 同步训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，若，则（   ） A．6 B．8 C．2 D． 3．在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 5．设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（     ） A． B．或 C． D．与相交但不垂直 6．我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 7．直的一个方向向量为，若，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 8．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，.给出下列结论，其中错误的是（    ） A． B．AP⊥AD C．AP⊥AB D．是平面ABCD的一个法向量 三、填空题 9．若平面的一个法向量，平面的一个法向量，且，则x＋z＝________． 10．在中，．向量为平面的一个法向量，则的坐标为__________． 四、解答题 11．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 12．如图，在正方体中，分别是的中点 (1)证明：平面. (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在.请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $