求平面的法向量专题训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦于空间向量中的法向量求解，围绕三棱锥、四棱锥、正方体等典型几何体展开，通过建立恰当的空间直角坐标系，引导学生从直观感知走向代数运算，构建“几何特征→坐标设定→向量表示→法向量计算”的完整思维链条，形成由具体到抽象的学习支架。 本资料突出核心素养导向，体现“数学眼光”“数学思维”与“数学语言”的融合运用。例如练习1和练习2中，学生需观察垂直关系并合理建系，发展空间观念与抽象能力；练习5和练习7通过非垂直结构的复杂情境，锻炼逻辑推理与问题转化能力；练习13至练习18则强调向量运算直接求法向量，提升符号意识与模型建构能力。整体设计层次清晰，题型覆盖全面，既利于教师精准施教，又助学生深化理解、迁移应用，有效提升空间想象与理性思维品质。

第五节 专题:求平面法向量专题训练 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 学科网（北京）股份有限公司 ▍练类型 三棱垂直的几何体求法向量 1 【练习▪1】（2024·全国高二专题）四边形是直角梯形,,,平面, ,,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面和平面的法向量. 【练习▪2】（2024·河南漯河高二）如图,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD, E为PD的中点,AB＝AP＝1,,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面ACE的一个法向量. 【练习▪3】（2021·全国高二课后作业）在棱长为2的正方体中,E,F分别为棱的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求平面和平面的法向量. 【练习▪4】（2024·全国高二上专题）如图,在四棱锥中,平面⊥平面,是边长为1的正三角形,是菱形,,E是的中点,F是的中点,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面的一个法向量.    ▍练类型 三棱不垂直的几何体求法向量 2 【练习▪5】（2024·全国高三练习）在三棱锥中,,平面平面ABC,, ,,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面的法向量. 【练习▪6】（2024·高三专题）如图1,直角梯形中,,,为的中点,将沿折起,使平面平面,如图2,连接,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面的法向量. 【练习▪7】（2024·高三专题）如图,在三棱锥中,E为BC的中点,O为DE中点,,, 都是正三角形,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面的法向量. 【练习▪8】（2024·浙江高二期中）如图,在三棱锥中,面面为等腰直角三角形,,点为线段的三等分点（靠近点）,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面的法向量.    【练习▪9】 如图,三棱柱中,,平面平面,, ,为中点,求平面和平面的法向量. 【练习▪10】 如图,四棱锥中,底面是边长为的正方形,,,, ,求平面的法向量. 【练习▪11】如图,三棱锥中,侧面是全等的直角三角形,是公共的斜边,且, 另一个侧面是正三角形,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面的法向量. 【练习▪12】四棱锥,底面为直角梯形,, ,, ,二面角的大小为,点到底面的距离为,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面的法向量. ▍练类型 直接通过向量运算求法向量 3 对于几何体中点坐标比较难确定的情况,可以通过运用向量的加减运算,直接得到平面内所需的直线的向量,不需要确定点的坐标. 【练习▪13】如图所示,三棱柱中,底面为等腰直角三角形,,平面, ,,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面的法向量. 【练习▪14】 四棱锥中,平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,,, ,,,点E是棱PC上靠近点P的三等分点,,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面的法向量. 【练习▪15】（2023·南京高三）在四棱锥中,平面,为棱上的靠近点的三等分点,,, ,,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面的法向量. 【练习▪16】三棱柱的所有棱长都相等,点在底面上的射影恰好是等边的中心,且分别为的中点,,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面的法向量. 【练习▪17】（2022·黑龙江大庆模拟）如图,在四棱锥中,四边形为平行四边形,在平面的投影为边的中点,, ,,,点为线段上靠近点的三等分点,,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面的法向量. 【练习▪18】如图,梯形ABCD中,ABCD,AD=DC =CB =1,∠BCD=120°,四边形BFED是以BD为直角腰的直角梯形.DE=2BF=2.平面BFED⊥平面ABCD,是上靠近点的三等分点. （1）求证:AD⊥平面BFED; （2）试建立恰当的空间直角坐标系,求平面的法向量. 、 $第五节专题：求平面法向量专题训练 重点题型专练 【1】n=(2,-11) 解析：因为S4⊥平面ABCD,AB,ADC平面ABCD,故SA⊥AB,4⊥AD 又∠ABC=90°，AD11BC,所以AB⊥AD, 所以以A为原点，以AD,AB,S的方向分别为x轴，y轴，=轴的正 方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则A(0,0,0),D0,0,0,C(2,2,0),S(0,0,2) 所以AD=L,0,0)是平面SAB的一个法向量 因为sC=(2,2,-2),SD=1,0,-2) 设平面SCD的一个法向量n=(,y,),则 [7.SC=2x+2y-2==0x=-2y 2.SD=x-2==0 x=2,取=1，得x=2,y=-1, 所以n=(2,-1,1)是平面SCD的一个法向量 【2】(N5,-5 析：因为A⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形，所以AB,AD,AP两两垂 直 如图所示，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为二轴，建立空间 直角坐标系A一x)5 (c)P.0),o.) 于是Ac=L5,0),征=0,5马 22 设平面ACE的一个法向量为n=(x,y,=), AC=0 x+√3y=0 z.A运=0'即13y+号==0● 0所以V 5=-3 令y=-1,则x=5,=5,即=(5，-1) 所以平面ACE的一个法向量n=(V3,-L,√3) 【3】n=(-2,2,0):m=(2,-2,-1) 解析： 由题意，可得D(0,0,0),B(2,2,0)A(2,0,0),C(0,2,0),E,0,2) 连接AC,因为底面为正方形，所以AC LBD, 又因为DD⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,所以DD⊥AC 且BD∩DD,=D,则AC⊥平面BDD,B,, ,AC=(←2,2,0)为平面BDDB的一个法向量.故平面BDDB的向量 n=(-2,2,0)(答案不唯一. DB=(2,2,0)DE=(L,0,2. 设平面BDEF的一个法向量为m=(y,=), 2,DB=0「2x+2y=0, y=-x, aD正=0…1x+2==0, 1 2 令x=2,得y=-2,==-1 ,m=(2,-2,-)即为平面BDEF的一个法向量.（答案不唯一） 【4】(5,2,-2 解析：连接PF,CF,因为aPAB是边长为1的正三角形，PA=PB,F为 AB的中点，所以PF⊥AB,又因为平面PAB⊥平面ABCD,平面 PABO平面ABCD=AB,PFC平面PAB,所以PF⊥平面ABCD 连接AC,因为AB=BC,∠ABC=60,所以△ABC是等边三角形，又F为 AB的中点，所以CF LAB. 综上可知，直线FB,FC,FP两两垂直， 所以建立以F为原点，FB,FC,FP分别为x轴，y轴，=轴的空间直角坐 标系F-,如图所示： 2 由题意，在正aPAB和正aA8C中，P=FC= 2 则F(0,00),D-1 44 设平面DEF的一个法向量为i=(x,y,) =0 [5,+5 =0 [y=- 则 4 4 FD=0' 即 ,化简得 -x+ -y=0 2 2 令y=2,则x=V5,=-2,即万=(V5,2-2 所以平面D驱F的一个法向量为i=(N5,2,-2(答案不唯一). 【5】n=4√2，) 解析：取AB中点E,连接PE,PA=PB,则PE⊥AB, 因为平面PAB⊥平面ABC,平面PABO平面ABC=AB,且PEc平面 PAB,所以PE⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以PE⊥BC 又因为PA⊥BC,且PE∩PA=P,PAC平面PAB,PEC平面PAB, 所以BC⊥平面PAB 所以得BC,BA,PE两两垂直，所以以B为原点，BC,BA所在的直线分别 为x,y轴，以过点B与PE平行的直线为二轴，建立空间直角坐标系，如图 所示， 故可得c460,0,02525,A50 3 33 可得C4= 46450,m0.2526 33 33 设平面CPA的法向量为n=(x,,), [46.4W C4.n=0 -y=0 由 3 3 PA.n=0' 得 2W32V6 (3 =0 3 令y=2,可得x=1,=1,所以n=4V5,), 【6】n=(W5,-1- 解析：因为CD⊥平面ABD,CD⊥BD,所以过D作平面BCD的垂线为： 轴，以D为原点，DB,DC分别为x轴，y轴建立如图所示空间直角坐标 系 AD=1,BC=3,AB=a,BD+CD*=9,BD=a'+LCD=a+4 解得a=√，4 n.DA=0 x+ 2=0 设平面DAE的法向量n=(x,y,),则有 3 3 故 2.DE=0 5x+ y=0 2 可得=(5，-1，-1 【7】m=(-5,-3 解析：因为△AED是正三角形，O为DE的中点， 所以AO⊥DE 因为△ABC,△BCD都是正三角形，E为BC的中点， 所以AE⊥BC,DE⊥BC, 因为AE∩DE=E,AE,DEC平面AED 所以BC⊥平面AED 因为AOC平面AED 所以BC⊥AO 因为BC∩DE=E,BC,DEC平面BCD, 所以AO⊥平面BCD. 以O为坐标原点，直线OE为x轴，过点O且与BC平行的直线为y轴， 直线Q4A为二轴建立的空间直角坐标系如图所示： E 设平面ABD的法向量为m=(,y,), 「m.AB=0 -2y5y-5=0 mBD=0 即 2*3 取==1，得x=-√3，y=-3, -y=0 所以m=(5,-3 【8】n=(2,12W2) 解析：取AB中点O,△4B为等腰直角三角形，则SO⊥AB 面SAB⊥面ABC,面SAB∩面ABC=AB,SOC面AB,所以SO⊥面 ABC, 以点O为原点，OA为x轴，平面ABC内过O点垂直于AB的直线为y 轴，OS为二轴，建立如图所示的空间直角坐标系， B C 由AB⊥BC,V5AB=BC=2,△SAB为等腰直角三角形，∠ASB=90°， 2 点E为线段SB的三等分点（靠近点S), 设面ACE的一个法向量为n=(x,y,=),则有 丽：25+5=0 3 3 AC=-2x+2y=0 令y=1,则x=5,y=22,得万=(5,12) 【9】详见解析 解折：延长A码至0，使A0=1,连接80，因为∠A8品=背 则BG⊥A,G,BG⊥BC,AB⊥BC 以B为原点，BC,BA,BG分别为x,y,=轴建立如图所示的空间直角坐标 系， 其中各点坐标为：a(0o,o.ct0,oa15),210 正-G丽-o1c-oo). 设平面FBB,的一个法向量为i=(x,y,) i丽=+y=0 则 ,取y=-√5，则x=25,==1,则 n,BE=y+√5==0 i=(25,-5,, 设平面BB,C的一个法向量为m=(a,b,c). 则历8C=a=0 a照=6+5=0取6=5，则a=0e=-1,则元=05，-. 【10】m=（N2,0,-√3 解析：连接AC,与BD交于点N,连接PV 过P作AC的垂线，垂足为O→PO⊥AC 因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD 因为PB=PD,N为BD的中点，所以BD⊥PW 因为AC∩PN=N,ACc平面PAC,PNC平面PAC 所以BD⊥平面PAC.所以BD⊥PO 因为AC⊥PO可得：PO⊥平面ABCD. 以O为坐标原点，过O且平行于AB,AD的直线分别为x轴，y 轴，OP所在直线为=轴，建立如图所示的空间直角坐标系如下图所示： ZA 由AB=2N2,得AC=4,因为PA=2,PC=2√5， 所以PA⊥PC,则PO=√3，AO=1,CO=3, 则550, 、220 5000，c3y550 2 2 (22 由MC=2PM, AD=(0,2V2,0) 设平面ADM的法向量为m=K,y,), AM.m=0, 由 得 2+5+25=0. AD.m=0 3 2W2y=0, 令x=√互，解方程组可得，x=√2，y=0,==-V5故m=(V2,0,-√5 【11】n=1,5) 解析：取BC中点E,连接AE,DE,如图所示： aABC是正三角形， AB=AC,E为BC中点， .AE⊥BC, BD=CD,E为BC中点， .DE⊥BC AE∩DE=E,AEC平面ADE,DEC平面ADE, ∴BC⊥平面ADE, :DE⊥BC 以E为原点，EC方向为x轴，ED方向为y轴，过E作垂直于平面 BCD的线为=轴建立如图所示直角坐标系， C AD=3,BD=CD=1 AB-AC-BC-AE= 2 不妨设A(0,y,), AD=√3，AC=√2 +=2=3 解得 2, +y2+=2=2 =1 2 设平面ACD法向量为=(，y,), 西95o西- n.CD=0 n.AD=0 巨x+E 即 2 +号=0，取y=,则1，=石.则云-L同 V2y-=0 【12】元=0,14) 解析：取线段AD的中点为O,线段BC的中点为E, 连接OE,QP, 因为ABCD为直角梯形，ABIICD 所以OEAB,又AD⊥AB, 所以AD⊥OE, 因为PA=PD,所以PO⊥AD, 又PO∩OE=O,PO,OEC平面POE, 所以AD⊥平面POE, 过点O在平面POE内作直线QW⊥OE 则直线OA,OE,ON两两垂直， 以O为原点，QA,OE,OW为x,y,二轴正方向建立空间直角坐标系， 过点P作PFIINO,交直线OE于点F, 因为ON⊥QA,ON⊥OE,QA,OEC平面ABCD,OAOE=O, 所以OW⊥平面ABCD,故PF⊥平面ABCD, 又点P到底面48CD的距离为：，所以F=号 因为QE⊥AD,OP⊥AD, 所以∠POE为二面角P-AD-B的平面角， 由已知可得∠P0E=135°，所以∠PQF=45 所以OF=号 所以后a0小0引（号20 所正-(aa0,历-侣号到 设平面PBC的法向量为万=(，y,), 两 [-ax+ay=0 所以{+受告0 令y=1,则x=1,=4, 所以万=(1，L,4)为平面PBC的一个法向量 【13】n=(0,-3,1 解析：因为AB,⊥平面ABC,所以AB,⊥AB 因为AB=1,BB,=2, AB=√3， 如图，以A为原点，AB,AC,AB,的方向分别为x轴，y轴，=轴的正方 向建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0),B,(0,0N5)B(L0,0)C0,10) ~88=c可=(1,05)4c=(110)48=0,0) AC=AC+c可=(0,10)+(L,0,v5=（1LB) 设平面A8C,的一个法向量为n=(,片，)， AB=0 x=0 a=0得 由 +少+5=0令=L,得y=-5, 平面A8C的一个法向量为n=(0,-√5，) 【14】n=1,0,-1) 解析： BE 以A为原点，AD,AB,AP分别为x,y,二轴，建立如图所示的空间直 角坐标系， 过C作CG1AD,交AB于点G,则易知四边形ADCG是矩形， 所以AD=CG=√22-1=5， 则4A(0,0,0),B(3,0,0),P(0,0,),C(2√3,0)，D(0,V3,0) E是棱PC上靠近点P的三等分点， 所以设(，)，则丽=Pc,所以(，%-=5-， 传浮周-居9-a6o 333 设平面ADE的法向量为n=(,y,),则nAD=0且元A正=0， -0n导号导=070令1题山 .平面ADE的一个法向量n=(1,0,-1, 【15】n=(-2,0,1) 解析：因为PA⊥平面ABCD,所以，PA⊥AD,PA⊥CD 因为PA=AD=CD=2,所以，PD=2√2， 因为PC=2W5, 所以CD2+PD2=PC2,即CD⊥PD 因为，PA∩PD=P,PA,PDC平面PAD, 所以CD⊥平面PAD, 因为ADC平面PAD 所以CD⊥AD 因为BCAD 又因为BC=3,AD=2,BC≠AD 所以四边形ABCD是直角梯形 在平面ABCD内，过A作AD的垂线交BC于点M 因为PA⊥平面ABCD,所以，PA⊥AD,PA⊥AM 所以，AP,AD,AM三条直线两两垂直，如图建立空间直角坐标系A-xy 则A(0,0,0),P(0,0,2),D(0,2,0),C(2,2,0),B(2,-L0) 因为E为棱PB上的靠近点P的三等分点 所以正=亚+号=@0a+-2小后行 ,AD=(0,2,0) 设平面EAD的一个法向量为n=(x,y,) 90即13330 2,AE=0 [2x-1y 则 ,令==1，则x=-2y=0 2y=0 所以，n=(-2,0,1) 【u19吗 解析：设点O为aABC的中心，连接A,O,连接AO并延长交BC于点 则AE⊥BC,AO⊥平面ABC. 以O为坐标原点，平行于BC且指向CB的方向为x轴正方向，OE,QA, 分别为y,=轴建立坐标系， 设棱长为3，则 -V)oav).c-.) 所西河9 不-056 设平面AED的法向量为n=(x,y,) 元布-点，-6-0 则 2 取则9所以9吗 【17】n=(0,-3,1) 解析： 因为四边形ABCD是平行四边形，所以 cD=A8=l,0D=4D=8c=2,∠CDA=∠ABC=号 故在△OCD中，由余弦定理可得： 0C=cD2+0D-2-CD-0D-co∠CA=l+4-2x1x2xco号3 0C=√5 OC2+CD2=OD2,.CD⊥OC,又：P在平面ABCD的投影为O PO⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,∴PO⊥CD,PO⊥OC 取BC的中点F,连接QF,因为OF,OP,OC两两垂直，故分别以 OC的反向延长线、OF,OP为x轴、y轴、二轴建立如图的空间直角 坐标系，则 W52,0),P(0,0,3),C-5,0,0),o=(5,2,0),oc=(50,0) 0=00,3),驴=0丽-0丽=(5，-2,3， 设远小正西9小 易知平面POC的一个法向量为m=(0,10), 设平面EOC的法向量为n=(x,,=), OGi=-√5x=0 则 3 令==1得n=(0,-3,1) 【11a)证明见解断：《@)5 解析：(1)在梯形ABCD 中，ABCD,AD=DC=CB=L,∠BCD=120°，∠CBA=60° 过C作CGIlAD,因为AGCD,所以四边形AGCD是平行四边形. 由于AD=CD,所以四边形AGCD是菱形，AG=CG=1 则三角形BCG是等边三角形，所以BG=1,所以四边形BCDG是菱形. 则BD⊥CG,则AD⊥BD. 由于平面BFED⊥平面ABCD,交线为BD,而DE⊥BD, 所以DE⊥平面ABCD,则DE⊥AD, 由于BDO DE=D,所以AD⊥平面BFED (2)以D为原点建立如图所示空间直角坐标系， 4 o).(.Jic)z02)5.号9 西5刷丽-a明元-（行普 ~丽-E=0,-51 3 3'3月 .B=BF+F= 设平面PBC的法向量为n=(x,y,) a8P=-5 则 3 y+ 42=0 .=-x- 3 令：=1故可得x=4,y=4 3 y=0 2” 2 所以44 3