数列的方法体系（中）求和篇讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕数列求和核心考点，系统梳理裂项相消、错位相减、分组等方法的原理判据与步骤，通过考点梳理、方法指导、真题例题解析及分层练习，帮助学生构建从题型到方法的完整体系，突破求和难点。 讲义以数学思维和数学语言为导向，创新设计裂项核对头尾、错位代值验算等策略，结合各地模拟真题实例，通过易错点警示和分层练习，确保学生在有限时间内精准掌握求和方法，提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

数列的方法体系（中） 求和篇 · 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点六　裂项相消求和 原理：把通项 写成 的形状，求和时中间各项两两抵消，只剩首尾两项。所以裂项题的第一步永远是「把通项拆成差」。 四个常用裂项： 判据：分母是「两个相隔固定项的因式之积」，或者式子里出现 这类能拆成差的结构。 裂项常与放缩配合：证不等式时先把 放大成 、或缩小成 ，再裂项求和。放缩方向必须与结论一致。 ⚠ 裂项后剩下的「头尾」有四种可能：、、（隔项裂开时）等。不要背结论，把前两项与后两项写在旁边对一下最稳。 ★ 分母能分解成「相邻」或「相隔固定项」的两个因式，就是裂项的信号。拆完先检查一遍：把 通分回去，看是否等于原来的 。 知识点七　错位相减求和 适用形状：通项是「等差乘等比」，即 ，其中 等差、 等比（公比 ）。 步骤：先写出 ；两边乘公比 得到 ，并把 的每一项往后错一格对齐书写；两式相减， 的首项保留、中间是 项的等比段、末项取相反数；中间段套等比求和公式，最后两边除以 。 结果常可整理成 的形式（、 为待定常数）。求出后代 、 各验一次。 ⚠ 三个高频失分点：① 中间等比段的项数是 而不是 ；② 相减时末项的符号（是减去而不是加上）；③ 最后除以 前要确认 。 ★ 看到通项是「一次式乘指数」（、）就条件反射用错位相减。这类题计算量大，验算方式就是代 看 是否等于 。 知识点八　分组、并项、周期与倒序相加 分组求和：通项能拆成两类标准数列之和（如 是「等差加等比」），就分别求和再相加。 并项求和：通项含 或可两两配对时，把相邻两项并成一组，先算一组的值，再数一共有多少组。正负交错的关键是「配对后每组是否为定值」。 周期求和：若 ，则一个周期内的和为定值， 奇偶分类讨论： 的表达式随 的奇偶变化时，先分别求 与 ，再把结果按 的奇偶写成分段形式。 倒序相加：把 与倒着写的 相加。若与首末等距的两项之和 是定值 ，则 ，即 。 倒序相加的典型场合有两类：一是与首末等距的项成对相等（等差求和公式就是这样推出来的）；二是函数型数列，由 保证配对的两项之和为定值。 ⚠ 并项求和时要注意「项数是否为偶数」。 为奇数时最后一组只剩一项，必须单独处理，这是最常见的错漏。 ★ 判据看通项的结构而不是名字：能拆成两类标准数列 → 分组；出现 或符号交错 → 并项；递推里出现 → 周期；与首末等距的两项之和是定值 → 倒序相加。四种都是「把不会算的化归成会算的」。 二、方法突破 方法六　裂项相消求和 原理：把通项 写成 ，求和时中间全部抵消，只剩头尾。 四个常用裂项：；；；对数型 。 判据：分母是「两个相邻（或相隔固定项）因式的乘积」，或者式子里出现 这种可以拆成差的结构。 裂项常与放缩结合：证不等式时先把 放大成 或缩小成 ，再裂项。 ★ 裂项相消后剩下的「头尾」有几种可能：、、（隔项裂开时）。别背结论，把前两项和后两项写在旁边对一下即可。 例题 例 6-1 （安徽省安庆市2025届高三第三次模拟考试数学试题 · 第15题） 【解答】已知数列中，，设为前n项和，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和 【解析】 （1）条件 里 与 同现，先作差把它们统一成 。 时 ，得 ； 时把 换成 ：，与原式相减： 所以 时 ，右边只含 ，用累乘： 即 （），且 也符合这个式子，所以对一切正整数 都有 。 （2）把通项代进 ：，，所以 分母是两个余弦之积、分子是两者角度差的正弦，这正是两角差的正切公式的「逆用」： 所以 ，这是一个标准的裂项： （裂项相消后只剩第一项被减与最后一项被加， 减的是 ， 加的是 。） 第 1 步　 ◈ 与 同现就作差（），这是固定第一步；本题作差后 的系数是 ，所以递推只能从 起用， 正是题设给的起点。 要单独算，再回头确认它与通项是否一致。 第 2 步　 ◈ 这是「三角裂项」：把 写成 。能用的关键是两角之差 是常数——本题 与 恰好相差 （因为 是公差为 的等差），所以分子里的 是常数而不是 这类变数。 第 3 步　 ◈ 裂项后先写前两项、后两项对一下再下结论：，中间全部抵消，只剩 。 答　（1）；（2） 例 6-2 （衡阳市2026届高三下学期第二次联考 · 第15题） 【解答】已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，，数列 的前 项和为 ，满足 ．（1）求数列 ， 的通项公式；（2）已知数列 满足：，求数列 的前 项和 ． 【解析】 （1）等差数列给了两个条件，都翻译成基本量。 给出 ； 给出 。于是公差 ，， 再看 。条件 里 与 同现，依旧作差。 时 ，得 ； 时把 换成 相减： 所以 是首项 、公比 的等比数列，。 （2）把 、 代入 ： 分母仍是「相隔两项的两个因式」，但分子带 ，所以不能直接拆成两个分式——要用「带指数的裂项」：试着找一个形如 的式子，使 正好等于 。 算 ： 与 比较，取 即吻合。所以 ，其中 。于是 （检验 ：，而 ，吻合。） 第 1 步　 ◈ 与求和有关的递推，一律「 单独算、 作差」。本题作差后 全部消掉，直接得到等比关系；别忘了先由 定出 。 第 2 步　， ◈ 带指数的裂项靠待定系数：先看出来「 的形式应该是 」（指数跟着通项走、分母取因式中较大的那个），再算一次 定出 。这类题不要求一眼看出结果，动笔算一遍最快。 第 3 步　 ◈ 裂项求和的结果只由 与 决定，所以 。写成 后，用 代回检验一次，能挡住绝大多数符号错误。 答　（1），；（2） 例 6-3 （2025届山东省济南市高三高考针对性训练（三模）数学试题 · 第16题） 【解答】记等差数列的前n项和为，数列的前n项和为，已知． （1）求的通项公式； （2）求； （3）若成立，求实数k的最小值． 【解析】 （1）等差数列只给了 与 。由 得 ，所以公差 ， （2） 是 的前 项和，而 ，分母是相邻两数之积，裂项： （3），，即 对一切 成立。把 单独解出来： 所以 不小于 的最大值。算前几项： 时 ，而分子分母同号为正的 与 ，所以 。因此最大值是 ， 即 的最小值为 。 第 1 步　 ◈ 等差数列的前 项和 的倒数，是裂项题里出现频率最高的一个通项。看到 就条件反射地裂项，不必犹豫。 第 2 步　 对一切 成立 ◈ 「 含 的式子恒成立」等价于「 不小于该式的最大值」；反过来若是「 含 的式子恒成立」，则取最小值。方向弄反是这一考点最常见的错。 第 3 步　 是最大值（ 时 ） ◈ 本题的 不是单调的，直接求导反而麻烦。盯住分子里的 ：只要 它变号，函数就落进负值区，所以最大值只需在前三项里找。 答　（1）；（2）；（3） 的最小值为 练习 6-1. 【解答】设为数列的前项和，且是和8的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）令，数列的前项和为，证明：. 解析　答：（1）；（2）见解析 （1）「 是 和 的等差中项」翻译成 。 与 同现， 时 ，得 ； 时写出 并相减： 所以 是首项 、公比 的等比数列， （2）由 得 ，所以 右边：，所以 （取不到等号）。 左边： 随 增大而增大（ 随 增大而增大），所以最小值在 处取到： 因此 。 6-2. 【解答】已知数列的首项为，前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）求满足的的最小值； （3）已知，记数列的前项和为，求证：. 解析　答：（1）；（2）；（3）见解析 （1）条件 里左右都有 ，把 用上，立刻化简： 这是「 只含 」的形状，用累加。，所以 （2）解 ： 方程 的根为 ，即 与 ，所以不等式在 或 时成立，满足条件的最小正整数为 。 （3）先算 ： 所以 （两个因式相差 ，所以拆出的系数是 。）裂项求和： 即 。 右边：，所以 ； 左边： 随 增大而减小，所以 随 增大而增大，最小值在 处： 故 。 6-3. 【解答】已知数列为等差数列，且满足． （1）若，求数列的前项和； （2）若数列满足，且数列的前项和，求数列的通项公式． 解析　答：（1）；（2） （1）设 。条件 对一切正整数 成立，代入比较系数： 两边 的系数同为 ，常数项给出 ，即 。已知 ，所以 ，。 所求为 （2）由 的前 项和 求 。 时 ； 时作差： 注意此时 中的 尚未确定（第（2）问是独立的设定），设 ，则 、，于是 代入条件 ： 两边同乘 ：，解得 。所以 ， （ 也成立：，吻合。） 方法七　错位相减求和 适用形状：，其中 等差、 等比（「等差乘等比」）。 步骤：写出 ；两边乘公比 得 并错位对齐（把 的每一项都往后挪一格写）；两式相减，得到 首项 中间等比段 尾项；中间段套等比求和公式，最后两边除以 。 三个高频失分点：① 中间等比段的项数是 而不是 ；② 相减时最后一项的符号（是减不是加）；③ 最后除以 时别忘讨论 。 简化记法： 的形式（、 为待定常数），求出 、 后可以代 验算。 ★ 看到通项是「一次式乘指数」的形式（如 、），条件反射用错位相减。这类题计算量大，验算一定要做——取 检查 是否等于 ，取 再核一次。 例题 例 7-1 （2025届湖南省郴州市高三三模数学试题 · 第16题） 【解答】已知数列为等差数列，且，. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式； （3）已知数列满足：，求数列的前项和. 【解析】 （1） 给出 ，又 ，两者相差 项，所以 （2） 里 与 同现， 时 得 ； 时写出 相减： 所以 。 （3），是「等差 × 等比」，用错位相减。先把 与 并排写好： 两式相减（注意第二式要「错开一位」对齐）： 括号内是等比数列，，代入： 所以 。 （检验 ：；公式给 ，吻合。：；公式给 ，吻合。） 第 1 步　 ◈ 判据是「通项 = 多项式 × 指数」： 是等差数列、 是等比数列，相乘就一定是错位相减，没有别的选择。反过来，若通项是「多项式的和」（如 ），先拆成两组分别处理。 第 2 步　 ◈ 错位相减最易错的是「中间那一串」，它由三个部分组成：第一项 （只有 有）、中间的等比和（系数是 的公差）、最后一项 （只有 有，带负号）。把两式上下对齐写、错开一位再减，比背结论可靠。 第 3 步　 ◈ 结果里带着 与常数 ，代 各验一次就能确认。错位相减的符号错（少一个负号、指数写错一位）都会在这两处露出来。 答　（1）；（2）；（3） 例 7-2 （广东省清远市2025-2026学年高三上学期10月教学质量检测（一）数学试题 · 第16题） 【解答】设数列的前项和为，且． （1）证明：为等比数列； （2）求数列的前项和． 【解析】 （1）条件 里 与 同现，还是作差。 时 ，得 。 时用 代入： 整理得 ，即 而 ，所以 是首项 、公比 的等比数列，，即 。 （2）所求为 ，先拆成分组： 后半段 ；前半段是等差 × 等比，记 ，错位相减： 两式相减： 而 ，代入得 所以 ，于是 （检验 ：；公式给 ，吻合。） 第 1 步　 ◈ 作差之后一定得到一阶线性递推，再按上册方法四的模型①处理（两边减不动点 凑等比）。错位相减的题十有八九都这样开头：先求通项，再求和。 第 2 步　 ◈ 先把通项展开成「等差 × 等比」与「纯等差」两组，各用各的方法算。这是「分组 + 错位相减」的组合，比把 直接硬套要清楚得多。 第 3 步　 ◈ 注意 前面的系数：本题公比是 ，所以相减后是 而不是 。公比 时相减得 ，最后要除以 ——漏除是最常见的失分点。 答　（1）见解析；（2） 例 7-3 （石家庄市2026届普通高等学校毕业年级教学质量检测（二） · 第16题） 【解答】已知数列 的前 项和为 ，且满足 ．（1）求数列 的通项公式；（2）在 与 之间插入 个数，使这 个数成等差数列，公差记为 ，设 ，求数列 的前 项和． 【解析】 （1）： 时 ，得 ； 时 相减得 ，即 。所以 （2）在 与 之间插入 个数后，共有 项，首项 、末项 ，所以公差是「首末之差除以间隔数」： 于是 这是标准的等差 × 等比（ 与 ），错位相减： 相减： 所以 （检验 ：；公式给 ，吻合。） 第 1 步　 ◈ 插项题的「间隔数」是 而不是 ： 项之间有 个间隔（公差个数 = 项数 ）。这一步数错，后面 就全错。题设把 乘了 ，正是为了把分母约掉，设计意图要先看出来。 第 2 步　 ◈ 到这里就化成最标准的错位相减形态了。看到「插项」不要慌，它只是把 造出来，求和仍然是课本上的三步：写出 、写出 、相减。 第 3 步　 ◈ 是最常被直接引用的结论。建议记牢它，考试时写「由错位相减得」，可以省下两三行。 答　（1）；（2） 练习 7-1. 【解答】已知数列 的首项 ，前 项和为 ，且满足 ．（1）求证：数列 为等比数列；（2）若 ，求数列 的前 项和 ． 解析　答：（1）见解析；（2） （1） 里 与 同现， 时把 换成 ：，与原式相减： 两边减 ：。又 ，所以 是首项 、公比 的等比数列，，即 。 （2），拆成两组分别求和： 所以 （检验 ：；公式给 ，吻合。） 7-2. 【解答】已知数列 ，，．（1）求证：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 ． 解析　答：（1）；（2） （1） 两边减 ：，即 。又 ，所以 是首项 、公比 的等比数列， （2），还是分组：等差部分直接用公式，等比部分错位相减。 记 ，则 相减得 括号内 ，所以 于是 7-3. 【解答】已知等比数列 的公比 为整数，且 ，．（1）求 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 ． 解析　答：（1）；（2） （1）等比数列的两个条件都含 ，两式相除可以一次消掉它： （分子用了立方和 ，约去 的前提是 ，而 正好保证了这一点。） 整理得 ，即 ，所以 或 。题设说公比为整数，取 。代回 ，得 ， （2） 正负交替，加了绝对值以后反而变简单： 这是「等差 × 等比」（ 与 ），错位相减： 相减： 括号内 ，代入得 所以 （检验 ：；公式给 ，吻合。） 方法八　分组、并项、周期与倒序相加 分组求和：通项是「等差 等比」的结构（如 ）时，拆成两组分别套公式再相加。 并项求和：通项含 或者可以两两配对时，把相邻两项并成一组，先算出一组的和，再看有多少组。 周期求和：若 ，则一个周期内的和是定值， 用「整周期部分 残余部分」计算。 奇偶项分类讨论： 的表达式随 的奇偶变化时，分别求出 与 ，再按 的奇偶写成分段形式。 倒序相加：把 与倒着写的 相加，若与首末等距的两项之和是定值 ，则 ，即 。等差求和公式与 型数列都归到这里。 ★ 判断用哪一种，看通项的「结构」而不是「名字」：能拆成两类标准的和 → 分组；有 或符号交错 → 并项；递推里出现 → 周期；与首末等距的项成对为定值 → 倒序相加。四种都是「化归成会算的东西」。 例题 例 8-1 （濮阳市2026年高三第二次模拟考试 · 第15题） 【解答】已知数列 的前 项和 ．（1）求数列 的通项公式；（2）求数列 的前 项和．注意：这里 表示角度，． 【解析】 （1）已知 求 ： 时 ； 时 且 也符合，所以 。 （2）所求通项是 ，先用降幂公式把它变成一次式： 于是 再看后面的余弦和。 取到的角度依次是 ，恰好是余弦的一个完整周期（ 被均匀分成 份），一个周期内余弦值之和为 ，所以 第 1 步　 ◈ 通项里出现 或 ，第一步一定是降幂化成一次式（）。不降幂就没法看出周期，也没法分组。 第 2 步　 是一个完整周期，余弦值之和为 ◈ 求和前先确认「取到的角度是不是刚好铺满整数个周期」。 到 给出 到 共 个等分点，正好一整圈；若不是整周期，就要按「整周期 + 残余」拆开算。本题的 不是随便选的。 第 3 步　 ◈ 结果恰好是项数的一半——因为 在一个周期内的平均值是 。记住这个直觉，可以用它检查答案量级： 项、每项在 之间，得 是合理的；若算出 或 就一定错了。 答　（1）；（2） 例 8-2 （滁州市2026届高三第二次教学质量监测 · 第13题） 【填空】已知数列 的通项公式是 ，去掉数列 中的 后余下的项构成新的数列 ，则数列 的前 项和 __________. 【解析】 先弄清「去掉 」以后 长什么样。，把 按除以 的余数分三类： （；而 被去掉了。） 所以保留下来的项按原顺序恰好两两成组： 即 的奇数项构成公差 的等差数列、偶数项也是公差 的等差数列。求前 项和就按「一组两项」配对： （检验 ：保留的头两项是 、，和 ；公式给 ，吻合。） 答　 例 8-3 （广东省汕头市普通高考2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 · 第16题） 【解答】已知数列，，其前项和为． （1）求； （2）求； （3）若数列的前项和为，且，证明：． 【解析】 先把通项化简。用二倍角公式 ： 的取值只依赖 除以 的余数： 所以 每三项一个循环，求和时按三项一组。 （1） （2）一般地，第 组（）的三项为 ，它们的符号依次是 ： 展开合并： 于是 （3）把 代进 ： 分子是等差、分母是指数，求 用错位相减。借助 与 ： 因为 对一切正整数 成立，所以 。 第 1 步　，三项一循环 ◈ 通项里出现 、 这类「周期为整数」的因子，就按它的周期分组（本题周期 ）。先用二倍角化简成一次式，再看周期——别一上来就硬算 。 第 2 步　 ◈ 每组三项的符号是 ：因为 时余弦都是 、 时是 。把符号和 的系数先写对，再展开平方，可以少出错。 第 3 步　 ◈ 证明不等式时的常用收尾：把有限和写成「常数 正项」。这里的常数 也可以直接用无穷和来理解——，说明 递增趋近 ，上界自然取不到。 答　（1）；（2）；（3）见解析 例 8-4 （本讲义自编） 【解答】已知函数 ，求 的值。 【解析】 要求和的自变量是 （），它们关于中点对称，先算一对互补的自变量之和。 把第二项分子分母同乘 ，分母化为 ： 而 与 之和恰好为 ，所以与首末等距的两项之和恒为 。 设 ，再把 倒着写一遍： 两式相加，同一位置上的两项恰好互补，每对都是 ，一共 项： 第 1 步　：与首末等距的两项成对为定值 ◈ 倒序相加的识别信号：要求的自变量（这里是 中的 ）关于中点对称，且 能算出一个常数。把 倒着再写一遍与原式相加，逐项配对即可——既不用求通项，也不用判断单调性。 答　 练习 8-1. 【单选】已知等比数列满足：.设，记数列的前项和为，则（ ） A. 149 B. 153 C. 155 D. 157 解析　答：B 先求等比数列。把两个条件相除： 再由 得 ，所以 。 于是 通项拆成「等比 」与「等差 」两组，分别用公式： 选 B。 8-2. 【填空】记表示不超过的最大整数．若正项数列满足，则数列的前101项和为___________． 解析　答：10101 先求 。 是关于 的一元二次方程，用求根公式： 两根为 与 。题设「正项数列」舍去负根，所以 。 于是 是 的整数部分。这个和不便直接算，用「分母有理化」放缩夹住它： 右边求和（ 单独处理）给出上界： 左边求和给出下界： 所以 （），整数部分为 ；而 时和式只有一项 ，直接得 （也可由 与 看出）。 于是前 项和： 8-3. 【单选】已知数列的第1项和第2项均为1，以后各项由给出.若数列的各项除以3所得余数组成一个新数列，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析　答：A 是斐波那契型（，），直接求 再取余不现实，要把「除以 的余数」当作新数列来找周期。 逐项递推（只记余数，两个余数相加后继续取余）： 余数从第 项起与第 项相同，接着第 项又与第 项相同，说明余数列以 为周期（这一周期内恰好把 走了一遍）。 下面定位下标。由 知 对应周期里的第 项，；由 知 对应第 项，。 选 A。 8-4. 【填空】已知数列满足，则除以16的余数为_________ 解析　答：15 条件 里的和不是「前 项和」而是「前 项积」，把积记为 ，条件就是 于是 这是乘式递推，直接逐项算，并且只关心除以 的余数。由 得 ： 用同余计算： 而若 ，则 ，所以从第 项起余数恒为 。 故 除以 的余数为 。 8-5. 【填空】设正整数数列满足，，则________. 解析　答：或 条件是「连续三项之积为定值」：。把 换成 再写一遍，两式相除： 所以 以 为周期，所有下标相差 的倍数的项都相等。 由 与 得 ，又各项都是正整数，所以 。 再看 ，即 ，所以 既可能是 也可能是 （取决于 取哪个），因此 的值为 或 。 （题设只给了 与「正整数」，没有更多条件能把 的顺序定死，所以两个值都要保留。） 8-6. 【单选】已知函数 ，则 （　　） A. B. C. D. 解析　答：A ，又是首末配对的结构，先算一对互补自变量之和。 第二项分子分母同乘 ：分母变成 ，分子变成 ，于是 九个自变量中， 与 、 与 、 与 、 与 配成 对，每对之和为 ；中间单独剩下 。 选 A。 8-7. 【填空】已知数列 对任意 都有 ，且 ，则 ______。 解析　答：198 条件 说的是：与首末等距的两项之和恒为定值，这正是倒序相加的适用场合。 把 倒着写一遍： 两式相加，第 个位置上是 ，由 时的条件知它恒等于 ，这样的配对共 组： 8-8. 【单选】九江银行·2025“庐山杯”九江马拉松于3月23日上午鸣枪开跑．此前，为备战此次马拉松，小宝同学制定了一个为期20周的跑步训练计划．计划第1周跑步2公里，之后一段时间每周的跑步量是前一周的2倍；当周跑步量首次超过30公里后，每周比前一周多跑2公里；当周跑步量首次超过全马里程（公里）后，保持这个周训练量直至训练结束．请问：训练计划结束时，小宝同学跑步的总量是（ ） A. 736公里 B. 724公里 C. 692公里 D. 660公里 解析　答：C 这是分段递推的实际问题。关键不是套公式，而是先按题目给的两个「阈值」把 20 周切成三段，再看每段用什么公式。 第一段：第 周跑 公里，之后每周翻倍，所以依次是 。 而 ，所以第一次超过 公里是第 周。 第二段：从第 周的 公里起，每周比前一周多 公里，即第 周 、第 周 ，依此类推。 要注意 与全马 的比较：第 周跑 公里， 还不算「超过」；第 周跑 公里，，这才是首次超过全马的周次。 第三段：第 周起每周都保持 公里，一直到第 周结束。 于是 20 周分成 三段，分别用等比、等差、常数求各段之和： 选 C。 （三个易错点：一是把「第一次超过 」的周次数错，二是把 公里当成超过全马；三是第三段的周数——第二段到第 周为止，第三段是第 到第 周，共 周。） 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $数列的方法体系（中） 求和篇·从题型到方法的完整梳理 第1页 一、知识点梳理 知识点六裂项相消求和 原理：把通项Qk写成bk一bk+1的形状，求和时中间各项两两抵消，只剩首尾两项。所以裂项 题的第一步永远是「把通项拆成差」。 四个常用裂项： 1=11-1 1-=Vn+1-Vn n(n+kk nn+k 'n+n+i n+1 11 1 n2n+22 n+2 on+1-lg(n+1)-Ign ,1g n 判据：分母是「两个相隔固定项的因式之积」，或者式子里出现”+1 这类能拆成差的结构。 裂项常与放缩配合：证不等式时先把1 放大成1、或缩小成 1 再裂项求和。放 nn+1) n2 n+1 缩方向必须与结论一致。 △裂项后剩下的「头尾」有四种可能：b1-bn、b1-bn+1、b1+b2bn-bn+1(隔项裂开时)等 不要背结论，把前两项与后两项写在旁边对一下最稳。 ★分母能分解成「相邻」或「相隔固定项」的两个因式，就是裂项的信号。拆完先检查一遍： 把bk一bk+1通分回去，看是否等于原来的ak。 知识点七错位相减求和 适用形状：通项是「等差乘等比」，即an=cnb,其中{cn}等差、{bn}等比（公比q)。 步骤：先写出Sn:两边乘公比q得到qSn,并把qSn的每一项往后错一格对齐书写：两式 相减，Sn一qSn的首项保留、中间是n-1项的等比段、末项取相反数；中间段套等比求和公 式，最后两边除以1-q。 结果常可整理成 Sn=An+Bq”-B 的形式(A、B为待定常数)。求出后代n=1、n=2各验一次。 △三个高频失分点：①中间等比段的项数是n-1而不是n;②相减时末项的符号（是减 去而不是加上)；③最后除以1-9前要确认9≠1。 ★看到通项是[一次式乘指数」（n-2“2n-131)就条件反射用错位相减。这类题计算 第2页 量大，验算方式就是代n=1看S1是否等于a1。 知识点八分组、并项、周期与倒序相加 分组求和：通项能拆成两类标准数列之和（如a,=n+2是「等差加等比」），就分别求和再 相加。 并项求和：通项含仁1加或可两两配对时，把相邻两项并成一组，先算一组的值，再数一共有 多少组。正负交错的关键是「配对后每组是否为定值」。 周期求和：若an+r=an,则一个周期内的和为定值， S,=l只8i5,+S,mar 奇偶分类讨论：Qn的表达式随n的奇偶变化时，先分别求S2k与S2k-1,再把结果按n的奇 偶写成分段形式。 倒序相加：把S,=a1+a2+…+an与倒着写的Sn=an+an-1+…+a1相加。若与首末等距的两项 之和a+a1-k是定值c,则2S,=nc,即S,=nC 2 倒序相加的典型场合有两类：一是与首末等距的项成对相等（等差求和公式就是这样推出来 的)；二是函数型数列，由fx+f1-x=c保证配对的两项之和为定值。 △并项求和时要注意「项数是否为偶数」。为奇数时最后一组只剩一项，必须单独处理， 这是最常见的错漏。 ★判据看通项的结构而不是名字：能拆成两类标准数列→分组：出现-1或符号交错 并项；递推里出现Qn+r=Qn→周期；与首末等距的两项之和是定值→倒序相加。四种都是 「把不会算的化归成会算的」。 第3页 二、方法突破 方法六裂项相消求和 原理：把通项ak写成bk一bk+1,求和时中间全部抵消，只剩头尾。 四个常 用裂 项： 1 11 1=n+1-n n(n+kk nn+k Un+Vn+1 n+1 n2n+2 对数型gn+1=lgn+1-gn 4 n+22 n 判据：分母是「两个相邻（或相隔固定项）因式的乘积」，或者式子里出现+1这种可以拆 n 成差的结构。 裂项常与放缩结合：证不等式时先把1 放大成1或缩小成1 再裂项。 nn+1 n+12 ★ 裂项相消后剩下的「头尾」有几种可能：b1-bn、b1-bn+1、b1+b2-bn-bn+1(隔项裂开 时)。别背结论，把前两项和后两项写在旁边对一下即可。 例题 例6-1 (安徽省安庆市2025届高三第三次模拟考试数学试题·第15题) 【解答】已知数列a,中，a,=1设sn为a,前n项和，2S,=na, (1)求a的通项公式： (2)若b= sin1 求数列b,的前n项和T, cos a+1cos an+1+1 【解析】 第1步2an=nan-n-1an-1→an=n-1 。Sn与an同现就作差(n≥2)，这是固定第一步：本题作差后Qn的系数是n-2,所以递推只能 从n≥3起用，Q2=1正是题设给的起点。Q1=0要单独算，再回头确认它与通项是否一致。 第2步tann+l-tann= sin1 cos ncos n+1) 第4页 sin B-A 。这是「三角裂项」：把 :写成tanB-tanA。能用的关键是两角之差B-A是常数 cos A cos B 一本题an+1+1与an+1恰好相差1（因为an是公差为1的等差），所以分子里的sin1是常数 而不是sin(a1-a,这类变数. 第3步Tn=tann+1-tan1 裂项后先写前两项、后两项对一下再下结论： tan2-tan1+tan3-an2++tann+1-tann中间全部抵消.只刹-tanl+tann+1 答 (1)d=n-1:(2)T=tan(n+1]-tan1 例6-2 (衡阳市2026届高三下学期第二次联考·第15题) 【解答】已知等差数列a,的前n项和为S,'且S=81:a,+a,=14数列{b,的前n 项和为T,满足2T,+1=3b,:（1)求数列{a,b,的通项公式：(2)已知数列{c,满 足： 2bn(an-1), c,= 求数列(c的前n项和R an'an+1 【解析】 第1步2Tn+1=3bn→bn=3m-1 。与求和有关的递推，一律「n=1单独算、n≥2作差」。本题作差后T全部消掉，直接得到等比关 系；别忘了先由n=1定出b1。 第2步fn=- 3n-1 2n-I'Cn=f(n)-fln+1) 3n-1 。带指数的裂项靠待定系数：先看出来「f的形式应该是 (指数跟着通项走、分母取因式中较 2n-1 大的那个)，再算一次fn-fn+1定出入。这类题不要求一眼看出结果，动笔算一遍最快。 第3步R=,3 -1 n+1 球和的结果只由f与fn+1决定，所以R,三-f1+fn+1。写成2+11方 n=1代回检验一次，能挡住绝大多数符号错误。 3” 答 (10a,=2n-1,b,=3'(2)R,2m+1-1 第5页 例6-3 (2025届山东省济南市高三高考针对性训练（三模）数学试题·第16题) 【解答】记等差数列Q的前n项和为S,:数列的前n项和为T,:已知a,=1,S,=6 Sn (1)求{an的通项公式；(2)求Tn:(3)若Vn∈N,an+ +大23成立，求实数k的最小值。 【解析】 第1步1= 2 =2 1 Sn nn+1n n+1 。等差氨列销前刀项和S。”十的服数：是袋项蓝里出限频率录高的一个通项。石到 1 就条件 2 反射地裂项，不必犹豫。 第2步k≥2m3-n对-切n成立→k≥maxg(n) n+1 。「k之含n的式子恒成立」等价于「k不小于该式的最大值」：反过来若是「k≤含n的式子恒成 立」，则取最小值。方向弄反是这一考点最常见的错。 第3步g1=2是最大值(n≥4时gn<0) 。本题的gn不是单调的，直接求导反而麻烦。盯住分子里的3-n:只要n≥4它变号，函数就落 进负值区，所以最大值只需在前三项里找。 答 DQ=n:2)T,二：3)k的最小值为2 练习 6-1.【解答】设s为数列an的前n项和，且a是s和8的等差中项.（1)求数列a,的通项公 式； (2）令b=10g2a,:数列1 bbn+ 的前n项和为1：证明：立T,分 12 6-2.【解答】已知数列a,的首项为2：前n项和为s,且s,1+2=a,+3n+S,(1)求数列a, 的通项公式；(2)求满足a,>3n+5 1 92的n的最小值：(3)已知b,=60,+6n-20:记数列 ,的前n项和为1求证：一方T<-子 3 第6页 6-3.【解答】已知数列a,为等差数列，且满足a,n=2a,+1n∈N小(1)若a,=1?求数列 _1的前n顾和s:(2)若数列6，满是2b,+b,=bb;且数列a,b,的前n项和 anan+1 Tn=3n-42+1+8:求数列b,的通项公式. 第7页 方法七错位相减求和 适用形状：{anbn},其中{an}等差、{bn}等比（「等差乘等比」）。 步骤：写出Sn;两边乘公比q得qSn并错位对齐（把qSn的每一项都往后挪一格写）；两 式相减， 得到1-qS,=首项+中间等比段-尾项；中间段套等比求和公式，最后两边除 以1-q。 三个高频失分点：①中间等比段的项数是n-1而不是n;②相减时最后一项的符号（是减 不是加)；③最后除以1-q时别忘讨论q=1。 简化记法：S,=An+Bq-B的形式（AB为待定常数)，求出AB后可以代n=1,2 验算。 ★看到通项是[一次式乘指数」的形式（如n-2~2n-13-1)，条件反射用错位相减。这 类题计算量大，验算一定要做一一取n=1检查S1是否等于a1,取n=2再核一次。 例题 例7-1 (2025届湖南省郴州市高三三模数学试题·第16题) 【解答】已知数列a,为等差数列，且a,=3:a,+a,+a,=27(1)求数列a,的通项公式： 00 (2)已知数列b,的前n项和为s,:且s,=2b,-2:求数列b,的通项公式： (3)已知数列 cn满足： n=anb,求数列cn的前n项和M: 【解析】 第1步cn=2n-12” 。判据是「通项=多项式×指数」：2n-1是等差数列、2”是等比数列，相乘就一定是错位相减， 没有别的选择。反过来，若通项是「多项式的和」（如n2”+n),先拆成两组分别处理。 第2步 -Mn=2+222+…+2-2n-12m*1 。错位相减最易错的是「中间那一串」，它由三个部分组成：第一项2（只有Mn有）、中间的等比和 （系数是。的公差)、最后一项-2n-121(只有2M,有，带负号)。把两式上下对齐写、错 开一位再减，比背结论可靠。 第8页 第3步Mn=2n-32m+1+6 。结果里带着2n-3)与常数6，代n=1,2各验一次就能确认。错位相减的符号错（少一个负号、 指数写错一位)都会在这两处露出来。 答(1)a,=2n-1(2)b,=2:(3)M,=2n-321+6 例7-2 (广东省清远市2025-2026学年高三上学期10月教学质量检测（一）数学试题·第16题) 列a,的前n项和为S,宜S,多a,-nnEN.1证明：a (2)求数列2n-1小a的前n项和T。 【解析】 第1步an=3an-1+2→an+1=3an-1+1 。作差之后一定得到一阶线性递推，再按上册方法四的模型①处理（两边减不动点一1凑等比）。错位 相减的题十有八九都这样开头：先求通项，再求和。 第2步∑2k-13-1=∑2k-13*-n2 。先把通项展开成「等差×等比」与「纯等差」两组，各用各的方法算。这是「分组+错位相减」的 组合，比把2k-13-1直接硬套要清楚得多。 第3步Tn=n-13+1+3-n2 。注意W,前面的系数：本题公比是3，所以相减后是-2Wn而不是-Wm。公比q时相减得 1-qW,最后要除以1-g一漏除是最常见的失分点。 答 (1)见解析：（2)T,=n-13+1+3-n 例7-3 (石家庄市2026届普通高等学校毕业年级教学质量检测（二）·第16题) 【解答】己知数列{a,的前n项和为S,:且满足S。=2a,-2(1)求数列{a,)的通项公 式；(2)在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数成等差数列，公差记为dn,设 第9页 c,=nln+1d:求数列c,的前n项和. 【解析】 第1步 d,=01-0=2” n+1n+1 。插项题的「间隔数」是n+1而不是n:n+2项之间有n+1个间隔（公差个数=项数-1）。 这一步数错，后面Cn就全错。题设把dn乘了nn+I,正是为了把分母约掉，设计意图要先看出来。 第2步cn=n·2” 。到这里就化成最标准的错位相减形态了。看到「插项」不要慌，它只是把dn造出来，求和仍然是课 本上的三步：写出Sn、写出qSn、相减。 第3步Sn=n-12+1+2 2n-12+2是最常被直接引用的结论。建议记牢它.考试时写由错位相减得 省下两三行。 1)a=2:(2)S,=n-12*1+2 答 练习 7-1.【解答】已知数列{a,的首项a,=3前n项和为S,且满足S,+3=a,1+n(1) 求证：数列a,-1为等比数列：(2)若b,=na,:求数列b,的前n项和T,: 72【解答1已知数列oa=号201-0，+1.(1)求证：数列口-1为线比数列，并 求数列{a,的通项公式：(2)求数列{na,的前n项和S, 7-3.【解答】已知等比数列{a的公比g为整数，且a,+a,-52:a,+a,=-12(1)求 a,的通项公式：(2)设b,=na,小求数列b,的前n项和sn 第10页 方法八分组、并项、周期与倒序相加 分组求和：通项是「等差+等比」的结构（如a,=n+2）时，拆成两组分别套公式再相加。 并项求和：通项含(-1炉或者可以两两配对时，把相邻两项并成一组，先算出一组的和，再看 有多少组。 周期求和：若an+r=an,则一个周期内的和是定值，Sn用「整周期部分+残余部分」计算。 奇偶项分类讨论：an的表达式随n的奇偶变化时，分别求出S2k与S2k-1,再按n的奇偶写 成分段形式。 倒序相加：把Sn与倒着写的Sn相加，若与首末等距的两项之和是定值c,则2Sn=nC,即 S,=.等差求和公式与fx+f1-Xc型数列都阳到这里。 ★判断用哪一种，看通项的「结构」而不是「名字」：能拆成两类标准的和→分组；有 (-1口或符号交错一并项；递推里出现， 7=0,一周期：与首末等距的项成对为定值一倒 序相加。四种都是「化归成会算的东西」。 例题 例8-1 (濮阳市2026年高三第二次模拟考试·第15题) 【解答】已知数列a的前n项和S,=n2+n 1)求数列{a 的通项公式：(2)求数列 cosa的前90项和.注意：这里a,”表示角度，cos2a,r=cosa 【解析】 第1步 cos212n°=1+cos4n 。通项里出现co0s2或sin,第一步一定是降幂化成一次式(c05'日=1+C0s29)。不降幂就没法看 出周期，也没法分组。 第2步4°，8°，…，360°是一个完整周期，余弦值之和为0 。求和前先确认[取到的角度是不是刚好铺满整数个周期」。n=1到90给出4°到360°共90个 等分点，正好一整圈；若不是整周期，就要按「整周期+残余」拆开算。本题的90不是随便选的。 第11页 第3步∑cos22n°=45 ·结果检好是项数的一单一因为cs在一个周期内的平均恒是子记住这个直黛，可以用它险查答 案量级：90项、每项在0~1之间，得45是合理的：若算出0或90就一定错了。 答 (1)an=2n;(2)45 例8-2 (滁州市2026届高三第二次教学质量监测·第13题) 【填空】已知数列a,的通项公式是a,=6n-21n∈N去掉数列a,中的aglk∈N后 余下的项构成新的数列{b,?则数列{b,的前2n项和S2m 【解析】 答18n2-4n 例8-3 (广东省汕头市普通高考2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题·第16题) 【解答】已知数列aa,=n2cos2n-sinn其前n项和为s。· 3 3 (1)求a+a2+a (2)求5：(3)若数列b.的前n现和为7，且b。=S证明：T,<2 n…2n-1 【解析】 第1步a,=c0s2n几，三项一循环 3 ◆通项里出现c0s2π、c0s”亚这类「周期为整数」的因子，就按它的周期分组（本题周期3）。 3 先用二倍角化简成一次式，再看周期一一别一上来就硬算a1,a2,Q3。 第2步Qk1+ag:2+a3k3=9k+2 3 ·每组三吸的行号是，：肉为n1,2时余弦都是一分n=0时是1.把行号和方的系致元 第12页 写对，再展开平方，可以少出错。 第3步 Tm=22-9m+2<22 2分 。证明不等式时的常用收尾：把有限和写成「常数~正项」。这里的常数22也可以直接用无穷和来 理解一-9×2+4×1=22，说明Tn递增趋近22，上界自然取不到。 13 答 D5:2)5=9n24口；3)见解析 例8-4 (本讲义自编) 【解答】已知函数fx=,1,求f 1 +f刊 2 2026 的值。 4*+2 2027 2027 2027 【解析】 第1步 fx+f1-x=号：与首末等距的两项成对为定值 。倒序相加的识别信号：要求的自变量（这里是上中的k)关于中点对称，且fx+f1-x能算出 2 一个常数。把S倒着再写一遍与原式相加，逐项配对即可一一既不用求通项，也不用判断单调性。 答 1013 2 练习 8-1.【单选】已知等比数列a满足：a,+a,=10,a,+a4=20-设b,=a,+1og,01记数列b,n的 前n项和为Sn,则S6=() A.149 B.153 C.155 D.157 8-2.【填空】记x表示不超过x的最大整数·若正项数列{口满足 az+2Vn-an-3n=0,bni 则数列bn的前101项和为 8-3.【单选】已知数列a,的第1项和第2项均为1，以后各项由a2=Q1+a,(n∈N)给 出若数列a的各项除以3所得余数组成一个新数列b.?则b2+b05=（) 第13页 A.1 B.2 C.3 D.4 8-4.【填空】已知数列a满是a,=3,0n1=01a2-0+2则a1a2-a0s 除以16的余数为 8-5.【填空】设正整数数列a,满足a,2a,1*a,=10n≥1a,=5则ag=一 6【华1已知商队fz0时品+品《) 2*+92 B.5 G11 2 D.6 8-7.【填空】已知数列{a,对任意k=1,2,,n都有Q4+a,1-k=4且a1=1则Sg= 8-8.【单选】九江银行·2025“庐山杯”九江马拉松于3月23日上午鸣枪开跑.此前，为备战此 次马拉松，小宝同学制定了一个为期20周的跑步训练计划.计划第1周跑步2公里，之后一段 时间每周的跑步量是前一周的2倍：当周跑步量首次超过30公里后，每周比前一周多跑2公里： 当周跑步量首次超过全马里程(42.195公里)后，保持这个周训练量直至训练结束.请问：训 练计划结束时，小宝同学跑步的总量是() A.736公里 B.724公里 C.692公里 D.660公里 第14页