三角函数的方法体系（下）性质与参数 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数图象与性质核心考点，涵盖单调性与最值、对称轴与对称中心、含参问题三大模块，按“性质理解-方法应用-参数突破”逻辑架构知识，通过考点系统梳理、方法分层指导、真题典型精讲等环节，帮助学生构建完整解题框架，突破综合应用难点。 讲义创新采用“问题驱动-模型建构-验证反馈”教学策略，如含参问题设计“相位区间转化-特征点计数-端点验证”三步法，培养学生数学思维与几何直观能力。设置基础巩固到综合提升的分层练习，配合即时纠错指导，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

三角函数的图象与性质（下） 性质与参数 · 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点八　单调性与最值 研究 的单调性，一律用整体代换：令 ，先写出 的单调区间，再把 换回来解 。 三个基本函数的单调区间： 在 上递增，在 上递减； 在 上递增，在 上递减； 在 上递增，没有递减区间。 ⚠ 时必须先化正：。不然整体代换后代进递增区间，得到的是原函数的递减区间。 ★ 求给定区间 上的值域，方向与求单调区间相反： 先由 算出 的范围，再在这个范围上求 （或 ）的取值范围，最后乘 再加 。 ⚠ 不能直接写「最大值 、最小值 」——只有当 的取值范围覆盖了一整个周期（含一个完整的波峰与波谷）时才成立。区间短的时候，最值出现在端点。 其他常见型式的处理：含 或 的，先用降幂公式化成一次式；含 的，用二倍角；含 的，用辅助角或平方换元（令 ，则 可由 表示，化成二次函数）；分式型如 ，可化为两点连线斜率的几何意义，或用辅助角反解出 的范围。 ★ 单调性与值域是同一套整体代换的两个方向：求单调区间是「先定 的区间、再解 」，求值域是「先定 的范围、再看函数值」。动笔前先想清楚走哪个方向。 知识点九　对称轴与对称中心 正弦曲线的对称轴都经过它的最高点或最低点，对称中心都是它与 轴的交点。把这两句话记牢，所有对称性公式都能自己推出来。 对 （）： 对称轴由 给出； 对称中心由 给出，坐标为 。 对 ，把上式右边的 与 对调即可：对称轴是 ，对称中心是 。 ★ 正切型容易漏一半： 的对称中心由 给出。它比正弦、余弦多一倍，除了与 轴的交点，无定义点处中心也是对称中心。 ★ 对称性与周期的三条定量关系，做题时经常用到： 相邻两条对称轴之间的距离是 ；相邻两个对称中心之间的距离是 ；相邻的对称轴与对称中心之间的距离是 。 这三条可以用来反推 ：只要题目给出两条相邻对称轴的间距，立刻能算出周期。 ★ 反向题的做法：把题目给的横坐标代入相位式子，令它等于对应的特殊值（对称轴对 ，对称中心对 ），解出参数。若同时给出多条对称轴或多个对称中心，可以列方程组，也可以先用间距定 。 ⚠ 一条直线是函数图象的对称轴，等价于该函数在这条直线处取到最大值或最小值。这个等价说法能把很多「关于直线 对称，则……」的判断题一眼判掉：只需检查 是否等于 。 ★ 求对称中心时别忘了写纵坐标。正弦、余弦型的对称中心纵坐标恒为 ；若函数写成 的形式，对称中心要整体上移 。 知识点十　含参问题（由个数条件求 ） 这一类的题干模式几乎固定：「已知函数 （）在区间……上恰有 个零点（或极值点、对称轴），求 的取值范围」。 解法的核心是把「个数」翻译成「周期数」：区间长度固定时， 越大， 走过的范围越长，包含的特征点就越多。 ★ 一个完整周期内各特征点的数量（以 为例）：零点 个、极值点（峰、谷各一） 个、对称中心 个、对称轴 条。相邻两个同类特征点之间都隔半个周期，这是计数的基本刻度。 ★ 推荐的做法是数形结合，分四步： 第一步，写出 的范围，算出 的区间（用 表示，形如 ）； 第二步，在这个区间上数目标点。数的时候把区间长度 当作变量，写出「恰有 个」对应的区间长度的上下界； 第三步，解这个关于 的不等式； 第四步，代端点验证。 ⚠ 端点开闭是本题型最大的失分点。同样说「恰有 个零点」，第 个零点落在区间端点上算不算，取决于题目给的是闭区间还是开区间；而且即便都是闭区间，还要看那个端点本身是不是恰好是零点。所以第四步的验证不能省。 ★ 三类常见条件与突破口：「有且仅有 个零点」→ 数零点，注意零点与对称中心一一对应；「恰有 个极值点」→ 数峰值与谷值点，间距为半周期；「在区间上单调」→ 整个区间必须落在同一个单调区间内，即区间长度不超过半个周期，即 。 另外有一类用「存在性」给条件：「存在 使 」，它的含义是这段区间里要能同时取到最大值（因为正弦的最大值是 ，和为 只能两个都是最大值），于是转化为「区间内至少含一条对称轴」，同样回到数特征点。 ★ 求完范围一定要代端点验一遍：取 等于所得范围的端点，数一数特征点个数是否正好符合题意。这一步花不了十秒，但能挡住绝大多数端点错误。 二、方法突破 方法八　单调性与值域 求 的单调区间，一律用整体代换：令 ，把 当成新的自变量。 以正弦为例， 在 上递增，在 上递减。把 代进去解出 就是所求区间。余弦、正切同理，只是基本区间不同。 ⚠ 时先提负号：，否则递增递减会判反。 ★ 求在给定区间 上的值域，步骤是：先算出 的取值范围，再在这个范围上（借助单位圆或图象）求 的范围，最后乘 。不要一上来就套「最大值 、最小值 」——那只在区间长度覆盖一个完整周期时才成立。 其他常见型式：含 的用降幂化一次式；含 的用二倍角；分式型如 可化为斜率或用辅助角反解。 ★ 判单调性先写出 的整体区间，再回代求 ；求值域则反过来，先由 的范围定 的范围，再看 对应的函数值范围。两个方向不要混。 例题 例 8-1 （2025届湖北省黄冈市八模高三模拟测试（八）数学试卷 · 第10题） 【多选】设函数，，则下列结论正确的是（ ） A. ，在上单调递减 B. 若且，则 C. 若在上有且仅有2个不同的解，则的取值范围为 D. 存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数 【解析】 先用二倍角化简： 凑成两角和的余弦： A 项：当 时，相位落在 由 得左端点 ，右端点 ，整个区间含在 里，而余弦在 上单调递减。A 正确。 B 项： 时 ，值域为 。 意味着一个取到最大值 、另一个取到最小值 ，即 、 分别落在两个相邻的极值点上。相邻极值点（一个波峰、一个波谷）的横坐标之差是半个周期： 不是 。B 错误。 C 项： 等价于 ，即 要它落在 上： 即 且 。恰有 个不同的解，就是 恰取 两个值： 所以 。C 正确。 D 项：向右平移 后为 余弦要成为奇函数，相位常数必须让 化成 ，即等于 ： 取 得 ，所以这样的 存在。D 正确。 选 ACD。 第 1 步　含 与 的式子，一律先合并成 ◈ 正是 的展开式，合并之后四个选项都变成「读一个余弦的单调性、极值、零点」。A 项的关键是先把相位区间算出来，看它是否整体落在 ；C 项把「 有几个解」翻译成「 能取到哪几个整数」，这是本类题的通用翻译方式；D 项要记住：余弦本身是偶函数，只有当相位常数等于 时它才表现为奇函数。 答　ACD 例 8-2 （2026届湖南省湘潭市高三一模数学试题 · 第14题） 【填空】函数 的值域为_____________． 【解析】 两个角是二倍关系，先用二倍角把 拆开： 于是 记 ，问题变成求 的值域。求导： 令 。用 ： 分别代入 ： 时 ，； 时 ，。 两端比较：，所以最大值为 ，最小值为 。 （也可以用 写成 但这样仍然不好求和，还是化成关于 的多项式更直接。） 填 。 第 1 步　 型：用一次二倍角化成 ，再整体换元求导 ◈ 看到 与 同时出现，第一步一定是把 拆成 的二倍角，让整个式子只含 、（）。本题拆完恰好能提公因式 ，变成 ，求导后是关于 的二次方程，解起来很干净。⚠ 定最值时别忘了 这个解对应的 也要参与比较。 答　 例 8-3 （山东省泰安市2025届高三下学期一轮检测数学试题 · 第14题） 【填空】已知函数的最小正周期为在上的图象与直线交于点，与直线交于点，且，则__________. 【解析】 先用积化和差化简： 所以 （减去的 与积化和差多出来的恰好抵消。） 由最小正周期为 ： 当 时， 正弦在这段上关于直线 （即 ）对称，最大值是 。设水平线 （）与该段图象交于两点，由对称性，这两点的横坐标到 等距。 设相位为 ，则两交点对应相位为 与 ，即 两点距离 同理， 对应的弦长。 由 ： 把 代进去检验： 成立。所以 。 填 。 第 1 步　两条水平弦的长度只由「离峰值的远近」决定： ◈ 在 上正弦恰好走完半个周期（相位从 到 ），图象关于 对称。设水平线高度为 ，两个交点的相位分别是 与 ，代入 相减，就得到弦长公式 ——高度越高，弦越短。本题的方程是超越方程，考试里只需把选项代进去验证，所以答案是「试出来」的，不是解出来的。 答　 练习 8-1. 【单选】若函数在区间上的最小值为，最大值为，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：B 先读出周期与区间的长度关系： 而区间 的长度是 ，也就是说相位 的跨度恰好是 。 先看最小值 。由于相位跨度是四分之一周期，只要这段相位里含到波谷对应的相位 （即区间含到波谷）， 就能取到 ；反过来，若区间以波峰为中心，两端对称分布在波峰两侧、相位的端点值为 ，此时 这是 能达到的最大值。所以 对照选项：B 项「」恰好就是 的取值范围，正确；A 项说 ，但 可以取到 ，错误。 再看最大值 。同理，区间含到波峰时 ；区间以波谷为中心时两端相位的端点值为 与 ， 这是 能达到的最小值，所以 C 项说 ，但 可以取到 ，错误；D 项说 ，同样错误（）。 选 B。 8-2. 【单选】函数在的值域为（ ） A. B. C. D. 解析　答：B 这个式子是「关于 、 的分式」，用半角换元最省事。令 当 时 。由万能公式， 代入： 问题变成求 （）的值域。求导： 当 时 ，当 时 ，所以 处取到最大值： 再看两端： 时 ， 时 ，两端都取不到。 所以值域为 ，选 B。 8-3. 【单选】若函数在上单调递增，则当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 解析　答：D 先用辅助角公式合并： 其中 满足 即 ， 是第一象限角。 的单调递增区间由 给出，即 取 得含 的那一段（因为 ，右端点 ）： 要让 含在这段里，最大的 就是右端点： 于是 选 D。 8-4. 【多选】定义区间的长度为．已知函数的一个单调递增区间的长度为，则下列结论正确的是（ ） A. 的一个单调递减区间长度也为 B. 若，则的三个相邻最值点构成等腰直角三角形 C. 存在包含原点的单调递减区间 D. 若，且在区间上单调递增，则的最大值为 解析　答：ABD 正弦型函数的单调区间长度等于半个周期： A 项：单调递增区间与单调递减区间的长度都等于半个周期，所以递减区间的长度也是 。A 正确。 B 项： 时 ，，周期 。相邻的三个最值点（波峰、波谷、波峰）的横坐标依次相差 ，纵坐标依次为 ，三点构成底边长 、高 的三角形： 两腰长各为 ，而 ，即 ，两腰垂直且相等，是等腰直角三角形。B 正确。 C 项：单调递减区间是 。要包含原点，需要左端点 右端点。取 ：左端点 ，不含原点；取 ：右端点 ，仍不含原点。注意原点附近 是递增的（，且 在 内）。C 错误。 D 项： 时 ， 递增区间为 取 得 ，它包含 当且仅当 ，所以 的最大值为 。D 正确。 选 ABD。 8-5. 【单选】已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解析　答：D 在 上单调递减，等价于导函数恒非正： 即 所以 不超过 的最小值。而 最小值为 ，于是 即 ，选 D。 8-6. 【单选】某个弹簧振子在振动过程中的位移 （单位：）与时间 （单位：）之间的关系为 ，则当位移 时，弹簧振子的瞬时速度大小为（　）． A. B. C. D. 解析　答：A 位移与时间的关系是 瞬时速度是位移对时间的导数： 已知 ，即 由平方关系， 所以瞬时速度的大小为 选 A。 8-7. 【解答】已知函数 的最大值为 ．（1）求常数 的值；（2）求使 成立的 的取值集合． 解析　答：（1）；（2） （1）先用和差化积把前两项合并： 再用降幂公式： 所以 它的最大值是 。由题给最大值为 ： （2）此时 条件 即 于是 两边同减 ： 再除以 ： 答：（1）；（2） 的取值集合为 。 方法九　对称轴与对称中心 对称性来自「取最值」与「过平衡位置」：正弦型函数的对称轴出现在它取最大值或最小值的地方，对称中心出现在它与 轴的交点处。 于是对 ： 对称轴方程是 ，对称中心横坐标由 解出。余弦把两式的右边对调。 ★ 正切型要单独记： 的对称中心是 ，即 。它比正弦、余弦多出一半——因为正切在无定义点处也有对称中心，这一点最容易被漏掉。 ★ 反向题（给出对称轴或对称中心，求 或 ）的解法：把给定的横坐标代入相位式子，让相位等于对应的特殊值，解出参数；若给的是对称中心，还要验证纵坐标为 是否与题目一致。 ⚠ 一条直线是某函数的对称轴，等价于函数在该处取到最值——记住这个等价说法，很多判断题能一眼看出真假。 ★ 遇到「既是轴对称又是中心对称」的判断，先算对称轴方程与对称中心，再逐项代入；不要凭图象印象模糊判断，容易在相位上差半格。 例题 例 9-1 （福建省莆田市2025届高三第二次教学质量检测数学试卷 · 第6题） 【单选】已知函数是图象的一条对称轴，且在上单调，则为（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 11 【解析】 是一条对称轴，说明它取到最值，相位应为 ： 再由「在 上单调」筛掉多余的解。这段区间上相位从 增到 。 取 得 ，相位区间为 整个含在正弦的递增区间里，单调成立。 取 得 ，相位区间为 这个区间跨过了 ，正弦先增后减，不单调，舍去。 （ 再大时相位区间更长，更不可能单调。） 所以 ，选 B。 第 1 步　「是对称轴」翻译成相位 ，再用单调性筛 ◈ 对称轴的条件给出 的一族值（这里 ），单凭它选不出唯一答案，必须用第二个条件——「在给定区间上单调」——把 定下来。做法是把 代回去写出相位区间的两个端点，看这段是否整个落在正弦的同一个单调区间（ 或 ）里。⚠ 这一步不能凭感觉，区间稍长一点就会跨过 或 。 答　B 例 9-2 （福建省厦门市2025届高三第三次质量检测数学试题 · 第9题） 【多选】已知直线为函数图象的一条对称轴，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. D. 的图象关于点对称 【解析】 直线 是对称轴，意味着 处取到最值，即导数为零： 即 B 正确。 于是 振幅为 C 项： 的最大值就是振幅 ，所以 成立。C 正确。 A 项：最小正周期 ，不是 。A 错误。 D 项：由 可取 ， 对称中心要求 ，即 。而 不在这串值里（，也不等于 ）。D 错误。 选 BC。 第 1 步　「直线 是对称轴」最省事的用法是令 ◈ 对 型函数求导只涉及两项，比让相位等于 少一次解方程。求出参数后立刻写出振幅 ，最大值、最小值、值域都随之确定。判断对称中心时，先合并成 再用 ；本题容易错在把 当成中心，它的位置差半格。 答　BC 例 9-3 （2025届山东省潍坊市高三模拟预测数学试题 · 第8题） 【单选】已知函数，则图象的对称轴方程为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【解析】 先把两个角拉到同一个式子。注意 记 ，则 现在问题变成求 的对称轴。 两个绝对值都把负半周翻到上方，周期从 变成 ；又因为 ，再平移 可以重合，所以周期进一步缩短为 。 在 上 ， 它在 处取到最大值 ，在 与 处取到最小值 。结合周期 ， 的图象在每个峰、每个谷都有一条对称轴，即 （峰在 、谷在 ，两类合起来正好是 。） 代回 ： 选 C。 第 1 步　两个绝对值之和：先把两个角化到同一个「」上，再看 的周期与对称性 ◈ 关键一步是发现 与 恰好相差 ，于是式子化为 ——它是个「熟面孔」。这类函数的对称轴出现在每个峰值和谷值处：峰值在 ，谷值在 ，合并即为 ，间距是周期的四分之一。最后别忘了把 换回 。 答　C 练习 9-1. 【单选】已知函数在区间上单调递减，直线和为函数的图象的两条对称轴，则（ ） A. 1 B. C. D. 解析　答：C 两条对称轴 与 相邻，它们之间的距离是半个周期： 再定 。已给 在 上单调递减，而 是右端点、也是对称轴，所以 处取到最小值： 取 ， 于是 选 C。 9-2. 【多选】已知函数的图象关于点中心对称，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 直线是曲线的一条对称轴 C. 在区间的最小值是 D. 将的图象上各点先向右平移个单位（纵坐标不变），再将横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到函数的图象 解析　答：ABD 图象关于点 中心对称，说明该处相位为 ： 由 得 ， A 项： 时 ，余弦在这段上单调递减。A 正确。 B 项：对称轴满足 ，即 。取 得 ，所以 是一条对称轴。B 正确。 C 项： 时 ，这段包含 ，所以最小值为 ，不是 。C 错误。 D 项：先向右平移 （把 换成 ）： 再把横坐标变为原来的 倍（把 换成 ）： 与选项一致。D 正确。 选 ABD。 9-3. 【多选】已知函数，其中，若的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的定义域为 C. 在上单调递增 D. 若，且，则a的最大值为 解析　答：BCD 正切型的最小正周期是 ， A 项说 ，错误。（ 对应周期 。） 于是 B 项：正切在相位等于 处无定义： 定义域与选项一致。B 正确。 C 项： 时 ，这段含在正切的单调递增区间 （取 ）里，所以单调递增。C 正确。 D 项： 时 ；又当 取到边界时相位趋近 ，所以在讨论范围内相位落在 ，而正切在这段上单调递增。 所以 的最大值为 。D 正确。 选 BCD。 9-4. 【单选】已知函数的极值点与的零点完全相同，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 解析　答：B 先把 化成单一正弦： 它的极值点在相位为 处，即 再看 的零点，在相位为 处： 两个集合完全相同，取 的极值点 代入： 对某个整数 成立。再看 的下一个极值点 ：它也必须落在 的零点集里，即存在整数 使 把 代入 ，即 ， 确实是整数，说明 都满足。再要求 的零点集不含 极值点以外的点： 的极值点间距是 ，所以 的零点间距也必须是 ，即 于是 且 ，得 （）。 代回去看： 时 的零点为 ，与 是同一个集合。 选 B。 9-5. 【单选】已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：D 是对称轴，相位应等于 ： 由 得 。 于是 用半角公式算 ： 分子分母同乘 ： 所以 选 D。 9-6. 【单选】设 是函数 的一个零点，则函数 在区间 内所有极值点之和为（　） A. B. C. D. 解析　答：C 设 。 是零点，说明 极值点满足相位为 ： 把 代进去： 记 （ 取遍所有整数），极值点是 要落在 内： 整数 ，对应的极值点为 它们的和是 选 C。 9-7. 【单选】已知函数 ，若 ，则 （　） A. B. C. D. 解析　答：D 对一切 成立，说明 取到最大值，即它是一条对称轴，相位为 。 先把 化成一个正弦： 最大值点的条件是 ： 于是 所以 由 ， 选 D。 9-8. 【单选】若关于 的方程 在 上恰有 3 个根 ，，（），则 （　） A. B. C. D. 解析　答：A 在 上恰有 个根，三个根依次为 。 记 ，区间变成 ，在长度 的区间上恰好有 个解。 设 ，则 或 。落在区间内的三个解依次为 （第一个是递增段上的解，后两个分别与它关于直线 和 对称。） 换回 ： 于是 选 A。 9-9. 【填空】设函数 ，， 是直线 与曲线 的两个交点，且 最小值为 ．若 ，则 ________． 解析　答： 正切型函数的相邻两个同高交点的横向距离恒等于周期 ，所以 的最小值就是周期： 再由 ： 由 得 又 ，取 得 填 。 9-10. 【填空】已知函数 ，写出满足「曲线 关于点 对称」的 的一个值 ________． 解析　答： 曲线关于点 对称，等价于对一切 有 把函数代进去： （右边用了 ，负号与前面的 相消。） 两边除以 ，得对一切 成立： 两个正弦相等，要么角相同（不能对一切 成立），要么两角互补： 整理得 所以 可以取 （更一般地 也成立）。 填 。 9-11. 【填空】函数 ， 的图象与直线 ， 交于不同的两点 ，， 为坐标原点，当 的面积最大时， ________． 解析　答： 先看两个交点的位置关系。 在 上关于直线 对称，所以两个交点的横坐标满足 设 ，其中 ，。 的底边 水平、长为 ，高就是 （ 到 轴的距离），所以 记 ，则 ， 求导： 令 ： 注意到 ，上式即 所以面积最大时满足 于是 填 。 9-12. 【多选】已知函数 ，，则下列结论正确的有（　） A. 曲线 与曲线 存在相同的对称中心 B. 曲线 与曲线 存在相同的对称轴 C. 曲线 向左平移 个单位得到曲线 D. 曲线 与曲线 关于 轴对称 解析　答：AC 先化简两个函数： A 项： 的对称中心横坐标满足 ，即 ； 的对称中心横坐标满足 ，即 。 检验 是否属于后者：，是后者中参数取 的情形，所以 的每个对称中心都是 的对称中心。A 正确。 B 项： 的对称轴满足 ，即 ； 的对称轴满足 ，即 。把 代进去： 要求 ，不是整数，所以 的对称轴都不是 的对称轴。B 错误。 C 项：，向左平移 ： C 正确。 D 项： 与 相差一个平移（由 C 知是左移 ），不是关于 轴对称的关系。（关于 轴对称要求 ，显然不成立。）D 错误。 选 AC。 9-13. 【解答】已知函数 （）的图象过点 ．（1）求 的单调递增区间；（2）当 ，且 时，证明：． 解析　答：（1）（）；（2）证明见解析 （1）图象过 ，代入得 所以 由 得 ， 单调递增区间由 解出： 即递增区间为 。 （2）注意到 由已知两式相乘为 ： 又由 展开： 代入 ： 两式相除： 所以 ，得证。 答：（1）递增区间为 ；（2）证明见解析。 方法十　含参问题 这一类题的共同特征是： 未知，题目用「区间内有几个零点」「有几条对称轴」「有几个极值点」来约束它。 解法是把条件翻译成「区间长度里有几个周期」。一个完整周期里有 个零点、 条对称轴（正弦型在一个周期内的情况随相位而变），所以「恰有 个零点」这类条件最终都化成关于 的不等式。 更稳的做法是数形结合：把 的范围写出来，在单位圆或正弦曲线上数一数这段区间里有几个目标点（零点、极值点、对称中心），数的时候把 当作变量，写出范围后解不等式。 ⚠ 端点开闭是失分重灾区。「恰有 个零点」时，第 个零点可以取在端点（闭）还是不能（开），取决于题目写的是闭区间还是开区间，一定要逐个端点代回验证。 ★ 常见的三类条件与对应的突破口：「有且仅有 个零点」→ 数零点；「恰有 个极值点」→ 数峰值与谷值点；「在区间上单调」→ 整个区间必须落在同一个单调区间内，即区间长度不超过半周期。 ★ 求出 的范围后，务必代一个端点值试一下：取 等于区间端点，数一数零点（或极值点）的个数是否正好符合。这一步能挡住绝大多数端点错误。 例题 例 10-1 （2025届江西省赣州市一模数学试题 · 第6题） 【单选】已知函数，，若恰有3个极值点，则正数\omega 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【解析】 函数 ，极值点出现在相位等于 处（此时余弦取 ）。 当 时，相位 的取值范围是 它的长度是 。要求内部恰有 个极值点，即恰有 个整数 使 （两端都取严格不等号：极值点必须落在区间内部，端点处不算极值点，这是极值的定义决定的。） 三边同除 ： 由 得 ；于是 从 往小处数，恰取 三个值： 解左边的不等式： 解右边的不等式： 所以 取 代进去看：相位范围是 ，内部含 三个极值点，恰为 个，符合题意； 取 代进去看：相位范围是 ，内部只有 两个极值点，不合题意，故左端不取。 选 D。 第 1 步　「区间内恰有 个极值点」= 相位区间内部恰含 个 ◈ 三步固定：① 把 的区间换算成相位的区间；② 写出目标点（极值点用 、零点也用 、对称轴用 ）的一般形式；③ 解「恰有 个整数 」的不等式组。⚠ 两头都要代回去查一遍：本题左端 正好让一个极值点落在端点 上，按极值的定义端点不算极值点，所以左端不取；而右端 处第三个点仍在内部，可以取。把端点值代回去数一遍，是这一类题唯一靠得住的收尾动作。 答　D 例 10-2 （广东省清远市2025届高三教学质量检测（二）数学试题 · 第6题） 【单选】已知函数在内恰有3个最值点和3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】 先化简： 当 时，相位 的范围是 最值点出现在相位为 处，零点出现在相位为 处。 先数最值点。由 同除 ： 由 得 ，个数为 （ 表示取整）。恰有 个： 再数零点。由 得 ，个数为 。恰有 个： 两个条件同时满足，取交集： （因为 ，右端由零点条件决定。） 取 代进去看：相位范围 ，含最值点 三个，含零点 三个，都成立。 选 D。 第 1 步　两个条件分别解出 的范围，再取交集——不要试图一次列完 ◈ 「恰有 3 个最值点」与「恰有 3 个零点」是两条独立的条件，各自给出一段 的区间，最后取交集。本题零点条件更紧（右端 ），所以答案的右端由零点决定。解法里出现的「 与 的方向」全部来自「第 个点要落在区间内、第 个点要落在区间外」，写的时候逐个核对，不要凭印象。 答　D 例 10-3 （山东省枣庄市2024-2025高三下学期第三次调研考试数学试题 · 第6题） 【单选】已知函数在区间上有且仅有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】 先化简： 零点就是 ，即 所以 解出两类零点： 当 时，要求 。 第一类： 个数为 。 第二类： 由 知这类零点要出现需 ，即 ；此时个数为 。 令 ，总零点数为 恰有 个零点，即 。 当 时，，，故 ，左边为 ，符合要求； 当 时 ， 使第二个取整为 ，左边为 ，不合要求。 所以 ，即 验证右端：取 时 ，、，共计 个零点，不合题意，故右端不取。 选 D。 第 1 步　先解出零点的通项，再分别数「落在区间内的个数」——两类零点要分开数 ◈ 本题零点来自 ，有两条解的通项（ 与 ），它们到区间的「起点距离」不同，所以落在 里的条数也不同，必须分开数再相加。化简时注意那个孤立的 ：它把零点整体抬高，但不改变「零点在哪」的判断方式——先写成 的最简形式再解。 答　D 练习 10-1. 【单选】函数在区间上的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析　答：B 把余弦化成正弦： 于是 令 ，解 ： 即 ，在 上给出 即 ，在 上给出 （再往后 ，已超出区间。） 四者互不相同，共 个零点，选 B。 10-2. 【填空】函数，其中，若，使得，则的取值范围为______． 解析　答： 意味着两个函数值之和达到最大值 ，而每个函数值不超过 ，所以只能是 也就是说 、 都取到最大值点，且两者不同。于是条件等价于「 上至少有两个不同的最大值点」。 最大值点满足 要让 里放下两个，只需 与 两个点都落在区间内： 第二式给出 （第一式在 时自动成立。） 所以 的取值范围是 。 填 。 10-3. 【填空】已知函数在闭区间I上的最大值记为，若实数k满足，则______. 解析　答：或 记 为 在区间 上的最大值。 先看左边：区间 含 ，所以只要 ，最大值就是 。（若 ，最大值是 ，与后面的 相比不可能相等，故只需讨论 。） 当 时， 右边区间 的右端点随 变化，余弦在 上的最大值分两种情况： ① 若 ，函数在整个区间上单调递减，最大值在左端点： 由 得 ，取 （此时 。） ② 若 ，区间含 ，余弦在 处取最小值 ，最大值出现在距 较远的那个端点： 由 得 。取 ：此时 ， 最大值确为 。 所以 或 。 填 或 。 10-4. 【单选】已知函数在区间上存在唯一个极大值点，则m的最大值为（ ）． A. B. C. D. 解析　答：A 极大值点满足 在 内， 给出 ， 给出 ， 给出 ，…… 要「存在唯一一个极大值点」，就是区间内只含 这一个（其余极大值点都落在区间外）： 所以 的最大值为 ，选 A。 10-5. 【单选】已知函数，斜率为的直线经过原点且与的图象相切，已知的值从大到小排列依次为，下列两个结论：①；②，则（ ） A. ①错误②正确 B. ①正确②错误 C. ①②均正确 D. ①②均错误 解析　答：B 先用已知值定 ： 于是 即 或 。由 只能取 ， 设切点为 。切线过原点，斜率既等于导数又等于两点连线斜率： 整理得 此时斜率 。要求 ，即 ，所以 落在第二、三象限。 方程 的正根依次为 其中落在第二、三象限（即 ）的是 与 ， ① ，正确。 ② ，而 ，所以 不成立，错误。 选 B。 10-6. 【填空】若函数在区间内没有零点，则正数\omega 的取值范围是____． 解析　答： 没有零点，即对一切 ， 先看这些零点能否落进区间。要落进去需要 同除 乘 ： 即 当 较小时（，即 ），右端不超过 ，而没有比 更靠下的最小正值 （）能够同时大于 与小于 ——具体地， 时需 与 ，后者要求 ，矛盾； 时 又落不到区间里。 所以 时区间内没有零点。 再看 这个边界：此时 对应的零点是 它正好是区间右端点，不在开区间内，所以仍满足「没有零点」。 而 略大于 时， 的零点就落进区间内部，出现零点。 所以取值范围是 。 填 。 10-7. 【单选】已知函数，若对任意的，恒成立，且当时，取到最大值，则的所有可能取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 解析　答：C 说明 是周期（不一定是）——更准确地说， 是函数的一个周期，故 是周期的整数倍，即 ，从而 再由 处取到最大值： 于是 由 ， 取遍正整数， 模 只有 种取值，对应的余弦值为 所以所有可能取值构成的集合为 选 C。 10-8. 【单选】已知函数在区间恰有两个极大值点、三个对称中心，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：A 极大值点满足 对称中心的横坐标满足 先数对称中心。要求在 内恰有 个： 满足条件的整数是 （且 不满足），于是 再验证极大值点的个数。要求 ，即 在 时， 给出 （）与 （），而 要求 ，不成立，所以恰有 个极大值点，符合题意。 选 A。 10-9. 【单选】已知函数的图象关于点对称，且在区间内有且只有两条对称轴，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递减 解析　答：B 先化简： 图象关于点 对称，相位为 ： 对称轴满足 在 内恰有两条，要求 （ 取 ，负值会使横坐标为负，不计。）恰有两条即 成立、 不成立： 把 代进去： 时 ，落在此范围内； 时 ，不合。 所以 ，。 A 项： 时 ，正弦在这段上递减（从 降到 ），不是递增。A 错误。 B 项： 时 ，这段含在正弦的递增区间 里。B 正确。 C 项： 时 ，跨过 ，先增后减，不是单调递减。C 错误。 D 项： 时 ，同样跨过 ，不是单调递减。D 错误。 选 B。 10-10. 【填空】已知函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，则实数的取值范围是______. 解析　答： 零点满足 对称轴满足 先由零点个数定范围。要求 ，两边乘 再除 ： 恰有 个零点，只能取 （ 需要 ，那时 也在范围内，会有两个）： 所以由零点条件得 。 再由对称轴恰好 条：要求 ，即 恰有 条只能取 ： 所以由对称轴条件得 。 取交集： 填 。 10-11. 【单选】若函数 （）在 上恰有两个零点，则实数 的取值范围为（　） A. B. C. D. 解析　答：A 先化简： 零点满足 于是 解出两类零点： 它们都要落在 内。把 代进去，看每个零点从哪个 开始进入区间： 第一类 ：，解得 ； 第二类 ：，解得 ； 第一类 ：，解得 ； 第二类 ：，解得 。 （每往后一个零点，阈值恰好增加 。） 于是零点个数随 的变化是： 时只有 个零点； 时是 个； 时是 个。 所以恰有两个零点时 验证端点： 时第二类 的零点正好是 ，落在右端点外，只有 个零点，不合； 时第一类 的零点 也在端点外，仍是 个。 选 A。 10-12. 【单选】已知函数 （）在区间 内恰有一个极值点，则 可能的取值为（　） A. B. C. D. 解析　答：C 极值点满足 要求在 内恰有一个： 由 且只有 成立： 在选项中检验： 不在范围内； 不取（端点，此时第一个极值点正好落在 的端点外）； 在范围内； 超出上限。 选 C。 10-13. 【填空】若函数 在区间 上有且仅有 个零点，则 的最小值为 ________． 解析　答： 零点满足 要让 个零点落在 上，依次是 （ 给出 。） 第 个零点可以取在端点上（区间是闭的），所以 而第 个零点必须落在区间外： 所以 的最小值为 。 填 。 10-14. 【填空】已知 ，函数 在区间 上单调递增，则 最大值为 ________． 解析　答： 先合并： 它在区间上单调递增，要求相位区间 整个落在正弦的某个递增区间 内。取 ： （左端 自动满足。） 所以 的最大值为 。 填 。 10-15. 【解答】已知函数 ，且 ．（1）若 ，，求 的值；（2）从以下三个条件中选择两个作为已知，使得 存在，并求 的取值范围．①函数 在区间 上只有最大值，没有最小值；②函数 在区间 上恰有 个零点；③函数 在区间 上单调递增． 解析　答：（1）；（2）选择①③， （1）由 ： 满足 ，即 要求的是 记 ，则 。 取满足 且 的 ，则 于是 由 ， 所以 （2）先写出三个条件对应的 范围。由 且 得 ，故 条件①「在 上只有最大值，没有最小值」：相位区间 必须含到一个峰值 ，但不含到任何谷值 。最靠近区间起点的是相位 ，它要落进来需 同时区间不能越过谷值 ： 所以①给出 。 条件②「在 上恰有 个零点」：零点满足 ，即 。落在 内需 ，即 。恰有 个即 ： 条件③「在 上单调递增」：相位区间 要落在 内，故 （左端同样自动满足。） 于是①与③给出同一个范围 ，交集非空；而②的范围 与① 的交集为空（）——若同时选①与②，则 不存在。 所以应选 ①③，此时 答：（1）；（2）选择 ①③，。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角函数的图象与性质（下） 性质与参数 · 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点八　单调性与最值 研究 的单调性，一律用整体代换：令 ，先写出 的单调区间，再把 换回来解 。 三个基本函数的单调区间： 在 上递增，在 上递减； 在 上递增，在 上递减； 在 上递增，没有递减区间。 ⚠ 时必须先化正：。不然整体代换后代进递增区间，得到的是原函数的递减区间。 ★ 求给定区间 上的值域，方向与求单调区间相反： 先由 算出 的范围，再在这个范围上求 （或 ）的取值范围，最后乘 再加 。 ⚠ 不能直接写「最大值 、最小值 」——只有当 的取值范围覆盖了一整个周期（含一个完整的波峰与波谷）时才成立。区间短的时候，最值出现在端点。 其他常见型式的处理：含 或 的，先用降幂公式化成一次式；含 的，用二倍角；含 的，用辅助角或平方换元（令 ，则 可由 表示，化成二次函数）；分式型如 ，可化为两点连线斜率的几何意义，或用辅助角反解出 的范围。 ★ 单调性与值域是同一套整体代换的两个方向：求单调区间是「先定 的区间、再解 」，求值域是「先定 的范围、再看函数值」。动笔前先想清楚走哪个方向。 知识点九　对称轴与对称中心 正弦曲线的对称轴都经过它的最高点或最低点，对称中心都是它与 轴的交点。把这两句话记牢，所有对称性公式都能自己推出来。 对 （）： 对称轴由 给出； 对称中心由 给出，坐标为 。 对 ，把上式右边的 与 对调即可：对称轴是 ，对称中心是 。 ★ 正切型容易漏一半： 的对称中心由 给出。它比正弦、余弦多一倍，除了与 轴的交点，无定义点处中心也是对称中心。 ★ 对称性与周期的三条定量关系，做题时经常用到： 相邻两条对称轴之间的距离是 ；相邻两个对称中心之间的距离是 ；相邻的对称轴与对称中心之间的距离是 。 这三条可以用来反推 ：只要题目给出两条相邻对称轴的间距，立刻能算出周期。 ★ 反向题的做法：把题目给的横坐标代入相位式子，令它等于对应的特殊值（对称轴对 ，对称中心对 ），解出参数。若同时给出多条对称轴或多个对称中心，可以列方程组，也可以先用间距定 。 ⚠ 一条直线是函数图象的对称轴，等价于该函数在这条直线处取到最大值或最小值。这个等价说法能把很多「关于直线 对称，则……」的判断题一眼判掉：只需检查 是否等于 。 ★ 求对称中心时别忘了写纵坐标。正弦、余弦型的对称中心纵坐标恒为 ；若函数写成 的形式，对称中心要整体上移 。 知识点十　含参问题（由个数条件求 ） 这一类的题干模式几乎固定：「已知函数 （）在区间……上恰有 个零点（或极值点、对称轴），求 的取值范围」。 解法的核心是把「个数」翻译成「周期数」：区间长度固定时， 越大， 走过的范围越长，包含的特征点就越多。 ★ 一个完整周期内各特征点的数量（以 为例）：零点 个、极值点（峰、谷各一） 个、对称中心 个、对称轴 条。相邻两个同类特征点之间都隔半个周期，这是计数的基本刻度。 ★ 推荐的做法是数形结合，分四步： 第一步，写出 的范围，算出 的区间（用 表示，形如 ）； 第二步，在这个区间上数目标点。数的时候把区间长度 当作变量，写出「恰有 个」对应的区间长度的上下界； 第三步，解这个关于 的不等式； 第四步，代端点验证。 ⚠ 端点开闭是本题型最大的失分点。同样说「恰有 个零点」，第 个零点落在区间端点上算不算，取决于题目给的是闭区间还是开区间；而且即便都是闭区间，还要看那个端点本身是不是恰好是零点。所以第四步的验证不能省。 ★ 三类常见条件与突破口：「有且仅有 个零点」→ 数零点，注意零点与对称中心一一对应；「恰有 个极值点」→ 数峰值与谷值点，间距为半周期；「在区间上单调」→ 整个区间必须落在同一个单调区间内，即区间长度不超过半个周期，即 。 另外有一类用「存在性」给条件：「存在 使 」，它的含义是这段区间里要能同时取到最大值（因为正弦的最大值是 ，和为 只能两个都是最大值），于是转化为「区间内至少含一条对称轴」，同样回到数特征点。 ★ 求完范围一定要代端点验一遍：取 等于所得范围的端点，数一数特征点个数是否正好符合题意。这一步花不了十秒，但能挡住绝大多数端点错误。 二、方法突破 方法八　单调性与值域 求 的单调区间，一律用整体代换：令 ，把 当成新的自变量。 以正弦为例， 在 上递增，在 上递减。把 代进去解出 就是所求区间。余弦、正切同理，只是基本区间不同。 ⚠ 时先提负号：，否则递增递减会判反。 ★ 求在给定区间 上的值域，步骤是：先算出 的取值范围，再在这个范围上（借助单位圆或图象）求 的范围，最后乘 。不要一上来就套「最大值 、最小值 」——那只在区间长度覆盖一个完整周期时才成立。 其他常见型式：含 的用降幂化一次式；含 的用二倍角；分式型如 可化为斜率或用辅助角反解。 ★ 判单调性先写出 的整体区间，再回代求 ；求值域则反过来，先由 的范围定 的范围，再看 对应的函数值范围。两个方向不要混。 例题 例 8-1 （2025届湖北省黄冈市八模高三模拟测试（八）数学试卷 · 第10题） 【多选】设函数，，则下列结论正确的是（ ） A. ，在上单调递减 B. 若且，则 C. 若在上有且仅有2个不同的解，则的取值范围为 D. 存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数 【解析】 第 1 步　含 与 的式子，一律先合并成 ◈ 正是 的展开式，合并之后四个选项都变成「读一个余弦的单调性、极值、零点」。A 项的关键是先把相位区间算出来，看它是否整体落在 ；C 项把「 有几个解」翻译成「 能取到哪几个整数」，这是本类题的通用翻译方式；D 项要记住：余弦本身是偶函数，只有当相位常数等于 时它才表现为奇函数。 答　ACD 例 8-2 （2026届湖南省湘潭市高三一模数学试题 · 第14题） 【填空】函数 的值域为_____________． 【解析】 第 1 步　 型：用一次二倍角化成 ，再整体换元求导 ◈ 看到 与 同时出现，第一步一定是把 拆成 的二倍角，让整个式子只含 、（）。本题拆完恰好能提公因式 ，变成 ，求导后是关于 的二次方程，解起来很干净。⚠ 定最值时别忘了 这个解对应的 也要参与比较。 答　 例 8-3 （山东省泰安市2025届高三下学期一轮检测数学试题 · 第14题） 【填空】已知函数的最小正周期为在上的图象与直线交于点，与直线交于点，且，则__________. 【解析】 第 1 步　两条水平弦的长度只由「离峰值的远近」决定： ◈ 在 上正弦恰好走完半个周期（相位从 到 ），图象关于 对称。设水平线高度为 ，两个交点的相位分别是 与 ，代入 相减，就得到弦长公式 ——高度越高，弦越短。本题的方程是超越方程，考试里只需把选项代进去验证，所以答案是「试出来」的，不是解出来的。 答　 练习 8-1. 【单选】若函数在区间上的最小值为，最大值为，则（ ） A. B. C. D. 8-2. 【单选】函数在的值域为（ ） A. B. C. D. 8-3. 【单选】若函数在上单调递增，则当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 8-4. 【多选】定义区间的长度为．已知函数的一个单调递增区间的长度为，则下列结论正确的是（ ） A. 的一个单调递减区间长度也为 B. 若，则的三个相邻最值点构成等腰直角三角形 C. 存在包含原点的单调递减区间 D. 若，且在区间上单调递增，则的最大值为 8-5. 【单选】已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8-6. 【单选】某个弹簧振子在振动过程中的位移 （单位：）与时间 （单位：）之间的关系为 ，则当位移 时，弹簧振子的瞬时速度大小为（　）． A. B. C. D. 8-7. 【解答】已知函数 的最大值为 ．（1）求常数 的值；（2）求使 成立的 的取值集合． 方法九　对称轴与对称中心 对称性来自「取最值」与「过平衡位置」：正弦型函数的对称轴出现在它取最大值或最小值的地方，对称中心出现在它与 轴的交点处。 于是对 ： 对称轴方程是 ，对称中心横坐标由 解出。余弦把两式的右边对调。 ★ 正切型要单独记： 的对称中心是 ，即 。它比正弦、余弦多出一半——因为正切在无定义点处也有对称中心，这一点最容易被漏掉。 ★ 反向题（给出对称轴或对称中心，求 或 ）的解法：把给定的横坐标代入相位式子，让相位等于对应的特殊值，解出参数；若给的是对称中心，还要验证纵坐标为 是否与题目一致。 ⚠ 一条直线是某函数的对称轴，等价于函数在该处取到最值——记住这个等价说法，很多判断题能一眼看出真假。 ★ 遇到「既是轴对称又是中心对称」的判断，先算对称轴方程与对称中心，再逐项代入；不要凭图象印象模糊判断，容易在相位上差半格。 例题 例 9-1 （福建省莆田市2025届高三第二次教学质量检测数学试卷 · 第6题） 【单选】已知函数是图象的一条对称轴，且在上单调，则为（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 11 【解析】 第 1 步　「是对称轴」翻译成相位 ，再用单调性筛 ◈ 对称轴的条件给出 的一族值（这里 ），单凭它选不出唯一答案，必须用第二个条件——「在给定区间上单调」——把 定下来。做法是把 代回去写出相位区间的两个端点，看这段是否整个落在正弦的同一个单调区间（ 或 ）里。⚠ 这一步不能凭感觉，区间稍长一点就会跨过 或 。 答　B 例 9-2 （福建省厦门市2025届高三第三次质量检测数学试题 · 第9题） 【多选】已知直线为函数图象的一条对称轴，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. D. 的图象关于点对称 【解析】 第 1 步　「直线 是对称轴」最省事的用法是令 ◈ 对 型函数求导只涉及两项，比让相位等于 少一次解方程。求出参数后立刻写出振幅 ，最大值、最小值、值域都随之确定。判断对称中心时，先合并成 再用 ；本题容易错在把 当成中心，它的位置差半格。 答　BC 例 9-3 （2025届山东省潍坊市高三模拟预测数学试题 · 第8题） 【单选】已知函数，则图象的对称轴方程为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【解析】 第 1 步　两个绝对值之和：先把两个角化到同一个「」上，再看 的周期与对称性 ◈ 关键一步是发现 与 恰好相差 ，于是式子化为 ——它是个「熟面孔」。这类函数的对称轴出现在每个峰值和谷值处：峰值在 ，谷值在 ，合并即为 ，间距是周期的四分之一。最后别忘了把 换回 。 答　C 练习 9-1. 【单选】已知函数在区间上单调递减，直线和为函数的图象的两条对称轴，则（ ） A. 1 B. C. D. 9-2. 【多选】已知函数的图象关于点中心对称，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 直线是曲线的一条对称轴 C. 在区间的最小值是 D. 将的图象上各点先向右平移个单位（纵坐标不变），再将横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到函数的图象 9-3. 【多选】已知函数，其中，若的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的定义域为 C. 在上单调递增 D. 若，且，则a的最大值为 9-4. 【单选】已知函数的极值点与的零点完全相同，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 9-5. 【单选】已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 9-6. 【单选】设 是函数 的一个零点，则函数 在区间 内所有极值点之和为（　） A. B. C. D. 9-7. 【单选】已知函数 ，若 ，则 （　） A. B. C. D. 9-8. 【单选】若关于 的方程 在 上恰有 3 个根 ，，（），则 （　） A. B. C. D. 9-9. 【填空】设函数 ，， 是直线 与曲线 的两个交点，且 最小值为 ．若 ，则 ________． 9-10. 【填空】已知函数 ，写出满足「曲线 关于点 对称」的 的一个值 ________． 9-11. 【填空】函数 ， 的图象与直线 ， 交于不同的两点 ，， 为坐标原点，当 的面积最大时， ________． 9-12. 【多选】已知函数 ，，则下列结论正确的有（　） A. 曲线 与曲线 存在相同的对称中心 B. 曲线 与曲线 存在相同的对称轴 C. 曲线 向左平移 个单位得到曲线 D. 曲线 与曲线 关于 轴对称 9-13. 【解答】已知函数 （）的图象过点 ．（1）求 的单调递增区间；（2）当 ，且 时，证明：． 方法十　含参问题 这一类题的共同特征是： 未知，题目用「区间内有几个零点」「有几条对称轴」「有几个极值点」来约束它。 解法是把条件翻译成「区间长度里有几个周期」。一个完整周期里有 个零点、 条对称轴（正弦型在一个周期内的情况随相位而变），所以「恰有 个零点」这类条件最终都化成关于 的不等式。 更稳的做法是数形结合：把 的范围写出来，在单位圆或正弦曲线上数一数这段区间里有几个目标点（零点、极值点、对称中心），数的时候把 当作变量，写出范围后解不等式。 ⚠ 端点开闭是失分重灾区。「恰有 个零点」时，第 个零点可以取在端点（闭）还是不能（开），取决于题目写的是闭区间还是开区间，一定要逐个端点代回验证。 ★ 常见的三类条件与对应的突破口：「有且仅有 个零点」→ 数零点；「恰有 个极值点」→ 数峰值与谷值点；「在区间上单调」→ 整个区间必须落在同一个单调区间内，即区间长度不超过半周期。 ★ 求出 的范围后，务必代一个端点值试一下：取 等于区间端点，数一数零点（或极值点）的个数是否正好符合。这一步能挡住绝大多数端点错误。 例题 例 10-1 （2025届江西省赣州市一模数学试题 · 第6题） 【单选】已知函数，，若恰有3个极值点，则正数\omega 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　「区间内恰有 个极值点」= 相位区间内部恰含 个 ◈ 三步固定：① 把 的区间换算成相位的区间；② 写出目标点（极值点用 、零点也用 、对称轴用 ）的一般形式；③ 解「恰有 个整数 」的不等式组。⚠ 两头都要代回去查一遍：本题左端 正好让一个极值点落在端点 上，按极值的定义端点不算极值点，所以左端不取；而右端 处第三个点仍在内部，可以取。把端点值代回去数一遍，是这一类题唯一靠得住的收尾动作。 答　D 例 10-2 （广东省清远市2025届高三教学质量检测（二）数学试题 · 第6题） 【单选】已知函数在内恰有3个最值点和3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　两个条件分别解出 的范围，再取交集——不要试图一次列完 ◈ 「恰有 3 个最值点」与「恰有 3 个零点」是两条独立的条件，各自给出一段 的区间，最后取交集。本题零点条件更紧（右端 ），所以答案的右端由零点决定。解法里出现的「 与 的方向」全部来自「第 个点要落在区间内、第 个点要落在区间外」，写的时候逐个核对，不要凭印象。 答　D 例 10-3 （山东省枣庄市2024-2025高三下学期第三次调研考试数学试题 · 第6题） 【单选】已知函数在区间上有且仅有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　先解出零点的通项，再分别数「落在区间内的个数」——两类零点要分开数 ◈ 本题零点来自 ，有两条解的通项（ 与 ），它们到区间的「起点距离」不同，所以落在 里的条数也不同，必须分开数再相加。化简时注意那个孤立的 ：它把零点整体抬高，但不改变「零点在哪」的判断方式——先写成 的最简形式再解。 答　D 练习 10-1. 【单选】函数在区间上的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10-2. 【填空】函数，其中，若，使得，则的取值范围为______． 10-3. 【填空】已知函数在闭区间I上的最大值记为，若实数k满足，则______. 10-4. 【单选】已知函数在区间上存在唯一个极大值点，则m的最大值为（ ）． A. B. C. D. 10-5. 【单选】已知函数，斜率为的直线经过原点且与的图象相切，已知的值从大到小排列依次为，下列两个结论：①；②，则（ ） A. ①错误②正确 B. ①正确②错误 C. ①②均正确 D. ①②均错误 10-6. 【填空】若函数在区间内没有零点，则正数\omega 的取值范围是____． 10-7. 【单选】已知函数，若对任意的，恒成立，且当时，取到最大值，则的所有可能取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 10-8. 【单选】已知函数在区间恰有两个极大值点、三个对称中心，则（ ） A. B. C. D. 10-9. 【单选】已知函数的图象关于点对称，且在区间内有且只有两条对称轴，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递减 10-10. 【填空】已知函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，则实数的取值范围是______. 10-11. 【单选】若函数 （）在 上恰有两个零点，则实数 的取值范围为（　） A. B. C. D. 10-12. 【单选】已知函数 （）在区间 内恰有一个极值点，则 可能的取值为（　） A. B. C. D. 10-13. 【填空】若函数 在区间 上有且仅有 个零点，则 的最小值为 ________． 10-14. 【填空】已知 ，函数 在区间 上单调递增，则 最大值为 ________． 10-15. 【解答】已知函数 ，且 ．（1）若 ，，求 的值；（2）从以下三个条件中选择两个作为已知，使得 存在，并求 的取值范围．①函数 在区间 上只有最大值，没有最小值；②函数 在区间 上恰有 个零点；③函数 在区间 上单调递增． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $