平面向量的方法体系讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量专题，系统梳理向量概念、线性运算、数量积、共线定理、基本定理、四心刻画等核心考点，按“知识点梳理-方法突破-真题训练”逻辑架构，通过考点分类整合、解题方法归纳、典型例题精讲等环节，帮助学生构建向量问题的知识网络和解题体系。 讲义突出数学思维与数学语言的培养，创新采用“等和线速解系数和问题”“极化恒等式转化数量积为距离”等策略，如用奔驰定理快速翻译向量等式为面积比。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合真题情境训练，助力学生在有限时间内掌握高考高频题型解法，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

平面向量的方法体系 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　向量的概念与线性运算 向量既有大小又有方向，所以两个向量不能比较大小，只能说相等或不相等。长度为 的向量叫单位向量，长度为 的叫零向量，零向量的方向是任意的。 方向相同或相反的非零向量叫共线向量（也叫平行向量），记作 。注意零向量与任何向量共线。 向量的加法用三角形法则或平行四边形法则：。首尾相接用三角形法则，共起点用平行四边形法则。 减去一个向量等于加上它的相反向量：。这个变形在化简中极其常用，看到「共起点相减」就要立刻联想到它。 数乘 的模是 ，方向由 的正负决定： 同向， 反向。 ★ 化简向量式子的口诀是「把所有的向量都往同一个基点凑」。例如要化简 ，先写成 ，再用中点关系合并。 知识点二　共线定理与平面向量基本定理 共线定理： 时， 等价于存在唯一实数 使 。用坐标写就是 。 平面向量基本定理：若 不共线，则平面内任一向量 都能写成 ，且表示法唯一。 「表示法唯一」是解题的利器：若 ，则 且 。把向量等式化成系数相等，是求系数最常用的手段。 三点共线的向量刻画： 三点共线等价于 ，其中 。（这里 是平面内任意一点。）这个结论在判断点的位置时非常好用。 ★ 系数和为 的写法有个常见的陷阱：结论里的两个向量必须是「从同一点出发指向两点」。若写成 的形式，判断依据就变成了看 与 的关系——等于 时 在直线 上，小于 时在三角形内部。 知识点三　等和线——系数和为定值 把 中的 看成一个整体，结论只有一句： 为定值 时，点 在一条与 平行的直线上。 道理不难： 时可设 、，其中 ，于是 括号里系数和为 ，它的终点落在直线 上。也就是说， 是直线 上的点以 为中心、比例 作位似变换后的像，而位似把直线映成平行直线。 时这条直线就是 本身，退化成「三点共线」； 变大或变小，直线只是平移。 由此可以直接读出一批结论：、 且 时 在 内部； 时 在过 且平行于 的直线上。 ★ 求 的最值，不必去解系数。在图上画出与 平行的直线族，看哪一条刚好与可行区域相切，量出它到 的距离是 到 距离的几倍，那个倍数就是 。系数和问题一律先想等和线。 知识点四　数量积的定义与运算律 数量积（内积）：，其中 是两个向量的夹角，取值范围是 。数量积的结果是一个实数，不是向量。 夹角公式：。求夹角的题一律先算数量积和两个模。 垂直的刻画：。用坐标写就是 。 模的算法：，所以求模一律先平方——。这是数量积部分用得最多的一条。 运算律：交换律 ，数乘结合律 ，分配律 。 ★ 数量积没有消去律： 推不出 （只推出 ）。也不能像多项式那样相乘， 与 一般不相等。 知识点五　三角不等式与模的取值范围 三角不等式：对任意两个向量， 几何上 是两点间的距离， 是折线的总长，「两点之间线段最短」说的就是右边那个不等号。 取等条件成对出现： 取等当 与 同向， 取等当两者反向；把 换成 ，就是 的两条。用不等式放缩求最值时，最后一步一定要回头检查等号能不能取到。 求模的最值有两条路：一是用三角不等式放缩，快，但要验取等；二是把模平方展开成数量积，稳，但计算量大。题目里若出现「最值」「取值范围」这种字眼，先想等号位置，通常能反推出答案的形状。 ★ 模的最值问题几乎都能几何化。 固定时， 的最值就是点到圆的距离； 的最小值就是点到直线的距离，等于 。先想几何，再动代数。 知识点六　向量与解三角形的桥梁 余弦定理本来就是数量积。在 中把 拆开： 所以「已知两边及夹角求第三边」这类题，本质就是算一个差向量的模的平方，把式子展开即可，不必把余弦定理当成另一条公式去记。反过来写就是「已知三边求角」：。 中线长公式： 是 的中点，则 它其实就是 两边平方的结果。这条在向量题里出现的频率比在解三角形题里还高。 射影定理：三条边轮换成立 用余弦定理把右边展开就得到：。它的几何意思是「边 等于另两边在它方向上的投影之和」。 正弦定理与面积也常和向量一起出现：，而 把边、角、外接圆半径连在一起。遇到「求面积」「求外接圆半径」时，从这里入手。 ★ 向量条件翻译成边角时有个方向陷阱：，因为两个向量同从 出发，夹角就是 ；但 ，两个向量首尾相接，夹角是 ，多出一个负号。拿到数量积条件，先把向量都化成共起点的形式，再判断夹角是哪个角。 知识点七　投影向量与投影 在 方向上的投影向量是 ，它是与 共线的一个向量；而投影（数量）是 ，是一个实数。两者只差一个方向向量，别答混了。 从几何上看，投影向量就是 在 所在直线上的「影子」。 时影子与 同向， 时反向， 时影子是零向量。 ★ 投影向量的两个常见考法：一是已知投影向量反求数量积或模（把投影向量写成 的形式比较系数）；二是在图形中用投影化简数量积（把斜向量换成它在一个方向上的投影）。 知识点八　单位向量与角平分线方向 与 同向的单位向量是 ，这一步叫单位化，作用是「只保留方向、丢掉长度」。涉及方向的比较（夹角、平行、角平分）时，先把参与运算的向量化成单位向量。 角平分线方向：设 、 分别是 、 方向的单位向量，则 的方向就是 的平分线方向。理由是纯几何的：两个长度相等的向量相加，和向量落在它们夹角的平分线上（正是菱形对角线平分顶角）。 写开就是： 是 平分线的方向向量。题目问「某向量是否平分角」，只要看它与这个和向量是否共线。 定比分点：若 ，则 时是中点公式。这个式子把「分点」问题化成了系数的代数运算。 ★ 三等分点、四等分点都不必背公式。 就是 ，把「从哪个点出发、走几分之几」写清楚即可，出错率比套公式低。 知识点九　极化恒等式与常用结论 极化恒等式：。 用中点写更直观：若 是 的中点，则 。 这条式子把「数量积」换成了「距离的平方差」，处理动点问题时特别有效——求数量积的最值化成了求点到定点距离的最值。 常用结论： 是 中点时 、； 是 重心时 ，且 。 ★ 三角形「四心」的向量刻画是高频考点：重心对应 ；外心对应 ；垂心对应 。 知识点十　坐标法与建系 设 ，，则向量的全部运算都可以用坐标写出来： 两个判定式要背到条件反射：（横纵相乘再相加）；（交叉相乘再相减）。这两个式子写反是本节最常见的错误。 距离公式：、 时 点 到直线 的距离是 ，处理动点到定直线的最值问题时直接用它。 什么时候该建系：图形里出现直角、等腰、正多边形或圆，或者已知量是长度与角度混杂时，建系几乎总比纯向量运算更短。 ★ 建系的关键是「让尽可能多的点落在坐标轴上」。正方形、正六边形、等边三角形都有标准放法——把一边放在 轴上、一个顶点放在原点，另一条边按特殊角方向展开。先画一遍再算，别每次现推。 知识点十一　三角形四心的向量刻画 重心 ：三条中线的交点，，等价于 。重心把每条中线分成 ，并把三角形面积三等分。 垂心 ：三条高的交点，。这一条的主要用法是反过来用——由两组点积相等，反推 是垂心。 内心 ：三条角平分线的交点，，其中 、、 是内角 、、 所对的边长；也就是 。另一个等价说法来自上面的角平分线方向： 与 共线。 外心 ：三边中垂线的交点，。圆心角与圆周角有关系 ；外心到边的距离用垂径定理：圆心到弦的距离等于 ，其中 是弦长。 拿到一个向量等式要反推是哪个心，按这个顺序看：系数全相等的是重心，系数是三边长的是内心，出现模长相等的是外心，出现点积成对相等的是垂心。 ★ 四心的判定几乎总和「模长平方」或「点积互换」配合出现。看到模长相等的条件就立刻写「该点是外心」，后面直接用垂径定理或圆心角关系，比硬算数量积快得多。 知识点十二　奔驰定理与面积比 奔驰定理： 是 内一点，则 反过来也成立：若 且 同为正，则 这条定理的作用是搭一座桥：把「点的向量等式」翻译成「三块面积之比」，或者反过来。求面积比的问题用它最快。 另一条常用结论更直接：若 ，则 也就是说，两个系数分别就是对侧那两块面积占整体的比例。 时 落在 上，两条结论自然吻合。 三个特例记住就够用：系数全相等时 是重心，三块面积相等；系数取三边长时 是内心，三块面积之比等于边长之比；锐角三角形中系数取 时 是垂心。 ★ 用奔驰定理前先确认点在三角形内部（三个系数同号）。若某个系数为负，说明点跑到了三角形外面，此时面积比要取绝对值，符号本身反映的是点在哪一侧。 二、方法突破 方法一　数量积与共线垂直 这一节的题面大多围绕三个转化展开：共线化成坐标比例、垂直化成数量积为零、模长化成平方。把这三个转化用熟，大部分题就是套公式。 共线：，坐标形式是 。 垂直：，坐标形式是 。 求模：先平方。，把模的问题变成数量积的问题。 ★ 触发信号：看到「共线」「平行」想坐标比例；看到「垂直」想数量积为零；看到「求模」先写平方；看到「 与 同时出现」，基本都是平方法一步到位。 例题 例 1-1 （开封市2026届高三第二次质量检测 · 第5题） 【解答】设向量 ，，则（　　） A. “”是“”的充分条件 B. “”是“”的充分条件 C. “”是“”的必要条件 D. “”是“”的充分条件 【解析】 第 1 步　，即 或 ◈ 把每个条件解成解集，再拿选项中给出的值去检验，是充要条件题最稳的路子。直接凭感觉判断「充分」「必要」，很容易在「还有别的解」上栽跟头。 第 2 步　 ◈ 共线的坐标公式是交叉相减，垂直的坐标公式是横坐标乘积加上纵坐标乘积。这两个公式写反是这一节最常见的错误。 答　A 例 1-2 （德州市2025-2026学年高三4月学习质量综合评估 · 第3题） 【解答】已知向量 满足 ，，，则 （　　） A. 2 B. C. 4 D. 【解析】 第 1 步　 ◈ 数量积为零就是垂直，这是把「几何的垂直」翻译成「代数的等式」的标准动作。题目给了这个条件，就是让你先求出 。 第 2 步　 ◈ 求模一律先平方。展开时交叉项的系数是 ，这个系数漏掉或不带负号，是最常见的计算失误。 答　C 例 1-3 （济南市2026届高三第二次模拟考试 · 第3题） 【解答】已知 为非零向量，则“ 与 共线”是“ 与 共线”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】 第 1 步　设 ◈ 把「共线」翻译成「存在实数 」是共线定理的直接使用。凡是要证明或判断共线，都先写出这个式子。 第 2 步　若 不共线，则 且 ，矛盾 ◈ 不共线的两个向量是一组基底，用它们表示零向量时系数必须全为零——这叫「表示法唯一」。两式无解，反过来就证明了 必定共线。 答　C 练习 1-1. 【单选】已知向量，则（ ） A. 的充要条件是 B. 的充要条件是 C. 与垂直的充要条件是 D. 若与的夹角为锐角，则的取值范围是 1-2. 【多选】已知平面向量，，则下列说法正确的有（ ） A. 向量，不可能垂直 B. 向量，不可能共线 C. 不可能为3 D. 若，则在上的投影向量为 1-3. 【多选】已知向量，则（ ） A. 是的充要条件 B. 是与的夹角为锐角的必要不充分条件 C. 是的充要条件 D. 是的充要条件 1-4. 【单选】已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. D. 1-5. 【单选】已知，都是非零向量，定义新运算，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 1-6. 【多选】已知非零平面向量，，，满足：，，且，记，，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 方法二　夹角的计算 求夹角只有一条路：先算 ，再算 和 ，代入 。 题面通常不直接给数量积，而是给一个含模的等式（如 ）。处理办法是两边平方，展开后模与数量积的关系就露出来了。 注意夹角的取值范围是 。由 定角时，正负决定锐角还是钝角；若题面给出的是正弦值，还要结合角的范围取舍。 ★ 触发信号：题面里出现「」「」这类模的等式，一律先平方展开；出现「夹角的正弦」时，先用 算出余弦，再用 转换并判断符号。 例题 例 2-1 （安庆市2026届高三二模 · 第5题） 【解答】已知向量 ，且 ，，则向量 夹角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　由 得 ，再用 判断 ◈ 平方运算会带来增根，负号那个必须舍掉。判断依据是 的符号——这一步不做，就会选到含 的 A 项。 第 2 步　先把模之差写成 再平方 ◈ 根号减根号直接平方会得到一堆交叉项。挪成「一个根号等于另一个加常数」再平方，才能把根号干净地去掉。 答　C 例 2-2 （滁州市2026届高三第二次教学质量监测 · 第5题） 【解答】若向量 ， 为单位向量，且 ，则 与 夹角的正弦值为（　　） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　 ◈ 模相等的两个向量的和与差一定垂直，这是可以当结论记住的。推导过程就是平方后交叉项相消，系数恰好是 2 和 。 第 2 步　由 再求正弦 ◈ 题目问的是正弦，别答成余弦。求出余弦后用 转换；夹角范围 内正弦不为负，直接取正值即可。 答　B 例 2-3 （海安高级中学等校2026届高三阶段性学情测试 · 第6题） 【解答】已知向量 ， 满足 ，，则 ， 的夹角为（　　） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　 ◈ 垂直条件展开后能把数量积用 表示出来，这样最后代入夹角公式时分子就有了着落。 第 2 步　平方后 两边相消，剩 ◈ 左右两边 与 的模长系数都是 4，是出题人有意配好的，展开时按部就班写全就不会漏。 答　C 练习 2-1. 【填空】已知向量，满足，且，，则与所成角的大小为__________. 2-2. 【多选】已知向量满足，则（ ） A. 当时，与的夹角为 B. 当时，在上的投影向量为 C. 的最大值为 D. 的最小值为4 2-3. 【多选】下列说法正确的是（ ） A. 已知为非零向量，若，则的夹角为锐角 B. 展开式中的常数项为 C. 若方程表示椭圆，则 D. 点在直线上运动，的最大值是 2-4. 【单选】设为两个非零向量所成的角，已知对任意，的最小值为，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 2-5. 【填空】已知向量，则当取得最大值时，____________． 方法三　最值与取值范围 向量最值题的通用思路是「化归」——把向量问题化成一元函数、二次函数或距离问题，再用你熟悉的方法求最值。三条常见路径： 一是消元转函数。把所求式用数量积和模写开，利用题目给的约束消去多余的变量，化成单变量式子（常是二次函数），然后配方或求导。 二是用几何意义。模的最小值往往对应「点到直线的最短距离」，数量积的最值往往可以用极化恒等式转成距离问题。 三是用基本不等式。把所求式凑成能直接套基本不等式的形状，注意等号能否取到。 ★ 触发信号：题面给的是含参向量（如 ）并附一个约束条件，基本就是消元转函数；题面出现「动点在圆上」「动点在直线上」，优先考虑几何意义。 例题 例 3-1 （黄骅中学等十校2026届高三下学期一模 · 第6题） 【解答】我国通信技术飞速发展，部分领域全球领先．某卫星信号测试中，专家将通信信号抽象为向量 ，接收端参考信号抽象为向量 ，定义信号匹配度函数 ，则 的最大值为（　　） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　 ◈ 降幂公式把 收进括号，式子就从「两个不同角」变成了「同一个角」——这是三角与向量交汇题的固定第一步。 第 2 步　设 ，换元后求导并比较端点 ◈ 换元后是三次函数，求导得到的驻点值要和端点值一起比。这里端点是 0，正是比较容易忽略的一步。 答　C 例 3-2 （杭州市2025-2026学年第二学期高三二模教学质量检测 · 第7题） 【解答】已知向量 ， 满足 ，，设 ，且 ，则 的最小值为（　　） A. 2 B. 1 C. D. 【解析】 第 1 步　 ◈ 把 展开写成二次式是这类「线性组合求模」题的标准动作。中间项 的系数 2 别丢。 第 2 步　代入 得 ◈ 约束条件的存在意义就是让二元变一元。消元之后是二次函数，直接配方，顶点处即可取到（ 没有额外限制）。 答　D 练习 3-1. 【填空】已知同一平面内的单位向量，，，则的最小值是________；若与不共线，，，，，则________． 3-2. 【填空】已知向量，，则的最小值是__________. 3-3. 【填空】已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为______． 3-4. 【单选】已知三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3-5. 【填空】键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要.有机物萘可以用如图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为如图所示的图形.已知六边形与六边形为全等的正六边形，且，点为正六边形内的一点（包含边界），则的取值范围是__________. 3-6. 【多选】已知，，，则下列选项正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 的最大值为30 C. 的最小值为 D. 的最小值为 3-7. 【单选】已知向量满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3-8. 【解答】平面内三个向量 ，， 满足 ，且 ，则 的最大值为（　　） A. B. C. D. 3-9. 【解答】已知向量 ，，，若向量 满足 ，则 的最大值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 3-10. 【解答】已知向量 满足 ，，则 的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 3-11. 【解答】已知平面向量 ，，，若 ，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 方法四　投影向量 投影向量的公式是 ，要记牢它是向量，与 共线；而投影（数量）是 ，是实数。 考题有两种方向：一是直接给数量积和模，代公式；二是给出投影向量的条件反求未知量——做法是把投影向量写成 的形式，与公式比较系数。 ★ 注意分母是 而不是 ，这是最容易记错的地方。另外「 在 上」与「 在 上」的投影向量完全不同，读题时要看清方向。 例题 例 4-1 （南阳市2026届高三下学期一模考试 · 第4题） 【解答】已知向量 ， 满足 ，，，则向量 在向量 方向上的投影向量为（　　） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　 ◈ 投影向量公式里最缺的往往是数量积。题面给的是模长等式，平方展开就是求出数量积的通道。 第 2 步　 ◈ 注意分母是 ，不是 。另外公式里乘的是 本身，不是单位向量——少了这一步，就会误选成 。 答　A 例 4-2 （邢台市名校协作体2026届高三上学期模拟考试（一模） · 第8题） 【解答】若 与 是平面内的两个非零向量，， 在 上的投影向量为 ，且当 时，，则 （　　） A. 1 B. C. 2 D. 【解析】 第 1 步　投影向量条件 ◈ 投影向量等于 ，说明它是 的数乘，系数就是 。比较系数即可，不必去算投影向量的具体坐标。 第 2 步　，最小值 ◈ 「 的最小值」是二次函数的最小值，配方后是 ——这个式子值得单独记一下。 答　C 练习 4-1. 【解答】已知向量 ，，，则 在 上的投影向量为（　　） A. B. C. D. 4-2. 【解答】平面向量 ，，则 在 上的投影向量坐标为__________. 4-3. 【单选】已知平面向量，则“”是“在方向上的投影向量为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4-4. 【单选】在等边中，已知点，满足，，与交于点，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4-5. 【填空】已知向量在向量上的投影向量为，若，则向量与夹角余弦值的最小值为______． 方法五　平面图形中的基底运算 平面图形题的核心动作是「选基底」：挑两个不共线的向量作基底，把图上所有向量都用它们表示出来，再用数量积或共线定理解题。 选基底的诀窍是挑「已知模和夹角」的两个向量，通常是共顶点的两条边。菱形、正三角形、正方形这类图形，邻边就是天然的基底。 表示其他向量时用三角形法则，沿着图形一条边一条边地走，把每一步都写成基底的组合，最后合并同类项。 若题面给了坐标系或垂直条件明显，改用坐标法往往更快——把图形放在坐标系里，所有运算都变成代数计算。 ★ 触发信号：图中出现中点、三等分点、比例关系，或题目问「用 、 表示」时，一律走基底路线；图形规则（正方形、矩形、正三角形）时优先建系。 例题 例 5-1 （烟台市2026届高三第一次诊断考试 · 第5题） 【解答】已知菱形 的边长为 ， 分别是 的中点，，则 （　　） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　， ◈ 这是本题最容易错的地方。题目给的是 ，而基底是 与 ，要用的是 。菱形邻角互补，所以是 而不是 ，数量积要带负号。 第 2 步　 ◈ 沿图形一条边一条边地走，每一步都写成基底的组合。注意 ，符号搞错整道题就全反了。 答　B 例 5-2 （2025届山东省滨州市高三二模数学试题 · 第6题） 【单选】在平行四边形中，点在边上，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. -2 D. 4 【解析】 第 1 步　 ◈ 表示 有两条路：从 到 直接走，或从 经过 再到 。这里用 最快，因为 是现成的。 第 2 步　展开时把三个已知量代入：、、 ◈ 基底法的收尾就是三步：展开、代入、合并。展开时注意 的系数容易算错，按 逐项写，别跳步。 答　B 练习 5-1. 【解答】在平行四边形 中，，则（　　） A. B. C. D. 5-2. 【单选】在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5-3. 【单选】在矩形中，成等差数列，，则矩形的周长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 5-4. 【多选】如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行，已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为，则下列说法正确的为（ ） A. 当船的航行时间最短时， B. 当船的航行距离最短时， C. 当时，船的航行时间为6分钟 D. 当时，船的航行距离为 5-5. 【单选】如图，已知同一平而上的三条直线a，b，c相交于同一点O，两两夹角均为，点A，B分别在直线a，b上，且，设，若点P落在阴影部分（不含边界），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5-6. 【单选】铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示.若图中正方形的边长为，圆的半径为，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5-7. 【多选】如图，已知半圆上有一个动点，是上靠近点的三等分点，且与交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5-8. 【多选】设平面向量的夹角为，若，且，则（ ） A. 当时，三点共线 B. 当时，平分 C. 当时，的最大值为2 D. 当时，的取值范围为 5-9. 【解答】在菱形 中，，点 ， 满足 ，，则（　　） A. B. C. D. 方法六　三角形中的向量与四心 三角形里的向量题，关键是把「几何位置关系」翻译成「向量等式」。几个必须记住的对应： 重心：，推论 。 三点共线的系数刻画： 共线 且 。过重心的直线与两边相交时，这个条件用得最多。 中线与面积： 为 中点时 ；中线长公式 。 ★ 触发信号：题面出现「重心」「中线」「交点」「三点共线」时，优先用系数和为 的结论；出现「外心」时用等距条件 。 例题 例 6-1 （厦门市2026届高中毕业班3月模拟测试 · 第7题） 【解答】在 中，，点 满足 ，若 的面积为 ，则 的最小值为（　　） A. B. C. 2 D. 3 【解析】 第 1 步　 说明 是 的中点 ◈ 向量等式里藏着几何位置。 意味着 到 、 的向量大小相等方向相反，即 是 中点——先把这类信息翻译成几何事实，再动手算。 第 2 步　，用面积条件把 换成 ◈ 本题有两个变量（腰长和顶角），面积条件就是用来消元的。消完只剩一个角，才能求导找最值。 第 3 步　，令其为零得 ◈ 求导后分子恰好是一次式，很好解。别忘了解出 后要同步算出 ，代回原式才能得到数值。 答　B 例 6-2 （长沙市2026届高三第一次模拟考试 · 第7题） 【解答】已知 为 的重心，过 的直线与 ， 边分别交于 ， 点，若 ，，则 的最大值为（　　） A. 2 B. C. 4 D. 【解析】 第 1 步　，由 共线得 ◈ 三点共线的系数刻画：若 且 ，则 在直线 上。这里两个系数是 和 ，和为 1 就得到 。 第 2 步　由 消元得 ， 时取最大值 4 ◈ 把几何条件翻译成代数约束（）之后，剩下的就是纯函数最值问题。求导后驻点为 和 ，在 的范围内取 。 答　C 练习 6-1. 【单选】中，，则的最大值为（ ） A. 6 B. C. 12 D. 6-2. 【单选】已知圆为的外接圆，是边上一点，且平分，若，则（ ） A. B. C. D. 6-3. 【多选】点在所在平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，则为的重心 C. 若，则 D. 若为边长为2的正三角形，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围为 6-4. 【多选】在中，若，点在边上，点在边上，且，，则（ ） A. B. C. D. 6-5. 【多选】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M是△ABC所在平面上一点，且 则下列说法正确的是（ ） A. 若，则M在内部 B. 若，则M为的重心 C. 若，则的面积是面积的 D. 若，M为外接圆圆心，则 6-6. 【解答】已知点 是 的外心，直线 与线段 交于点 。若 ，，，则 __________. 6-7. 【解答】已知点 为 所在平面内一点，，，若 ，则 的取值范围为__________. 6-8. 【解答】在 中，，，则 的最小值为_____． 6-9. 【解答】在 中，，， 分别为内角 ，， 的对边，， 分别为边 ， 上的动点，记 为 与 的夹角． （1）证明：； （2）证明：． 方法七　旋转、圆与动点轨迹 这一类题的共同点是「动」，处理办法是找到动点满足的几何约束，把它翻译成轨迹或函数。 模长条件常常给出圆： 说明 在以 为心、 为半径的圆上； 说明 在以 中点为心的圆上（因为 ）。 数量积的最值常借助极化恒等式转化：，于是问题变成「动点到定点 的距离的最值」，用圆的性质即可。 ★ 触发信号：题面出现「动点」「轨迹」「角速度」「圆上运动」，或条件里含 这类模长等式，先把动点的轨迹定出来再求最值，比硬算快得多。 例题 例 7-1 （株洲市2025-2026学年高三上学期教学质量检测 · 第5题） 【解答】已知向量 ，将向量 绕坐标原点 逆时针旋转 角得到向量 ，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　， ◈ 「旋转」这个动作保持向量的模不变，所以两个向量都落在单位圆上。把几何说法翻译成「模为 1、夹角为 」，后面的计算才有依据。 第 2 步　 ◈ 比较「和向量的模」与「差向量的模」的大小，一律平方后作差。结果里只剩数量积，符号就一目了然。 第 3 步　 ◈ 这是「平方差」形式的数量积，展开后交叉项相消，只剩两个模的平方差。模相等时结果必然是 0，即恒垂直——这类结论要能一眼认出。 答　D 例 7-2 （龙岩市2026届高中毕业班三月教学质检检测 · 第7题） 【解答】已知线段 是圆 的一条动弦，且 ．若点 为直线 上的任意一点，则 的最小值为（　　） A. 6 B. 8 C. 14 D. 35 【解析】 第 1 步　（ 为 中点） ◈ 和向量与中点的固定搭配。看到 就换成 ，问题立刻简化一半。 第 2 步　 ◈ 垂径定理把「弦动」转化成「中点到圆心的距离是定值」，于是 的轨迹是一个圆。这是处理动弦问题的通用手法。 第 3 步　 ◈ 三角不等式把「圆上的点到定点」折线化：最小值等于「定点到圆心的距离」减去「半径」。等号在三点共线且圆心在中间时取到。 答　A 练习 7-1. 【单选】在平面直角坐标系xOy中，已知点，若点满足，则（ ） A. -3 B. 0 C. 1 D. 4 7-2. 【单选】在平面直角坐标系中，动点在以原点为圆心，为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动；动点在以原点为圆心，为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动.、分别以、为起点同时开始运动，经过后，动点、的坐标分别为、，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7-3. 【单选】在四边形中，，，，E是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7-4. 【解答】已知点 ，，若将 绕点 逆时针旋转 得到 ，则点 的坐标为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 7-5. 【解答】在边长为 的正方形 中， 三点分别在 上，满足 ，，则五边形 面积的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 7-6. 【解答】 是坐标平面内一个动点， 与直线 垂直，垂足 位于第一象限， 与直线 垂直，垂足 位于第四象限．若四边形 （ 为原点）的面积为 ，设 的轨迹为曲线 ，则（　　） A. 的方程为 B. 的方程为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面向量的方法体系 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　向量的概念与线性运算 向量既有大小又有方向，所以两个向量不能比较大小，只能说相等或不相等。长度为 的向量叫单位向量，长度为 的叫零向量，零向量的方向是任意的。 方向相同或相反的非零向量叫共线向量（也叫平行向量），记作 。注意零向量与任何向量共线。 向量的加法用三角形法则或平行四边形法则：。首尾相接用三角形法则，共起点用平行四边形法则。 减去一个向量等于加上它的相反向量：。这个变形在化简中极其常用，看到「共起点相减」就要立刻联想到它。 数乘 的模是 ，方向由 的正负决定： 同向， 反向。 ★ 化简向量式子的口诀是「把所有的向量都往同一个基点凑」。例如要化简 ，先写成 ，再用中点关系合并。 知识点二　共线定理与平面向量基本定理 共线定理： 时， 等价于存在唯一实数 使 。用坐标写就是 。 平面向量基本定理：若 不共线，则平面内任一向量 都能写成 ，且表示法唯一。 「表示法唯一」是解题的利器：若 ，则 且 。把向量等式化成系数相等，是求系数最常用的手段。 三点共线的向量刻画： 三点共线等价于 ，其中 。（这里 是平面内任意一点。）这个结论在判断点的位置时非常好用。 ★ 系数和为 的写法有个常见的陷阱：结论里的两个向量必须是「从同一点出发指向两点」。若写成 的形式，判断依据就变成了看 与 的关系——等于 时 在直线 上，小于 时在三角形内部。 知识点三　等和线——系数和为定值 把 中的 看成一个整体，结论只有一句： 为定值 时，点 在一条与 平行的直线上。 道理不难： 时可设 、，其中 ，于是 括号里系数和为 ，它的终点落在直线 上。也就是说， 是直线 上的点以 为中心、比例 作位似变换后的像，而位似把直线映成平行直线。 时这条直线就是 本身，退化成「三点共线」； 变大或变小，直线只是平移。 由此可以直接读出一批结论：、 且 时 在 内部； 时 在过 且平行于 的直线上。 ★ 求 的最值，不必去解系数。在图上画出与 平行的直线族，看哪一条刚好与可行区域相切，量出它到 的距离是 到 距离的几倍，那个倍数就是 。系数和问题一律先想等和线。 知识点四　数量积的定义与运算律 数量积（内积）：，其中 是两个向量的夹角，取值范围是 。数量积的结果是一个实数，不是向量。 夹角公式：。求夹角的题一律先算数量积和两个模。 垂直的刻画：。用坐标写就是 。 模的算法：，所以求模一律先平方——。这是数量积部分用得最多的一条。 运算律：交换律 ，数乘结合律 ，分配律 。 ★ 数量积没有消去律： 推不出 （只推出 ）。也不能像多项式那样相乘， 与 一般不相等。 知识点五　三角不等式与模的取值范围 三角不等式：对任意两个向量， 几何上 是两点间的距离， 是折线的总长，「两点之间线段最短」说的就是右边那个不等号。 取等条件成对出现： 取等当 与 同向， 取等当两者反向；把 换成 ，就是 的两条。用不等式放缩求最值时，最后一步一定要回头检查等号能不能取到。 求模的最值有两条路：一是用三角不等式放缩，快，但要验取等；二是把模平方展开成数量积，稳，但计算量大。题目里若出现「最值」「取值范围」这种字眼，先想等号位置，通常能反推出答案的形状。 ★ 模的最值问题几乎都能几何化。 固定时， 的最值就是点到圆的距离； 的最小值就是点到直线的距离，等于 。先想几何，再动代数。 知识点六　向量与解三角形的桥梁 余弦定理本来就是数量积。在 中把 拆开： 所以「已知两边及夹角求第三边」这类题，本质就是算一个差向量的模的平方，把式子展开即可，不必把余弦定理当成另一条公式去记。反过来写就是「已知三边求角」：。 中线长公式： 是 的中点，则 它其实就是 两边平方的结果。这条在向量题里出现的频率比在解三角形题里还高。 射影定理：三条边轮换成立 用余弦定理把右边展开就得到：。它的几何意思是「边 等于另两边在它方向上的投影之和」。 正弦定理与面积也常和向量一起出现：，而 把边、角、外接圆半径连在一起。遇到「求面积」「求外接圆半径」时，从这里入手。 ★ 向量条件翻译成边角时有个方向陷阱：，因为两个向量同从 出发，夹角就是 ；但 ，两个向量首尾相接，夹角是 ，多出一个负号。拿到数量积条件，先把向量都化成共起点的形式，再判断夹角是哪个角。 知识点七　投影向量与投影 在 方向上的投影向量是 ，它是与 共线的一个向量；而投影（数量）是 ，是一个实数。两者只差一个方向向量，别答混了。 从几何上看，投影向量就是 在 所在直线上的「影子」。 时影子与 同向， 时反向， 时影子是零向量。 ★ 投影向量的两个常见考法：一是已知投影向量反求数量积或模（把投影向量写成 的形式比较系数）；二是在图形中用投影化简数量积（把斜向量换成它在一个方向上的投影）。 知识点八　单位向量与角平分线方向 与 同向的单位向量是 ，这一步叫单位化，作用是「只保留方向、丢掉长度」。涉及方向的比较（夹角、平行、角平分）时，先把参与运算的向量化成单位向量。 角平分线方向：设 、 分别是 、 方向的单位向量，则 的方向就是 的平分线方向。理由是纯几何的：两个长度相等的向量相加，和向量落在它们夹角的平分线上（正是菱形对角线平分顶角）。 写开就是： 是 平分线的方向向量。题目问「某向量是否平分角」，只要看它与这个和向量是否共线。 定比分点：若 ，则 时是中点公式。这个式子把「分点」问题化成了系数的代数运算。 ★ 三等分点、四等分点都不必背公式。 就是 ，把「从哪个点出发、走几分之几」写清楚即可，出错率比套公式低。 知识点九　极化恒等式与常用结论 极化恒等式：。 用中点写更直观：若 是 的中点，则 。 这条式子把「数量积」换成了「距离的平方差」，处理动点问题时特别有效——求数量积的最值化成了求点到定点距离的最值。 常用结论： 是 中点时 、； 是 重心时 ，且 。 ★ 三角形「四心」的向量刻画是高频考点：重心对应 ；外心对应 ；垂心对应 。 知识点十　坐标法与建系 设 ，，则向量的全部运算都可以用坐标写出来： 两个判定式要背到条件反射：（横纵相乘再相加）；（交叉相乘再相减）。这两个式子写反是本节最常见的错误。 距离公式：、 时 点 到直线 的距离是 ，处理动点到定直线的最值问题时直接用它。 什么时候该建系：图形里出现直角、等腰、正多边形或圆，或者已知量是长度与角度混杂时，建系几乎总比纯向量运算更短。 ★ 建系的关键是「让尽可能多的点落在坐标轴上」。正方形、正六边形、等边三角形都有标准放法——把一边放在 轴上、一个顶点放在原点，另一条边按特殊角方向展开。先画一遍再算，别每次现推。 知识点十一　三角形四心的向量刻画 重心 ：三条中线的交点，，等价于 。重心把每条中线分成 ，并把三角形面积三等分。 垂心 ：三条高的交点，。这一条的主要用法是反过来用——由两组点积相等，反推 是垂心。 内心 ：三条角平分线的交点，，其中 、、 是内角 、、 所对的边长；也就是 。另一个等价说法来自上面的角平分线方向： 与 共线。 外心 ：三边中垂线的交点，。圆心角与圆周角有关系 ；外心到边的距离用垂径定理：圆心到弦的距离等于 ，其中 是弦长。 拿到一个向量等式要反推是哪个心，按这个顺序看：系数全相等的是重心，系数是三边长的是内心，出现模长相等的是外心，出现点积成对相等的是垂心。 ★ 四心的判定几乎总和「模长平方」或「点积互换」配合出现。看到模长相等的条件就立刻写「该点是外心」，后面直接用垂径定理或圆心角关系，比硬算数量积快得多。 知识点十二　奔驰定理与面积比 奔驰定理： 是 内一点，则 反过来也成立：若 且 同为正，则 这条定理的作用是搭一座桥：把「点的向量等式」翻译成「三块面积之比」，或者反过来。求面积比的问题用它最快。 另一条常用结论更直接：若 ，则 也就是说，两个系数分别就是对侧那两块面积占整体的比例。 时 落在 上，两条结论自然吻合。 三个特例记住就够用：系数全相等时 是重心，三块面积相等；系数取三边长时 是内心，三块面积之比等于边长之比；锐角三角形中系数取 时 是垂心。 ★ 用奔驰定理前先确认点在三角形内部（三个系数同号）。若某个系数为负，说明点跑到了三角形外面，此时面积比要取绝对值，符号本身反映的是点在哪一侧。 二、方法突破 方法一　数量积与共线垂直 这一节的题面大多围绕三个转化展开：共线化成坐标比例、垂直化成数量积为零、模长化成平方。把这三个转化用熟，大部分题就是套公式。 共线：，坐标形式是 。 垂直：，坐标形式是 。 求模：先平方。，把模的问题变成数量积的问题。 ★ 触发信号：看到「共线」「平行」想坐标比例；看到「垂直」想数量积为零；看到「求模」先写平方；看到「 与 同时出现」，基本都是平方法一步到位。 例题 例 1-1 （开封市2026届高三第二次质量检测 · 第5题） 【解答】设向量 ，，则（　　） A. “”是“”的充分条件 B. “”是“”的充分条件 C. “”是“”的必要条件 D. “”是“”的充分条件 【解析】 判断充要条件，第一步永远是先把两个条件各自等价成什么，写成解集再比。 的坐标刻画是 ： 的坐标刻画是「交叉相乘相减为零」： 两个条件的解集都拿到了，逐项验证就很简单。 A 项： 确实是垂直的解集里的元素，所以由它一定能推出垂直；但反过来，垂直还可能是 ，推不出 。充分不必要，正确。 B 项：把 代进 得 ，所以 推不出平行，错误。 C 项： 时垂直成立，但垂直的解集里还有 ，说明 不是垂直的必要条件，错误。 D 项：把 代进 得 ，推不出平行，错误。 第 1 步　，即 或 ◈ 把每个条件解成解集，再拿选项中给出的值去检验，是充要条件题最稳的路子。直接凭感觉判断「充分」「必要」，很容易在「还有别的解」上栽跟头。 第 2 步　 ◈ 共线的坐标公式是交叉相减，垂直的坐标公式是横坐标乘积加上纵坐标乘积。这两个公式写反是这一节最常见的错误。 答　A 例 1-2 （德州市2025-2026学年高三4月学习质量综合评估 · 第3题） 【解答】已知向量 满足 ，，，则 （　　） A. 2 B. C. 4 D. 【解析】 条件 说明 与 垂直，把括号展开就能把 解出来： 求模先平方。把 两边平方： 代入 、： 第 1 步　 ◈ 数量积为零就是垂直，这是把「几何的垂直」翻译成「代数的等式」的标准动作。题目给了这个条件，就是让你先求出 。 第 2 步　 ◈ 求模一律先平方。展开时交叉项的系数是 ，这个系数漏掉或不带负号，是最常见的计算失误。 答　C 例 1-3 （济南市2026届高三第二次模拟考试 · 第3题） 【解答】已知 为非零向量，则“ 与 共线”是“ 与 共线”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】 两个结论都是关于「共线」，所以要用共线定理把它们都翻译成「存在实数 」。 先看充分性。设 与 共线，则存在实数 使 假设 不共线。不共线的两个向量是不能互相表示的，所以要让上面的等式成立，两个系数必须同时为零： 这两式一个给出 ，一个给出 ，矛盾，说明假设不成立。于是 必定共线，充分性成立。 再看必要性。若 ，则 与 都是 的数乘，自然共线，必要性成立。 两边都能推，是充要条件。 第 1 步　设 ◈ 把「共线」翻译成「存在实数 」是共线定理的直接使用。凡是要证明或判断共线，都先写出这个式子。 第 2 步　若 不共线，则 且 ，矛盾 ◈ 不共线的两个向量是一组基底，用它们表示零向量时系数必须全为零——这叫「表示法唯一」。两式无解，反过来就证明了 必定共线。 答　C 练习 1-1. 【单选】已知向量，则（ ） A. 的充要条件是 B. 的充要条件是 C. 与垂直的充要条件是 D. 若与的夹角为锐角，则的取值范围是 解析　答：B 四个选项都是把条件翻译成关于 的方程，逐个算。 A 项：，。两者相等要求 ，解得 ，所以「」只是充分条件，不是充要条件，错误。 B 项：共线的坐标条件是交叉相减为零，，得 ，反过来 也一定共线，是充要条件，正确。 C 项：垂直的坐标条件是横纵乘积之和为零，，得 ，不是 ，错误。 D 项：夹角为锐角不仅要数量积为正，还要排除共线的情形。 给出 ；再把共线时 去掉。所以范围是 ，错误。 1-2. 【多选】已知平面向量，，则下列说法正确的有（ ） A. 向量，不可能垂直 B. 向量，不可能共线 C. 不可能为3 D. 若，则在上的投影向量为 解析　答：BD A 项：垂直要求 ，即 。这样的 是存在的，所以两个向量可能垂直，错误。 B 项：共线要求 ，即 。而 ，永远取不到 ，所以不可能共线，正确。 C 项：把和向量平方， 它的取值范围是 ，所以 能取到 （ 落在区间内），错误。 D 项： 时 ，，投影向量为 ，正确。 1-3. 【多选】已知向量，则（ ） A. 是的充要条件 B. 是与的夹角为锐角的必要不充分条件 C. 是的充要条件 D. 是的充要条件 解析　答：AC A 项：垂直的条件是 ，即 ，两边能互推，正确。 B 项：夹角为锐角要求 且两向量不共线。若 而共线，则 ，代入得 ，不可能；所以 时一定不共线，夹角一定是锐角。也就是说 与「夹角为锐角」互为充要，不是必要不充分，错误。 C 项：共线要求 ，即 ，两边能互推，正确。 D 项：夹角为 等价于 ，化简后与 并不等价，错误。 1-4. 【单选】已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：A 先把两个向量算出来。 由坐标形式的数量积： 整理得 。两边同除以 （题设给了 ，可以除）： 1-5. 【单选】已知，都是非零向量，定义新运算，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析　答：B 先看新运算能不能分解。把四项按 和 分组： 两个括号里都是 ，所以 于是 等价于 或 。 看充分性：取 ，，此时 ，新运算为 ，但 并不成立，两向量不垂直。所以充分性不成立。 看必要性：若 ，则 ，新运算自然为 ，必要性成立。 所以是必要不充分条件。 1-6. 【多选】已知非零平面向量，，，满足：，，且，记，，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 解析　答：ABD 先把条件整理成与 有关的样子。由 得 ，所以 。 记 ，，则 设 ，，，则 于是 由 得 。 取 ，令 ，分子分母同除 ： 由 得分母 ，故 即 。 取 时，把分子的加减号对调， 正好是上面那个式子的倒数，取值范围是 。两种情形合起来， A、B 都正确。 再看 。由 与 得 条件 就是 。把 沿 与 两个方向分解： 因为 ，所以 。 记 ，，则 而 ，所以 。记 ，得 于是 最大值是 ，D 正确；最小值是 ，不是 ，C 错误。 方法二　夹角的计算 求夹角只有一条路：先算 ，再算 和 ，代入 。 题面通常不直接给数量积，而是给一个含模的等式（如 ）。处理办法是两边平方，展开后模与数量积的关系就露出来了。 注意夹角的取值范围是 。由 定角时，正负决定锐角还是钝角；若题面给出的是正弦值，还要结合角的范围取舍。 ★ 触发信号：题面里出现「」「」这类模的等式，一律先平方展开；出现「夹角的正弦」时，先用 算出余弦，再用 转换并判断符号。 例题 例 2-1 （安庆市2026届高三二模 · 第5题） 【解答】已知向量 ，且 ，，则向量 夹角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 【解析】 设 ，把两个模都写成 的式子。由 ： 题设给的是两个模之差，直接平方会把根号弄乱，先把它们挪成等式再平方。由 得 ，两边平方： 再平方一次：，整理得 ，所以 。 最后一步取舍。因为 而题设说 ，所以 ，即 ，舍去负的，取 。 于是 。 第 1 步　由 得 ，再用 判断 ◈ 平方运算会带来增根，负号那个必须舍掉。判断依据是 的符号——这一步不做，就会选到含 的 A 项。 第 2 步　先把模之差写成 再平方 ◈ 根号减根号直接平方会得到一堆交叉项。挪成「一个根号等于另一个加常数」再平方，才能把根号干净地去掉。 答　C 例 2-2 （滁州市2026届高三第二次教学质量监测 · 第5题） 【解答】若向量 ， 为单位向量，且 ，则 与 夹角的正弦值为（　　） A. B. C. D. 【解析】 条件 两边平方： 也就是说 ，两个向量是垂直的。 接下来算夹角的余弦，需要三个量：、 和 。 ，。 所以 。 题目要的是正弦值，由 ，且夹角在 内正弦非负，得 。 第 1 步　 ◈ 模相等的两个向量的和与差一定垂直，这是可以当结论记住的。推导过程就是平方后交叉项相消，系数恰好是 2 和 。 第 2 步　由 再求正弦 ◈ 题目问的是正弦，别答成余弦。求出余弦后用 转换；夹角范围 内正弦不为负，直接取正值即可。 答　B 例 2-3 （海安高级中学等校2026届高三阶段性学情测试 · 第6题） 【解答】已知向量 ， 满足 ，，则 ， 的夹角为（　　） A. B. C. D. 【解析】 两个条件各管一部分信息，分别翻译出来再合。 由 得 ，展开： 再由 ，两边平方： 两边的 直接相消，整理得 所以 。代入夹角公式： 夹角在 内， 对应 。 第 1 步　 ◈ 垂直条件展开后能把数量积用 表示出来，这样最后代入夹角公式时分子就有了着落。 第 2 步　平方后 两边相消，剩 ◈ 左右两边 与 的模长系数都是 4，是出题人有意配好的，展开时按部就班写全就不会漏。 答　C 练习 2-1. 【填空】已知向量，满足，且，，则与所成角的大小为__________. 解析　答： 求夹角用 。由 得 ， 两个非零向量所成角的范围是 ，所以夹角为 。 2-2. 【多选】已知向量满足，则（ ） A. 当时，与的夹角为 B. 当时，在上的投影向量为 C. 的最大值为 D. 的最小值为4 解析　答：BCD ，，四个选项逐个验证。 A 项： 时 夹角是 ，不是 ，错误。 B 项：由 平方得 ，即 。投影向量为 正确。 C、D 两项一起看。记 ，，两式相加得 ，且由 知 。 而 在 时取最大值 ，在 或 时取最小值 ，于是 所以原式最小值为 、最大值为 ，C、D 都正确。 2-3. 【多选】下列说法正确的是（ ） A. 已知为非零向量，若，则的夹角为锐角 B. 展开式中的常数项为 C. 若方程表示椭圆，则 D. 点在直线上运动，的最大值是 解析　答：BD A 项：把 两边平方，得 ，即 。这说明 与 的夹角小于 ，但可以是 （同向），此时不是锐角，所以 A 说「夹角为锐角」不严谨，错误。 B 项：通项 令 得 ，常数项为 ，正确。 C 项： 表示椭圆，需要 、 且 ，即 且 ，C 漏掉了 ，错误。 D 项：、 在直线 的两侧（代入分别得 与 ）。作 关于该直线的对称点， 到直线的距离为 ，垂足为 ，所以 。 于是 取等当 在直线 上。直线 即 ，与 联立得 ，此时 、，差恰为 ，最大值确实能取到，正确。 2-4. 【单选】设为两个非零向量所成的角，已知对任意，的最小值为，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 解析　答：C 的几何意义是点 到直线 的距离，这个距离等于 ，其中 是两个向量的夹角。 题设说这个最小值为 ，即 ，所以 或 。 2-5. 【填空】已知向量，则当取得最大值时，____________． 解析　答：5 先由 把 的坐标算出来。，，所以 求 用 。二维向量的叉积为 ，点积为 ，于是 由 得 取等当 。所以 取最大值时 。 方法三　最值与取值范围 向量最值题的通用思路是「化归」——把向量问题化成一元函数、二次函数或距离问题，再用你熟悉的方法求最值。三条常见路径： 一是消元转函数。把所求式用数量积和模写开，利用题目给的约束消去多余的变量，化成单变量式子（常是二次函数），然后配方或求导。 二是用几何意义。模的最小值往往对应「点到直线的最短距离」，数量积的最值往往可以用极化恒等式转成距离问题。 三是用基本不等式。把所求式凑成能直接套基本不等式的形状，注意等号能否取到。 ★ 触发信号：题面给的是含参向量（如 ）并附一个约束条件，基本就是消元转函数；题面出现「动点在圆上」「动点在直线上」，优先考虑几何意义。 例题 例 3-1 （黄骅中学等十校2026届高三下学期一模 · 第6题） 【解答】我国通信技术飞速发展，部分领域全球领先．某卫星信号测试中，专家将通信信号抽象为向量 ，接收端参考信号抽象为向量 ，定义信号匹配度函数 ，则 的最大值为（　　） A. B. C. D. 【解析】 先按定义把 展开。 由降幂公式 ，式子变成 现在括号里同时有 和 ，用 把它们统一到 上，再换元。 设 ，则 求导：，令它为零得 。 计算各处的值： 三个值里最大的是 。 第 1 步　 ◈ 降幂公式把 收进括号，式子就从「两个不同角」变成了「同一个角」——这是三角与向量交汇题的固定第一步。 第 2 步　设 ，换元后求导并比较端点 ◈ 换元后是三次函数，求导得到的驻点值要和端点值一起比。这里端点是 0，正是比较容易忽略的一步。 答　C 例 3-2 （杭州市2025-2026学年第二学期高三二模教学质量检测 · 第7题） 【解答】已知向量 ， 满足 ，，设 ，且 ，则 的最小值为（　　） A. 2 B. 1 C. D. 【解析】 求模先平方。由 、、： 条件 的作用就是消元。由它得 ，代入上式： 这是一个二次函数，配方： 所以 的最小值是 ， 时取到。 于是 。 第 1 步　 ◈ 把 展开写成二次式是这类「线性组合求模」题的标准动作。中间项 的系数 2 别丢。 第 2 步　代入 得 ◈ 约束条件的存在意义就是让二元变一元。消元之后是二次函数，直接配方，顶点处即可取到（ 没有额外限制）。 答　D 练习 3-1. 【填空】已知同一平面内的单位向量，，，则的最小值是________；若与不共线，，，，，则________． 解析　答：①. ②. 2 ① 三个单位向量共面，求 的最小值。 取 ，，两个不等号同时取等，所以最小值是 。 ② 记 ，由 知 也是单位向量。把 看成四段首尾相接的有向线段，、、、 的长度都是 ，围成的四边形四边相等，必是菱形，对边平行且相等，所以 代入题设的线性关系： 由 与 不共线，可知 、 不共线，所以 ，。再由 得 于是 3-2. 【填空】已知向量，，则的最小值是__________. 解析　答： 设 与 的夹角为 ，由 得 因为 ，所以 取等当 ，即 与 同向，此时 合法。 3-3. 【填空】已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为______． 解析　答：1 变化时 扫过整条直线 ，所以 就是点 到这条直线的距离。 这个距离等于 在垂直于 方向上的分量，即 所以最小值为 ，此时 垂直于 所在的直线。 3-4. 【单选】已知三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 解析　答：A 记单位圆圆心为 ，、、 分别是 、、 对应的位置向量。由 ： 所以 。把所求写成位置向量： 由 知 ，于是 3-5. 【填空】键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要.有机物萘可以用如图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为如图所示的图形.已知六边形与六边形为全等的正六边形，且，点为正六边形内的一点（包含边界），则的取值范围是__________. 解析　答： 把图形放到坐标系里。，令 、， 方向为 轴正方向。 正六边形 中，内角 ，所以 与 成 、 与 成 ： 另一个正六边形 与它共用边 ，按同样的边长 依次推进，得 点 在这个正六边形内（含边界）。，，所以 在顶点处取到极值：六个顶点的横坐标依次是 ，最小值 （在 处）、最大值 （在 处）。于是 3-6. 【多选】已知，，，则下列选项正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 的最大值为30 C. 的最小值为 D. 的最小值为 解析　答：ABC 先把所求式与「三者之和」联系起来。展开： 另一方面 两式对照，把括号里的量解出来： 接下来只看 能取到哪些值。三者同向时取到最大 ；取 也是可以的 —— 因为 的取值范围是 ，其中包含 ，取 即可。 所以 ，代入得 A、B、C 都正确，D 错误。 3-7. 【单选】已知向量满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解析　答：A 所求式与条件里的两个向量只差一个线性组合，先换元。记 则 ，，而 设 、，。由 写 、（），则 ， 还要保证 真的能实现，也就是夹角余弦要在范围内： 解这个不等式得 ，所以 ， 3-8. 【解答】平面内三个向量 ，， 满足 ，且 ，则 的最大值为（　　） A. B. C. D. 解析　答：D 先把 、 和夹角定下来。由 、 得 再由余弦定理算弦长： 题设里的 是从 指向 ， 是从 指向 ，所以夹角 就是 。 也就是说，点 对定弦 张角 。由张角定理，这样的点在两个圆上，圆半径 弦中点 满足 ，所以 圆心到弦中点的距离为 ，恰好等于 ，所以一个圆心就是原点 ；另一个圆心在 延长线上，到 的距离为 。 于是 的轨迹是：以 为圆心的优弧 ，或以 为圆心的优弧 。前者上 ；后者上 合并后最大值是 ，选项 D。 3-9. 【解答】已知向量 ，，，若向量 满足 ，则 的最大值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 解析　答： 条件 写成有向线段就是 ，说明 。 由圆周角定理的逆定理， 意味着 在以 为直径的圆上。 先算这个圆的半径： 圆心是 的中点 ，由 得 就是原点 到这个圆上点的距离。原点到圆心的距离加上半径，就是最大值： 3-10. 【解答】已知向量 满足 ，，则 的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 解析　答： 条件里的两个模都含 ，先换元把它统一。 设 ，则 ，题设变成 到两个定点距离之和为定值，这是椭圆的定义。两个焦点是原点 和 的终点，长轴长 ，所以 再看所求式。把 代进去： 而 正是这个椭圆的中心（两焦点 与 的中点是 ），所以 就是椭圆上一点到中心的距离。 椭圆上点到中心的距离介于短半轴与长半轴之间，故 两个端点都能取到（分别在短轴端点和长轴端点处）。 3-11. 【解答】已知平面向量 ，，，若 ，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 解析　答： 共线条件给出 与 的关系。由 ，坐标交叉相减为零： 把它代入所求式，化成一元二次函数： 配方： 所以当 时取到最小值 。 方法四　投影向量 投影向量的公式是 ，要记牢它是向量，与 共线；而投影（数量）是 ，是实数。 考题有两种方向：一是直接给数量积和模，代公式；二是给出投影向量的条件反求未知量——做法是把投影向量写成 的形式，与公式比较系数。 ★ 注意分母是 而不是 ，这是最容易记错的地方。另外「 在 上」与「 在 上」的投影向量完全不同，读题时要看清方向。 例题 例 4-1 （南阳市2026届高三下学期一模考试 · 第4题） 【解答】已知向量 ， 满足 ，，，则向量 在向量 方向上的投影向量为（　　） A. B. C. D. 【解析】 投影向量公式是 ，分子分母各要一个量，先把数量积求出来。 把 平方展开： 代入 、、： 于是所求的投影向量是 第 1 步　 ◈ 投影向量公式里最缺的往往是数量积。题面给的是模长等式，平方展开就是求出数量积的通道。 第 2 步　 ◈ 注意分母是 ，不是 。另外公式里乘的是 本身，不是单位向量——少了这一步，就会误选成 。 答　A 例 4-2 （邢台市名校协作体2026届高三上学期模拟考试（一模） · 第8题） 【解答】若 与 是平面内的两个非零向量，， 在 上的投影向量为 ，且当 时，，则 （　　） A. 1 B. C. 2 D. 【解析】 三个条件各给一条信息，分开翻译。 由 两边平方： 整理得 ，即 再由投影向量的条件。 在 上的投影向量是 它等于 ，所以 ，解得 两式比较，得 ，即 。 最后一个条件管的是 的最小值。先平方： 这是关于 的二次函数，在 处取最小值，最小值为 题设说这个最小值是 ，所以 ，得 ，。 第 1 步　投影向量条件 ◈ 投影向量等于 ，说明它是 的数乘，系数就是 。比较系数即可，不必去算投影向量的具体坐标。 第 2 步　，最小值 ◈ 「 的最小值」是二次函数的最小值，配方后是 ——这个式子值得单独记一下。 答　C 练习 4-1. 【解答】已知向量 ，，，则 在 上的投影向量为（　　） A. B. C. D. 解析　答：D 先把 算出来： 投影向量公式 ，逐项算： 所以 4-2. 【解答】平面向量 ，，则 在 上的投影向量坐标为__________. 解析　答： 直接代投影向量公式 。 所以投影向量为 注意投影向量是一个向量，不是数，题目问的是它的坐标。 4-3. 【单选】已知平面向量，则“”是“在方向上的投影向量为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析　答：C 在 方向上的投影向量是 。这里 ，所以 它等于 ，当且仅当 ，即 。 两个条件可以互相推出，是充要条件。 4-4. 【单选】在等边中，已知点，满足，，与交于点，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 解析　答：C 设等边三角形边长为 ，取 、、。 由 知 在 上且 ，；由 知 是 中点，。 设 在直线 上，；同时 在直线 上，。 纵坐标相等给出 ，即 。代回横坐标： 于是 在 方向上的投影向量，就是把 在 轴方向上的分量写成 的倍数：分量为 ，而 ，所以 4-5. 【填空】已知向量在向量上的投影向量为，若，则向量与夹角余弦值的最小值为______． 解析　答： 投影向量是 ，说明 又 ，所以 。记 ，则 。 先算两个向量的点积和各模长： 于是 平方后只要看 它在两端都趋近于 （ 时为 ， 时也趋于 ），中间有个极小值。解方程 ： 代入得 方法五　平面图形中的基底运算 平面图形题的核心动作是「选基底」：挑两个不共线的向量作基底，把图上所有向量都用它们表示出来，再用数量积或共线定理解题。 选基底的诀窍是挑「已知模和夹角」的两个向量，通常是共顶点的两条边。菱形、正三角形、正方形这类图形，邻边就是天然的基底。 表示其他向量时用三角形法则，沿着图形一条边一条边地走，把每一步都写成基底的组合，最后合并同类项。 若题面给了坐标系或垂直条件明显，改用坐标法往往更快——把图形放在坐标系里，所有运算都变成代数计算。 ★ 触发信号：图中出现中点、三等分点、比例关系，或题目问「用 、 表示」时，一律走基底路线；图形规则（正方形、矩形、正三角形）时优先建系。 例题 例 5-1 （烟台市2026届高三第一次诊断考试 · 第5题） 【解答】已知菱形 的边长为 ， 分别是 的中点，，则 （　　） A. B. C. D. 【解析】 图形规则、又给了模和夹角，用基底法最直接。取 ， 作基底。 由菱形边长为 得 ；再注意菱形的邻角互补， 时 ，所以 接着把 、 用基底表示。 是 中点： 是 中点，而 ： 展开数量积： 对照选项，负值只有 A、B 两项，所以选 B。 第 1 步　， ◈ 这是本题最容易错的地方。题目给的是 ，而基底是 与 ，要用的是 。菱形邻角互补，所以是 而不是 ，数量积要带负号。 第 2 步　 ◈ 沿图形一条边一条边地走，每一步都写成基底的组合。注意 ，符号搞错整道题就全反了。 答　B 例 5-2 （2025届山东省滨州市高三二模数学试题 · 第6题） 【单选】在平行四边形中，点在边上，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. -2 D. 4 【解析】 平行四边形给了邻边长度和夹角， 与 就是现成的基底。 设 ，，则 ，， 由 得 ，于是 展开： 第 1 步　 ◈ 表示 有两条路：从 到 直接走，或从 经过 再到 。这里用 最快，因为 是现成的。 第 2 步　展开时把三个已知量代入：、、 ◈ 基底法的收尾就是三步：展开、代入、合并。展开时注意 的系数容易算错，按 逐项写，别跳步。 答　B 练习 5-1. 【解答】在平行四边形 中，，则（　　） A. B. C. D. 解析　答：B 取 、 为基底。平行四边形的两条对角线都是邻边的和与差： 于是 （交叉项 一正一负恰好抵消。）代入 ： 5-2. 【单选】在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析　答：B 由 知四边形 是平行四边形（这是平行四边形的一个向量刻画——对角线向量等于两条邻边向量之和）。 在平行四边形中，两条对角线分别是 与 ，于是 它等于 当且仅当两邻边长度相等，即这个平行四边形是菱形。 正方形一定是菱形，所以「正方形」能推出「对角线垂直」；但菱形不一定是正方形，反过来推不出。 所以 是「四边形 是正方形」的必要不充分条件。 5-3. 【单选】在矩形中，成等差数列，，则矩形的周长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 解析　答：C 设 ，，。矩形中 。 三者成等差数列，所以 。 又 ，，于是 把 代入 ： （另一根 舍去。）于是 ，矩形周长为 5-4. 【多选】如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行，已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为，则下列说法正确的为（ ） A. 当船的航行时间最短时， B. 当船的航行距离最短时， C. 当时，船的航行时间为6分钟 D. 当时，船的航行距离为 解析　答：AC 设 沿河岸方向， 与它的夹角为 。渡河方向垂直于河岸，也就是垂直于 。 A 项：渡河时间 ，其中 是 垂直于河岸的分量，等于 。 时 最大，时间最短，正确。 B 项：航行距离最短要求合速度垂直河岸，即 ： B 说 ，错误。 C 项： 时 km/h， 正确。 D 项： 时 此时 ，时间 h，航行距离 D 说 ，错误。 5-5. 【单选】如图，已知同一平而上的三条直线a，b，c相交于同一点O，两两夹角均为，点A，B分别在直线a，b上，且，设，若点P落在阴影部分（不含边界），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 解析　答：C 三条直线两两成 ，把 、 取作基底，直线 、 分别对应 与 。 第三条直线 与 、 各成 ，方向为 。把它用基底表示： 所以直线 在基底坐标下就是 。 三条直线把平面分成六个角形区域。图中阴影区域夹在射线 （，）与直线 的射线（，）之间，对应的就是 即 。 5-6. 【单选】铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示.若图中正方形的边长为，圆的半径为，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 解析　答：C 以 为原点，、 为两条坐标轴方向。正方形边长为 ，所以 、。 由 得 圆心是正方形中心 ，半径 。圆上点的 最大值，在沿方向 的那个点上取到： 于是 5-7. 【多选】如图，已知半圆上有一个动点，是上靠近点的三等分点，且与交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 解析　答：ABD 以 为直径建系：、、，半圆上取 。 是 上靠近 的三等分点，所以 ， 设 ，同时 。纵坐标相等给出 ，即 。代回横坐标： 也就是说 恰好是 的中点，。 再利用 是 中点：，，所以 A 正确。 B 正确。 ；而 C 项的右边 两者相差 ，C 错误。 D 正确。 5-8. 【多选】设平面向量的夹角为，若，且，则（ ） A. 当时，三点共线 B. 当时，平分 C. 当时，的最大值为2 D. 当时，的取值范围为 解析　答：ABD 先算基底的点积： A 项： 时 起点是 、方向是 ，所以 在直线 上，三点共线，正确。 B 项：、 时 。而 正是 的角平分线方向， 与它同向，所以 平分 ，正确。 C、D 两项都在 的条件下。此时 设 ，把 代入整理成关于 的二次方程： 它要有实根， 所以 的最大值是 ，C 说 ，错误。 再看 。由 ，而 ，记 ： 时得 ； 时得 。两个端点都能取到（分别取 与 ），所以 D 正确。 5-9. 【解答】在菱形 中，，点 ， 满足 ，，则（　　） A. B. C. D. 解析　答：AC 菱形的四条边相等，设 ，。则 A 正确。 取 、 为基底， 为原点，则 、、，且 。 说明 是 中点： 说明 ： 于是 C 正确。 ，与 的系数不成比例（），所以不平行，B 错误。 最后算点积： 代入 、： 而 ，两者不等，D 错误。 方法六　三角形中的向量与四心 三角形里的向量题，关键是把「几何位置关系」翻译成「向量等式」。几个必须记住的对应： 重心：，推论 。 三点共线的系数刻画： 共线 且 。过重心的直线与两边相交时，这个条件用得最多。 中线与面积： 为 中点时 ；中线长公式 。 ★ 触发信号：题面出现「重心」「中线」「交点」「三点共线」时，优先用系数和为 的结论；出现「外心」时用等距条件 。 例题 例 6-1 （厦门市2026届高中毕业班3月模拟测试 · 第7题） 【解答】在 中，，点 满足 ，若 的面积为 ，则 的最小值为（　　） A. B. C. 2 D. 3 【解析】 说明 是 的中点，这是本题的几何信息，接下来要把 用已知量表示出来。 设腰长 ，顶角 。以 为起点，记 、，则 ，。 由 是 中点得 ，所以 求模先平方： 再用面积条件消去 。由 得 ，于是 记 ，求导： 令 得 ，此时 ，代入得 所以 的最小值为 ， 的最小值为 。 第 1 步　 说明 是 的中点 ◈ 向量等式里藏着几何位置。 意味着 到 、 的向量大小相等方向相反，即 是 中点——先把这类信息翻译成几何事实，再动手算。 第 2 步　，用面积条件把 换成 ◈ 本题有两个变量（腰长和顶角），面积条件就是用来消元的。消完只剩一个角，才能求导找最值。 第 3 步　，令其为零得 ◈ 求导后分子恰好是一次式，很好解。别忘了解出 后要同步算出 ，代回原式才能得到数值。 答　B 例 6-2 （长沙市2026届高三第一次模拟考试 · 第7题） 【解答】已知 为 的重心，过 的直线与 ， 边分别交于 ， 点，若 ，，则 的最大值为（　　） A. 2 B. C. 4 D. 【解析】 重心 + 过重心的直线 + 两边交点，这是「系数和为 1」的典型场景。 先把 用基底表示。由重心的向量形式： 把题设的 、 代进去： 因为 三点共线，而 与 不共线，由三点共线的系数刻画得 （这里 ，，因为 在边上。） 于是问题变成：在 、 下求 的最大值。消元： 记 ，求导得 ，在 处取得最大值， 第 1 步　，由 共线得 ◈ 三点共线的系数刻画：若 且 ，则 在直线 上。这里两个系数是 和 ，和为 1 就得到 。 第 2 步　由 消元得 ， 时取最大值 4 ◈ 把几何条件翻译成代数约束（）之后，剩下的就是纯函数最值问题。求导后驻点为 和 ，在 的范围内取 。 答　C 练习 6-1. 【单选】中，，则的最大值为（ ） A. 6 B. C. 12 D. 解析　答：D 记 ，，所求式为 是自由变量，把它化成一元函数。由正弦定理 所以 ，且 。代入： 把 展开： 降幂统一成 的三角函数： （辅助角公式，振幅 。）取等当 ，此时三角形存在，所以最大值就是 。 6-2. 【单选】已知圆为的外接圆，是边上一点，且平分，若，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：A 由角平分线定理 。两个三角形等底边上的高相同，所以面积比等于底边比： 于是 ，即 。代入余弦定理（，）： 外接圆半径由 得 把所求拆开： 在等腰三角形 与 中，、，所以 再由正弦定理 、，得 由 得 ，又 ： 于是 6-3. 【多选】点在所在平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，则为的重心 C. 若，则 D. 若为边长为2的正三角形，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围为 解析　答：ABD A 项： 说明 是钝角，三角形为钝角三角形，正确。 B 项： 是重心 满足 的同一刻画，所以 是重心，正确。 C 项：， 到直线 的距离是 到直线 距离的 （沿 方向的系数），所以 C 说 ，错误。 D 项：取 、、，则 。设 ，。 这是开口向上的二次函数，对称轴 ，所以最小值在 处取到： 最大值在端点取到： 时为 ， 时为 ，取 。所以取值范围是 ，正确。 6-4. 【多选】在中，若，点在边上，点在边上，且，，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：AD 先算两个已知向量的模： A 项：，所以 ，正确。 B 项： B 说 ，错误。 C 项： 说明 垂直于 ， 是 到直线 的垂足，所以 C 说 ，错误。 D 项： 是 的角平分线方向，所以 就是 处的角平分线。由角平分线定理 ， 代入 、： 而 ，所以 正确。 6-5. 【多选】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M是△ABC所在平面上一点，且 则下列说法正确的是（ ） A. 若，则M在内部 B. 若，则M为的重心 C. 若，则的面积是面积的 D. 若，M为外接圆圆心，则 解析　答：ABD 把 写成 关于 、、 的表示： A 项：三个系数 、、 都为正，说明 在三角形内部，正确。 B 项： 时三个系数都是 ， 是重心，正确。 C 项：、 时 前面的系数为 ，所以 即 ，于是 C 说 ，错误。 D 项：，，。取 、、。 外接圆圆心在 的中垂线 上，也在 的中垂线上。 的中点为 ， 方向为 ，中垂线方程为 联立得圆心 。 由纵坐标 得 ；由横坐标 得 。所以 正确。 6-6. 【解答】已知点 是 的外心，直线 与线段 交于点 。若 ，，，则 __________. 解析　答： 是外心，，于是 、。在等腰三角形 、 中取底角： 因为 ，所以射线 落在 内部， 在线段 上，这与 、 相符。 在 中用正弦定理（）： 在 中用正弦定理（）： 两式相等： 另一方面 、 给出 ，而 ，所以 ，，从而 。于是 代回得 。（否则 ，与 矛盾），所以 由此 由正弦定理 ，所以 6-7. 【解答】已知点 为 所在平面内一点，，，若 ，则 的取值范围为__________. 解析　答： 说明 是 的外心，且圆心角 ，所以 ，且 。 设 、 分别是 、 方向的单位向量，两者垂直。点 在圆上，半径也是 ，把它按这两个方向分解： 所以 ，， 、 在圆上的角位置分别是 与 。要保证 ， 必须落在不含 、 的优弧上，即 ，于是 在这个区间上， 从 递减到 （在 即 处取到），再递增回 （对应 趋于 ，取不到）。 所以 而 要求 ，即 或 ，对应 或 —— 都是区间的端点，取不到。所以取值集合为 。 6-8. 【解答】在 中，，，则 的最小值为_____． 解析　答： 先把条件翻译成边的语言。；设 为 中点，则 。条件变成 用中线长公式： 所求式与边长通过正弦定理联系： 把 代入，再用均值不等式： 取等当 。这时 化为 ，即 ；用中线长公式核对：，条件确实成立。 所以 的最小值为 。 6-9. 【解答】在 中，，， 分别为内角 ，， 的对边，， 分别为边 ， 上的动点，记 为 与 的夹角． （1）证明：； （2）证明：． 解析　答：两问均得证 （1）由正弦定理 、，所以 用恒等式 ，得 又 ，而 ，即 ，于是 得证。 （2）把右边用和角公式展开： 按 与 重新分组： 由射影定理 ，由正弦定理 （都等于 ），所以 得证。 方法七　旋转、圆与动点轨迹 这一类题的共同点是「动」，处理办法是找到动点满足的几何约束，把它翻译成轨迹或函数。 模长条件常常给出圆： 说明 在以 为心、 为半径的圆上； 说明 在以 中点为心的圆上（因为 ）。 数量积的最值常借助极化恒等式转化：，于是问题变成「动点到定点 的距离的最值」，用圆的性质即可。 ★ 触发信号：题面出现「动点」「轨迹」「角速度」「圆上运动」，或条件里含 这类模长等式，先把动点的轨迹定出来再求最值，比硬算快得多。 例题 例 7-1 （株洲市2025-2026学年高三上学期教学质量检测 · 第5题） 【解答】已知向量 ，将向量 绕坐标原点 逆时针旋转 角得到向量 ，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. D. 【解析】 说明 ，而 是它旋转得到的，长度不变，所以 ，且 。 两个向量模都是 ，夹角是 ，这是判断各项的起点。 A 项：由余弦定理的向量形式， 当 时 ，所以 。它能超过 （例如 时 接近 ），A 项说的「」不是恒成立，错误。 B 项：两边平方， 要它非负需要 ，即 ，不是对一切 成立，错误。 C 项： 等价于 ，即 ，同样不是恒成立，错误。 D 项：把两个和、差向量做数量积， 对任意 都成立，所以两者始终垂直，正确。 第 1 步　， ◈ 「旋转」这个动作保持向量的模不变，所以两个向量都落在单位圆上。把几何说法翻译成「模为 1、夹角为 」，后面的计算才有依据。 第 2 步　 ◈ 比较「和向量的模」与「差向量的模」的大小，一律平方后作差。结果里只剩数量积，符号就一目了然。 第 3 步　 ◈ 这是「平方差」形式的数量积，展开后交叉项相消，只剩两个模的平方差。模相等时结果必然是 0，即恒垂直——这类结论要能一眼认出。 答　D 例 7-2 （龙岩市2026届高中毕业班三月教学质检检测 · 第7题） 【解答】已知线段 是圆 的一条动弦，且 ．若点 为直线 上的任意一点，则 的最小值为（　　） A. 6 B. 8 C. 14 D. 35 【解析】 所求式里是「两个向量之和」，先把它换成中点。设 为 的中点，则 于是问题变成求 的最小值。 先定 的轨迹。 是圆 的弦，圆半径 ，弦长 ，由垂径定理，圆心 到弦的距离为 弦在动，但 到 的距离始终是 ，所以 在以 为圆心、 为半径的圆上运动。 再用三角不等式折线化： 等号在 落在 与 之间时取到。所以只要求出 的最小值，也就是点 到直线 的距离： 于是 ，。 第 1 步　（ 为 中点） ◈ 和向量与中点的固定搭配。看到 就换成 ，问题立刻简化一半。 第 2 步　 ◈ 垂径定理把「弦动」转化成「中点到圆心的距离是定值」，于是 的轨迹是一个圆。这是处理动弦问题的通用手法。 第 3 步　 ◈ 三角不等式把「圆上的点到定点」折线化：最小值等于「定点到圆心的距离」减去「半径」。等号在三点共线且圆心在中间时取到。 答　A 练习 7-1. 【单选】在平面直角坐标系xOy中，已知点，若点满足，则（ ） A. -3 B. 0 C. 1 D. 4 解析　答：A 条件 里的和向量可以换成中点。设 为 的中点，则 ，所以 也就是说 在以 为圆心、 为半径的圆上运动。由 、 得 ，这个圆其实就是单位圆。 再看所求式。用极化恒等式把数量积转成距离： 7-2. 【单选】在平面直角坐标系中，动点在以原点为圆心，为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动；动点在以原点为圆心，为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动.、分别以、为起点同时开始运动，经过后，动点、的坐标分别为、，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 解析　答：C 写出 秒后两点的坐标。 从 出发，起始角位置是 ，角速度 ，所以 从 出发，起始角位置是 ，角速度 ，半径为 ，所以 于是 设 ，。开口向上，对称轴 落在区间内，所以最小值是 7-3. 【单选】在四边形中，，，，E是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 解析　答：C 四边形里 、，是直角梯形，建系最省事。 取 ，，。由 得 ，且 ，所以 。 是 的中点，故 。 在线段 上，把 参数化： 于是 这是关于 的二次函数，在 处取最小值： 7-4. 【解答】已知点 ，，若将 绕点 逆时针旋转 得到 ，则点 的坐标为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 解析　答： 旋转公式是可以直接用的：把向量 逆时针旋转 ，得到 。 先算原向量： 按公式旋转： 再由 反解 的坐标： 7-5. 【解答】在边长为 的正方形 中， 三点分别在 上，满足 ，，则五边形 面积的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 解析　答：7 条件都在正方形里，直接建系。取 由 且 得 ，所以 。 设 ，，其中 。 垂直条件给出约束： 五边形的面积用正方形减去两个直角三角形： 由 消去 ，得 ，其中由 得 。 求导：，令其为零得 ，落在区间内。 再比端点：，，都比 小。所以最大值是 。 7-6. 【解答】 是坐标平面内一个动点， 与直线 垂直，垂足 位于第一象限， 与直线 垂直，垂足 位于第四象限．若四边形 （ 为原点）的面积为 ，设 的轨迹为曲线 ，则（　　） A. 的方程为 B. 的方程为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 解析　答：ACD 先写出两个垂足的坐标。 是 在直线 上的垂足，把 沿 方向投到 上： 同理 是 在 上的垂足： 注意 是 的横坐标的 倍， 是 到直线 的距离，这一对乘积恰好等于 ；对 一侧同理。于是 所以 。 再用垂足位置的条件定符号： 在第一象限要求 ； 在第四象限要求 。两式相乘得 ，所以 （ 时 自动成立。）A 正确，B 错误。 C 项：设 ，即 ，代入 ： 要有实根， 时解得 、，满足 、，可以取到。C 正确。 D 项： 设 ，由 得 ，所以 ， 这是开口向下的二次函数，对称轴 ，最大值 D 正确。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $