不等式的方法体系 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕不等式专题，覆盖不等式性质、基本不等式、绝对值不等式、恒成立问题等核心考点，按“基础性质-方法突破-综合应用”逻辑架构知识点，通过考点梳理、方法指导、真题精讲、分层练习四环节，帮助学生构建完整解题体系。 资料以“题型-方法”双主线设计，如基本不等式求最值中“凑定值”“常值代换”策略，结合真题例题培养学生数学思维与推理能力，分层练习适配不同学情，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

不等式的方法体系 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　不等式的基本性质 不等式变形的一切依据都来自下面八条性质，判断类题目的每一步都要能说清用了哪一条。 对称性：；传递性： 且 。 可加性：；同向可加： 且 。 可乘性： 且 ； 且 。 同向同正可乘： 且 。 可乘方与可开方：，（）。 ★ 最常错的地方是「两边同乘一个式子」：乘数正负未知时必须分类讨论。例如 推不出 ，只有当 时才成立； 也推不出 ，反例取 即可。 比较两个式子大小有通法可用——作差法。要证 ，只须证 。以性质「同向可加」为例：由 得 ，由 得 ，两式相加得 ，故 。 ★ 作差后常见的收尾：因式分解成几个符号已知的因式之积，或配方成平方和加正数。 知识点二　基本不等式及其变形 基本不等式（均值不等式）：当 时，，当且仅当 时取等号。 代数证明：由 展开得 ，两边同除以 2 即得。等号成立当且仅当 ，即 。 几何证明：以 为直径作半圆，圆心为 ，在直径上取点 使 、，过 作直径的垂线交半圆于 。 由射影定理 ，所以 ；而 是半径，。在直角三角形 中斜边不小于直角边，故 ；当 时 与 重合，斜边与直角边退化为同一条线段，取等号。 考试中更常用的是它的几个变形： （和 ≥ 2 倍根号积）；（积 ≤ 半和的平方）。 （ 同号）；；。 四个平均数的大小顺序：（）。 三元及 元的情形同样成立： 时 ；更一般地，（各数均为正），等号都在各数相等时取到。 ★ 使用条件：一正、二定、三相等，三样缺一不可。「一正」各项为正，遇负项要先提负号；「二定」和或积必须是定值，否则要配凑；「三相等」等号要能取到——多选题最常在这里设陷阱，形式凑出了最值但等号要求与题设矛盾。 知识点三　绝对值不等式 基本形式（）：； 或 。 三角不等式：。 证明右边：两边都非负，平方后比较。 ，故 ，等号当且仅当 时成立。把 换成 就得到左边那一半。 几何意义： 是数轴上点 到点 的距离。所以 是从 到 、 两点的距离之和，最小值为两点间距离 ，当且仅当 落在 与 之间时取到。 由此得到一个极常用的结论：不等式 对一切实数 恒成立，等价于左边的最小值 。 平方法：两边都是绝对值（都非负）时，平方可以直接去掉绝对值。例如 两边平方得，展开解得 ，比零点分段快得多。 ★ 含绝对值的题优先看几何意义，比零点分段快得多；两个绝对值相减（如 ）看三角不等式，取值范围是 。 知识点四　恒成立与存在性问题 这类问题一律转化为最值问题，先记住四条对应关系。 对任意 ， 恒成立 ； 恒成立 。 存在 ，使 ；使 。 操作顺序：能分离参数就先分离参数，把参数单独放到一边，把问题化成 或 的形式，再求 的最值。 参数分离不出来时（比如参数在二次项系数上），改用分类讨论，或把不等式看成关于参数的一次函数，用它两端点的符号来定范围。 出现两个变量时，先固定其中一个，把问题拆成两次最值处理。 ★ 分离参数后要注意端点。 恒成立取的是 的最大值（上确界）：如果 的最大值取不到，答案要写成开区间或写成「大于等于上确界」。 知识点五　一元二次不等式与三个二次 一元二次不等式的解集，由二次函数图象与 轴的位置关系决定。二次函数、二次方程、二次不等式这三样东西是一体的，所以叫「三个二次」。 以 为例，记 ： 时抛物线与 轴有两个交点 ， 的解集是（两根之外）， 的解集是 （两根之间）。口诀是「大于取两边，小于取中间」。 时抛物线与 轴相切， 的解集是， 无解。 时抛物线整个在 轴上方， 对一切实数成立， 无解。 时不必另记一套，两边乘 化成 即可，记得把不等号方向翻过来。 含参数的一元二次不等式，讨论顺序固定为三步：开口（ 的符号）→ 判别式（有无实根）→ 两根大小（ 与 谁大）。三步走完，解集自然写得出来。 ★ 恒成立条件是这一节最常用的结论（ 时）： 对一切 成立 且 ； 对一切 成立 且 。注意 的情形要单独检验，不能直接套用。 ★ 在给定区间 上求二次函数的最值，先看对称轴 是否落在区间内：落在区间内就取顶点值 ，落在区间外就取端点值，离对称轴越远的端点对应越大（或越小）的那个。 知识点六　分式不等式与高次不等式 分式不等式的第一原则是不能两边乘分母——分母的正负未知，乘过去不等号方向说不清。正确做法是移项、通分，化成一个分式与 比较，再转成整式不等式： 第二个式子里的「」是必写的，漏掉就把分母的零点也算进解集了，这是分式不等式最常见的失分点。 高次不等式用序轴标根法（也叫穿根法）：把 分解成若干个一次因式之积，把每个根按大小标在数轴上，从最右端的上方开始向左画曲线，奇次根穿过去、偶次根弹回来，曲线落在数轴上方的部分就是 的解集。 ★ 穿根法的前提是每个因式里 的系数都为正。遇到 、 这种，先提出负号把它改成 的系数为正的形式再标根，否则穿线的方向会整体反掉。 知识点七　糖水不等式 设 ，，则 证明就是最朴素的作差： 直观理解：一杯糖水浓度是 ，再倒进 克糖，分子分母同时加上 ，糖水变甜了，浓度变大。 它主要用在两个地方：一是比较两个分式的大小，二是给分式放缩——判断「分子分母同时加同一个正数」之后整个分式是变大还是变小。 ★ 用之前先看清分子分母的大小关系：只有当 时才有 ；若 ，不等号方向正好反过来。 知识点八　柯西不等式与权方和不等式 二维柯西不等式： 等号当且仅当 时成立。证明只需把左边减右边配方： 推广到 个：。 权方和不等式是柯西最常用的变形。当 时 它其实就是柯西取 、 得到的。 ★ 触发信号：看到 与 同时出现，或者所求式是「几个分式之商、分子是平方、分母是正数」的形状，优先考虑柯西与权方和。它们往往比基本不等式更一步到位。 知识点九　不等式的证明方法（选读） 前面几节讲的都是「求最值」和「比大小」，这里补一下证明类题目的常用手段。 比较法：作差或作商，把要证的结论变成一个符号明确的式子。作商法要求两边同号（通常是正数）。 分析法与综合法：分析法从结论出发往回找充分条件（执果索因），综合法从条件出发往前推（由因导果）。书写时常用分析法找思路、用综合法写过程。 反证法：假设结论不成立，推出与已知条件或基本事实矛盾。结论中出现「至少」「至多」「唯一」这类字眼时，往往适合反证。 放缩法：把式子放大或缩小成便于求和、便于比较的形式，常见的有 ★ 放缩的方向必须与要证的不等式一致：要证「大于」，就往小放；要证「小于」，就往大放。方向搞反是最典型的事故。 知识点十　指数不等式与对数不等式 解这类不等式不需要新方法，靠的还是单调性——把两边化成同底，再比较指数（或真数）。 指数不等式： 时 ； 时不等号方向反过来。 对数不等式： 时 ； 时方向反过来。 ★ 解对数不等式别忘三件事：真数必须大于零（先定定义域）、底数要分类讨论、不等号方向随底数变。真数条件往往就是决定解集端点的那个关键。 ★ 遇到 （ 不是 的整数次幂）时，两边取对数，或把 写成 再比较。 知识点十一　不等式的实际应用（选读） 应用题的做法固定为三步。 第一步设变量，一般就设题目要问的那个量；第二步按题意写出函数关系式和变量的取值范围；第三步用基本不等式或二次函数求最值。 ★ 最后一步要回答「等号在什么条件下取到」，否则答案是不完整的——应用题问的是「怎么安排最省」，只给一个数值不算答完。 ★ 定义域是关键。应用题里的变量常带实际限制（人数为正整数、长度为正、比例不超过 ），最值可能在端点取到，而不是顶点。 二、方法突破 方法一　基本不等式求最值 条件是「和」或「积」的等式，所求是另一式的最值——这是基本不等式的主战场，三条路走下来基本能覆盖。 ① 凑定值。先把条件整理成「两个因式之积为常数」的形状，再把所求式按这两个因式拆开，定积一出现，和的最小值就出来了。配系数、加项减项是常用手法。 ② 常值代换（「1」的妙用）。条件形如 时，把所求式乘以这个 1 再展开，必然出现 的结构。 ③ 消元转函数。条件能解出一个变量就直接消元，化成一元函数后用配方或求导找最值——这条路最稳，不怕凑不出来。 ★ 触发信号：看到 、 型，或条件是「两式之和/积为定值」，先想基本不等式。用完一定要回头验三件事——一正、二定、三相等，其中「等号能不能取到」是多项选择题最常设错的地方。 例题 例 1-1 （江门市2026届高考适应性测试 · 第7题） 【单选】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【解析】 条件 里既有积又有和，直接套基本不等式凑不出定值，先做整理。把含 的项全部移到一边： 两边同时加 ，左边正好是一个可以分解的二次式： 现在得到了「两个因式之积为定值」，接下来把所求的 往这两个因式上靠。注意 的系数是 ，所以把 拆成 ，把 拆成 ： 这两项的乘积是定值：，可以用基本不等式了。 第 1 步　 ◈ 把「和与积混在一起」的条件整理成「乘积为定值」，是基本不等式求最值的第一步，也是最关键的一步。见到 与 同时出现，就试试两边配常数凑因式分解。 第 2 步　 ◈ 拆项要按系数配平： 的系数是 4，就给 配系数 4；多出来的常数 单独留下，最后加到最值里。 第 3 步　等号成立：，即 ◈ 验证取等条件是否落在题目允许的范围内（这里 都满足），不验证是这类题最常见的失分点。 答　C（最小值为 13） ★ 对应技巧①凑定值：把 整理成 ，再把 拆成 ，定积就出现了。 例 1-2 （莆田市2026届高三上学期1月质量检测 · 第5题） 【单选】已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【解析】 条件是 ，所求是 。两边同除以 （，可以除），把条件变成倒数之和： 这就是典型的「和为 1」结构。把所求式乘以这个 ，展开后自动出现互为倒数的两项： 第 1 步　由 得 ◈ 这一步叫「常值代换的准备」：把条件整理成两个倒数之和等于常数，才好在下一步乘进所求式里。 第 2 步　 ◈ 乘 之后出现的 是两项之积为定值的结构，直接用基本不等式；常数项 要记得算进去。 第 3 步　取等：，即 ，回代得 ◈ 取等时要把解出来的值带回原条件验算一遍，确认两个数都是正数、条件确实成立。 答　D（最小值为 9） ★ 对应技巧②常值代换：由 得 ，所求式乘以这个 1 再展开。 例 1-3 （泉州市2026届高三质量检测（二） · 第3题） 【单选】已知正数 满足 ，则 的最大值为（　　） A. B. C. D. 【解析】 条件 可以把 解出来： 由 得 ，即 ——这个范围后面要用到。把 代入所求式，化成只含 的式子： 这是关于 的二次函数，配方即可。 第 1 步　，由 定出 ◈ 消元之前先把新变量的取值范围写出来。很多题的最值取在区间端点之外，就是因为漏了这一步。 第 2 步　 ◈ 二次函数求最值先配方，再对照定义域 看顶点是否在区间内（这里 正好在里面，所以直接取顶点值）。 答　A（最大值为 ） ★ 对应技巧③消元转函数：把 解出来代入，目标式化成关于 的二次函数，直接配方求最值。 练习 1-1. 【单选】已知，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 解析　答：D 由 得 。因为 ，所以 ，，正好能用基本不等式。 把待求的 乘上这个 4 再展开，括号里凑出了两项互为倒数的结构： 等号要求 。与 联立，解得 ，确实能取到。 所以 的最小值是 4， 的最小值是 3。 1-2. 【单选】已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 解析　答：D 条件 两边同除以 （都是正数，不等号方向不变）： 所求式平方，中间那一项正好能提出 ： 括号里就是刚才得到的 ，代进去便只剩两项： 所以 。等号在 ，即 时成立，此时由条件可解出正的 ，取得到。 1-3. 【单选】点在直线上，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 解析　答：C 点 在直线 上，代入得 。 又 说明 同号，而 ，所以 ，。 把所求式乘上这个 1 再展开，倒数项就出来了： 等号在 即 时成立，与 联立得 ，取得到。最小值为 8。 1-4. 【多选】若正实数满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是9 C. 的最大值是 D. 的最小值是 解析　答：ABC 四个选项都只用到 和基本不等式，逐项看。 A：，所以 ，等号在 时取到。正确。 B：把所求式乘上 再展开，得 ，等号在 时取到。正确。 C：，等号在 时取到。正确。 D：消元后 ，最小值是 ，不是 。错误。 1-5. 【单选】若，且，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 解析　答：B 先把所求式通分，分子提出 ： 分子是 与 的乘积，正好可以用 放大： 条件给出 ，代入后分子只剩 ，与分母正好成比例： 等号要求 ，与 联立得 ，，满足 。最大值为 1。 1-6. 【多选】已知正实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：BD 条件只给了 ，管不住乘积和倒数和，所以 A、C 靠举反例排除，B、D 用基本不等式。 A：取 ， 满足条件，但 。A 错。 B：，等号在 时取到。B 对。 C：取 ， 满足条件，但 。C 错。 D：，等号在 时取到。D 对。 1-7. 【多选】以下结论正确的是（ ） A. 若，则的最大值为 B. 若，则 C. 若，，则的最小值为 D. 若，则 解析　答：ACD A：由 得 ，所以 ，等号在 时取到。A 对。 B：展开条件得 。对 用 ，得 ，所以 或 。取 就落在后一支上，此时 ，说明 不是必然的。B 错。 C：，所以 ，等号要求 且 ，即 ，能取到。C 对。 D：注意 ，把这个常数乘进去展开： 等号要求 ，解得 、，即 ，在给定区间内。D 对。 1-8. 【单选】已知实数 ，，且满足 ，则 的最小值为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 解析 条件里的 、、 可以凑成两个因式之积。两边同时加 ： 所求式也按这两个因式拆开： 等号要求 ，即 、，都在题目允许的范围内，可以取到。最小值是 6。 1-9. 【填空】已知 ， 均为非负数，且 ，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 解析 所求式通分后，分子正好能用条件化简： 分子是定值，式子的最小值就取决于分母的最大值。令 ，由 得 ，且 时 ，于是 由 （等号在 时取到）得 ，所以原式 。 等号在 ，即 、 时取到。最小值是 2。 方法二　利用函数性质比较大小 比较大小的题，先判断能不能用单调性一步到位；不能的话，就把几个数整理成同一个函数的函数值，再研究这个函数的单调性。 ① 同底或同指数，直接用指数、对数、幂函数的单调性比较。 ② 底数和指数都不同，取对数把指数降下来，或者把式子改写成同一个函数 在两个自变量处的值，构造辅助函数求导判断单调性——这是这类题的通用解法。 ③ 与 0、1 分段比较：先定出每个数的符号和大致范围再排序。对数式常和 0 比，指数式常和 1 比。 ★ 触发信号：看到 、、 混在一起比大小，或者题目给出 、 这类结构，基本就是要构造辅助函数求导了。 例题 例 2-1 （邯郸市2026届高三第一次模拟检测 · 第7题） 【单选】已知 ，，，则（　　） A. B. C. D. 【解析】 三个数都是根式，底数和指数都不同，直接比大小无从下手。取自然对数把指数降下来： 注意分母恰好都比分子大 ：，，。所以三个数其实是同一个函数在三个点处的取值： 接下来只要判断 在 上的单调性。求导： 分子记作 。，所以 单调递减。又 故存在唯一的 使 ， 在 上递增、在 上递减。 因为 都落在 的右侧，所以 ，即 ，于是 。 第 1 步　构造 ，把三者变成同一函数的函数值 ◈ 分母比分母下的对数大 1，是构造这个函数的信号。凡是比较 型的大小，都先取对数，再看能不能凑成同一个函数。 第 2 步　 且 ◈ 导数分子的符号不好直接判断，就用「零点存在」定出分界点的大致位置。这里根本不用求出 具体是多少，只要能确定它在 4 以内就够了。 第 3 步　 都在 右侧 在此递减 ◈ 是增函数， 与 等价，所以比完对数就等于比完了原数，不用回代。 答　D ★ 构造 ：两个根式取对数后正好是同一函数在 处的值。 例 2-2 （九江市2025-2026学年高三上学期第一次高考模拟 · 第8题） 【单选】已知实数 满足 ，则 的值为（　　） A. B. C. 2 D. 1 【解析】 先把变量分组，把关于 的项和关于 的项分到两边： 左边是「只含 的一坨」加「只含 的一坨」，两者互不干扰，各自求最小值。 第一坨：（）， 在 递减、在 递增，最小值 。 第二坨：，， 在 递减、在 递增，最小值 。 所以左边 。而题目要求左边 ，两头一夹，只能取等号，且必须两个函数同时取到最小值：，。 故 。 第 1 步　 ◈ 看到两个变量被加号分开、各自成块，第一反应就是分组、分别求最小值。 第 2 步　 ◈ 两个最小值之和恰好是 ——这正是题目右边那个 的来历，也说明出题人就是按这个思路设计的。 第 3 步　左边 且 只能同时取最小值 ◈ 「最小值之和等于右边」是这类题的标准套路：一端给出下界，另一端给出上界，一夹就锁定取等条件。 答　D（） ★ 移项后左边是「两个函数之和」，各自求出最小值，而两个最小值之和恰好等于右边——于是只能同时取到最小值。 例 2-3 （萍乡市2026届高三上学期一模考试 · 第9题） 【多选】已知实数 ，若 ，则下列结论正确的有（　　） A. B. C. D. 【解析】 先把 化简：。 由 得 ，也就是说两个对数都是负数，并且 （因为 时 更负）。负数相除得正数，且绝对值之比大于 ： 所以 A 正确。 逐项看其余三个： B 项：幂函数 （）在 上单调递增，又 ，故 ，B 错误。 C 项作差： ，，，，差为正，C 正确。 D 项作差： ，，差为负，即 ，与 D 项的不等号方向相反，D 错误。 第 1 步　 ◈ 时两个对数同为负数， 递增意味着 ，所以这个比值一定大于 1。这一步必须先做实，否则后面没法判断。 第 2 步　 ◈ 分式比大小一律先作差通分，化成「分子分母符号都已知」的形式。通分后 与 相消，剩下的因式符号一目了然。 第 3 步　 ◈ 提公因式 是关键。两个因式符号相反，乘积为负，所以 D 项把不等号方向写反了——这正是它设错的地方。 答　AC ★ 对数换底后定出 ，再逐项作差判断。 练习 2-1. 【多选】已知，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：BCD 由 与 得 ，四个选项逐个验证。 A 项：取 ，则 ，，不成立。 B 项：。这是开口向上的抛物线，对称轴 ，所以它在 上单调递减，从而大于 处的值 ，成立。 C 项：。由 得 ，，所以这个式子大于 ，成立。 D 项： 说明 。函数 单调递增，所以 ，即 ，把右边两项移过去就得到 ，成立。 2-2. 【单选】，，，则（　　） A. B. C. D. 解析 三个数里只有 是具体给定的，先把它的范围定下来： 弧度落在 内，所以 。 落在这个范围，另外两个数的符号就定了：，底数 而真数小于 ，所以 ；，指数 ，所以 。 合起来 ，即 。 2-3. 【单选】已知正实数 ，，满足 ，且 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 解析 说明 与 同号。又 ，所以只有两种可能：，或者 。两种情形都要检验。 A 项：，两种情形下分子分母同号，商为正，所以 ，A 错误。 B 项：作差得 。当 时 ，差为正；当 时 ，差为负。所以这个不等式不一定成立，B 错误。 C 项：两边取对数，等价于 ，即 （两种情形下 与 同号，除过去不变号）。令 ， 分子记作 ，，所以 在 递增、在 递减，而 ，故 恒成立， 在 和 上都单调递减。无论哪种情形都有 ，C 正确。 D 项： 等价于 ，即 。当 时两个因式都为正，乘积为正，D 错误。 2-4. 【多选】已知正数 满足 ，则 的大小关系可能是（　　） A. B. C. D. 解析 三个数由同一个正数 决定。设 ，则 比较三个指数：。 当 时，指数越大幂越大，所以 ；当 时正好反过来，。 所以 的大小关系只可能是这两种，选项里对应的是 B、D。 2-5. 【多选】已知 （ 且 ），若 ，且 （ 为自然对数的底数），则（　　） A. B. C. D. 解析 先定 的范围。 且 ，若 则 ，符合 ；若 则 ，符合 ，两种都要考虑。 条件 两边除以 ，得 。令 ，， 在 递减、在 递增。若落在 ，则 ，与条件矛盾；所以只能是 。 A 项：由 （）得 ，而 ，所以 ，正确。 B 项：不等式两边除以 ，等价于 。令 ，，在 时递减、在 上递增，符号不定，所以 B 不一定成立，错误。 C 项：两边取对数得 ，即 。这正是前面用过的函数 ，在 上单调递减，由 得 ，成立，正确。 D 项： 即 。令 ，导数分子为 ，它的导数等于 ，且 时该式为正，所以 在 上递增，由 得 ，正确。 方法三　代数变形求范围 条件式和所求式看起来不搭时，先把条件整理成能用的形状。三条常用变形： ① 换元。把重复出现的整块设成新元（整体换元），或把两个线性组合一起设为新元（双换元），换完往往变成熟悉的二次式或分式。 ② 因式分解与配方。条件能分解出「乘积为常数」的结构时，所求式就变成若干项之和，回到方法一。 ③ 判别式法。把式子整理成关于某个变量的一元二次方程，用 圈出该变量的取值范围——这就是最值的来源。 ★ 触发信号：条件是 、 这类「乘积为定值」的对称结构时，优先试双换元；求「某式的取值范围」而不是最值时，优先试判别式。换元之后一定要写清新元的取值区间。 例题 例 3-1 （东营市2026届高三下学期4月份适应性测试 · 第12题） 【填空】若 且 ，则 的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 【解析】 条件 里既有积又有和，用基本不等式把「和」换成「积」，式子就只剩 一个未知量了。 先移项：。由 得 ，代入： 换元，令 ，则 ，不等式变成关于 的一元二次不等式： 因式分解：。由于 恒成立，只能 ，即 。 于是 。取等条件是 ，结合 得 ，确实满足 ，端点可以取到。 第 1 步　 ◈ 「和积混合」的条件用基本不等式把和换成积，是求 范围的标准第一步。 第 2 步　令 ，得 ，解得 ◈ 换元后变成解一元二次不等式。别忘了 这个前提——它让我们直接舍掉 那一支。 第 3 步　取等：，故 可以取到 ◈ 求范围题必须交代端点能否取到。这里能取到，所以是闭区间 。 答　 ★ 把 设为新元 ，由 解出 ，这一步把「求范围」变成了「解不等式」。 例 3-2 （黄山市2026届高三第一次质量检测 · 第14题） 【填空】若 ，则 的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 【解析】 条件 是平方差结构，而且所求式里出现 和 ，用双换元最顺。 令 ，，则 反解出 和 ：，。 所求式先通分：。把 和 用 表示： 代入得 由 可知 同号，记 ，则 ，两个变量合成了一个。又 于是原式化为 求导：，故 在 上递增、在 上递减。 最大值 ；当 时 ，当 时 ，所以下确界是 （取不到）。 第 1 步　令 ，，则 ◈ 平方差条件配上对称的分式，是双换元的典型信号。换元后乘积为定值，两个新变量就绑在了一起。 第 2 步　，，两个变量并成一个 ◈ 由 知 同号，所以 完全由 决定。这是把二元问题降成一元问题的关键一步。 第 3 步　， ◈ 求导后分子是一次式，单调性很清楚：先增后减。注意 是能取到的（ 时取到），所以右端是闭的；下界 取不到，左端是开的。 答　 ★ 双换元 、 后 是定值，所求式随之化简。 例 3-3 （枣庄市2026届高三第二次调研考试 · 第14题） 【填空】已知 ，，则 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 【解析】 先把不等式整理成一个标准的一元二次函数。展开 与 ： 题目要求 对一切 成立。 先看两个端点——这一步最容易被忽略，但能省掉大量讨论： 两个条件合起来说明 在第一象限，于是 、。 再看对称轴。开口系数 ，开口向上；对称轴 由 在第一象限知 ；又 等价于 ，即 ，恒成立。所以 ，最小值就在对称轴处取到。 要求 ，即 两边乘 ： 展开后 与 两边相消，剩下 所以 ，即 。再结合 在第一象限，得 第 1 步　 ◈ 把 和 全部展开、按 的幂次合并，才看得出这是一个二次函数。 第 2 步　 且 ◈ 区间端点的符号是最便宜的信息。它直接把 锁在第一象限，后面判断开口、对称轴位置都靠这两个条件。 第 3 步　 ◈ 开口向上时最小值在对称轴处，但前提是对称轴落在区间内。这里用 恒成立证明了它确实在区间里。 第 4 步　 ◈ 化简时 和 会整体抵消，剩下的用倍角公式 一步到位。 答　， ★ 把不等式看成关于 的二次函数，用「在 上恒正」的端点条件加判别式一起定范围。 练习 3-1. 【多选】已知正实数满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 解析　答：BCD 三个条件里，把第二、三式反解出来再代入第一式，能把 的关系压到一个式子上。由 得 ，由 得 ，代入 ： 先来验证 这组解。代入第三式得 ，即 ；代入第二式得 ，即 ；代回上面那个等式成立，再验第一式：，也对。所以 ，C 正确，同时得到 。 D 项：，正确。 B 项：。比较平方：，要它小于 ，只需 ，两边平方得 ，成立，所以 B 正确。 A 项：由 与 得 ，即 ，等号要求 。但此时 ，与第二式 矛盾，等号取不到，所以 ，A 错误。 3-2. 【多选】已知，，下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值是 C. 的最小值是8 D. 的最小值是 解析　答：ACD 由 解出 ，这个形式在几道小题里都要用。 A 项：由 得 ，所以 ，正确。 B 项：把所求式化成好用的形状。由 得 、，于是 形式上是凑出了 ，但等号要求 ，即 ，与 矛盾，等号取不到，所以 不是最小值，B 错误。 C 项：由 得 ，所以 。等号在 时取到，结合 解得 ，确实能取到，正确。 D 项：由 得 ，于是 等号在 时取到，满足 ，正确。 3-3. 【单选】《算经十书》是中国古代数学典籍的合集.书中记载（用现代文表达）：今有牛､羊､猪各数头（各有至少1头），已知猪的数量多于羊，羊的数量多于牛，牛的数量的3倍多于猪､羊数量之和，则牛､羊､猪的总头数至少为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 解析　答：B 设牛、羊、猪分别为 头，。三个条件写成不等式： 猪多于羊、羊多于牛，所以 牛的数量的 3 倍多于猪羊数量之和： 得 ，故 。 取最小的 ：此时 ，，代回 得 。取 时 满足，故存在 这一组解。 总头数 ，且 15 能取到（），所以至少 15 头。 3-4. 【单选】已知非负实数 ， 满足 ，则 的最小值为（　　） A. 8 B. C. 7 D. 解析 由 消去 ，注意 的范围是 ： 记 ，求导并令其为零： 两边平方整理得 ，解得 或 ，其中 会让右边 为负，舍去。 时 ，；两个端点 、 都比它大。所以最小值是 8。 3-5. 【多选】已知实数 ，， 互不相等，且满足 ，，，下列说法正确的有（　　） A. B. C. D. 对任意 ， 均为整数 解析 由条件知 是方程 的三个根，用对称式逐个算。 A 项：，正确。 B 项：，正确。 C 项：，于是 错误。 D 项：把 两边乘 再对三个根求和，得 （）。初值 、、 都是整数，递推下去每一项都是整数，正确。 3-6. 【填空】方程 的整数解的组数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 解析 把方程看成关于 的二次方程，要有实数解就得判别式非负： 即 ，解得 。由 得整数 落在 内。 再看求根公式 ，要 为整数，需要根号里是完全平方数。把 到 逐个代入 ，得到完全平方数的只有 共 个，每个都对应两个 （根号不为零），所以共有 组整数解。 方法四　恒成立与存在性问题 恒成立、存在性、成立为假，最后都落到「求最值」上。 ① 分离参数。能把参数整理到一边就先做，化成 或 ，问题变成求 的最值。 ② 最值转化。分离不了就整体求 的最值。注意「恒成立」要最值能越过，「存在」只要最值够得到。 ③ 主元转换。把参数当变量、把原变量当参数，构造关于参数的一次式，用两端点符号定范围。 ★ 触发信号：题面出现 、、「恒成立」「都有」「至少存在一个」，一律转化到最值。另外端点处的开闭要写清楚—— 取的是 的上确界，若 取不到最大值，答案就是开区间。 例题 例 4-1 （德州市2025-2026学年高三4月学习质量综合评估 · 第8题） 【单选】若存在 ，对任意的 ，都有 ，则当 取到最大值时， 的值为（　　） A. B. C. D. 【解析】 不等式里带着分母 ，先两边乘 （不变号），把分母去掉： 这样就分离出参数 了。题目要求「对任意 都成立」，等价于 不超过右边的最小值。 记 （），求导： 二阶导恒正，说明 是凸函数。令 得 ，即 ，这是最小值点： 所以 。要让 取到最大值，就要让右边的 最大： 又 ，故 处取最大值。 第 1 步　两边乘 得 ◈ 分母里带 的不等式，先乘掉分母再分离参数。注意 所以不等号方向不变。 第 2 步　， 时 ◈ 这一步把「对任意 成立」翻译成「 不超过一个只含 的式子」，双变量问题就先解决掉一个。 第 3 步　再对 求最大值，得 ◈ 两次最值——先对 求最小得到 的上界，再对这个上界求最大。这是「存在 、任意 」这类题的通用套路。 答　A（） ★ 分离参数得 ，先对 求最小值得到 的上界 ，再对这个上界求最大值。 例 4-2 （开封市豫东名校联考2026届高三二模 · 第11题） 【多选】已知 ，，则下列说法正确的是（　　） A. 若 ，则 B. 的最小值为 1 C. 若 ，则 的最小值为 8 D. 若 恒成立，则 的最小值为 【解析】 四个选项各考一个点，逐项验证。 选项 A：由 及 得 ，代入： 令 ，，解得 ，故 ，等号在 时取到，A 正确。 选项 B：令 。由 得 ，且 ，于是 在 上单调递增，故在 时它大于 ，原式大于 ，取不到 ，B 错误。 选项 C：由 得 （），消元后 求导：，令其为 解得 ，即 。此时 ，原式 ，C 正确。 选项 D：由柯西不等式 故 ，取 即可，且 时能取等，所以 的最小值是 ，D 正确。 第 1 步　A： ◈ 和积混合的条件用基本不等式把「和」换成「积」，再换元成一元二次不等式，这与例题 3-1 是同一套路。 第 2 步　B：令 ，原式 ◈ 换元之后一定要盯住新元的范围。 的最小值在 处取到，但 够不着，所以下确界是 时的 ，最小值根本取不到——这就是 B 设错的地方。 第 3 步　C：消元得 ， 时取最小值 ◈ 两个分式都要化成同一个变量。消元后是单变量函数，直接求导。 第 4 步　D： ◈ 是「两个乘积之和」，正好套柯西不等式。看到 与 同时出现，就该想到它。 答　ACD ★ 多项选择题里的恒成立：先把条件整理成 ，每一项都往这个定积上靠。 练习 4-1. 【填空】若，对于恒有，当取得最大值时，_______． 解析　答： 把不等式两边同除以 2： 左边正好可以分解： 也就是说，对固定的 ，满足条件的 就是使 的那些 。 要让 最大，就要看这个解集里最长的连续区间有多长。 恒满足 （否则 ），所以左端不等号基本不限制；关键看右端 能覆盖多长。 当 ： 得 ， 得 ，两段在 处相接，并起来是 ，长度 。 偏离 时， 的取值上界够不着峰值以外的地方，并集必然断开，最长连续段就短于 ；由对称性 时同样得到长度 的区间 。 所以 取最大值 时，。 4-2. 【填空】已知正数满足，则的最小值为__________：当取得最小值时，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 解析　答：①. 5 ②. 由 得 ，于是 当且仅当 ，即 时取等。最小值为 。 此时 ，，。 把 代回不等式： 两边除以 2 得 先看 的符号。令 ，， 在 上递减、在 上递增，故 所以 ，可把 分离出来： 记 （）， 再令 ，，同样在 取最小值 ，故 。 于是 时 ， 时 ， 在 处取最大值 故只需 。 4-3. 【单选】已知正数 ， 满足 ，则（　　） A. B. C. D. 解析 先把 的范围夹出来。注意对任意正数 都有 ，所以 函数 单调递增，于是 。 再夹上界。由 得 ，而 所以 说明 ，其中 单调递增，故 。 更关键的是 ，同样由单调性得 。 合起来 。 4-4. 【单选】已知实数 ， 满足：，则（　　） A. B. C. D. 解析 由 得 ，即 ，所以 。 在这个范围内函数 单调递增（），且 、。 于是 与 本身的单调性把两个变量绑在了一起： - 时 ，得 ； - 时 ，得 ； - 时 ，得 。 三种情况里 与 始终同号，所以 ，C 正确。 A、B 两项要求 或 ，取 时 可解出 ，两项都不成立。 方法五　绝对值不等式 绝对值不等式的三条路，前两条最常用。 ① 三角不等式。，等号在 落于 之间时取到。含参恒成立问题用它一步到位。 ② 零点分段。把每个绝对值内式子的零点标在数轴上，分区间去掉绝对值符号——这是通法，什么时候都能用。 ③ 几何意义。 就是数轴上的距离；「距离之和为定值」对应椭圆、「距离之差为定值」对应双曲线，可以和解析几何打通。 ★ 触发信号：看到 求最小值或恒成立，直接上三角不等式；看到 这样的条件，先想两边平方——由非负性可得 。 例题 例 5-1 【填空】，，则实数的取值范围是____________． 【解析】 题目要求 对一切 成立，也就是左边的最小值不小于 。 左边是两个绝对值之和，用三角不等式可以直接求出它的最小值： 把 消掉之后，剩下的只是一个含 的常数，问题变成解不等式。 第 1 步　 ◈ 这是绝对值三角不等式的标准用法：两个绝对值里 的系数相同时，相减能把 约掉，直接得到最小值。 第 2 步　等号在 时取到 ◈ 取等条件是 落在 与 之间。因为题目要求「对一切 成立」，只要最小值达标即可，所以这个条件不影响结论，但写出来更严谨。 第 3 步　 或 或 ◈ 解绝对值不等式要拆成两支，别只写一半。 答　 ★ 旧题库里没有单独的绝对值板块，这道用本次新整理的题来讲：三角不等式直接给出最小值 ，恒成立只须它不小于 4。 练习 5-1. 【单选】已知关于的不等式，其中，且，若该不等式的解集为，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 解析　答：A 记 （，）。去绝对值： 解集恰为 ，说明在 处 从上边界 进入带状区域，在 处 掉到下边界 以下出去。 先看右端点。，故 ，由它等于下边界 ： （，故 。） 再看左端点。由 且 在图上是「左支从上方进入、右支向下方穿出」的形状，只能 ，此时 代入 ：，即 ，亦即 。因 ，故 。 检验 ：此时 。 时 ，由 解得 ； 时 ，解得 。合起来解集正好是 ，符合题意。 所以 。 5-2. 【单选】已知，为任意正数，若恒成立，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：A 条件是对任意正数 都有 。 把 取得任意小。若 ，取 ，则 不成立，与恒成立矛盾。 所以只能是 ，即 。 方法六　不等式性质与充要条件判断 给一个条件问若干结论是否成立——这类题不用算出具体值，只要判断真假。三个手段： ① 作差法。判断 与 的大小就做 ，因式分解后每个因式的符号都已知，结论立现。 ② 反例排除。判「一定成立」只要找到一个反例就否掉。反例要挑符号不同、含零、含负数的组合，把题设允许的情形都覆盖到。 ③ 等价变形加双向验证。判「充要条件」必须两边各推一次：条件能否推出结论、结论能否推出条件，缺一半都不算。 ★ 触发信号：题目出现「一定成立」「正确的是」「充要条件」，先扫一遍每个选项有没有明显符号陷阱（同乘负数、两边平方、取倒数）。分类讨论的分界点通常就是符号： 按 、、 分， 按同正、同负分。 例题 例 6-1 （铜陵市2026届高三下学期第一次质检 · 第9题） 【多选】下列说法正确的是（　　） A. 若 ，则函数 最小值为 3 B. 若 ，则 的最小值为 C. 函数 的最小值为 D. 若 ，且 ，则 【解析】 这道题把基本不等式求最值里最常见的几个坑凑在了一起，逐项看。 选项 A：。当 时 ，两项都是负的。为看清符号，令 ： 所以 时 有最大值 ，没有最小值，A 错误。 选项 B：注意 ，先统一成 的幂再凑定值： 取等要求 ，即 ；结合 得 ，，可以取到，B 正确。 选项 C： 是现成的常数 ，乘进去展开： 由 ，得 ，取等当 ，C 正确。 选项 D：由 及基本不等式 ，得 ，即 ，取等当 ，D 正确。 第 1 步　A：， 时令 得 ◈ 基本不等式的第一条件是「一正」。 时两项同为负，只能求最大值、求不了最小值。这是这类题最经典的陷阱。 第 2 步　B： ◈ 必须先化成 ，才能与 合并为 ，再用条件 得到定值。 第 3 步　C： ◈ 是白送的常数 。乘进去展开后自动出现 与 的配对，乘积恰好为定值。 第 4 步　D： ◈ 和为定值求积的最大值，最简单的用法，但要记得验证取等条件。 答　BCD ★ 这道题把常见的错项凑在了一起： 在 时没有最小值（，不能直接用基本不等式）； 要先统一成 2 的幂再凑定值。 练习 6-1. 【多选】若，则“”的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 解析　答：BD 先看 本身等价于什么。 在 上单调递增，所以 题目问的是「 的充分不必要条件」，即要找一个能推出 、但被 推不出的条件。 A． 与 完全等价，是充要条件，不是充分不必要。 B． 要求 ，于是 ，能推出 ；反过来 时取 ，，推不出。符合。 C．取 ， 但 ，充分性不成立；取 ， 但 ，必要性也不成立。既不充分也不必要。 D． 要求 同号。若都为负， 与 矛盾，故 ，再由 得 ，充分性成立；反之 时若 则 ，不满足，推不出。符合。 6-2. 【多选】已知，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 解析　答：AD 四个选项分别用作差、举反例、分类讨论来处理。 A 项：作差得 由 知 ，，，差为负，所以 ，正确。 B 项：取 ，此时 ，严格大于号不成立，错误。 C 项：取 ，此时 ，同样不成立，错误。 D 项：按 的符号分三种情况。 时 ，； 时 ，平方得 ，再加上 ； 时 ，平方得 ，再加上 。三种情况都成立，正确。 6-3. 【多选】已知实数满足，则下列不等关系一定成立的是（ ） A. B. C. D. 解析　答：ABD 由 得 ，且 ，即 A．由 (1) 与 单调递增， 成立。 B．把 (1) 两边平方：。又 所以 ，从而 成立。 C．取 ， 满足，但 ，， 不成立。 D．若 ，则 ，成立；若 ，则 ，此时 ，也成立。 6-4. 【多选】已知实数满足，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 解析　答：BC 由 知 同号。 A．取 ，则 ， 不成立。 B． 时 ，， 成立（等号在 时取到， 即满足 ）。 C．由 且 得 ， 故 成立。 D．取 ，此时 ，，，，但 有 ，不等式不成立。 6-5. 【多选】下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若，则有最大值2 解析　答：AB A 项：把立方差分解到能看出符号为止： 方括号里只有当 时才为零，而 排除了这种可能，所以它是正的；又 ，乘积为正， 成立，正确。 B 项： 时 ，所以 ，从而 ，成立，正确。 C 项：取 ，满足 ，但 ，与结论相反，错误。 D 项： 时式子为 0； 时把它写成倒数形式 。而 的值域是 ，所以原式的值域是 ，最大值是 ，不是 2，错误。 6-6. 【单选】已知，则下列条件中使成立的充要条件是（ ） A. B. C. D. 解析　答：D 题目问的是使 成立的充要条件，逐个看各选项的条件能否与 互推。 A．取 ， 成立，但 不成立。不是充分条件。 B．取 ， 成立，但 不成立。不是充分条件。 C．当 时 ；当 时 。条件里没有限定 的范围，两种情形都允许，故不是充分条件。 D．由 及 单调递增，得 ，即 ，充分性成立；反过来， 时 ，故 ，，必要性也成立。是充要条件。 6-7. 【多选】已知 ，且 ，则（　　） A. B. C. D. 解析 用 把每个选项都化成只含 的式子。 A 项：。由 得 ，所以 ，正确。 B 项：，所以 ，正确。 C 项：。由 得 ，等号只在 时取到，并不是对一切 都成立，错误。 D 项：由 得 所以 ，，正确。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 不等式的方法体系 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　不等式的基本性质 不等式变形的一切依据都来自下面八条性质，判断类题目的每一步都要能说清用了哪一条。 对称性：；传递性： 且 。 可加性：；同向可加： 且 。 可乘性： 且 ； 且 。 同向同正可乘： 且 。 可乘方与可开方：，（）。 ★ 最常错的地方是「两边同乘一个式子」：乘数正负未知时必须分类讨论。例如 推不出 ，只有当 时才成立； 也推不出 ，反例取 即可。 比较两个式子大小有通法可用——作差法。要证 ，只须证 。以性质「同向可加」为例：由 得 ，由 得 ，两式相加得 ，故 。 ★ 作差后常见的收尾：因式分解成几个符号已知的因式之积，或配方成平方和加正数。 知识点二　基本不等式及其变形 基本不等式（均值不等式）：当 时，，当且仅当 时取等号。 代数证明：由 展开得 ，两边同除以 2 即得。等号成立当且仅当 ，即 。 几何证明：以 为直径作半圆，圆心为 ，在直径上取点 使 、，过 作直径的垂线交半圆于 。 由射影定理 ，所以 ；而 是半径，。在直角三角形 中斜边不小于直角边，故 ；当 时 与 重合，斜边与直角边退化为同一条线段，取等号。 考试中更常用的是它的几个变形： （和 ≥ 2 倍根号积）；（积 ≤ 半和的平方）。 （ 同号）；；。 四个平均数的大小顺序：（）。 三元及 元的情形同样成立： 时 ；更一般地，（各数均为正），等号都在各数相等时取到。 ★ 使用条件：一正、二定、三相等，三样缺一不可。「一正」各项为正，遇负项要先提负号；「二定」和或积必须是定值，否则要配凑；「三相等」等号要能取到——多选题最常在这里设陷阱，形式凑出了最值但等号要求与题设矛盾。 知识点三　绝对值不等式 基本形式（）：； 或 。 三角不等式：。 证明右边：两边都非负，平方后比较。 ，故 ，等号当且仅当 时成立。把 换成 就得到左边那一半。 几何意义： 是数轴上点 到点 的距离。所以 是从 到 、 两点的距离之和，最小值为两点间距离 ，当且仅当 落在 与 之间时取到。 由此得到一个极常用的结论：不等式 对一切实数 恒成立，等价于左边的最小值 。 平方法：两边都是绝对值（都非负）时，平方可以直接去掉绝对值。例如 两边平方得，展开解得 ，比零点分段快得多。 ★ 含绝对值的题优先看几何意义，比零点分段快得多；两个绝对值相减（如 ）看三角不等式，取值范围是 。 知识点四　恒成立与存在性问题 这类问题一律转化为最值问题，先记住四条对应关系。 对任意 ， 恒成立 ； 恒成立 。 存在 ，使 ；使 。 操作顺序：能分离参数就先分离参数，把参数单独放到一边，把问题化成 或 的形式，再求 的最值。 参数分离不出来时（比如参数在二次项系数上），改用分类讨论，或把不等式看成关于参数的一次函数，用它两端点的符号来定范围。 出现两个变量时，先固定其中一个，把问题拆成两次最值处理。 ★ 分离参数后要注意端点。 恒成立取的是 的最大值（上确界）：如果 的最大值取不到，答案要写成开区间或写成「大于等于上确界」。 知识点五　一元二次不等式与三个二次 一元二次不等式的解集，由二次函数图象与 轴的位置关系决定。二次函数、二次方程、二次不等式这三样东西是一体的，所以叫「三个二次」。 以 为例，记 ： 时抛物线与 轴有两个交点 ， 的解集是（两根之外）， 的解集是 （两根之间）。口诀是「大于取两边，小于取中间」。 时抛物线与 轴相切， 的解集是， 无解。 时抛物线整个在 轴上方， 对一切实数成立， 无解。 时不必另记一套，两边乘 化成 即可，记得把不等号方向翻过来。 含参数的一元二次不等式，讨论顺序固定为三步：开口（ 的符号）→ 判别式（有无实根）→ 两根大小（ 与 谁大）。三步走完，解集自然写得出来。 ★ 恒成立条件是这一节最常用的结论（ 时）： 对一切 成立 且 ； 对一切 成立 且 。注意 的情形要单独检验，不能直接套用。 ★ 在给定区间 上求二次函数的最值，先看对称轴 是否落在区间内：落在区间内就取顶点值 ，落在区间外就取端点值，离对称轴越远的端点对应越大（或越小）的那个。 知识点六　分式不等式与高次不等式 分式不等式的第一原则是不能两边乘分母——分母的正负未知，乘过去不等号方向说不清。正确做法是移项、通分，化成一个分式与 比较，再转成整式不等式： 第二个式子里的「」是必写的，漏掉就把分母的零点也算进解集了，这是分式不等式最常见的失分点。 高次不等式用序轴标根法（也叫穿根法）：把 分解成若干个一次因式之积，把每个根按大小标在数轴上，从最右端的上方开始向左画曲线，奇次根穿过去、偶次根弹回来，曲线落在数轴上方的部分就是 的解集。 ★ 穿根法的前提是每个因式里 的系数都为正。遇到 、 这种，先提出负号把它改成 的系数为正的形式再标根，否则穿线的方向会整体反掉。 知识点七　糖水不等式 设 ，，则 证明就是最朴素的作差： 直观理解：一杯糖水浓度是 ，再倒进 克糖，分子分母同时加上 ，糖水变甜了，浓度变大。 它主要用在两个地方：一是比较两个分式的大小，二是给分式放缩——判断「分子分母同时加同一个正数」之后整个分式是变大还是变小。 ★ 用之前先看清分子分母的大小关系：只有当 时才有 ；若 ，不等号方向正好反过来。 知识点八　柯西不等式与权方和不等式 二维柯西不等式： 等号当且仅当 时成立。证明只需把左边减右边配方： 推广到 个：。 权方和不等式是柯西最常用的变形。当 时 它其实就是柯西取 、 得到的。 ★ 触发信号：看到 与 同时出现，或者所求式是「几个分式之商、分子是平方、分母是正数」的形状，优先考虑柯西与权方和。它们往往比基本不等式更一步到位。 知识点九　不等式的证明方法（选读） 前面几节讲的都是「求最值」和「比大小」，这里补一下证明类题目的常用手段。 比较法：作差或作商，把要证的结论变成一个符号明确的式子。作商法要求两边同号（通常是正数）。 分析法与综合法：分析法从结论出发往回找充分条件（执果索因），综合法从条件出发往前推（由因导果）。书写时常用分析法找思路、用综合法写过程。 反证法：假设结论不成立，推出与已知条件或基本事实矛盾。结论中出现「至少」「至多」「唯一」这类字眼时，往往适合反证。 放缩法：把式子放大或缩小成便于求和、便于比较的形式，常见的有 ★ 放缩的方向必须与要证的不等式一致：要证「大于」，就往小放；要证「小于」，就往大放。方向搞反是最典型的事故。 知识点十　指数不等式与对数不等式 解这类不等式不需要新方法，靠的还是单调性——把两边化成同底，再比较指数（或真数）。 指数不等式： 时 ； 时不等号方向反过来。 对数不等式： 时 ； 时方向反过来。 ★ 解对数不等式别忘三件事：真数必须大于零（先定定义域）、底数要分类讨论、不等号方向随底数变。真数条件往往就是决定解集端点的那个关键。 ★ 遇到 （ 不是 的整数次幂）时，两边取对数，或把 写成 再比较。 知识点十一　不等式的实际应用（选读） 应用题的做法固定为三步。 第一步设变量，一般就设题目要问的那个量；第二步按题意写出函数关系式和变量的取值范围；第三步用基本不等式或二次函数求最值。 ★ 最后一步要回答「等号在什么条件下取到」，否则答案是不完整的——应用题问的是「怎么安排最省」，只给一个数值不算答完。 ★ 定义域是关键。应用题里的变量常带实际限制（人数为正整数、长度为正、比例不超过 ），最值可能在端点取到，而不是顶点。 二、方法突破 方法一　基本不等式求最值 条件是「和」或「积」的等式，所求是另一式的最值——这是基本不等式的主战场，三条路走下来基本能覆盖。 ① 凑定值。先把条件整理成「两个因式之积为常数」的形状，再把所求式按这两个因式拆开，定积一出现，和的最小值就出来了。配系数、加项减项是常用手法。 ② 常值代换（「1」的妙用）。条件形如 时，把所求式乘以这个 1 再展开，必然出现 的结构。 ③ 消元转函数。条件能解出一个变量就直接消元，化成一元函数后用配方或求导找最值——这条路最稳，不怕凑不出来。 ★ 触发信号：看到 、 型，或条件是「两式之和/积为定值」，先想基本不等式。用完一定要回头验三件事——一正、二定、三相等，其中「等号能不能取到」是多项选择题最常设错的地方。 例题 例 1-1 （江门市2026届高考适应性测试 · 第7题） 【单选】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【解析】 第 1 步　 ◈ 把「和与积混在一起」的条件整理成「乘积为定值」，是基本不等式求最值的第一步，也是最关键的一步。见到 与 同时出现，就试试两边配常数凑因式分解。 第 2 步　 ◈ 拆项要按系数配平： 的系数是 4，就给 配系数 4；多出来的常数 单独留下，最后加到最值里。 第 3 步　等号成立：，即 ◈ 验证取等条件是否落在题目允许的范围内（这里 都满足），不验证是这类题最常见的失分点。 答　C（最小值为 13） ★ 对应技巧①凑定值：把 整理成 ，再把 拆成 ，定积就出现了。 例 1-2 （莆田市2026届高三上学期1月质量检测 · 第5题） 【单选】已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【解析】 第 1 步　由 得 ◈ 这一步叫「常值代换的准备」：把条件整理成两个倒数之和等于常数，才好在下一步乘进所求式里。 第 2 步　 ◈ 乘 之后出现的 是两项之积为定值的结构，直接用基本不等式；常数项 要记得算进去。 第 3 步　取等：，即 ，回代得 ◈ 取等时要把解出来的值带回原条件验算一遍，确认两个数都是正数、条件确实成立。 答　D（最小值为 9） ★ 对应技巧②常值代换：由 得 ，所求式乘以这个 1 再展开。 例 1-3 （泉州市2026届高三质量检测（二） · 第3题） 【单选】已知正数 满足 ，则 的最大值为（　　） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　，由 定出 ◈ 消元之前先把新变量的取值范围写出来。很多题的最值取在区间端点之外，就是因为漏了这一步。 第 2 步　 ◈ 二次函数求最值先配方，再对照定义域 看顶点是否在区间内（这里 正好在里面，所以直接取顶点值）。 答　A（最大值为 ） ★ 对应技巧③消元转函数：把 解出来代入，目标式化成关于 的二次函数，直接配方求最值。 练习 1-1. 【单选】已知，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 1-2. 【单选】已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1-3. 【单选】点在直线上，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 1-4. 【多选】若正实数满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是9 C. 的最大值是 D. 的最小值是 1-5. 【单选】若，且，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 1-6. 【多选】已知正实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 1-7. 【多选】以下结论正确的是（ ） A. 若，则的最大值为 B. 若，则 C. 若，，则的最小值为 D. 若，则 1-8. 【单选】已知实数 ，，且满足 ，则 的最小值为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 1-9. 【填空】已知 ， 均为非负数，且 ，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 方法二　利用函数性质比较大小 比较大小的题，先判断能不能用单调性一步到位；不能的话，就把几个数整理成同一个函数的函数值，再研究这个函数的单调性。 ① 同底或同指数，直接用指数、对数、幂函数的单调性比较。 ② 底数和指数都不同，取对数把指数降下来，或者把式子改写成同一个函数 在两个自变量处的值，构造辅助函数求导判断单调性——这是这类题的通用解法。 ③ 与 0、1 分段比较：先定出每个数的符号和大致范围再排序。对数式常和 0 比，指数式常和 1 比。 ★ 触发信号：看到 、、 混在一起比大小，或者题目给出 、 这类结构，基本就是要构造辅助函数求导了。 例题 例 2-1 （邯郸市2026届高三第一次模拟检测 · 第7题） 【单选】已知 ，，，则（　　） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　构造 ，把三者变成同一函数的函数值 ◈ 分母比分母下的对数大 1，是构造这个函数的信号。凡是比较 型的大小，都先取对数，再看能不能凑成同一个函数。 第 2 步　 且 ◈ 导数分子的符号不好直接判断，就用「零点存在」定出分界点的大致位置。这里根本不用求出 具体是多少，只要能确定它在 4 以内就够了。 第 3 步　 都在 右侧 在此递减 ◈ 是增函数， 与 等价，所以比完对数就等于比完了原数，不用回代。 答　D ★ 构造 ：两个根式取对数后正好是同一函数在 处的值。 例 2-2 （九江市2025-2026学年高三上学期第一次高考模拟 · 第8题） 【单选】已知实数 满足 ，则 的值为（　　） A. B. C. 2 D. 1 【解析】 第 1 步　 ◈ 看到两个变量被加号分开、各自成块，第一反应就是分组、分别求最小值。 第 2 步　 ◈ 两个最小值之和恰好是 ——这正是题目右边那个 的来历，也说明出题人就是按这个思路设计的。 第 3 步　左边 且 只能同时取最小值 ◈ 「最小值之和等于右边」是这类题的标准套路：一端给出下界，另一端给出上界，一夹就锁定取等条件。 答　D（） ★ 移项后左边是「两个函数之和」，各自求出最小值，而两个最小值之和恰好等于右边——于是只能同时取到最小值。 例 2-3 （萍乡市2026届高三上学期一模考试 · 第9题） 【多选】已知实数 ，若 ，则下列结论正确的有（　　） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　 ◈ 时两个对数同为负数， 递增意味着 ，所以这个比值一定大于 1。这一步必须先做实，否则后面没法判断。 第 2 步　 ◈ 分式比大小一律先作差通分，化成「分子分母符号都已知」的形式。通分后 与 相消，剩下的因式符号一目了然。 第 3 步　 ◈ 提公因式 是关键。两个因式符号相反，乘积为负，所以 D 项把不等号方向写反了——这正是它设错的地方。 答　AC ★ 对数换底后定出 ，再逐项作差判断。 练习 2-1. 【多选】已知，则（ ） A. B. C. D. 2-2. 【单选】，，，则（　　） A. B. C. D. 2-3. 【单选】已知正实数 ，，满足 ，且 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 2-4. 【多选】已知正数 满足 ，则 的大小关系可能是（　　） A. B. C. D. 2-5. 【多选】已知 （ 且 ），若 ，且 （ 为自然对数的底数），则（　　） A. B. C. D. 方法三　代数变形求范围 条件式和所求式看起来不搭时，先把条件整理成能用的形状。三条常用变形： ① 换元。把重复出现的整块设成新元（整体换元），或把两个线性组合一起设为新元（双换元），换完往往变成熟悉的二次式或分式。 ② 因式分解与配方。条件能分解出「乘积为常数」的结构时，所求式就变成若干项之和，回到方法一。 ③ 判别式法。把式子整理成关于某个变量的一元二次方程，用 圈出该变量的取值范围——这就是最值的来源。 ★ 触发信号：条件是 、 这类「乘积为定值」的对称结构时，优先试双换元；求「某式的取值范围」而不是最值时，优先试判别式。换元之后一定要写清新元的取值区间。 例题 例 3-1 （东营市2026届高三下学期4月份适应性测试 · 第12题） 【填空】若 且 ，则 的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 【解析】 第 1 步　 ◈ 「和积混合」的条件用基本不等式把和换成积，是求 范围的标准第一步。 第 2 步　令 ，得 ，解得 ◈ 换元后变成解一元二次不等式。别忘了 这个前提——它让我们直接舍掉 那一支。 第 3 步　取等：，故 可以取到 ◈ 求范围题必须交代端点能否取到。这里能取到，所以是闭区间 。 答　 ★ 把 设为新元 ，由 解出 ，这一步把「求范围」变成了「解不等式」。 例 3-2 （黄山市2026届高三第一次质量检测 · 第14题） 【填空】若 ，则 的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 【解析】 第 1 步　令 ，，则 ◈ 平方差条件配上对称的分式，是双换元的典型信号。换元后乘积为定值，两个新变量就绑在了一起。 第 2 步　，，两个变量并成一个 ◈ 由 知 同号，所以 完全由 决定。这是把二元问题降成一元问题的关键一步。 第 3 步　， ◈ 求导后分子是一次式，单调性很清楚：先增后减。注意 是能取到的（ 时取到），所以右端是闭的；下界 取不到，左端是开的。 答　 ★ 双换元 、 后 是定值，所求式随之化简。 例 3-3 （枣庄市2026届高三第二次调研考试 · 第14题） 【填空】已知 ，，则 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 【解析】 第 1 步　 ◈ 把 和 全部展开、按 的幂次合并，才看得出这是一个二次函数。 第 2 步　 且 ◈ 区间端点的符号是最便宜的信息。它直接把 锁在第一象限，后面判断开口、对称轴位置都靠这两个条件。 第 3 步　 ◈ 开口向上时最小值在对称轴处，但前提是对称轴落在区间内。这里用 恒成立证明了它确实在区间里。 第 4 步　 ◈ 化简时 和 会整体抵消，剩下的用倍角公式 一步到位。 答　， ★ 把不等式看成关于 的二次函数，用「在 上恒正」的端点条件加判别式一起定范围。 练习 3-1. 【多选】已知正实数满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 3-2. 【多选】已知，，下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值是 C. 的最小值是8 D. 的最小值是 3-3. 【单选】《算经十书》是中国古代数学典籍的合集.书中记载（用现代文表达）：今有牛､羊､猪各数头（各有至少1头），已知猪的数量多于羊，羊的数量多于牛，牛的数量的3倍多于猪､羊数量之和，则牛､羊､猪的总头数至少为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 3-4. 【单选】已知非负实数 ， 满足 ，则 的最小值为（　　） A. 8 B. C. 7 D. 3-5. 【多选】已知实数 ，， 互不相等，且满足 ，，，下列说法正确的有（　　） A. B. C. D. 对任意 ， 均为整数 3-6. 【填空】方程 的整数解的组数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 方法四　恒成立与存在性问题 恒成立、存在性、成立为假，最后都落到「求最值」上。 ① 分离参数。能把参数整理到一边就先做，化成 或 ，问题变成求 的最值。 ② 最值转化。分离不了就整体求 的最值。注意「恒成立」要最值能越过，「存在」只要最值够得到。 ③ 主元转换。把参数当变量、把原变量当参数，构造关于参数的一次式，用两端点符号定范围。 ★ 触发信号：题面出现 、、「恒成立」「都有」「至少存在一个」，一律转化到最值。另外端点处的开闭要写清楚—— 取的是 的上确界，若 取不到最大值，答案就是开区间。 例题 例 4-1 （德州市2025-2026学年高三4月学习质量综合评估 · 第8题） 【单选】若存在 ，对任意的 ，都有 ，则当 取到最大值时， 的值为（　　） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　两边乘 得 ◈ 分母里带 的不等式，先乘掉分母再分离参数。注意 所以不等号方向不变。 第 2 步　， 时 ◈ 这一步把「对任意 成立」翻译成「 不超过一个只含 的式子」，双变量问题就先解决掉一个。 第 3 步　再对 求最大值，得 ◈ 两次最值——先对 求最小得到 的上界，再对这个上界求最大。这是「存在 、任意 」这类题的通用套路。 答　A（） ★ 分离参数得 ，先对 求最小值得到 的上界 ，再对这个上界求最大值。 例 4-2 （开封市豫东名校联考2026届高三二模 · 第11题） 【多选】已知 ，，则下列说法正确的是（　　） A. 若 ，则 B. 的最小值为 1 C. 若 ，则 的最小值为 8 D. 若 恒成立，则 的最小值为 【解析】 第 1 步　A： ◈ 和积混合的条件用基本不等式把「和」换成「积」，再换元成一元二次不等式，这与例题 3-1 是同一套路。 第 2 步　B：令 ，原式 ◈ 换元之后一定要盯住新元的范围。 的最小值在 处取到，但 够不着，所以下确界是 时的 ，最小值根本取不到——这就是 B 设错的地方。 第 3 步　C：消元得 ， 时取最小值 ◈ 两个分式都要化成同一个变量。消元后是单变量函数，直接求导。 第 4 步　D： ◈ 是「两个乘积之和」，正好套柯西不等式。看到 与 同时出现，就该想到它。 答　ACD ★ 多项选择题里的恒成立：先把条件整理成 ，每一项都往这个定积上靠。 练习 4-1. 【填空】若，对于恒有，当取得最大值时，_______． 4-2. 【填空】已知正数满足，则的最小值为__________：当取得最小值时，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 4-3. 【单选】已知正数 ， 满足 ，则（　　） A. B. C. D. 4-4. 【单选】已知实数 ， 满足：，则（　　） A. B. C. D. 方法五　绝对值不等式 绝对值不等式的三条路，前两条最常用。 ① 三角不等式。，等号在 落于 之间时取到。含参恒成立问题用它一步到位。 ② 零点分段。把每个绝对值内式子的零点标在数轴上，分区间去掉绝对值符号——这是通法，什么时候都能用。 ③ 几何意义。 就是数轴上的距离；「距离之和为定值」对应椭圆、「距离之差为定值」对应双曲线，可以和解析几何打通。 ★ 触发信号：看到 求最小值或恒成立，直接上三角不等式；看到 这样的条件，先想两边平方——由非负性可得 。 例题 例 5-1 【填空】，，则实数的取值范围是____________． 【解析】 第 1 步　 ◈ 这是绝对值三角不等式的标准用法：两个绝对值里 的系数相同时，相减能把 约掉，直接得到最小值。 第 2 步　等号在 时取到 ◈ 取等条件是 落在 与 之间。因为题目要求「对一切 成立」，只要最小值达标即可，所以这个条件不影响结论，但写出来更严谨。 第 3 步　 或 或 ◈ 解绝对值不等式要拆成两支，别只写一半。 答　 ★ 旧题库里没有单独的绝对值板块，这道用本次新整理的题来讲：三角不等式直接给出最小值 ，恒成立只须它不小于 4。 练习 5-1. 【单选】已知关于的不等式，其中，且，若该不等式的解集为，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 5-2. 【单选】已知，为任意正数，若恒成立，则（ ） A. B. C. D. 方法六　不等式性质与充要条件判断 给一个条件问若干结论是否成立——这类题不用算出具体值，只要判断真假。三个手段： ① 作差法。判断 与 的大小就做 ，因式分解后每个因式的符号都已知，结论立现。 ② 反例排除。判「一定成立」只要找到一个反例就否掉。反例要挑符号不同、含零、含负数的组合，把题设允许的情形都覆盖到。 ③ 等价变形加双向验证。判「充要条件」必须两边各推一次：条件能否推出结论、结论能否推出条件，缺一半都不算。 ★ 触发信号：题目出现「一定成立」「正确的是」「充要条件」，先扫一遍每个选项有没有明显符号陷阱（同乘负数、两边平方、取倒数）。分类讨论的分界点通常就是符号： 按 、、 分， 按同正、同负分。 例题 例 6-1 （铜陵市2026届高三下学期第一次质检 · 第9题） 【多选】下列说法正确的是（　　） A. 若 ，则函数 最小值为 3 B. 若 ，则 的最小值为 C. 函数 的最小值为 D. 若 ，且 ，则 【解析】 第 1 步　A：， 时令 得 ◈ 基本不等式的第一条件是「一正」。 时两项同为负，只能求最大值、求不了最小值。这是这类题最经典的陷阱。 第 2 步　B： ◈ 必须先化成 ，才能与 合并为 ，再用条件 得到定值。 第 3 步　C： ◈ 是白送的常数 。乘进去展开后自动出现 与 的配对，乘积恰好为定值。 第 4 步　D： ◈ 和为定值求积的最大值，最简单的用法，但要记得验证取等条件。 答　BCD ★ 这道题把常见的错项凑在了一起： 在 时没有最小值（，不能直接用基本不等式）； 要先统一成 2 的幂再凑定值。 练习 6-1. 【多选】若，则“”的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6-2. 【多选】已知，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 6-3. 【多选】已知实数满足，则下列不等关系一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6-4. 【多选】已知实数满足，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 6-5. 【多选】下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若，则有最大值2 6-6. 【单选】已知，则下列条件中使成立的充要条件是（ ） A. B. C. D. 6-7. 【多选】已知 ，且 ，则（　　） A. B. C. D. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $