第21讲任意角与三角恒等变换（知识清单+8典例精讲+7方法技巧+分层训练）-2027年高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦任意角与三角恒等变换专题，覆盖任意角、弧度制、三角函数定义、同角关系、诱导公式、和差角及二倍角公式、辅助角公式等高考核心考点，按“定义-公式-应用”逻辑构建知识网络。通过知识清单系统梳理、8典例精讲突破重点、7方法技巧归纳规律、分层训练巩固提升的教学流程，帮助学生建立完整知识体系，精准突破高考高频难点。 讲义突出“方法引领+实战强化”特色，创新设计终边相同角归类、弧度制扇形公式速算等7大解题大招，培养学生数学思维与运算能力。例如诱导公式教学中，通过“奇变偶不变，符号看象限”口诀结合符号判定训练，提升推理效率。分层训练含基础过关、拔高选练及错题复盘，适配不同学生需求，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生应试能力。

第21讲任意角与三角恒等变换 （知识清单+8典例精讲+7方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 任意角、弧度制与三角函数定义 单选、填空 5分 同角三角函数基本关系 单选、填空 5分 三角函数诱导公式 单选、填空 5分 和差角恒等变换公式 单选、填空、解答题 5分/12分 二倍角公式及变形应用 单选、填空、解答题 5分/12分 恒等变换综合（辅助角公式 填空、解答题 5分/12分 【知识点01】角的概念 定义 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形 分类 (1)按旋转方向分为正角、负角和零角； (2)按终边位置分为象限角和轴线角 相反角 把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为－α 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z} 【例1】写出终边在直线 上的角的集合，并求出 内满足条件的所有角。 【知识点02】弧度制的定义及公式 定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad 弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示，半径用r表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝°≈57.3° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 【例2】已知扇形周长为 ，半径 ，求扇形的圆心角（弧度）及扇形面积 【知识点03】任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y＝sin α，x＝cos α＝tan α(x≠0). (2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图. (3)定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝cos α＝tan α＝(x≠0). 【例3】已知角 的终边经过点 ，求 的值。 【知识点04】二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α.  (2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)公式T2α：tan 2α＝. 【例4】已知 ，求 。 【知识点05】半角公式(不要求记忆) sin＝±；cos＝±；tan＝±.符号由所在象限决定. 【例5】已知，且 ，求 。 【知识点06】积化和差公式 (1)cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； (2)sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]； (3)sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； (4)cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]. 【例6】利用积化和差公式化简求值： 【知识点07】和差化积公式 (1)sin θ＋sin φ＝2sincos； (2)sin θ－sin φ＝2cossin； (3)cos θ＋cos φ＝2coscos； (4)cos θ－cos φ＝－2sinsin. 【例7】利用和差化积公式化简：。 【题型一】任意角与弧度制 【例1】与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·湖北·模拟预测）若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·广西·模拟预测）已知某扇形的周长为6，面积为2，圆心角为锐角，则其弧长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（2025·广东梅州·模拟预测）已知半径为的扇形面积为6，则扇形的圆心角为______ . 【题型二】任意角的三角函数 【例1】（2026·陕西渭南·三模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（2026·山东·一模）“为第三象限角或第四象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（2026·云南昭通·模拟预测）设集合，，则________. 【变式3】（2026·甘肃平凉·一模）已知角的终边经过点，则的正弦值为__________． 【题型三】同角三角函数的基本关系 【例3】（2026·湖南岳阳·三模）已知，则（    ） A．1 B． C． D．0 【变式1】（2025·甘肃武威·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·辽宁朝阳·一模）若，则______. 【变式3】（2025·江苏泰州·二模）已知，且，则________． 【题型四】三角函数的诱导公式 【例4】（2026·湖南长沙·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·陕西榆林·模拟预测）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【变式2】（2026·湖南湘潭·二模）已知，，则______. 【变式3】（2026·宁夏银川·一模）已知，则__________． 【题型五】两角和与差公式 【例5】（2026·辽宁大连·模拟预测）已知，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·辽宁朝阳·三模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·陕西榆林·模拟预测）计算：__________． 【变式3】（2026·河南·模拟预测）如图，在中，，D，E为线段上两点，且平分，（在的左侧）. (1)若，，求的面积； (2)若，，求的值. 【题型六】二倍角公式 【例6】（2026·新疆乌鲁木齐·三模）若，则（    ） A． B． C． D．2 【变式1】在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，为终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江西·三模）已知，且，则______，______． 【变式3】（2026·山东聊城·模拟预测）在中，，. (1)求的值； (2)若边上的高为9，求的长. 【题型七】辅助角公式 【例7】（2026·福建泉州·三模）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·河南开封·模拟预测）已知角的终边上有一点，则（   ） A． B． C．1 D．2 【变式2】（2025·云南玉溪·模拟预测）已知，且，则__________. 【变式3】（2025·江苏·模拟预测）已知向量，若且的最小值为，则实数_____． 【题型八】三角恒等变换的应用 【例8】（2026·西藏日喀则·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·海南海口·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数，，则______. 【变式3】（2025·湖北十堰·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且． (1)判断的形状； (2)设，且是边的中点，当最大时，求的面积． 【解题大招01】终边相同角统一归类技巧 1. 核心技巧 所有终边重合的角可统一归为：，轴线角、对称角可合并周期，避免重复列举，快速筛选区间内角度。 2. 适用场景 区间内找终边相同角、判断象限角、对称角求解。 【例1】求区间内与终边相同的所有角。 【解题大招02】弧度制扇形公式速算技巧 【例2】已知扇形半径，周长，求扇形面积。 【解题大招03】任意角三角函数定义「坐标直接代」技巧 1. 核心技巧 已知终边点，先算，再直接代入定义，符号完全由坐标象限决定，无需记忆复杂符号口诀。 2. 核心公式 【例3】角终边过，求。 【解题大招04】同角三角函数「知一求二」符号判定技巧 1. 核心技巧 先定象限、再定符号、最后代公式；平方开根必看范围，这是高考最易错点。 2. 核心公式 【例4】已知，，求。 【解题大招05】诱导公式「奇变偶不变，符号看象限」秒杀技巧 1. 核心技巧 类函数名不变，类函数名互变；始终将看作锐角，判断原式符号即为结果符号。 【例5】化简： 【解题大招06】二倍角公式「三式灵活选用」技巧 1. 核心技巧 求正弦值优先用，求余弦值优先用，按需选公式，减少计算量。 2. 核心公式 . 【例6】已知，求。 【解题大招07】辅助角公式标准化技巧 1. 核心技巧 形如，统一合并为标准型，是求周期、最值、单调区间的唯一标准解法。 2. 核心公式 【例7】化简 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·广西南宁·三模）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2026·云南玉溪·二模）已知角的终边过点，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2025·江苏·模拟预测）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧的长为，则此扇面的面积为______． 6．（2026·江苏·三模）在中，若，，则角_____． 四、解答题 7．（2026·湖北·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求A； (2)若，，求的面积． 8．（2024·云南大理·模拟预测）在中，角，，的对边分别是，，，且. (1)求角的大小； (2)若，为边上的一点，，且______，求的周长. （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答） ①是的平分线 ②为线段的中点 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·河北沧州·模拟预测）已知角的终边过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏南通·三模）已知三个扇形的半径均为2，①扇形1的弧长为2；②扇形2的面积为4；③扇形3卷成的圆锥底面周长为6.设三个扇形的圆心角分别为，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·辽宁·模拟预测）下列结论正确的是（    ） A．若为第一象限角，则 B．若，则 C． D． 三、填空题 4．（2026·福建宁德·模拟预测）已知，，则______. 5．（2026·江苏扬州·模拟预测）设，是方程的两个不同的解，且（），则________． 四、解答题 6．（2026·河南·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，的面积为，求． 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·四川眉山·模拟预测）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边与圆交于点．动点以为起点，沿圆周按逆时针方向运动到点，点运动的轨迹长为，当角的终边为射线时，（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·广东佛山·模拟预测）已知，则（     ） A． B． C． D． 三、填空题 4．（2026·河北·三模）已知，则_____. 四、解答题 5．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在中，，，． (1)求； (2)设边上有两点，，，且，求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21讲任意角与三角恒等变换 （知识清单+8典例精讲+7方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 任意角、弧度制与三角函数定义 单选、填空 5分 同角三角函数基本关系 单选、填空 5分 三角函数诱导公式 单选、填空 5分 和差角恒等变换公式 单选、填空、解答题 5分/12分 二倍角公式及变形应用 单选、填空、解答题 5分/12分 恒等变换综合（辅助角公式 填空、解答题 5分/12分 【知识点01】角的概念 定义 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形 分类 (1)按旋转方向分为正角、负角和零角； (2)按终边位置分为象限角和轴线角 相反角 把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为－α 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z} 【例1】写出终边在直线 上的角的集合，并求出 内满足条件的所有角。 解：终边在直线 上的角分布在一、三象限： 终边在第一象限：，终边在第三象限：，可统一写为： 令 ，解得：，即 。 当 时，；当 时，。 综上，满足条件的角为：。 【知识点02】弧度制的定义及公式 定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad 弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示，半径用r表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝°≈57.3° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 【例2】已知扇形周长为 ，半径 ，求扇形的圆心角（弧度）及扇形面积 解：扇形周长公式：，已知 ，代入得： 由弧长公式，得圆心角： 扇形面积： 综上：圆心角为 ，扇形面积为 。 【知识点03】任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y＝sin α，x＝cos α＝tan α(x≠0). (2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图. (3)定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝cos α＝tan α＝(x≠0). 【例3】已知角 的终边经过点 ，求 的值。 解：由题意得：，根据距离公式： 根据任意角三角函数定义： . 【知识点04】二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α.  (2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)公式T2α：tan 2α＝. 【例4】已知 ，求 。 解：由 ，，由同角平方关系： 二倍角正弦： 二倍角余弦： 二倍角正切： 【知识点05】半角公式(不要求记忆) sin＝±；cos＝±；tan＝±.符号由所在象限决定. 【例5】已知，且 ，求 。 解：由 ，可知余弦值为负，选择半角公式负号形式： 故 。 【知识点06】积化和差公式 (1)cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； (2)sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]； (3)sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； (4)cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]. 【例6】利用积化和差公式化简求值： 解：由积化和差公式： 令 ，代入得： 原式结果为 。 【知识点07】和差化积公式 (1)sin θ＋sin φ＝2sincos； (2)sin θ－sin φ＝2cossin； (3)cos θ＋cos φ＝2coscos； (4)cos θ－cos φ＝－2sinsin. 【例7】利用和差化积公式化简：。 解：由和差化积公式： 令 ： 原式结果为 。 【题型一】任意角与弧度制 【例1】与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先写出与终边相同的角的表示方法，对A，将代入求出，判断是否属于整数即可；对B，将代入求出，判断是否属于整数即可；对C，将代入求出，判断是否属于整数即可；对D，将代入求出，判断是否属于整数即可. 【详解】解：， 故与终边相同的角可表示为：， 对A， ， 解得：，故A错； 对B，， 解得：，故B错； 对C，， 解得：，故C对； 对D，， 解得：，故D错. 故选：C. 【变式1】（2024·湖北·模拟预测）若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分为第一象限角和第三象限角时，求出的取值集合再求并集. 【详解】 根据题意，角的终边在直线上，为第一象限角时，； 为第三象限角时，； 综上，角的取值集合是. 故选：D. 【变式2】（2026·广西·模拟预测）已知某扇形的周长为6，面积为2，圆心角为锐角，则其弧长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用弧长公式和面积公式求出弧长，再结合题意取舍即可. 【详解】设扇形的弧长为，扇形的半径为，圆心角为， 因为扇形的周长为6，面积为2， 所以，解得或， 当时，，不是锐角，故排除， 当时，，符合题意，故B正确. 故选：B 【变式3】（2025·广东梅州·模拟预测）已知半径为的扇形面积为6，则扇形的圆心角为______ . 【答案】4 【分析】利用扇形的面积公式建立方程，求解圆心角即可. 【详解】设扇形的圆心角为，且半径为的扇形面积为6， 由扇形的面积公式得，解得，则扇形的圆心角为. 故答案为：4 【题型二】任意角的三角函数 【例1】（2026·陕西渭南·三模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】在前提条件下，分别验证充分性和必要性是否成立，即可得解. 【详解】已知，若，则可得或. 当时，；当时，. 因此由无法推出， 所以“”是“”的不充分条件； 已知，若，则，此时， 因此由可以推出， 所以“”是“”的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 【变式1】（2026·山东·一模）“为第三象限角或第四象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据象限角的符号和充分必要条件的定义即可求解. 【详解】若为第三象限角或第四象限角，则，故充分性成立； 若，则为第三象限角或第四象限角或，故必要性不成立； 所以“为第三象限角或第四象限角”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【变式2】（2026·云南昭通·模拟预测）设集合，，则________. 【答案】 【分析】根据三角函数值的定义解不等式化简集合A，B，进而可得交集. 【详解】由已知可得，， 所以. 【变式3】（2026·甘肃平凉·一模）已知角的终边经过点，则的正弦值为__________． 【答案】/ 【分析】由正弦函数定义即可计算求解. 【详解】由题可得， 所以的正弦值为. 故答案为： 【题型三】同角三角函数的基本关系 【例3】（2026·湖南岳阳·三模）已知，则（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】D 【详解】因为， 所以， 而，所以． 【变式1】（2025·甘肃武威·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，从而求出，即可得解. 【详解】因为，则， 所以，则. 故选：C. 【变式2】（2026·辽宁朝阳·一模）若，则______. 【答案】19 【详解】显然， 由，， 所以. 【变式3】（2025·江苏泰州·二模）已知，且，则________． 【答案】 【分析】对原式两边平方后，确定的正负，从而确定的正负；结合韦达定理即可求得. 【详解】由题可知，两边平方可得：，解得， 又，故，则； 故为方程的两根，则，解得或，则. 故答案为：. 【题型四】三角函数的诱导公式 【例4】（2026·湖南长沙·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 【变式1】（2026·陕西榆林·模拟预测）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【详解】因为， 所以只需将函数的图象向左平移个单位长度即可得到， 即得到函数的图象. 【变式2】（2026·湖南湘潭·二模）已知，，则______. 【答案】/ 【详解】由， 因为，所以，则， 由，解得，， 则. 【变式3】（2026·宁夏银川·一模）已知，则__________． 【答案】 【详解】， 因为， 所以， 因为， 所以. 【题型五】两角和与差公式 【例5】（2026·辽宁大连·模拟预测）已知，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，利用同角关系式和两角差的余弦公式求解. 【详解】因为，，所以， 已知 ，所以， 因此， 已知，，所以， 则 . 【变式1】（2026·辽宁朝阳·三模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先应用两角和正弦公式得出，再结合同角三角函数关系及二倍角正弦公式求解. 【详解】由，得，则， 所以，即得， 由，得． 【变式2】（2026·陕西榆林·模拟预测）计算：__________． 【答案】1 【详解】， 又， 即， 故． 【变式3】（2026·河南·模拟预测）如图，在中，，D，E为线段上两点，且平分，（在的左侧）. (1)若，，求的面积； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由角平分线性质，结合三角形面积公式即可求解； （2）由角平分线的性质，结合两角和差的余弦公式化简可得的值，再根据正切的诱导公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以在中，. 又 ，即 ，所以. 因为，所以，即，解得. 因为平分，所以， 解得， 所以 所以. （2）设， 则， 即， 整理得， 又， 故，即，解得. 【题型六】二倍角公式 【例6】（2026·新疆乌鲁木齐·三模）若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据二倍角的余弦公式以及即可求解. 【详解】由二倍角的余弦公式，得， 由于，则，因此，， 因此，故A正确. 【变式1】在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，为终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知为终边上一点，故， 所以. 【变式2】（2026·江西·三模）已知，且，则______，______． 【答案】 / 【分析】根据题意，结合求得，进而结合二倍角公式求得，再结合，根据正弦差角公式求解即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以． 因为， 所以. ． 因为， 所以 ． 【变式3】（2026·山东聊城·模拟预测）在中，，. (1)求的值； (2)若边上的高为9，求的长. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用同角公式及二倍角的正切公式求解并判断. （2）利用差角的正切公式及同角公式求出即可. 【详解】（1）在中，由，得， 令，由，得，即， 整理得，解得或， 若，则，此时，，而， 所以. （2）由（1）得， 则，而，解得， 所以. 【题型七】辅助角公式 【例7】（2026·福建泉州·三模）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用辅助角公式可得，结合特殊角的三角函数值求得，代入即可求解. 【详解】由， 所以,则， 即，所以 【变式1】（2026·河南开封·模拟预测）已知角的终边上有一点，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】得到角和角的终边相同，从而得到与有关的关系式，即可求出答案. 【详解】，， 故角和角的终边相同，故，， 则. 【变式2】（2025·云南玉溪·模拟预测）已知，且，则__________. 【答案】 【分析】先将利用辅助角公式得到，再利用同角关系式求出，再根据角的范围进行取舍. 【详解】，，， ，， ，，， 故答案为：. 【变式3】（2025·江苏·模拟预测）已知向量，若且的最小值为，则实数_____． 【答案】 【分析】根据得出，再利用两角和差的余弦公式以及辅助角公式化简得出，得出，根据最值得出为方程的根. 【详解】因，则， 则， 则， 则，其中， 得， 故，得， 因的最小值为，则，得. 故答案为： 【题型八】三角恒等变换的应用 【例8】（2026·西藏日喀则·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，． 【变式1】（2026·海南海口·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 即，得， 则. 因为， 所以，. 【变式2】（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数，，则______. 【答案】4 【详解】. 【变式3】（2025·湖北十堰·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且． (1)判断的形状； (2)设，且是边的中点，当最大时，求的面积． 【答案】(1)为等腰三角形 (2) 【分析】（1）根据条件，利用倍角公式及平方关系得到，进而得到，即可求解； （2）根据条件及余弦定理得到，利用基本不等式得到，进而可得，从而有当最大时，为正三角形，即可求解. 【详解】（1）因为，所以，即， 整理得，所以．                因为，则，所以， 即，则为等腰三角形． （2）由（1）及题设，有， 所以 ，当且仅当时，等号成立．      又为三角形内角，所以，即的最大值为，      此时，又，所以， 故，可得三角形ACD为直角三角形且．      可得为正三角形， 又，所以当最大时，的面积． 【解题大招01】终边相同角统一归类技巧 1. 核心技巧 所有终边重合的角可统一归为：，轴线角、对称角可合并周期，避免重复列举，快速筛选区间内角度。 2. 适用场景 区间内找终边相同角、判断象限角、对称角求解。 【例1】求区间内与终边相同的所有角。 解析：终边相同角集合： 令，解得。 时， 时， 综上满足条件的角：。 【解题大招02】弧度制扇形公式速算技巧 【例2】已知扇形半径，周长，求扇形面积。 解析：由周长公式： 面积： 扇形面积为。 【解题大招03】任意角三角函数定义「坐标直接代」技巧 1. 核心技巧 已知终边点，先算，再直接代入定义，符号完全由坐标象限决定，无需记忆复杂符号口诀。 2. 核心公式 【例3】角终边过，求。 解析： . 【解题大招04】同角三角函数「知一求二」符号判定技巧 1. 核心技巧 先定象限、再定符号、最后代公式；平方开根必看范围，这是高考最易错点。 2. 核心公式 【例4】已知，，求。 解析：在第三象限，。 . 【解题大招05】诱导公式「奇变偶不变，符号看象限」秒杀技巧 1. 核心技巧 类函数名不变，类函数名互变；始终将看作锐角，判断原式符号即为结果符号。 【例5】化简： 解析： 原式 【解题大招06】二倍角公式「三式灵活选用」技巧 1. 核心技巧 求正弦值优先用，求余弦值优先用，按需选公式，减少计算量。 2. 核心公式 . 【例6】已知，求。 解析：直接适配公式： 【解题大招07】辅助角公式标准化技巧 1. 核心技巧 形如，统一合并为标准型，是求周期、最值、单调区间的唯一标准解法。 2. 核心公式 【例7】化简 解析： . 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·广西南宁·三模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， . 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 二、多选题 4．（2026·云南玉溪·二模）已知角的终边过点，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意得，，则， 故AC正确，B错误； ，故D错误. 三、填空题 5．（2025·江苏·模拟预测）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧的长为，则此扇面的面积为______． 【答案】 【分析】利用弧长公式求出的长，利用扇形面积公式求出大、小扇形面积，最后作差求出扇面面积. 【详解】设，因为圆心角，弧的长为，代入弧长公式可得，解得. 由扇形面积公式可得：， ， 所以此扇面的面积为. 故答案为：. 6．（2026·江苏·三模）在中，若，，则角_____． 【答案】 【分析】根据诱导公式及两角和的正切公式求得，进而求得． 【详解】， 由得． 四、解答题 7．（2026·湖北·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求A； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题设，根据诱导公式、二倍角公式及辅助角公式求解即可； （2）先利用余弦定理求得，再根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由，得， 代入条件得：， 即， 则，即， 因为，则， 所以，则． （2）由余弦定理得， 代入，可得， 整理得，解得（舍去负根）， 因此，的面积为． 8．（2024·云南大理·模拟预测）在中，角，，的对边分别是，，，且. (1)求角的大小； (2)若，为边上的一点，，且______，求的周长. （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答） ①是的平分线 ②为线段的中点 【答案】(1) (2)选①和②，答案均为 【分析】（1）根据三角函数恒等变换得到，从而求出； （2）选①，由三角形面积公式得到，由余弦定理得到，求出，得到周长； 选②，两边平方得，由余弦定理得，联立求出，得到周长. 【详解】（1）因为，可得， 故，故， 可得， 因为，，所以，可得. （2）若选①：由平分得：， 即，即， 在中，由余弦定理得， 即，两式联立可得， 所以的周长为； 若选②：为线段的中点，故， ， 因为，，故， 整理可得， 在中，由余弦定理得， 所以， 两式联立可得，所以， 从而的周长为. 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·河北沧州·模拟预测）已知角的终边过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数的定义以及诱导公式、正弦二倍角公式求解即可. 【详解】因为角的终边过点，所以， 所以. 2．（2026·江苏南通·三模）已知三个扇形的半径均为2，①扇形1的弧长为2；②扇形2的面积为4；③扇形3卷成的圆锥底面周长为6.设三个扇形的圆心角分别为，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断角度的范围，进而判断大小关系. 【详解】扇形1的弧长为2，扇形1的半径为2，则， 扇形2的面积为4，扇形2的半径为2，则根据扇形面积公式：， 得：， 扇形3卷成的圆锥底面周长为6，扇形3的半径为2，则：， 因为，所以， 因为，且，所以， 因为，所以， 而，所以， 又因为，所以，则，即：. 二、多选题 3．（2026·辽宁·模拟预测）下列结论正确的是（    ） A．若为第一象限角，则 B．若，则 C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，虽然是第一象限角，但，故A错误； 对于B，由，得，所以，所以，故B正确； 对于C，由，得， 所以，即，故C正确； 对于D，因为，故D错误． 三、填空题 4．（2026·福建宁德·模拟预测）已知，，则______. 【答案】/ 【详解】因为， 且， 所以， 所以. 由，得， 所以. 5．（2026·江苏扬州·模拟预测）设，是方程的两个不同的解，且（），则________． 【答案】 【分析】，利用两角和与差的正余弦公式可求得，进而可求得，利用二倍角的正切公式求解即可. 【详解】因为，是方程的两个不同的解， 所以，， 所以， 所以 ， 所以， 所以， 又因为（），所以（），所以， 所以，所以， 所以. 四、解答题 6．（2026·河南·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据和差的正弦、余弦公式化简等式即可求出结果. （2）根据正弦定理和三角形面积公式计算即可. 【详解】（1） ． 因为，所以， 所以 ，解得． 因为，所以． （2）由（1）得． 因为，，所以，所以． 由正弦定理，得 ． 因为， 所以的面积． 由题意，得，解得． 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·四川眉山·模拟预测）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边与圆交于点．动点以为起点，沿圆周按逆时针方向运动到点，点运动的轨迹长为，当角的终边为射线时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由题意结合三角函数、弧长公式等依次求出、圆的半径和，再由结合两角和正切公式即可求解． 【详解】由题得，且圆的半径为， 所以， 所以． 2．（2026·河南·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角三角函数的定义以及三角恒等变换公式即可求解. 【详解】因为，所以，，所以为第四象限角. 因为，又，所以. 二、多选题 3．（2026·广东佛山·模拟预测）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】本题考查三角恒等变换,结合已知,利用半角公式、二倍角公式、齐次式化简方法逐一验证选项即可. 【详解】选项A：设,则,代入得,整理得,解得,有两个可能取值,故A错误. 选项B：,故B正确. 选项C：,代入得,故C正确. 选项D：,代入得,故D错误. 三、填空题 4．（2026·河北·三模）已知，则_____. 【答案】 【分析】根据三角恒等变换得，再根据切化弦的方法，结合正弦的二倍角公式求解即可. 【详解】依题意，， 所以，解得， 所以． 四、解答题 5．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在中，，，． (1)求； (2)设边上有两点，，，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两角和差的正余弦公式及诱导公式化简求解即可. （2）结合（1）得到，，根据正弦定理及三角形性质得到，结合两角和的正弦公式求解即可. 【详解】（1）由， 得， 整理得，即， 所以或． 若，则； 若，因为，所以B不是钝角，该情形不成立. 故． （2）设，则. 在中，由正弦定理，得，即， 又，所以． 由（1）知，为直角三角形， 又，，所以，， 所以，整理得， 所以，即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $